四川省成都市 九年级(上)期末数学试卷-(含答案)
2017-2018学年四川省成都市锦江区九年级（上）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，若将矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为（）A. 13B. √33C. 103D. 102.如图，菱形OBAC的边OB在x轴上，点A（8，4），tan∠COB=43，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，则反比例函数解析式为（）A. y=6x B. y=12xC. y=24xD. y=32x3.如图，在▱ABCD中，AD=18，点E、F分别是BD、CD上的点，EF∥BC，且DEEB =12，则EF等于（）A. 6B. 8C. 9D. 184.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）A. (3,1)B. (3,3)C. (4,4)D. (4,1)5.如图所示的几何体，其主视图是（）A.B.C.D.6.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则对角线BD等于（）A. 2B. 4C. 6D. 87.小明家2015年年收入20万元，通过合理理财，2017年年收入达到25万元，求这两年小明家年收入的平均增长率，设这两年年收入的平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A. 20x2=25B. 20(1+x)=25C. 20(1+x)2=25D. 20(1+x)+20(1+x)2=258.已知xy =25，则x−yy的值为（）A. 25B. 35C. −25D. −35二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，2），下列结论：①abc＞0；②a+b+c＞0；③2a+b＜0；④b＜-1；⑤b2-4ac＜8a，正确的结论是______（只填序号）10.如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=______11.如图，⊙O的半径为6，∠AOB=90°，点C是AB⏜上一动点（不与点B、A重合），过点C作CD⊥OB于点D，CE⊥OA于点E，连接ED，点F是OD的中点，连接CF交DE于点P，则CE2+3CP2等于______．12.课间休息，小亮与小明一起玩“五子棋”游戏，他们决定通过“剪刀、石头、布”游戏赢者开棋，若小亮出“石头”，则小亮开棋的概率是______．13.如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为______米．14.如图，点A是反比例函数y=5x （x＞0）图象上的一点，点B是反比例函数y=-1x（x＜0）图象上的点，连接OA、OB、AB，若∠AOB=90°，则sin∠A=______15.关于x的一元二次方程（k-2）x2+2kx+k=0有实数根，则k的取值范围是______16.已知m、n是方程x2-2x-7=0的两个根，那么m2+mn+2n=______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）17.解方程：（x+2）（x+3）=2x+1618.如图，一辆滴滴快车在笔直公路上由西向东行驶，行驶至A处时接到正东方B处乘客订单，但师傅发现油量不足，马上左拐30°，沿AC行驶1200米到达加油站C处加油，加油用时5分钟，加油后再沿CB行驶1000米到B处接到乘客，假设滴滴快车的平均速度是每分钟360米，其他情况忽略不计，滴滴快车让乘客多等了多少时间？（结果保留整数√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236）19.如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．（1）若∠ABF=∠ACF，求证：CE2=EF•EG；（2）若DG=DC，BE=6，求EF的长．20.计算：√12+（-1）-1+6cos30°-（√3+2）0221.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）、2B（-4，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；（3）在抛物线上有一点M，过点M、A的直线MA交y轴于点C，连接BC，若∠MBO=∠BCO，请直接写出点M的坐标．22.如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=m的图象交于点A、B两点，与xx轴、y轴交于C、D两点，且点C、D刚好是线段AB的三等分点，OD=2，tan∠DCO=23（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若y1≤y2，请直接写出相应自变量x的取值范围23.为传递爱心，传播文明，某中学团委倡议全校同学在寒假期间选择参加志愿者活动（每人只能参加一种活动），活动项目有：敬老助残（A）、环境保护（B）、关爱留守儿童（C）、团委筹备小组在校门口随机调查50位同学，发现这50位同学选择三种活动项目（A、B、C）的人数之比为3：3：4．（1）若该校有1200名同学，请估计参加环境活动项目的同学有多少人？（2）请用画树状图或列表的方法，求九年级一班班长和团委书记两位同学都选择参加关爱留守儿童（C）的概率24.如图，在△ABC中，CA=CB，AB=10，0°＜∠C＜60°，AF⊥BC于点F，在FC上截取FD=FB，点E是AC上一点，连接DA、DE，且∠ADE=∠B．（1）求证：ED=EC（2）若∠C=30°，求BD长；（3）在（2）的条件下，将图1中△DEC绕点D逆时针旋转得到△DE′C′，请问在旋转的过程中，以点D、E、C′、E′为顶点的四边形可以构成平行四边形吗？若可以，请求出该平行四边形的面积；若不可以，请说明理由．25.科技驱动新零售商业变革的时代已经来临，无人超市的经营模式已在全国各地兴起，某家无人超市开业以来，经测算，为销售A型商品每天需固定支出的费用为400元，若A型商品每件的销售利润不超过9元，每天销售A型商品的数量为280件；，若A型商品每件的销售利润超过9元，则每超过1元，每天销售A型商品的数量减少10件，设该家无人超市A型商品的销售利润为x元/件，A型商品的日净收入为y 元（日净收入=A型商品每天销售的总利润-A型商品每天固定的支出费用）：（1）试求出该超市A型商品的日净收入为y（元）与A型商品的销售利润x（元/件）之间的关系式；（2）该超市能否实现A型商品的销售日净收入3000元的目的？如能实现，求出A 型商品的销售利润为多少元/件？如不能实现，请说明理由；（3）请问该超市A型商品的销售利润为多少元/件时，能获得A型商品的最大日净收入？26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延长CB到点P，使∠APB=∠DCB．（1）求证：AP为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积；（3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探究a、b、c之间的等量关系式，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由折叠是性质可知，DF=DC=AB=10，在Rt△ADF中，AF==8，∴BF=AB-AF=2，设CE=x，则BE=6-x，由折叠是性质可知，EF=CE=x，在Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2，即x2=22+（6-x）2，解得，x=，故选：C．根据折叠的性质得到DF=10，根据勾股定理求出AF，得到BF，根据勾股定理列出方程，解方程即可．本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥OB于点F，∵四边形OCAB为菱形，∴OC∥BA，则tan∠COB=tan∠ABE==，∵点A（8，4），∴AE=4，则BE=3，∴OC=AB==5，设CF=4x，则OF=3x，根据OF2+CF2=OC2即（3x）2+（4x）2=52，解得x=1，则OF=3、CF=4，即点C坐标为（3，4），所以反比例函数解析式为y=，故选：B．作AE⊥x轴、作CF⊥OB，由菱形的性质知OC∥BA，则tan∠COB=tan∠ABE= =，根据点A的坐标可得AE=4、BE=3、AB=OC=5，继而求得点C的坐标，即可得出答案．本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握菱形的性质、三角函数的应用及勾股定理等知识点．3.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=18，∵EF∥BC，且=，∴EF=BC=×18=6．故选：A．由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=18，再根据EF∥BC，且=，利用平行线分线段成比例定理，即可求得答案．此题考查了平行四边形的性质与相似三角形的性质．解题时注意：平行四边形的对边相等．4.【答案】C【解析】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为：1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选：C．利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．5.【答案】B【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形，故选：B．根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．6.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=AB，∴∠A+∠ABC=180°，∴∠A=180°-120°=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，故选：A．由菱形的性质可证得△ABD为等边三角形，则可求得答案．本题主要考查菱形的性质，利用菱形的性质证得△ABD为等边三角形是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：设这两年年收入的平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2=25，故选：C．根据题意可得等量关系：2015年年收入20万元×（1+增长率）2=2017年年收入达到25万元，根据等量关系列出方程，再解即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程--求平均变化率．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b，得到2009年绿化投资的等量关系是解决本题的关键．8.【答案】D【解析】解：设x=2k，y=5k，则==-．故选：D．根据=，可设x=2k，y=5k，然后代入比例式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解较简便．9.【答案】①【解析】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵x=-＞0，∴b＜0，又∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0．故①正确；②∵x=1时，y=0，∴a+b+c=0，故②错误；③∵a＞0，0＜-＜1，∴-b＜2a，∴2a+b＞0．故③错误；④∵抛物线过点（-1，2）和（1，0），，∴b=-1，故④错误；⑤∵-＞-1，∴2a-b＞0，则（2a-b）2＞0，即4a2-4ab+b2＞0，∴b2＞-4a2+4ab，∴b2-8a＞-8a-4a2+4ab=-4a（2+a-b）=-4a（4-c）=-16a+4ac，∴4ac-b2＜8a，故⑤错误．故答案为：①．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．10.【答案】3√2【解析】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，∴AC=3，∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，∴∠CEA=∠DCE，∴∠E=∠ECA，∴AE=AC=3，故答案为：3根据正方形的性质得出AC的长，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出∠E=∠ECA，进而得出AE=AC即可．此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出AC的长．11.【答案】48【解析】解：设DF=OF=a，CD=b，连接OC．∵CD⊥OB于点D，CE⊥OA于点E，∴∠EOD=∠CDO=∠CEO=90°，∴四边形CDOE是矩形，∴CE=OD=2a，CD=OE=b，∵EC∥DF，∴==，∴PC=2PF，PC=CF=，∴EC2+3CP2=4a2+（a2+b2）=（4a2+b2），在Rt△OCE中，∵EC2+OE2=OC2，∴4a2+b2=36，∴EC2+3CP2=48．故答案为48设DF=OF=a，CD=b，连接OC．用a、b表示CE2+3CP2，在利用勾股定理，可得4a2+b2=36，利用整体代入的思想即可解决问题；本题考查勾股定理、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12.【答案】13【解析】解：若小亮出“石头”，则小明出的手势情况为剪刀、石头、布这3种，其中小明出布时，小亮获胜，所以小亮开棋的概率是，故答案为：．由小明出的手势情况为剪刀、石头、布这3种，其中小明出布时，小亮获胜，根据概率公式计算可得．此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】2【解析】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴，即，解得AP=8，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴，即，解得ED=2，故答案为：2．依据△CBF∽△CAP，即可得到AP=8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE长．此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．14.【答案】√66【解析】解：如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．设A（a，），B（b，-），∵∠AOB=∠OFB=∠AEO=90°，∴∠BOF+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BOF=∠OAE，∴△BOF∽△OAE，∴=，∴=，∴a2b2=5，∵AB2=OB2+OA2=b2++a2+=6b2+，∴AB=，OB=，∴sin∠A===，故答案为．如图作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．设A（a，），B（b，-），由△BOF∽△OAE，可得=，推出a2b2=5，想办法求出OB、AB（用b表示），再根据三角函数的定义即可解决问题；本题考查反比例函数图象上点的特征、反比例函数的图象、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15.【答案】k≥0且k≠2【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k-2）x2+2kx+k=0有实数根，∴，解得：k≥0且k≠2．故答案为：k≥0且k≠2．根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．16.【答案】4【解析】解：∵m、n是方程x2-2x-7=0的两个根，∴m+n=2，mn=-7，m2-2m-7=0，∴m2=2m+7，∴m2+mn+2n=2m+7+mn+2n=7+2×2+（-7）=4．故答案为：4．根据个与系数的关系得出m+n=2，mn=-7，根据m2-2m+7=0求出m2=-7+2m，代入即可．此题主要考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和和两根之积的表达式．17.【答案】解：（x+2）（x+3）=2x+16，x2+5x+6=2x+16，x2+3x-10=0，（x-2）（x+5）=0，解得x1=2，x2=-5．【解析】先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解．考查了因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．18.【答案】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，AC=1200，∠A=30°，∴CH=12AC=600，AH=√3CH≈1039.2，在Rt△BCH中，BH=√BC2−CH2=√10002−6002=800，∴AB=1893，AC+BC=2200，∴滴滴快车让乘客多等的时间=5+2200−1839360≈6（分钟），【解析】滴滴快车让乘客多等的时间=5+，由此计算即可；本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：（1）∵AB∥CG，∴∠ABF=∠G，又∵∠ABF=∠ACF，∴∠ECF=∠G，又∵∠CEF=∠CEG，∴△ECF∽△EGC，∴CE GE =FECE，即CE2=EF•EG；（2）∵平行四边形ABCD中，AB=CD，又∵DG=DC，∴AB=CD=DG，∴AB：CG=1：2，∵AB∥CG，∴AB CG =BEGE=12，即6GE =12，∴EG=12，BG=18，∵AB∥DG，∴BF GF =ABDG=1，∴BF=12BG=9，∴EF=BF-BE=9-6=3．【解析】（1）依据等量代换得到∠ECF=∠G，依据∠CEF=∠CEG，可得△ECF∽△EGC，进而得出，即CE2=EF•EG；（2）依据AB=CD=DG，可得AB：CG=1：2，依据AB∥CG，即可得出EG=12，BG=18，再根据AB∥DG，可得BF=BG=9，进而得到EF=BF-BE=9-6=3．本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，问题（2）的解法不唯一，也可以根据点F是AD的中点，△AEF与△CEB相似，得到EF的长．20.【答案】解：原式=2√3+2+6×√3-1，2=2√3+2+3√3-1，=5√3+1．【解析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．2+2b+c=0，21.【答案】解：（1）由题意{8−4b+c=0b=1，解得{c=−4∴抛物线的解析式为y=1x2+x-4．2（2）如图1中，当BD为矩形的边时，∵直线BD的解析式为y=-x-4，∴直线BP的解析式为y=x=4，直线DP′的解析式为y=x-4，可得P（-1，3），P′（-1，-5）．当BD为矩形的对角线时，设P（-1，m），BD的中点N（-2，-2），由BN=P″N，可得12+（m+2）2=（2√2）2，解得m=-2+√7或-2-√7，∴P″（-1，-2+√7），或（-1．-2-√7），∴要使四边形PBQD能成为矩形，满足条件的点P坐标为（-1，-2+√7）或（-1．-2-√7）．综上所述，满足条件的P的坐标为（-1，-2+√7）或（-1．-2-√7）．（3）设M（m，12m2+m-4），设直线AM的解析式为y=kx+b，则有{mk+b=12m2+m−4 2k+b=0，解得{k=m+42b=−m−4，∴直线AM的解析式为y=m+42x-m-4，∴C（0，-m-4）．①点M在第二象限显然不可能，当点M在第三象限时，如图2中，作MN⊥OB于N．∵∠MBN=∠BCO，∠MNB=∠BOC=90°，∴△MNB∽△BOC，∴MN OB =BN OC，∴−12m 2−m+44=m+4m+4， ∴m =-2或0．∴M （-2，-4）或（0，-4）②当点M 在第一象限时，同法可得12m 2+m−44=m+4m+4， 整理得：m 2+2m -16=0，∴m =-1+√17或-1-√17（舍弃），∴M （-1+√17，4），③当点M 在第三象限时，不存在，综上所述，满足条件的点M 坐标（-2，-4）或（0，-4）或（-1+√17，4）．【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可解决问题，当BD 为矩形的边时，当BD 为矩形的对角线时；（3）设M （m ，m 2+m-4），可得直线AM 的解析式为y=x-m-4，推出C （0，-m-4）．①点M 在第二象限显然不可能，当点M 在第三象限时，如图2中，作MN ⊥OB 于N ．利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题；用类似的方法求出点M 在第一象限时的坐标即可；本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．22.【答案】解：（1）∵OD =2，tan ∠DCO =23=OD OC ，∴2OC =23，∴OC =3，∴D （0，2），C （-3，0），把D （0，2），C （-3，0）代入y 1=kx +b 中得：{−3k +b =0b=2，解得：{k =23b =2， ∴一次函数的解析式为：y 1=23x +2；过A 作AE ⊥x 轴于E ，∵点C 、D 刚好是线段AB 的三等分点，∴AC =CD =BD ，∵∠AEC =∠COD =90°，∠ECA =∠OCD ，∴△AEC≌△DOC，∴EC=OC=3，AE=OD=2，∴A（-6，-2），∴m=-6×（-2）=12，∴反比例函数的解析式为：y2=12x；（2）同理得：B（3，4），∴S△AOB=S△BOC+S△ACO，=1 2OC•|y B|+12OC•|y A|，=1 2×3×4+12×3×2，=9；（3）由图象得：当x≤-6或0≤x≤3时，y1≤y2．【解析】（1）利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式；（2）利用面积和可得△AOB的面积；（3）根据图象直接写结论．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．23.【答案】解：（1）1200×33+3+4=360（人），答：估计参加环境活动项目的同学有360人；（2）如图所示：，一共有9种可能，两位同学都选择参加关爱留守儿童的可能有1种，故两位同学都选择参加关爱留守儿童的概率为：19．【解析】（1）用总人数乘以样本中参加环境活动项目的同学人数占样本总人数的比例即可得；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两位同学都选择参加关爱留守儿童的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：（1）∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC，∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠ABC，∵AF⊥BC，BF=DF，∴AB=AD，∴∠ADB=∠ABC，∵∠ADE=∠ABC，∴∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-2∠ABC，∴∠CDE=∠C，∴DE=CE；（2）∵∠C=30°，∴∠ABC=∠ADB=∠BAC=∠ADE=75°，∴∠BAD=30°，过点B作BG⊥AD于G，如图1，在Rt△ABG中，AB=10，∠BAD=30°，∴BG=5，AG=5√3，∴DG=AD-AG=10-5√3=5（2-√3），在Rt△BDG中，BD=√BG2+DG2=10√2−√3；（3）可以，理由：如图2；∵DE=CE，∴∠EDC=∠C=30°，由旋转知，∠E'DC'=∠E'C'D=∠C=30°∵四边形DEC'E'是平行四边形，∴C'E'∥DE，∴∠C'DE=30°，∴∠C'DC=60°，∴C'D⊥AC于H，在Rt△ADH中，AD=10，∠DAH=∠BAC-∠BAD=45°，∴DH=5√2，在Rt△DEH中，∠AED=∠ACB+∠CDE=60°，∴∠EDH=30°，∴DE=10√6，3∴CE=10√6，3∴S ▱DEC 'E '=2S △CDE =2×12CE ×DH =10√63×5√2=100√33． 【解析】（1）先判断出∠C=180°-2∠ABC ，∠CDE=180°-2∠ABC ，进而得出∠C=∠CDE ，即可得出结论；（2）先求出∠BAD=30°，进而求出BG ，AG ，即可得出DG ，最后用勾股定理即可得出结论；（3）先判断出C'D ⊥AC 时，以点D ，E ，C'，E'为顶点的四边形是平行四边形，再求出DH ，DE 即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，构造直角三角形是解本题的关键．25.【答案】解：（1）由题意可得，当0＜x ≤9时，y =280x -400，当x ＞9时，y =[280-（x -9）×10]x -400=-10x 2+370x -400， 由上可得，该超市A 型商品的日净收入为y （元）与A 型商品的销售利润x （元/件）之间的关系式是：y ={280x −400(0＜x ≤9)−10x 2+370x −400(x ＞9)； （2）∵当0＜x ≤9时，y =280x -400≤2120，∴令y =3000代入y =-10x 2+370x -400，解得，x 1=17，x 2=20，答：该超市能实现A 型商品的销售日净收入3000元的目的，A 型商品的销售利润为17元/件或20元/件；（3）∵当0＜x ≤9时，y =280x -400≤2120，当x ＞9时，y =-10x 2+370x -400=-10（x -372）2+3022.5，∴当x =18.5时，y 取得最大值，此时y =3022.5，答：该超市A 型商品的销售利润为18.5元/件时，能获得A 型商品的最大日净收入．【解析】（1）根据题意可以列出相应的函数解析式；（2）根据（1）中的函数解析式即可解答本题；（3）根据（1）中的函数解析式即可求得y 的最大值．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．26.【答案】（1）证明：∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵∠P=∠BCD，∠BAC=∠BDC，∴∠P=∠BAC，∵AC是直径，∴∠ABC=∠ABP=90°，∴∠P+∠BAP=90°，∴∠BAP+∠BAC=90°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）解：①当∠OED=90°时，CB=CD=BD，△ABC是等边三角形，可得∠ACB=30°，∵AC=2，∴AB=1，BC=√3，∴S△ABC=√32．②当∠DOE=90°时，易知∠AOB=45°，△ABC的AC边上的高=√22，∴S△ABC=√22．（3）解：∵BD=BC，OD=OC，BO=BO，∴△BOD≌△BOC，∴∠OBD=∠OBC，∵OB=OD=CO，∴∠OBD=∠OBC=∠ODB=∠OCB，∵∠ADB=∠OCB，∴∠ADB=∠OBD，∴AD∥OB，∴△AED∽△OEB，∴S△AED S△BOE =（AEEO）2，∵S△AED S△DEO =AEEO=cb，∴c a =（cb）2，∴b2=ac．【解析】（1）欲证明PA是切线，只要证明PA⊥OA即可；（2）分两种情形分别求解即可；（3）只要证明AD∥OB，可得△AED∽△OEB，推出=（）2，又= =，可得=（）2，即b2=ac由此即可解决问题；本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的判定、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．。
四川省成都市第七中学初中学校2023-2024学年九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（4分）下列说法正确的是（ ）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和14．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）A．B．C．D．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）A．B．C．D．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：98．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是 米．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 ．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 cm．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是 ．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝ ．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为 ．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 ．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年四川省成都七中初中学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）下列几何体中，从正面看和从左面看形状相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别判断这四个几何体从正面看和从左面看的形状，进而求解．【解答】解：球从正面看和从左面看都是圆，形状相同；三棱柱从正面看是长方形，从左面看是三角形，形状不同；圆锥从正面看和从左面看都是三角形，形状相同；圆柱从正面看和从左面看都是长方形，形状相同；综上，从正面看和从左面看形状相同的几何体有3个；故选：C．【点评】本题考查了从不同方向看几何体，正确判断从正面看和从左面看的形状是关键．2．（4分）下列说法正确的是（ ）A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．平行四边形是轴对称图形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解．【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；C、平行四边形不一定是轴对称图形，故选项C不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键．3．（4分）方程5x2﹣1＝4x的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5和4B．5和﹣4C．5和﹣1D．5和1【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，选择答案即可．【解答】解：∵将方程5x2﹣1＝4x整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，∴二次项系数为5，一次项系数为﹣4，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．4．（4分）两个矩形按如图所示方式放置，若∠1＝150°，则∠2＝（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据各角度与直角的关系直接求解即可．【解答】解：由图可知∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣150°＝30°，因为四边形是矩形，即∠5＝90°，所以∠4＝90°﹣30°＝60°，所以∠2＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】此题考查矩形的性质，解题关键是灵活使用直角和平角．5．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC，交BC 于点E，若AC＝4，BD＝6，则CE的长度是（ ）A．B．C．D．【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OC＝AC＝2，OB＝BD＝3，由勾股定理求出BC＝＝，由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC•BD，即可求出AE＝，由勾股定理即可得到CE＝＝．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OB＝3，∴BC＝＝，∵AE⊥BC，∴菱形的面积＝BC•AE＝AC•BD，∴AE＝×4×6，∴AE＝，∴CE＝＝．故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是由菱形的面积公式得到BC•AE＝AC •BD，求出AE的长．6．（4分）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和配得紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：根据两个转盘的形状，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中转到红色和蓝色的结果有5种，∴配得紫色的概率＝，故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AE：DE＝1：2，连接AC，BE 交于点F，则S△AEF：S△BCF＝（ ）A．1：3B．1：4C．1：2D．1：9【分析】根据平行四边形得出AD∥BC，可证△AFE∽△CFB，再根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFE∽△CFB，∵AE：DE＝1：2，∴AE：AD＝1：3＝AE：BC，∴△AFE与△CFB的相似比为1：3，∴S△AEF：S△BCF＝1：9．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形性质和相似三角形判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．（4分）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解答】解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 1 ．【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式，根据已知得出b2﹣4ac＝0得出是解题关键．10．（4分）若A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且y1＞y2＞0，则x1 ＜ x2（选填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先判断出点A、B在第三象限，再根据反比例函数的增减性判断．【解答】解：∵k＝2024＞0，y1＞y2＞0，∴点A、B在第一象限，且在同一象限内，y随x的增大而减小，∴x1＜x2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．11．（4分）如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．该同学将一个平面镜水平放置在点P处，从点A射入的光线经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，则古城墙的高度CD是 4.5 米．【分析】根据题意可得∠APB＝∠CPD，根据垂直定义可得∠ABD＝∠CDB＝90°，从而可证△ABP∽△CDP，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴＝，∴CD＝4.5，∴该古城墙的高度CD是4.5m，故答案为：4.5．【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4），若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 （10，12） ．【分析】根据点B、B′的坐标求出△ABC和△A′B′C′的位似比，根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B ′的坐标分别为（8，2）、（16，4），∴△ABC和△A′B′C′的位似比为1：2，∵点A的坐标为（5，6），∴点A′的坐标为（5×2，6×2），即（10，12），故答案为：（10，12）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．13．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 5 cm．【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则根据菱形的面积＝AB×OC求解即可．【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝5，解得OC＝5（cm）．故答案为：5．【点评】本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．三、解答题（共48分）14．（12分）解方程：（1）2x2+3＝﹣7x；（2）x2﹣6x+2＝0．【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x2+7x+3＝0，这里a＝2，b＝7，c＝3，∵Δ＝49﹣24＝25＞0，∴x＝＝，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2﹣6x＝﹣2，配方得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0有两个不相等的实数根．（1）若该方程的一个实数根为﹣1，求另一个实数根；（2）若该方程的两个不相等的实数根为α和β，且，求c的值．【分析】（1）设另一个实数根为m，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1+m＝4，求出m的值即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β＝4，αβ＝c+3，把变形为，然后代入即可．【解答】解：（1）设关于x的一元二次方程x2﹣4x+c+3＝0另一个实数根为m，根据题意得：﹣1+m＝4，∴m＝5，即另一个实数根为5；（2）∵方程的两个不相等的实数根为α和β，∴α+β＝4，αβ＝c+3，∴，解得c＝﹣4或1，当c＝﹣4时，Δ＝20＞0；当c＝1时，Δ＝0（不符合题意，舍去）．综上可得，c的值为﹣4．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．（10分）我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有 20 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 72 度，图中m的值为 40 ；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），表示“D等级”的扇形的圆心角为；C等级所占的百分比为，所以m＝40，故答案为：20，72，40．（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），补全统计图，如图所示：（3）解：根据题意，列出表格，如下：男女1女2男女1、男女2、男女1男、女1女2、女1女2男、女2女1、女2共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，所以恰是一男一女的概率为．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．17．（8分）如图，已知△ABC∽△ACD．（1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数；（2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长．【分析】（1）直接利用相似三角形的性质得出∠ACD＝∠B，再结合已知条件得出答案；（2）利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC∽△ACD，∴∠ACD＝∠B，∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°，∴∠ADC＝35°+35°＝70°；（2）∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AD＝3，BD＝5，∴＝，解得：AC＝2．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A （﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°．（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）点D是线段AC上一点，且∠AOD＝45°，求出D点坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使△ODP的面积与△AOD的面积相等，直接写出点P的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入可求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（﹣1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得出CE＝AE＝6，即C（5，0），然后据待定系数法即可求得一次函数解析式；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，过D作DF⊥x轴于F，求得CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，求得直线OD的解析式为y＝x，设直线AP的解析式为y＝x+b，得到直线AP的解析式为y＝x+，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）作AB⊥x轴于点B，由点A（﹣1，6）可知，m＝﹣6，AB＝6，OB＝1．又∠ACO＝45°，AB＝CB，∴OC＝5．即C（5，0），∴，∴，∴反比例函数的解析式为，一次函数关系式为y＝﹣x+5；（2）设直线AC与y轴交于E，由（1）知直线AC的解析式为y＝﹣x+5，∴E（0，5），C（5，0），∴OC＝OE＝5，过D作DF⊥x轴于F，∴CF＝DF，设OF＝x，则CF＝5﹣x，∴OD2＝OF2+DF2＝x2+（5﹣x）2，CD＝CF＝（5﹣x），∵CE＝OC＝5，∴DE﹣CE﹣CD＝5﹣（5﹣x）＝x，∵AC＝AB＝6，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x，∵∠AOD＝∠OED＝45°，∠ADO＝∠ODE，∴△ADO∽△ODE，∴，∴OD2＝AD•DE，∴x2+（5﹣x）2＝（x）×x，解得x＝，∴OF＝，DF＝5﹣＝，∴；（3）过A作AP∥OD交x轴于P，则△ODP的面积与△AOD的面积相等，∵；∴直线OD的解析式为y＝x，∴设直线AP的解析式为y＝x+b，∵点A（﹣1，6），∴6＝﹣+b，∴b＝，∴直线AP的解析式为y＝x+，当y＝0时，x＝﹣，∴P（﹣，0），∴OP＝，当点P在x轴的正半轴上时，P（，0），综上所述，P（，0）或（﹣，0）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等，解题关键是数形结合思想的应用．一、填空题（每小题4分，共20分）19．（4分）已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，则ab﹣2024a﹣2024b的值是 2023 ．【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，ab＝﹣1，再把ab﹣2024a﹣2024b变形为ab﹣2024（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，∴ab﹣2024a﹣2024b＝ab﹣2024（a+b）＝﹣1﹣2024×（﹣1）＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝ ．【分析】由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，先利用勾股定理计算出AC＝2，则AD＝2﹣2，所以AE＝2﹣2，再计算出BE＝6﹣2，然后计算的值．【解答】解：由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∴AD＝AC﹣CD＝2﹣2，∴AE＝2﹣2，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．21．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P、Q分别为AB、BC上的动点，将△PQB沿PQ折叠，使点B们对应点D恰好落在边AC上，当△APD与△ABC 相似时，AP的长为 或 ．【分析】根据直角三角形的性质可得AB＝5，当△APD与△ABC相似时，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，分两种情况：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分别列方程求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴，当△APD与△ABC相似时，∵点D始终在边AC上，根据折叠PB＝PD，设AP＝x，则PB＝PD＝5﹣x，∴分两种情况：①△APD∽△ABC，此时∠ADP＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，②△APD∽△ACB，此时∠APD＝∠ACB＝90°，∴，即，解得，∴，综上，AP的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意△APD与△ABC相似要分情况讨论．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 5 ．【分析】过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，利用相似三角形的判定与性质求得线段DE的长度，则点C的坐标可得，利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得点B坐标，利用三角形的面积公式解答即可得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，如图，设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝mn．∵DE⊥OA，CF⊥OA，∴DE∥CF，∴△ACF∽△ADE，∴，∵AC：CD＝2：3，∴AC：AD＝2：5，∴，∴CF＝m．∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴C（m，n），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+n．令y＝0，则x+n＝0，∴x＝m，∴B（m，0）．∴OB＝m．∵S△OBD＝，∴OB•OE＝，∴m•n＝，∴mn＝5，∴k＝mn＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC 是边长为3的正方形，反比例函数的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一点，则PD+PE的最小值为 ．【分析】根据正方形的性质得点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，进而得点D，点E，则AD＝，CE＝，BE＝，BD＝，再根据△DOE 的面积为4，得3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，由此求出k＝3，则点D （3，1），点E（1，3），在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，根据点E，M关于OC对称，得当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．然后在Rt△MBD中，由勾股定理求出MD的长即得PE+PD的最小值．【解答】解：∵四边形OABC为正方形，且边长为3，∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，AB⊥OA，BC⊥OC，∠B＝90°，∴点D的横坐标为3，点E的纵坐标为3，∵点D，E在反比例函数（k＞0）的图象上，∴点D的坐标为，点E的坐标为，∴AD＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，BD＝AB﹣AD＝，∵△DOE的面积为4，∴S△DOE＝S正方形OABC﹣S△OAD﹣S△BDE﹣S△OCE＝4，∴3×3﹣×3×﹣﹣×3×＝4，整理得：，解得：k＝3，或k＝﹣3（不合题意，舍去），∴点D（3，1），点E（1，3），∴AD＝＝1，CE＝1，∴BD＝2，BE＝2在BC的延长线上取一点M，使CM＝CE，连接DM交y轴于点N，如图所示：∵BC⊥OC，CM＝CE＝1，∴点E，M关于OC对称，∴当点P与点N重合时，PE+PD的值的为最小，最小值为线段MD的长．在Rt△MBD中，BD＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，由勾股定理得：MD＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数的图形，利用轴对称求最短路线，理解理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握利用轴对称求最短路线的方法与技巧是解决问题的关键．二、解答题（共30分）24．（8分）某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【分析】（1）利用日销售量＝20+2×（110﹣售价），即可找出日销售量y（件）与售价x （元/件）的函数关系式；（2）利用电商每天销售该产品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解（1）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（2）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．答：该产品的售价每件应定为90元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．25．（10分）【基础巩固】（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB，求证：BD2＝BA•BC；【尝试应用】（2）如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB＝AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB＝∠DFC，BE＝5，BF＝6，求AD的长；【拓展提高】（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E，F分别在AD，AC上，连结BE，CE，EF，若DE＝DC，∠BEC＝∠AEF，BE＝24，EF＝10，，求的值．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得证；（2）根据平行四边形的性质得出∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，进而证明△EBF∽△FBC，得出BC＝，即可求解；（3）过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，证明△ECM∽△BCE，得出EM＝16，继而证明△AFE∽△CFM，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DCB，∴△ABD∽△DBC，∴，∴BD2＝BA•BC；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∠DFC＝∠FCB，∵AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∵∠DFC＝∠FCB，∠EFB＝∠DFC，∴∠EFB＝∠FCB，∴△EBF∽△FBC，∴，解得：BC＝，∴AD＝；（3）解：过点C作CM∥AD交EF的延长线于点M，∵∠AEF+∠CEF+∠DEC＝180°，∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEF﹣∠DEC，∠CBE＝180°﹣∠BEC﹣∠BCE，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠CEF＝∠CBE，∵CM∥AD，∴∠DEC＝∠ECM，∵∠DEC＝∠DCE，∴∠ECM＝∠DCE，∴△ECM∽△BCE，∴，∵BE＝12，∴EM＝16，∵EF＝10，∴FM＝16﹣10＝6，∵CM∥AD，∴△AFE∽△CFM，∴．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26．（12分）如图1，y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D ′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图象上存在点M，使得∠O′CM＝∠O′CC′，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），根据四边形的面积构建方程即可解决问题；（3）分两种情况：当点M位于∠OCC′内部时，延长CN交反比例函数于M；当点M 位于∠O′CC′外部时，作O′N'⊥CM'于N′，连接NN′，分别求解即可．【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，∴一次函数的表达式为y＝x﹣3，反比例函数的表达式为y＝；。
2023-2024学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，为了纪念他，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（）A．B．0C．D．1.52．（4分）在平面直角坐标系中，点P（8，﹣5）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（4分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4B．，，C．，，D．0.3，0.4，0.54．（4分）下列命题中，假命题是（）A．相等的角是对顶角B．三角形内角和为180°C．实数和数轴上点是一一对应的D．两条直线平行，同旁内角互补5．（4分）甲、乙两人在相同的条件下做投篮训练，他们各投了5组，每组10次，两人投中的平均数为＝＝7，方差s甲2＝3.2，s乙2＝2；则投篮的命中率较稳定的是（）A．两人一样稳定B．甲C．乙D．无法判断6．（4分）已知一次函数y＝kx+2（k＞0），则该函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．（4分）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．30°B．45°C．50°D．60°8．（4分）我国古代数学专著《孙子算经》中记载了一道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”（大意是，100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马？有多少匹小马？）设有大马x 匹，小马y匹，根据题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）27的立方根是，9的平方根是．10．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是．12．（4分）如图，直线y＝ax+3与直线y＝mx都经过点A（﹣1，2），则关于x，y的方程组的解是．13．（4分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为．三、解答题（本大题共6个题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（8分）计算：（1）|﹣3|；（2）．15．（12分）（1）解方程组：；（2）阅读下面的文字，解答问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：已知整数部分是n，小数部分是m，且mx＝2n，求x的值．16．（8分）为了了解某学校初三年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初三年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）：（1）根据以上信息回答下列问题：①求m＝，并补全条形统计图．②抽查的学生每周平均课外阅读时间这组数据的众数小时、中位数小时．（2）若该校共有1800名初三学生，请你估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；点C的对应点C1的坐标是；（2）求△A1B1C1的面积；（3）在△ABC中，AC边上的高为．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣4，0），与y轴交于点A，直线y＝﹣2x+4过点A，与x轴交于点C．（1）点A的坐标是；直线AB的函数表达式；＝S△AOB，求P点的坐标；（2）若点P是直线AB上一动点，且S△PBC＝S△AOB时，动点N从点B出发，先运动到点M，再从（3）点M在第二象限，当S△MAB点M运动到点C后停止运动．点N的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请求出t的最小值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）比较大小：35．20．（4分）关于x，y的方程组与有相同的解，则2a﹣b的值为．21．（4分）定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0），把形如的函数称为一次函数y＝ax+b的“新生函数”．已知一次函数y＝﹣4x+1，若点P（﹣2，m）在这个一次函数的“新生函数”图象上，则m的值是；若点Q（n，﹣3）在这个一次函数的“新生函数”图象上，则n的值是．22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．23．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB 上的动点，且BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，若BC＝6，则线段BF长度的最小值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．（8分）“成都成就梦想”，第31届大运会在成都顺利举办．大运会吉祥物“蓉宝”纪念品已被商家投放市场进行试销．小冬在某网店选中A，B两款“蓉宝”玩偶，决定从该网店进货并销售．这两款“蓉宝”玩偶的进货价和销售价如表：A款“蓉宝”玩偶B款“蓉宝”玩偶进货价（元/个）2015销售价（元/个）2820（1）第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，求两款“蓉宝”玩偶各购进多少个？（2）第二次小冬进货时，计划仍然购进这两款“蓉宝”玩偶共45个，网店规定A款“蓉宝”玩偶进货数量不少于20个且不超过25个，在进价和售价不变的情况下，小冬第二次销售中获得的最大利润是多少？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线AB与直线平行．（1）k＝；点A的坐标；点B的坐标是；（2）若点C（2，0），将线段AB水平向右平移m个单位（m＞0）得到线段A′B′，连接A′C，B′C．若△A′B′C是等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴上一动点，连接AP，若∠PAB＝45°，请求出点P坐标．26．（12分）（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①线段AD、BE之间的数量关系是；②∠BEC＝；（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度；（3）探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长．2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验学校八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：﹣，1.5是分数，0是整数，它们都不是无理数；是无限不循环小数，它是无理数；故选：C．【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可．【解答】解：∵8＞0，﹣5＜0，∴点P（8，﹣5）所在的象限是第四象限．故选：D．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．3．【分析】欲判断能否作为直角三角形的三边长，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A．∵22+32≠42，∴该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；B．∵（）2+（）2≠（）2，∴该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；C．∵（）2+（）2≠（）2，∴该组数据不能作为直角三角形的三边长，不合题意；D．∵0.32+0.42＝0.52，∴该组数据能作为直角三角形的三边长，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．【分析】根据对顶角的定义，三角形内角和定理，实数的意义，平行线的性质进行解答即可．【解答】解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，符合题意；B．三角形内角和为180°，是真命题，不符合题意；C．实数和数轴上点是一一对应的，是真命题，不符合题意；D．两条直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了对顶角的定义，三角形内角和定理，实数的意义，平行线的性质，熟练掌握相关内容是解答本题的关键．5．【分析】根据方差的意义求解即可．【解答】解：∵s甲2＝3.2，s乙2＝2，∴s乙2＜s甲2，∴投篮的命中率较稳定的是乙，故选：C．【点评】本题主要考查方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．6．【分析】根据一次函数的性质，k＞0，函数值y随x的增大而增大，即可得到结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，k＞0，b＞0，∴函数经过第一，二，三象限．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键．7．【分析】根据平行线的性质求解即可．【解答】解：∵a∥b，∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC+∠1＝30°+20°＝50°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．8．【分析】根据题意和题目中的数据可知：大马的匹数+小马的匹数＝100，大马的匹数×3+小马的匹数×＝100，然后列出方程组即可．【解答】解：由题意可得，，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．【分析】根据立方根和平方根的定义求出即可．【解答】解：27的立方根是3，9的平方根是±3，故答案为：3，±3．【点评】本题考查了立方根和平方根，熟知平方根和立方根的定义是解题的关键．10．【分析】二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x﹣10≥0，解得，x≥10，故答案为：x≥10．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．11．【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到∠ACD的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到结论．【解答】解：∵直线y＝ax+3与直线y＝mx都经过点A（﹣1，2），∴关于x，y的方程组的解是，故答案为：．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．13．【分析】利用勾股定理依次求出OA 2，OA3，OA4，可总结出，由此可解．【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝ (1)∴由勾股定理可得：，，，……可知，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．三、解答题（本大题共6个题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣2+3＝2；（2）原式＝4﹣﹣＝4﹣﹣3＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．15．【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可；（2）仿照题中给出的方法求出m、n的值，即可求出x的值．【解答】解：（1），把②代入①得，2（﹣2y+3）+3y＝7，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入②得，x＝5，∴方程组的解是；（2）∵，即，∴的整数部分为3，小数部分为，∴n＝3，m＝，∵mx＝2n，∴，解得．【点评】本题考查了解二元一次方程组，无理数的估算，熟练掌握解二元一次方程组的方法和用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．16．【分析】（1）①根据2小时的人数，以及扇形统计图中的圆心角的度数，解决问题即可，再求出3小时的人数，画出条形图；②根据中位数，众数的定义判断即可；（2）用样本估计总体的思想解决问题．【解答】解：（1）①m＝15÷＝60（名），3小时的人数＝60﹣10﹣15﹣10﹣5＝20（名）．条形图如图所示：故答案为：60；②这组数据的众数3、中位数是3．故答案为：3，3；（2）1800×＝1050（名）．答：估计该校学生课外阅读时间不低于3小时的人数约为1050名．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）利用三角形面积公式求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C的对应点C1的坐标是（﹣4，4）．故答案为：（﹣4，4）；（2）△A1B1C1的面积＝4×4﹣×2×4﹣×3×4﹣×1×2＝5；（3）设AC边上的高为h．∵AC＝＝5，∴×5×h＝5，∴h＝2．故答案为：2．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．18．【分析】（1）先根据直线y＝﹣2x+4过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线AB的函数表达式即可；（2）设点P坐标为（p，p+4），先求出点C坐标，再求出△AOB的面积，表示出△PBC＝S△AOB，列方程求解即可；的面积，根据S△PBC＝S△AOB，可知点M在线段DE（不含端点）上运（3）根据点M在第二象限，当S△MAB动，作点B关于线段DE的对称点B′，连接CB′，交线段DE点M，连接BM，则BM+CM 的最小值即为CB′的长，求出CB′的长度，进一步可得t的最小值．【解答】解：（1）∵点A在y轴上，直线y＝﹣2x+4过点A，∴点A坐标为（0，4），将点A（0，4）和点B（﹣4，0）代入直线y＝kx+b，得，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝x+4，故答案为：（0，4），y＝x+4；（2）设点P坐标为（p，p+4），∵直线y＝﹣2x+4过点A，与x轴交于点C，令y＝0，得x＝2，∴点C坐标为（2，0），∵点A（0，4），点B（﹣4，0），∴OA＝4，OB＝4，BC＝6，＝×4×4＝8，∴S△AOB＝S△AOB＝8，∴S△PBC∴×6|p+4|＝8，解得p＝﹣或﹣，∴P点的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；＝S△AOB时，如图，（3）∵点M在第二象限，当S△MAB∴M在过点D（0，8）且平行于AB的线段DE（不含端点）上，∴直线DE的函数表达式为y＝x+8，∴E（﹣8，0），∴OD＝OE＝8，∴∠OED＝45°，作点B关于线段DE的对称点B′，连接CB′，BB′，EB′，交线段DE点M，连接BM，则BM+CM的最小值即为CB′的长，∴DE⊥BB′，EB′＝EB＝4，BM＝B′M，∴∠EBB′＝∠EB′B＝45°，∴∠BEB′＝90°，∴B′（﹣8，4），∴CB′＝＝2，∵点N的运动速度始终为每秒1个单位长度，∴运动的总时间为t＝2（秒），∴t的最小值为2．【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，三角形面积等，本题综合性较强，灵活运用所学知识是解题关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．【分析】首先把两个数平方，再根据实数的大小比较方法即可比较大小．【解答】解：∵（3）2＝45，（5）2＝75，∴3＜5．故填空答案：＜．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．20．【分析】根据题意联立方程2x﹣y＝3和方程2x+y＝5，求出x、y的值，然后再代入其它的两个方程得到关于a、b的方程组，求出a、b的值，即可求出2a﹣b的值．【解答】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，∴，①+②得，4x＝8，解得x＝2，把x＝2代入②得，y＝1，∴这个方程组的解是，将其代入其它两个方程得，③+④得，10a＝30，解得a＝3，把a＝3代入③得，b＝﹣2，∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣2）＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题时正确理解题意得到关于a、b的方程组是关键．21．【分析】找出一次函数y＝﹣4x+1的“新生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m、n的值．【解答】解：一次函数y＝﹣4x+1的“新生函数”为y＝．∵点P（﹣2，m）在一次函数y＝﹣4x+1的“新生函数”图象上，﹣2＜0，∴m＝4×（﹣2）+1＝﹣7．∵点Q（n，﹣3）在一次函数y＝﹣4x+1的“新生函数”图象上，∴当n≥0时，﹣4n+1＝﹣3，解得n＝1，当n＜0时，4n+1＝﹣3，解得n＝﹣1，则n的值是1或﹣1，故答案为：﹣7，1或﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“新生函数”的定义，找出一次函数y＝﹣4x+1的“新生函数”是解题的关键．22．【分析】①如图1，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝MB′，列方程即可得到结论．【解答】解：①如图1，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM＝BC＝+；②如图2，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝MB′，∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，∴BM＝B′M，∴CM＝BM，∵BC＝+1，∴CM+BM＝BM+BM＝+1，∴BM＝1，综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，故答案为：+或1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．23．【分析】在CD上截取DM＝AE，连接FM作点B关于CF的对称点N，连接N，BN，先明△ADE≌△MFD（SAS）得到AD＝FM，∠A＝∠DMF＝45°，根据当A、F、N三点共线时，AF+NF的值最小，最小值为BN，再证明△BCN为等腰直角三角形，利用股定理求出BN长，即可求出BF长度的最小值．【解答】解：在CD上截取DM＝AE，连接FM，作点B关于CF的对称点N，连接CN，BN，如图：∵∠A＝45°，∠EDF＝45°，∠A+∠AED＝∠EDM＝∠EDF+∠FDM，∴∠AED＝∠FDM，∴△ADE≌△MFD（SAS），∴AD＝FM，∠A＝∠DMF＝45°，∵AB＝AC，∴AE+BE＝AD+CD，∵BE＝2AD，∴CD＝AE+AD，∵CD＝DM+CM，∴CM＝AD，∴FM＝CM，∴∠MCF＝∠MFC，∵∠DMF＝45°，∴∠FCM＝∠MFC＝22.5°，∴F点在射线CF上运动，∵点B与点N的关于CF对称，∴BF＝NF，CN＝BC＝6，∴BF+FN＝2BF≥BN，∴当B、F、N三点共线时，BF+NF＝2BF的值最小，最小值为BN，∵∠A＝45°，AB＝BC，∴∠ACB＝67.5°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠FCM＝45°，由对称性可知，∠NCF＝∠BCF＝45°，∴∠BCN＝90°，∴△BCN为等腰直角三角形，BN＝＝6，∴BF＝BN＝3，∴线段BF长度的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，利用轴对称求最短距离，作出恰当辅助线是解题的关键，二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．【分析】（1）设购进A款“蓉宝”玩偶x个，B款“蓉宝”玩偶y个，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的总利润为w元，则购进B款“蓉宝”玩偶（45﹣m）个，利用总利润＝每个A款“蓉宝”玩偶的销售利润×销售数量（购进A款“蓉宝”玩偶的数量）+每个B款“蓉宝”玩偶的销售利润×销售数量（购进B 款“蓉宝”玩偶的数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购进A款“蓉宝”玩偶x个，B款“蓉宝”玩偶y个，根据题意得：，解得：．答：购进A款“蓉宝”玩偶20个，B款“蓉宝”玩偶10个；（2）设购进A款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的总利润为w元，则购进B款“蓉宝”玩偶（45﹣m）个，根据题意得：w＝（28﹣20）m+（20﹣15）（45﹣m），即w＝3m+225，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，又∵20≤m≤25，∴当m＝25时，w取得最大值，最大值＝3×25+225＝300（元）．答：小冬第二次销售中获得的最大利润是300元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m 的函数关系式．25．【分析】（1）根据两直线平行，可得k的值，即可求出直线与坐标轴的交点．（2）根据平移的性质，可知点A′和点B′的坐标，△A′B′C是等腰三角形，分三种情况讨论．（3）分两种情况讨论，①过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，连接AD交y轴于点P，过点D作DH⊥y轴于点H，则△ABD是等腰直角三角形，∠PAB＝45°，证明△BDH≌△ABO（AAS），根据全等三角形的性质进一步可得点D的坐标为（﹣2，6），再利用待定系数法求直线AD的解析式，进一步可得点P的坐标；②过点B作BM⊥AB，且BM＝AB，连接AM交y轴于点P，过点M作MN⊥y轴于点N，则△ABM是等腰直角三角形，∠PAB＝45°，证明△ABO≌△BMN（AAS）根据全等三角形的性质进一步可得点M的坐标为（2，﹣2），再利用待定系数法求直线AM的解析式，进一步可得点P的坐标．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝kx+2与直线y＝平行．∴k＝．∴直线AB的解析式为y＝x+2．令y＝0，得x＝﹣4．即点A的坐标为（﹣4，0）．令x＝0，得y＝2．即点B的坐标为（0，2）．故答案为：，（﹣4，0），（0，2）．（2）∵点C（2，0），且将线段AB水平向右平移m个单位（m＞0）得到线段A′B′．∴点A′的坐标为（﹣4+m，0），点B′的坐标为（m，2）．∴A′B′2＝（﹣4+m﹣m）2+（0﹣2）2＝20．A′C2＝（﹣4+m﹣2）2＝（m﹣6）2．B′C2＝（m﹣2）2+（2﹣0）2＝（m﹣2）2+4．△A′B′C是等腰三角形，分情况讨论：①当A′B′＝A′C时，可得20＝（m﹣6）2，解得m＝6或m＝6﹣．②当A′B′＝B′C时，可得20＝（m﹣2）2+4，解得m＝6（舍去）或m＝﹣2（舍去）．③当A′C＝B′C时，可得（m﹣6）2＝（m﹣2）2+4，解得m＝．综上所述，m＝6或m＝6﹣或m＝．（3）分情况讨论：①过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，连接AD交y轴于点P，过点D作DH⊥y轴于点H，如图所示：则△ABD是等腰直角三角形．∴∠PAB＝45°．∵点A（﹣4，0），点B（0，2）．∴OA＝4，OB＝2．∵∠DHB＝90°．∴∠HDB+∠HBD＝90°．∵∠ABD＝90°．∴∠ABO+∠HBD＝90°．∴∠HDB＝∠ABO．在△BDH和△ABO中．．∴△BDH≌△ABO（AAS）．∴BH＝AO＝4．DH＝OB＝2．∴点D的坐标为（﹣2，6）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）．代入点A（﹣4，0），点D（﹣2，6）．得．解得．∴直线AD的解析式为y＝3x+12．∴点P的坐标为（0，12）．②过点B作BM⊥AB，且BM＝AB，连接AM交y轴于点P，过点M作MN⊥y轴于点N，如图所示：则△ABM是等腰直角三角形．∴∠PAB＝45°．∵∠ABM＝90°．∴∠ABO+∠NBM＝90°．∵∠BNM＝90°．∴∠NMB+∠NBM＝90°．∴∠NMB＝∠ABO．在△ABO和△BMN中．．∴△ABO≌△BMN（AAS）．∴BN＝AO＝4．NM＝OB＝2．∴点M的坐标为（2，﹣2）．设直线AM的解析式为y＝ax+c（a，c为常数，a≠0）．代入点A（﹣4，0），点M（2，﹣2）．得．解得．∴直线AM的解析式为y＝x﹣．∴点P的坐标为（0，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，12）或（0，）．【点评】本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，本题综合性较强，计算量较大．26．【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数；（2）同（1）证出△ACD≌△BCE，得出AD＝BE＝AE﹣DE＝8，∠ADC＝∠BEC，求出∠BEC＝135°，得出∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．由勾股定理求出AB即可；（3）把△BPC绕点C逆时针旋转60°得△AEC，连接PE，则△AEC≌△BPC，得出CE ＝CP，∠PCE＝60°，AE＝BP＝6，∠AEC＝∠BPC＝150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，求出∠ED＝∠AEC﹣∠PEC＝90°，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE＝DP+PE＝12，再由勾股定理求出AD即可．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE；故答案为：AD＝BE；②由①得：△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．故答案为：120°；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE＝AE﹣DE＝15﹣7＝8，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∴AB＝＝＝17；（3）把△BPC绕点C逆时针旋转60°得△AEC，连接PE，如图所示：则△AEC≌△BPC，∴CE＝CP，∠PCE＝60°，AE＝BP＝6，∠AEC＝∠BPC＝150°，∴△PCE是等边三角形，∴∠EPC＝∠PEC＝60°，PE＝CP＝4，∴∠AED＝∠AEC﹣∠PEC＝90°，∵∠BPD＝30°，∴∠DPC＝150°﹣30°＝120°，又∵∠DPE＝∠DPC+∠EPC＝120°+60°＝180°，即D、P、E在同一条直线上，∴DE＝DP+PE＝8+4＝12，在Rt△ADE中，AD＝＝＝6，即AD的长为6．【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键。
四川省成都市武侯区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)
2023~2024学年度上期期末考试试题九年级数学注意事项：1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。
2．考生使用答题卡作答。
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方。
考试结束，监考人员只将答题卡收回。
4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。
A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆锥B．正方体C．圆柱D．球2．若方程是关于的一元二次方程，则“□”中可以是（）A．B．C．D．3．已知四条线段成比例，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．若表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，它们之间的关系用下列图形来表示，正确的是（）A．B．C．D．5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积等于矩形的面积的，则点的坐标是（）A．B．C．或D．或7．王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（）A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验B．关于“50个同学中，有2个同学生日相同”的试验C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验8．已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：①常数；②的值随值的增大而减小；③若点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，则；④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．其中说法正确的是（）A．①②③B．③④C．①④D．②③④第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．将方程化成一元二次方程的一般形式为_________．10．一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是_________．11．如图，小强自制了一个小孔成像的纸筒装置，其中纸筒的长度为，他准备了一支长为的蜡烛，想要得到高度为的像，蜡烛应放在水平距离纸筒点处_________的地方．12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是_________．13．如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是_________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．解方程（本小题满分12分，每题6分）（1）；（2）．15．（本小题满分8分）如图，在正方形中，延长至点，使得，连接交于点．（1）试探究的形状；（2）求的度数．16．（本小题满分8分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，航天员们演示了“球形火焰”“奇妙乒乓球”“动量守恒”和“又见陀螺”四个实验．本次授课活动分别在北京、内蒙古阿拉善盟、陕西延安、安徽桐城及浙江宁波设置了5个地面课堂。
2023-2024学年四川省成都市锦江区师一学校九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等2．（4分）甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地匀速行驶到乙地所用时间y（h）与行驶速度x（km/h）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，△ABC在灯光O的正下方，它在地面上形成的影子是△A'B'C'，△ABC平行于地面，且O到△ABC的距离和△ABC与地面的距离相等，已知在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝BC＝2．下面关于△A'B'C'的说法，其中正确的是（）A．△A'B'C'的面积为B．△A'B'C'的周长为8+4C．A'B'＝2D．B'C'＝84．（4分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A．B．C．D．5．（4分）反比例函数的图象如图所示，AB∥y轴，若△ABC的面积为3，则k的值为（）A．B．C．3D．﹣66．（4分）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．97．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E．若∠ADE ＝22.5°，BD＝4，则AE的长为（）A．1B．C．D．48．（4分）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案写在答题卡上）9．（4分）已知，若b+d≠0，则＝．10．（4分）某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的2倍，左视图中矩形ABCD的边长AB＝3，则主视图的面积为．11．（4分）双曲线位于二、四象限内，点和点在这条双曲线上，则y1与y2的大小关系为．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为．13．（4分）如图，点A在反比例函数（x＜0）的图象上，点B在y轴负半轴上，AB＝3，则k的值为．交x轴于点C，若AC：BC＝5：3，S△AOC三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）解方程：（1）3x2﹣10x+6＝0；（2）5（x+3）2＝2（x+3）．15．（8分）如图，△ABC的顶点和定点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上．（1）以点O为位似中心，在网格纸中画出△ABC的位似△A'B'C'，使它与△ABC的相似比为2，且位于点O的右侧；（2）在（1）的情况下，线段B′C′经过格点D（不同于点B'，C'），连接CD，BC'，直接写出四边形BC'DC的形状及其面积．16．（8分）为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；（2）将两个统计图补充完整；（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．17．（10分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B，D'C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度PM为多少．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A'B，D'C的长度和为多少？18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，8），AB⊥x轴于点B，，反比例函数的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；；（2）连接CD，OD，求S△OCD（3）在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．20．（4分）如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为．21．（4分）点P（m，n）是函数和y＝x+4图象的一个交点，则m2+n2的值为．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形AOBC是平行四边形，点B的坐标为（3，2），点C的坐标为（1，4），点A在第二象限，反比例函数y＝的图象恰好经过点A，则k的值为．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如表：销售单价x（元）60657075周销售量y（件）80706050周销售利润w（元）2400245024002250（1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式；（2）①请求出该商品的进价；②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价．25．（10分）某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边△ABC中，AB＝2，点D在射线BC上运动，连接AD，以AD为一边在AD右侧作等边△ADE．（1）【问题发现】如图（1），当点D在线段BC上运动时（不与点B重合），连接CE．则线段BD与CE的数量关系是；直线BA与CE的位置关系是；（2）【拓展延伸】如图（2），当点D在线段BC的延长线上运动时，直线AD，CE相交于点M，请探究△MAE的面积与△MDC的面积之间的数量关系；（3）【问题解决】当点D在射线BC上运动时（点D不与点B，C重合），直线AD，CE 相交于点M，若△MCD的面积是，请求出线段BD的长．26．（12分）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x 轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若∠PQR＝∠PRQ，则直线PQ与直线PR称为“等腰三角线”；反之，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，则∠PQR＝∠PRQ．（1）如图1，若直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为（2，5）、（﹣3，0），求直线PR的解析式；（2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一个动点，点A、C的横坐标分别为m、n（0＜n＜m），直线BC、AC分别与x轴于点D、E；①求证：直线AC与直线BC为“等腰三角线”；②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F；连接EF，当∠EFD＝∠DCA时，求出线段DE+EF的值（用含n的代数式表示）．2023-2024学年四川省成都市锦江区师一学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．【分析】根据矩形的性质对选项逐一进行判断即可．【解答】解：A、矩形的四个角都是直角，说法正确，不符合题意；B、矩形的两组对边分别相等，说法正确，不符合题意；C、矩形的两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；D、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，说法错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．2．【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y＝（x＞0），所以函数图象大致是D．故选：D．【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图．3．【分析】分别求出、、S △ACB＝2再依据相似三角形的性质进行判断即可．【解答】解：由题意可知，，∴，S＝＝2，∴△A'B'C'～△ABC且相似比为2：1，∵，'＝4S△ABC＝4×2＝8，故A选项错误，不符合题意；∴S△A'B'C∵，∴，故B选项正确，符合题意；∵，∴，B'C'＝2BC＝4，故C、D选项错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了相似三角形性质的应用；解题的关键是掌握相似三角形的边长和周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示．【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5．【分析】根据反比例函数k的几何意义即可求解．【解答】解：如图所示，连接AO，∵AB∥y轴，＝S△AOB＝3，∴S△ABC∴，∴|k|＝6，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣6，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．6．【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．7．【分析】先由对角线相等，结合等边对等角，得∠DAO＝∠ADE＝22.5°，结合直角三角形两个锐角互余，得∠EAD＝67.5°，故∠EAO＝67.5°﹣22.5°＝45°，AE＝EO，根据勾股定理列式，计算即可作答．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，∴，∵AE⊥BD，∠ADE＝22.5°，∴∠EAD＝67.5°，∴∠EAO＝67.5°﹣22.5°＝45°，AE＝EO，即AE2+EO2＝AO2＝4，解得，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余、勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键．8．【分析】由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为AB＝AC＝1，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为AB＝AC＝1，∴，∴，∵△BCD是第2个黄金三角形，∴，第2个黄金三角形的腰长是，∴，∵△CDE是第3个黄金三角形，∴，第3个黄金三角形的腰长是，∴，∴第4个黄金三角形的腰长是，…，∴第n个黄金三角形的腰长是，∴第2024个黄金三角形的腰长是，故选：A．【点评】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案写在答题卡上）9．【分析】若，b+d≠0，则，由此可解．【解答】解：∵，∴a＝5b，c＝5d，∴，故答案为：5．【点评】本题考查等比性质的应用，将进行变形是解题的关键．10．【分析】根据三视图关系可知，主视图、俯视图与左视图的长相等，由左视图中矩形ABCD 的边长AB＝3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，可知主视图的宽为2AB＝6，由主视图与左视图关系可知，主视图三角形的高为AB＝3，从而利用三角形面积公式即可得到主视图的面积为．【解答】解：∵主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB ＝3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，∴主视图的宽为2AB＝6，∵主视图与左视图关系知主视图三角形的高为AB＝3，∴主视图的面积为，故答案为：9．【点评】本题考查三视图边长关系，熟练掌握“长对正、高平齐、宽相等”，通过三视图准确得到相应图形的边长是解决问题的关键．11．【分析】先根据反比例函数图象经过第二、四象限得到k＜0，则双曲线在每个象限内y随x增大而增大，再由即可得到答案．【解答】解：∵双曲线位于二、四象限内，∴k＜0，∴双曲线在每个象限内y随x增大而增大，∵点和点在这条双曲线上，，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．【点评】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，正确判断出反比例函数在每个象限内的增减性是解题的关键．12．【分析】利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．【解答】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PM＝1，PE＝2，AB＝3，∵AB∥CD，∴∴∴CD＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．13．【分析】过点A作AD⊥x轴于D，则△ADC∽△BOC，即可求得，利用相似＝5，得出S△ADO＝S△ADC+S△ACO＝8，再根据反比例函数的k的几何意三角形求出S△ADC义得结果．【解答】解：如下图，过点A作AD⊥x轴于D，∴∠ADC＝∠BOC＝90°，在△ADC和△BOC中，，∴△ADC∽△BOC，∴，∵，∴，∵，＝5，∴S△ADC＝S△ADC+S△ACO＝5+3＝8，∴S△ADO根据反比例函数k的几何意义得，∴|k|＝16，∵k＜0，∴k＝﹣16，故答案为：﹣16．【点评】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用，三角形相似的判定及性质，解题的关键是求得△ADO的面积．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．【分析】（1）方程利用公式法求解即可；（2）方程利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）3x2﹣10x+6＝0，∵a＝3，b＝﹣10，c＝6，∴b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×3×6＝28＞0，∴x＝＝＝，∴，；（2）5（x+3）2＝2（x+3），5（x+3）2﹣2（x+3）＝0，（x+3）（5x+13）＝0，x+3＝0或5x+13＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握求根公式以及提公因式法因式分解是解答本题的关键．15．【分析】（1）延长AO到A'使OA'＝2OA，延长BO到B'使OB'＝2OB，延长CO到C'使OC'＝2OC，则△A'B'C'满足条件；（2）利用BC＝C'D，CD＝BC'，可判断四边形BC'DC为平行四边形，利用割补法：根据平行四边形所在的矩形的面积减去四周4个小直角三角形的面积，列式计算平行四边形面积即可．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作；（2）（2）如图2，四边形BC'DC为所求，∵，，∴四边形BC'DC是平行四边形，∴．【点评】本题考查了位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．也考查了勾股定理以及用割补法求平行四边形面积．16．【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数；（2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的10%，∴被调查的学生总人数为15÷10%＝150（人），∴喜欢“跑步”的学生人数为150﹣（15+45+30）＝60（人）；（2）喜欢“跑步”的学生占学生总人数1﹣（10%+30%+20%）＝40%，补全统计图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况，∴刚好抽到2名女生的概率为＝．【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】（1）根据相似三角形的判定可得△PAD∽△PA′D′，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；（2）同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和．【解答】解：（1）∵AD∥A′D′，∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．∴△PAD∽△PA′D′．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴，解得PM＝180．∴灯泡离地面的高度PM为180cm；（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为y cm，同理可得，解得y＝12．即横向影子A'B，D'C的长度和为12cm．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质．18．【分析】（1）根据得出点A、D的坐标，即可求出反比例函数的表达式，因为点E是反比例函数和直线OA的交点，所以先求出直线OA的表达式，再将反比例函数的表达式与直线OA的表达式联立，即可求出点E的坐标；＝S△OAB﹣S△OBD﹣S△ACD即可求出S△OCD；（2）根据S△OCD（3）存在，当OM＝ON时，四边形EMCN是平行四边形，当OM＝ON＝OC时，可证∠MCN＝90°，此时平行四边形EMCN为矩形，利用勾股定理分别求出CM、CN，即可得到矩形的周长．【解答】解：（1）∵A点的坐标为（a，8），AB⊥x轴于点B，∴AB＝8，∵＝，∴OB＝6，∴A（6，8），又∵点D的纵坐标为2，∴D（6，2），∵点D在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6×2＝12，∴反比例函数的表达式为：y＝，设直线OA的表达式为：y＝bx，∵点A在直线OA上，∴6b＝8，解得：b＝，∴直线OA的表达式为：y＝x，联立得：，解得或，∴C（3，4），E（﹣3，﹣4）；（2）由（1）可知C（3，4），D（6，2），B（6，0），＝S△OAB﹣S△OBD﹣S△ACD，∵S△OCD＝OB×|y A|﹣OB×|y D|﹣AD×|x B﹣x D|∴S△OCD＝×6×8﹣×6×2﹣×（8﹣2）×（6﹣3）＝24﹣6﹣9＝9；（3）在x轴上存在两点M，N，使以E，M，C，N为顶点的四边形为矩形，理由如下：∵设M（m，0），N（﹣m，0），∴OM＝ON，∵C（3，4），E（﹣3，﹣4），∴OC＝OE，∴四边形EMCN是平行四边形，当MN＝CE＝2OC＝2×＝10时，∴OM＝ON＝5，即m＝5或﹣5，∴OM＝ON＝OC，∴∠OMC＝∠OCM，∠ONC＝∠OCN，∵∠OMC+∠OCM+∠ONC+∠OCN＝180°，∴∠OCM+∠OCN＝90°，即∠MCN＝90°，∴此时平行四边形EMCN为矩形，∵M在N的左侧，∴m＝﹣5，∴CM＝＝4，CN＝＝2，∴矩形EMCN周长为×2＝12．【点评】本题考查了求反比例函数和一次函数的表达式，求坐标系内图形的面积，平行四边形和矩形的判定，根据要求求出点的坐标是解答本题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4m＝0，解得m＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．20．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，∴能够让灯泡发光的概率为：＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确的画出树状图是解题的关键．21．【分析】根据在函数图象上的点一定满足对应的函数解析式得到mn＝3，m﹣n＝﹣4，再根据完全平方公式进行求解即可．【解答】解：∵点P（m，n）是函数和y＝x+4图象的一个交点，∴mn＝3，m+4＝n，即m﹣n＝﹣4，∴m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝（﹣4）2+2×3＝22，故答案为：22．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、完全平方公式的变形求值，正确得到mn＝3，m﹣n＝﹣4是解题的关键．22．【分析】根据平行四边形的性质和点B，C，O的坐标求出点A的坐标，再把点A的坐标代入即可求解．【解答】解：∵四边形AOBC是平行四边形，∴x B﹣x O＝x C﹣x A，y B﹣y O＝y C﹣y A，∵B（3，2），C（1，4），O（0，0），∴3﹣0＝1﹣x A，2﹣0＝4﹣y A，解得x A＝﹣2，y A＝2，∴A（﹣2，2），将A（﹣2，2）代入并解得k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．23．【分析】分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，证出∠AMN＝∠ANM＝60°，得出AN＝AM＝2；②当点P在菱形对角线BD上时，设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，求出BM＝AB﹣AM＝1，证明△PDN∽△MBP，得出＝＝，求出PD＝x，由比例式＝，求出x的值即可．【解答】解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠PAM＝∠PAN＝30°，∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，∴AN＝AM＝2；②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：设AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，∵AB＝3，∴BM＝AB﹣AM＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝∠ADC＝60°，∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，∴∠BPM＝∠DNP，∴△PDN∽△MBP，∴＝＝，即＝＝，∴PD＝x，∴＝x解得：x＝5﹣或x＝5+（不合题意舍去），∴AN＝5﹣，综上所述，AN的长为2或5﹣；故答案为：2或5﹣．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．【分析】（1）依据题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；（2）依据题意，①设该商品进价为a元，从表格中选择1列数据列一元一次方程，即可求解；②设此时该商品销售单价为m元，则周销量为（﹣2m+200）件，根据售价、进价、销量、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（60，80）和（70，60）代入y＝kx+b，得，解得，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200．（2）由题意，①由表格知，x＝60时，y＝80，w＝2400，设该商品进价为a元，∴80×（60﹣a）＝2400，∴解得a＝30．∴该商品进价为30元．②设此时该商品销售单价为m元，则（﹣2m+200）（m﹣30）＝2000，整理得m2﹣130m+4000＝0，解得m1＝50，m2＝80，∵每件的售价尽可能让利给顾客，∴此时该商品销售单价为50元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．25．【分析】（1）证△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠B＝∠ACE，再证∠BAC＝∠ACE，则BA∥CE；＝S△ACE，再证S△MAE﹣S△MDC＝S△ABD﹣S△ACD （2）证△ABD≌△ACE（SAS），得S△ABD，即可解决问题；＝S△ABC﹣S△MDC＝（3）由（1）（2）可知，△ABD≌△ACE（SAS），BD＝CE，BA∥CE，S△MAE＝，则ME＝3，再证△MDC∽△ADB，得CD•AB＝BD•CM，设CD ，则S△MAE＝x，①当点D在线段BC上时则BD＝2﹣x，CE＝ME﹣CM＝3﹣CM，求出CM＝x+1，则2x＝（2﹣x）（x+1），解方程即可；②当点D在线段BC的延长线上时，解法同①．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，∴∠BAC＝∠ACE，∴BA∥CE，故答案为：BD＝CE，BA∥CE；﹣S△MDC＝，理由如下：（2）S△MAE∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），＝S△ACE，∴S△ABD﹣S△ACD＝S△MAE﹣S△MDC，∵S△ACE﹣S△MDC＝S△ABD﹣S△ACD＝S△ABC＝AB2＝×22＝；∴S△MAE（3）由（1）（2）可知，无论点D在线段BC上还是在线段BC的延长线上，﹣S△MDC＝，都有△ABD≌△ACE（SAS），BD＝CE，BA∥CE，S△MAE＝，∵S△MCD＝+＝，∴S△MAE∵BA∥CE，∴△MAE的边ME上的高＝△ABC的边AB上的高＝，∴ME＝3，∵BA∥CE，∴△MDC∽△ADB，∴＝，∴CD•AB＝BD•CM，设CD＝x，①当点D在线段BC上时，如图（3），则BD＝2﹣x，CE＝ME﹣CM＝3﹣CM，∵BD＝CE，∴2﹣x＝3﹣CM，∴CM＝x+1，∴2x＝（2﹣x）（x+1），整理得：x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），∴BD＝2﹣x＝1；②当点D在线段BC的延长线上时，如图（4），则BD＝2+x，CE＝ME+CM＝3+CM，∵BD＝CE，∴2+x＝3+CM，∴CM＝x﹣1，∴2x＝（2+x）（x﹣1），整理得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不符合题意，舍去），∴BD＝2+x＝4；综上所述，线段BD的长为1或4．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形面积、一元二次方程的解法以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．26．【分析】（1）利用“等腰三角线”的性质，可知△PQR为等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出R的坐标，设直线PR的解析式为y＝kx+b，将点P、R的坐标代入计算即可；（2）①先求出直线BC、AC的解析式，再求出CM垂直平分DE，得DC＝EC，求出∠CDA＝∠CED，即可得答案；②设CM交EF于点N，求出△DFE∽△MNE，得DE+EF＝2（ME+NE），再求出CN＝NE，利用勾股定理求得NE，进一步解答即可得到答案．【解答】（1）解：如图1，过点P作x轴的垂线PE，∵直线PQ与直线PR为“等腰三角线”，∴∠PQR＝∠PRQ，∵PE⊥QR，∴QE＝ER＝1﹣（﹣3）＝4，∴OR＝ER+OE＝1+4＝5，∴R（5，0），设直线PR的解析式为y＝kx+b，把P、R代入得：，解得：，∴PR的解析式为y＝﹣x+5；（2）①证明：如图2，∵直线y＝x与双曲线y＝交于点A、B，联立得：，解得：或，∴A（2，）、B（﹣2，﹣）；∵C的横坐标n，且在双曲线y＝的图象上，∴C的坐标为C（n，），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B、C代入得：，解得：，∴BC的解析式为y＝x+，∴当y＝0时，x＝n﹣2，即D（n﹣2，0）；∴设直线AC的解析式为y＝ex+f，将A、C代入得：，解得：，∴AC的解析式为y＝﹣x+，∴当y＝0时，x＝n+2，即E（n+2，0），过点C作x轴的垂线CM，∴MD＝n﹣（n﹣2）＝2，ME＝n+2﹣n＝2，∴MD＝ME，∴CM垂直平分DE，∴DC＝EC，∴∠CDA＝∠CED，∴直线AC与直线BC为“等腰三角线”；②解：设CM交EF于点N，如图3，∵直线AC与直线BC为“等腰三角线”，∴CM平分∠DCE，CM垂直平分DE，∵DF⊥x轴，∴DF∥CM轴，∴∠FDC＝∠DCM＝∠ECM，∴△DFE∽△MNE，∴＝＝＝，∴DE+EF＝2（EM+EN），∵∠EFD＝∠DCA，∴∠FDC＝∠CEF，∴∠FDC＝∠DCM＝∠ECM＝∠CEF，即∠MCE＝∠CEF，∴CN＝NE，在Rt△MNE中，由勾股定理得：EN2＝22+（﹣EN）2，解得：EN＝2n+，∴DE+EF＝2（EM+EN）＝2（2+2n+）＝4+4n+．【点评】本题考查了“等腰三角线”的性质和判定，一次函数解析式的求法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用“等腰三角线”的性质做题。
2023-2024学年四川省成都市成华区九年级(上)期末数学试卷
2023-2024学年四川省成都市成华区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（）A．B．C．D．2．（4分）椫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫棒，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）下列命题中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形C．平行四边形的对角线互相平分且相等D．正方形的对角线互相垂直平分且相等4．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．B．m＞3C．m≤3D．m＜35．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y16．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）7．（4分）如图，为测量学校旗杆高度，数学综合与实践活动小组在观察者与旗杆之间的水平地面上直立一根标杆，观察者适当调整位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．已知观察者的眼睛离地面高度为1.6m，观察者与标杆的水平距离为3m，观察者与旗杆的水平距离为18m，标杆高度为3m，则旗杆高度为（）A．7m B．8.4m C．8.6m D．10m8．（4分）如图，在△ABC中，点D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，且AC∥DG∥EF，点H为CE与DG的交点．若AC＝12，则GH的长为（）A．B．2C．D．3二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为A．10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则另一个根为．11．（4分）新能源汽车节能、环保．某款新能源汽车2021年销量为15万辆，销量逐年增加，2023年销量为21.6万辆，设这款新能源汽车销量的年平均增长率为x，则可列方程为．12．（4分）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为．13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F1；作射线BF交AC于点G，则AG的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（10分）（1）解方程：2x2﹣3x+＝0；（2）解方程：2x+6＝（x+3）2．15．（8分）中学生心理健康受到社会的广泛关注．某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查（每人选且仅选一项）的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受抽样调查的学生共有人；扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数为；若该校共有学生1200人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的人数约有人；（2）某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取两人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两名女生的概率．16．（10分）小颖妈妈的花卉店以15元/盆的价格购进了一批某种盆栽花卉．为了确定售价，小颖帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价x（元/盆）与日销量y（盆）的情况，并整理记录如表．A B C D E售价x（元/盐）1820222630日销量y（盆）5450463830（1）求日销量y与售价x之间的函数关系式；（2）小莹妈妈在销售该种花卉过程中，一方面要考虑和其它花卉店的竞争，另一方面要考虑每天的利润，若要想每天获得400元的利润，那么应把售价定为多少元/盆？17．（10分）如图，在矩形ABCD中，延长BC到E，延长CB到F，使BF＝CE，AE，DF交于点G．（1）求证：GE＝GF；（2）过点E作EF的垂线，交FD的延长线于点H，若，AD＝4，求CE的长．18．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝的图象上一点，满足S△POB＝3S△AOC，求点P的坐标．（3）在第四象限反比例函数y＝的图象上是否存在点M，使点M绕点C顺时针旋转90°得到的对应点N恰好落在第二象限反比例函数y＝的图象上？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知2x2﹣x﹣3＝0，则（2x+3）（2x﹣3）+（2x﹣1）2的值是．20．（4分）学习雷锋好榜样．学校计划建一座高度为4米的雷锋雕像，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，那么该雕像的下部高度是米．21．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取点E，连接OE交AD于点F．若BC＝8，CD＝5，AE＝2，则AF的长为．22．（4分）如图，四边形OACE的顶点A，E分别在x轴和y轴上，AC⊥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象交AC于点B，交CE于点D，若点B为AC的中点，CD＝2DE，则△DEO的面积为．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E在BC边上，以AE为边长在AE右上方作等边三角形AEF，连接DF．当点E在BC边上移动时，DF的取值范围是．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了60秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了45秒．（1）求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？（2）求所用时间t（秒）与速度v（米/秒）的函数关系式；若要使所用时间不超过30秒，则速度应不低于多少米/秒？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，连接DC与y轴相交于点E．已知矩形OABC的边OC，OA的长是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根，且OA＞OC．（1）求直线AC的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M是直线AC上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）1：是一个很有趣的比．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在AB上截取点D，使AD＝AC，则AD：AB＝1：，我们称点D为AB的“趣点”．（1）若点E为AC的“趣点”（CE＜AE），连接DE，①求证：；②在AB上方构造△EDF，使△EDF∽△CDB，设EF交CB于点Q．试探究：点Q是否为BC的“趣点”？说明理由．（2）把（1）中的点E移动到与点A重合，②中条件不变，请在备用图中画出图形，若AB＝6，求CD•QF 的值．。
2023-2024学年四川省成都市东部新区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年四川省成都市东部新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（）A．B．C．D．2．（4分）若，则的值为（）A．B．5C．D．3．（4分）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（）A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝04．（4分）两个相似多边形的面积之比为1：2，则它们的对应高之比为（）A．B．1：2C．1：4D．1：85．（4分）下列说法正确的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．四条边相等的四边形是正方形6．（4分）如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（）A．B．C．D．47．（4分）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100C．2500[（1+x）+（1+x）2]＝9100D．9100（1+x）2＝25008．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，BA⊥y轴于点B，反比例函数的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A．B．1C．2D．3二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）一元二次方程x2＝2x的根是．10．（4分）在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是．11．（4分）在一个不透明的盒子中装有16个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为．12．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．13．（4分）边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：；（2）解方程：（x+2）2＝3（x+2）．15．（8分）为全面落实作息令，某市教育局对在校集中学习时间（不含课外活动）作了明确的要求，为了解某小学学生在校集中学习时长（不含课外活动）情况，某部门针对某校学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“4小时以内”，B表示“4﹣5小时以内”，C表示“5﹣6小时分钟以内完成”，D表示“6﹣7小时以内”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题并补全条形统计图：（1）这次调查的总人数是人；扇形统计图中，B类扇形的百分比是；C类扇形所占的圆心角是°．（2）在D类学生中，有3名男生和1名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．16．（8分）【项目式学习】制作“E”形视力表，【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为5米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．【课题结论】（1）如图1，利用“E”的高度b与它到眼睛的水平距离l之比（即）来刻画视力．（2）大小不同的“E”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同．【课题应用】问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“E”字，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A，C，O在同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“E”与②号“E”字测试的视力相同．问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“E”形视力表．以图2所示，①号“E”是标准对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB为45mm，求小明在制作视力为4.2的②号“E”字时，②号“E”的高度CD应为多少mm？（A、C、O在一条直线上，B、D、O在一条直线上）17．（10分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片使点B落在AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交BQ于点BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）如图2，若AP：BP＝1：2时，则CQ的长是多少？18．（10分）如图1，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点C（m，4），与x轴，y轴分别交于点A，B．（1）求m的值及反比例函数的解析式；（2）将线段AB沿x轴向右平移得到A1B1，当点B1在反比例函数y＝（x＞0）图象上时，求四边形ABB1A1的面积．（3）点C1是点C关于原点的对称点，以CC1为边长作等边△C1CP，Q点是平面上一点，若以C，Q，P，C1四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2﹣x1x2的值为．20．（4分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为．21．（4分）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则x＝．22．（4分）如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，AB∥CD∥y轴，AB，CD在y轴的两侧，AB＝3，CD＝5，若AB与CD的距离为7，则m ﹣n的值是．23．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC、BD交于点M，AC＜BD，S菱形ABCD＝24，点E 是直线AC上一动点，连接DE，以AE、DE为邻边作▱AEDF，其对角线EF与AD交于点O，点E的运动过程中，▱AEDF的对角线EF的最小值是．二、解答题（本大题有3个小题，共30分）24．（8分）某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地ABCD（AB＜BC），已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设AB的长为x米，矩形菜地的面积为y平方米．（1）请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；（2）如果该矩形菜地的面积为140平方米，则AB的长．25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥BC，将△OCE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a，O对应F1，E对应E1．连接BE1，AF1．（1）问题发现：当a＝90°时，BE1＝，AF1＝，＝；（2）拓展探究：当0°≤a＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；（3）问题解决：当△OCE旋转至B，E1，F1三点共线时，请计算线段AF1的长．26．（12分）【实践探究】（1）如图1，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝x（x＞0）分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值．（2）如图2，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（x＞0）分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3与反比例函数交于点A、点B，．连结OA、OB，延长OA、OB分别与反比例函数交于点D、C，连结CD，求S四边形ABCD2023-2024学年四川省成都市东部新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．2．【分析】把要求的式子化成1+，再把代入进行计算即可得出答案．【解答】解：∵，∴＝1+＝1+＝．故选：C．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．3．【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，x2﹣1﹣3x＝0，即x2﹣3x﹣1＝0，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．4．【分析】利用相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求得相似多边形的相似比，再由相似多边形对应高的比等于相似比即可求得结果．【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：2，∴相似比是，又∵相似多角形对应高的比等于相似比，∴对应边上高的比为．故选：A．【点评】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是关键．5．【分析】根据矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法．即可得出答案．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法正确，符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意；D、四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查知识点为：矩形的判定方法，即四个角相等的四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形，一个角是直角的平行四边形是矩形．菱形的判定方法，即四条边相等的四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．正方形的判定方法，即一个角是直角的菱形是正方形，一组邻边相等的矩形是正方形．6．【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出AE：AB＝AD：AC，从而求出AE的长度．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴AE：AB＝AD：AC，又∵AD＝3，AC＝6，DB＝5，∴AB＝AD+DB＝8，∴AE＝8×3÷6＝4．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．7．【分析】用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．即可表示出11月与12月的营业额，根据第四季的总营业额要达到9100万元，即可列方程．【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．8．【分析】连接OC，根据点C是线段AB的中点得S△OBC＝S△OAC＝S△OAB＝，再根据反比例函数比例＝|k|，则，据此可得k的值．系数的几何意义得S△OBC【解答】解：连接OC，如图所示：∵点C是线段AB的中点，△OAB的面积为3，＝S△OAC＝S△OAB＝，∴S△OBC∵BA⊥y轴于点B，点C在反比例函数的图象上，＝，∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBC∴，∴|k|＝3，∵反比例函数的图象在第一象限，∴k＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的比例系数k的几何意义是解决问题的关键．二、填空题（每小题4分，共20分）9．【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．【解答】解：移项，得x2﹣2x＝0，提公因式得，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．【分析】根据反比例函数的图象可知k﹣1＜0时，图象的每一支上y都随x的增大而增大，由此求出k 的取值即可．【解答】解：∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，∴k﹣1＜0，∴k＜1，故答案为：k＜1．【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．11．【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到＝，然后解方程即可．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得x＝8，经检验：x＝8是原分式方程的解，故答案为8．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．12．【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．【解答】解：如图，点G（4，2）即为所求的位似中心．故答案为：（4，2）．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．13．【分析】结合图形由∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°推出∠BAE＝FEC，根据正方形的性质得到∠B＝∠C＝90°，从而推出△ABE∽ECF，进而根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可．【解答】解：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝FEC，又∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽ECF，∴，即，解得CE＝1或CE＝3，故答案为：1或3．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应从图形入手，寻找判定相似三角形的条件（∠BAE＝FEC，∠B＝∠C＝90°），再根据相似三角形的性质进行求解，注意运用数形结合的思想方法三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．【分析】（1）首先计算立方根，负整数指数幂，绝对值和零指数幂，然后计算加减；（2）利用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）＝＝；（2）（x+2）2＝3（x+2），（x+2）2﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x+2﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣2或x2＝1．【点评】此题考查了解一元二次方程，实数的运算，熟知解一元二次方程的因式分解法，实数的运算法则是解题的关键．15．【分析】（1）用A类学生人数除以所占百分比可得这次调查的总人数；用B类学生人数除以总人数得B类扇形所占的百分比；先求出C类学生人数，进而用360°乘以C类扇形所占的百分比即可求出C 类扇形所占的圆心角；（2）画树状图得出所有等可能的结果数和所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）这次调查的总人数为6÷15%＝40（人），扇形统计图中，B类扇形的百分比是12÷40×100%＝30%，C类的学生人数为40﹣6﹣12﹣4＝18（人），∴C类扇形所占的圆心角是360°×＝162°，补全统计图：．故答案为：40；30%；162；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．16．【分析】问题1：证明△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质可得；问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解．【解答】解：问题1：由题可得AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，∴△ABO∽△CDO，∴，∴，∴①号“E”字与②号“E字”测试的视力相同，问题2：由（1）可得，，∵AB＝45，OB＝5，OD＝3，∴＝，∴CD＝27，答：②号“E”的高度CD应为27mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．17．【分析】（1）根据折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，有判定定理即可证明结论；（2）设BQ＝x，根据勾股定理进行计算即可．【解答】解：（1）由折叠可得PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠PFE，∴∠EPF＝∠PFE，∴PE＝EF∴PB＝PE＝BF＝EF，∴四边形BFEP是菱形；（2）如图：∵，∴PE＝BP＝2在Rt△APE中，由勾股定理可得，∴，作QH⊥AD，∴AH＝BQ，HQ＝AB＝3，设BQ＝x，∴，由折叠可得，EQ＝BQ＝x，在Rt△APE中，由勾股定理可得，，解得：，∴，∵AD＝5，∴．【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠变换的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．18．【分析】（1）将C（m，4）代入y＝x+2可得C（2，4）代入y＝可得反比例函数表达式为y＝（2）由y＝x+2可得B（0，2），A（﹣2，0），由平移可得四边形ABB1A1是平行四边形，设B1（n，2），将B1（n，2）代入y＝中得出B1（4，2），根据平移可得A1（2，0），进而根据平行四边形的面积公式，即可求解；（3）根据关于原点对称的点的特征得出C1（﹣2，﹣4），设P（x p，y p），Q（x q，y q），根据等边三角形的性质以及勾股定理建立方程，得出，，进而根据平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论，即可求解．【解答】解：（1）将C（m，4）代入y＝x+2可得：m+2＝4，∴m＝2，则C（2，4）．将C（2，4）代入y＝可得：k＝8，∴反比例函数表达式为y＝；（2）由y＝x+2，当x＝0，y＝2；当y＝0，x＝﹣2，∴B（0，2），A（﹣2，0），由平移可得四边形ABB1A1是平行四边形，设B1（n，2），将B1（n，2）代入y＝中，得：n＝4，∴B1（4，2），则B（0，2）向右平移4个单位得到B1（4，2），将A（﹣2，0）向右平移4个单位得到A1（2，0），∴＝4×2＝8；（3）∵C1是C（2，4）关于原点的对称点，∴C1（﹣2，﹣4），设P（x p，y p），Q（x q，y q），由等边△C1CP可得，解得：或，∴，；①当时，Ⅰ、以P1Q与C1C为对角线，∴，解得：．∴；Ⅱ、以P1C1与QC为对角线，同理可得，；Ⅲ、以P1C与QC1为对角线，同理可得，；②当时，同理可得，，，综上所述：，，，，，．【点评】本题考查了平行四边形的性质，一次函数与反比例函数交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，平移的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，所以x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣3）＝5．故答案为5．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．【分析】如图，将整个图形分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．【解答】解：如图所示，设每个小三角形的面积为a，则阴影的面积为6a，正六边形的面积为18a，∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为＝．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．21．【分析】根据题意，得，整理得x2﹣x﹣1＝0，解方程即可．【解答】解：根据题意，得，整理得x2﹣x﹣1＝0，解得．经检验，是原方程的根，故答案为：或．【点评】本题考查了解一元二次方程—公式法，解题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．22．【分析】根据AB＝3得到，根据CD＝5得到，再由AB与CD的距离为7，建立的等式求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥y轴，AB＝3，∴，整理得，∵CD＝5，∴，整理得，∵AB与CD的距离为7，∴，，5（m﹣n）+3（m﹣n）＝105，．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．23．【分析】设AC＝2a，BD＝2b，首先根据菱形的性质以及勾股定理，解得a、b的值，即可确定DM＝4；结合题意可知点F在过点D，且平行于AC的直线上，故当EF⊥DF时，EF取最小值，然后证明四边形EMDF为平行四边形，由矩形的性质即可获得答案．【解答】解：设AC＝2a，BD＝2b，∵AC＜BD，∴a＜b，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，，，∵，∴，∵AB＝5，∴Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2，即，整理可得a4﹣25a2+144＝0，解得a2＝16或a2＝9，当a2＝16时，可得a1＝4，a2＝﹣4（舍去），此时，不合题意，舍去；当a2＝9时，可得a1＝3，a2＝﹣3（舍去），此时，符合题意，∴DM＝b＝4；∵四边形AEDF为平行四边形，∴DF∥AC，∴点F在过点D，且平行于AC的直线上，∴当EF⊥DF时，此时EF取最小值，如图，∵BD⊥AC，∴∠EMD＝90°，∵DF∥AC，∴∠MDF＝180°﹣∠EMD＝90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝∠MDF＝∠EMD＝90°，∴四边形EMDF为平行四边形，∴EF＝DM＝4，∴▱AEDF的对角线EF的最小值是4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，理解当EF⊥DF时EF取最小值是解题关键．二、解答题（本大题有3个小题，共30分）24．【分析】（1）根据围栏为32米，宽AB为x米，表示出矩形长为（32﹣2x+2）米，根据矩形面积列出关系式，根据AB＜BC，墙体的最大可用长度为16米，列出关于x的不等式组，求出自变量x的取值范围即可；（2）根据矩形花园的面积为140平方米，即y＝140，代入二次函数解析式，列出方程，解方程，即可得出答案．【解答】解：（1）由题可得：y＝x（32﹣2x+2）化简可得：y＝﹣2x2+34x，根据题意有：，解得：9≤x＜17，即：y＝﹣2x2+34x，9≤x＜17；（2）当y＝140时，可得﹣2x2+34x＝140，解得x1＝7（舍去），x2＝10，答：AB的长为10米．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，函数自变量的取值范围等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．【分析】（1）利用勾股定理分别解Rt△BCE1，Rt△ACF1即可；（2）连接AC，由题意得△ABC∽△OEC，△OEC≌△CE1F1，故可推出△ABC∽△CE1F1，进一步可得＝，∠ACB＝∠F1CE1，即＝，∠E1CB＝∠F1CA，最终推出△ACF1∽△BCE1即可求解；（3）根据题意画出满足条件的两种情况，结合（2）中所得结论即可求解．【解答】解：（1）如图所示：∵OC＝OB，OE⊥BC，∴，∵∠BCE1＝90°，∴BE1＝，∵AB＝6，BC＝8，∴，，∵∠ACF1＝90°，∴AF1＝，∴＝，故答案为：，，；（2）证明：连接AC，如图所示：∵∠ABC＝∠OEC＝90°，∠ACB＝∠OCE，∴△ABC∽△OEC，由旋转可得：△OEC≌△CE1F1，∴△ABC∽△CE1F1，∴＝，∠ACB＝∠F1CE1，∴＝，∠E1CB＝∠F1CA，∴△ACF1∽△BCE1，∴＝，∴＝＝；（3）解：当△OEC旋转至B，E1，F1三点共线时，存在两种情况：如图所示在Rt△BCE1中，由勾股定理可得，由（2）中＝可得AF1＝，②如图所示，同理可得：AF1＝，综上所述，．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础．26．【分析】（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，先证明△OAC∽△OBD，根据相似三角形的性质得，然后由三角形面积公式得，，即可得，开平方后即可得的值；（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先证明△OAE∽△OBF，根据相似三角形的性质得，然后由反比例函数k的几何意义得，，即可得，开平方后即可得的值；（3）联立一次函数y＝﹣x+3和反比例函数方程组，求得点A和点B的坐标，设y＝﹣x+3与y、x轴分别交于点M、N，易得点M，N坐标，根据的值，由（2）得，求得S△AOB，结合公共角∠AOB＝∠DOC，易证得△AOB∽△DOC，根据相似三角形的面积比等的值，然后利用割补法得S四边形ABCD＝S△DOC﹣S△AOB，即可得出答案，于相似比的平方，即可求得S△DOC解题关键是找到（2）中的值与反比例函数k的关系，利用割补法求面积．【解答】解：（1）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴，∵点A在上，点B在上，∴，，∴，∴.．（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∵AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，∴AE∥BF，∴△OAE∽△OBF，∴，∵点A在上，点B在上，∴，，∴，∴．（3）由得，或，∴A（1，2），B（2，1），如图，设y＝﹣x+3与y、x轴分别交于点M、N，由y＝﹣x+3得，M（0，3），N（3，0），＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON∴S△AOB＝＝＝，由（2）得，，∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，．∴，∴，∴．【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用。
2023-2024学年四川省成都市青羊区九年级(上)期末数学试卷
2023-2024学年四川省成都市青羊区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A．（x﹣2）（x﹣3）＝0B．ax2+bx+c＝0C．x+＝2D．2x2+y＝12．（4分）如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（）A．B．C．D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2m+2＝4m B．m2•m3＝m5C．（2m）3＝6m3D．m3÷m3＝m4．（4分）如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且a∥b，若∠1＝59°，则∠2的度数为（）A．29°B．31°C．59°D．61°5．（4分）如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（）A．3B．C．D．6．（4分）已知如图，一次函数y1＝x+4图象与反比例函数图象交于A（1，n），B（﹣5，m）两点，则y1＞y2时x的取值范围是（）A．﹣5＜x＜0或x＞1B．x＜﹣5或0＜x＜1C．﹣5＜x＜0或0＜x＜1D．﹣5＜x＜17．（4分）下列说法中，错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．平行四边形对角相等C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的矩形是正方形8．（4分）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝图象上两点，且x1＜0＜x2，则y1y2（填”＞”，“＜”，或“＝”）．10．（4分）根据哈勃太空望远镜观测到的星系密度，宇宙中大约有超过2万亿个银河系，而人们已经发现的和观测到的行星数量约为125000000000个，将125000000000用科学记数法表示应为．11．（4分）化简：＝．12．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝3：4，△ABC的面积等于3，则△DEF的面积＝．13．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线MN刚好经过点D，则∠C的度数是．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：；（2）解方程：2x2+5x﹣3＝0．15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，0），C（2，2），（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）作△ABC关于y轴的轴对称图形△AB2C2，请在平面直角坐标系中画出△AB2C2，并填写B2，C2的坐标．点B2的坐标为（，）；点C2的坐标为（，）．（2）△A1B1C1的顶点坐标分别为A1（0，3），B1（6，1），C1（4，5），若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（，）．16．（8分）“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．青羊区某食品公司为了解市民对猪肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素菜馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对宽窄巷子社区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有人；（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，其中有两个饺子分别包有一枚寓意吉祥如意的硬币，煮熟后，小明吃了两个饺子．用列表或画树状图的方法，求他刚好吃到两个含有硬币饺子的概率．17．（10分）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．18．（10分）已知一次函数y＝2x﹣4的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，C（3，m）两点，一次函数y＝2x﹣4的图象交y轴于点B．（1）求点C的坐标和反比例函数的表达式；（2）如图，直线AO交反比例函数图象一象限分支于点F，连接CF，作射线CG∥x轴．求证射线CG 平分∠ACF；（3）目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数y＝（k＞0）一、三象限分支上的点，连接AD、AE、DE，若点B是△ADE的“蓉心”，求点D的坐标．一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了101次，发现有69次摸到红球，估计这个口袋中红球最可能有个．20．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣4m+4＝0有两个实数根x1，x2，则m的取值范围是，若x1、x2满足：x1x2﹣1＝|x1+x2|，则m＝．21．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过该函数图象上一点C（4，4）作CD⊥x轴于点D，点E是线段AB上一动点，连接BD，EO，若以B，E，O为顶点的三角形与△BCD相似，则点E的坐标为．22．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝15，AD＝20，AH⊥BC于点H，AH＝12，点E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，点D落在BC延长线上的点F处，AF交CD于点G，则S△AGE＝．23．（4分）如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC中点，连接AE、CE，∠AEC＝120°，求的最小值＝．二、解答题（共30分）24．（8分）城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元．（1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？（2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，请用含有m的式子直接表示出该公司精英型帐篷每天的销量；（3）在（2）问条件下，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价．25．（10分）已知点A是反比例函数y＝的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，AB⊥x轴于点B，等腰直角三角形ABO的面积等于4．（1）求反比例函数与正比例函数的表达式；（2）直线：x＝m（m＞0）图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若S△OMN＝4，求点M的坐标；（3）在（2）问条件下，点P是反比例函数图象与y＝x在第一象限的交点，连接PM，是否存在直线l1：y＝﹣x+t（t＞0），作PQ⊥l1于点Q，使得PM＝PQ？若存在，求出l1的表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作直线DA∥BC，CD⊥AD于点D，点E 是射线DA上一动点，连接BE、CE，在BE右侧作△BEF，使得△BEF∽△CED．（1）如图，连接DF交CE于点G，求证：△BEC∽△FED；（2）在（1）问条件下，若DE＝DF，试判断△CDG的形状并说明理由；（3）若CD＝1，延长BF到点P，使BF＝FP，连接EP．i）当P落在△ABC的某条边上时，求DE的长．ii）连接AF，直接写出线段AF的长．。
2021-2022学年四川省成都市武侯区九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年四川省成都市武侯区九年级（上）期末数学试卷1.一元二次方程x2−2x=4的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. 1、2、−4B. 1、2、4C. 1、−2、4D. 1、−2、−42.某几何体的主视图如图所示，则它的左视图为( )A. B. C. D.3.已知x3=y2(x≠0)，则下列式子正确的是( )A. xy =23B. y：x=3：2C. 2x=3yD. xx+y=254.2021年“世界水日”的主题为“珍惜水、爱护水”.小明家安装节水龙头后，他记录了50天的日用水量数据(单位：m3)，得到频数分布表如表：日用水量x0≤x<0.10.1≤x<0.20.2≤x<0.30.3≤x<0.40.4≤x<0.50.5≤x<0.6频数23520155在记录的这50天中，日用水量小于0.4m3的频率为( )A. 0.9B. 0.6C. 0.3D. 0.25.下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是( )A. 两组对边分别平行B. 对角线互相垂直C. 四个角都为直角D. 对角线互相平分6.用配方法解方程x2+4x−5=0，下列配方正确的是( )A. (x+2)2=1B. (x+2)2=5C. (x+2)2=9D. (x+4)2=97.如图，在△ABC纸片中，∠A=76°，∠B=34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是( )A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④的图象与性质，下列说法正确的是( )8.关于反比例函数y=6xA. 图象分布在第二、四象限B. y的值随x值的增大而减小C. 当x>−2时，y<−3D. 点(1,6)和点(6,1)都在该图象上9.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，得到△A′OB′，若点B的对应点B′的坐标是(4,−2)，则点B的坐标是( )A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,−1)10.2021年，成都已超额完成全年改造老旧小区300个的计划，大力促进了城市宜居品质提升．如图，某小区改造修建一个长32m，宽18m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分种植花草进行绿化(图中阴影部分).设小路宽为xm，若绿化面积为448m2，则可列方程为( )A. 32×18−32x−18x=448B. 32×18−64x−18x=448C. (32−x)(18−2x)=448D. (32−2x)(18−x)=44811.已知k是一元二次方程x2−x−2=0的一个根，则k2−k=______．12.如图，点P在反比例函数y=−2√5x的图象上，连接OP，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则△OPQ的面积为______．13.如图，在△ABC中，点D在AB边上，且BD=2AD，过D作DE//BC，交AC于点E，若△ADE的周长为7，则△ABC的周长为______．14.如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为______米．15.解方程：(1)x2−2x−1=0；(2)(x−2)2+2(x−2)=0．16.已知a6=b5=c4≠0，且a+b−2c=3，求a的值．17.爱成都，迎大运，成都东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的主场馆所在地，如图为该公园内的大运会火炬塔．某校九年级学习兴趣小组想利用所学知识测量火炬塔塔身PQ的高度．如图所示，在阳光下，塔身PQ在地面上的影子为AP，某同学站在影子AP上的点B处时，他的影子刚好为AB，此时测得AB=2m，BP=34m，已知该同学的身高BC=1.72m，求火炬塔塔身PQ的高度．(结果精确到1m)18.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD=60°，菱形ABCD的周长为24．(1)求对角线BD的长；(2)求菱形ABCD的面积．19.小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．(1)利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果(其中剪刀、石头、布分别用番号①、②、③表示)；(2)在(1)的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？20.如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=3的图象相交于A，B两点，且点A的横x坐标为1，连接OA，OB．(1)求一次函数的表达式及点B的坐标；(2)求△ABO的面积；(3)点P在反比例函数y=3的图象上，连接AP，BP，若△ABP的面积是△ABO的面积的2倍，x求满足条件的点P的坐标．21.已知关于x的一元二次方程x2−kx−6=0的一个根是2，则它的另一个根为______．22.在一个有6000人的小镇，随机调查了200人，其中有30人看某电视台的早间新闻，则估计该小镇看该电视台早间新闻的人数约有______人．23.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分(阴影部分)的面积为√7，则正方形A′B′C′O的面积为______．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的斜边AB经过原点O，AC=6，BC=8，若将△ABC绕原点O顺时针旋转到某个位置时，△ABC上，则k的值为______．的三个顶点恰好都落在双曲线y=kx25.定义：由无数个小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点即为格点，顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在格点三角形中，其内部(包含边界)的完整小正方形的个数与这个格点三角形的面积的比叫做这个格点三角形的“方正系数”.如图，在4×6的网格中，格点△ABC的面积为9，其内部有4个完整的小正方形，所以格点△ABC的.若该4×6网格中另有一格点P，连接PA，PB，则格点△ABP的“方正系数”“方正系数”是49的最大值为______．26.某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0≤x<10)之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的关系式；(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？27.如图，已知矩形ABCD，点E在边CD上，连接BE，过C作CM⊥BE于点M，连接AM，过M作MN⊥AM，交BC于点N．(1)求证：△MAB∽△MNC；(2)若AB=4，BC=6，且点E为CD的中点，求BN的长；(3)若ABBC =34，且MB平分∠AMN，求CEBN的值．28.【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点M，N，P，连接PM，PN，设∠MPN=α，PM PN =k，则我们把(α,k)称为点M到N关于点P的“度比坐标”，把(α,1k)称为点N到M关于点P的“度比坐标”．【迁移运用】如图，直线l1：y=x+5分别与x轴，y轴相交于A，B两点，过点C(0,10)的直线l2与l1在第一象限内相交于点D.根据定义，我们知道点A到C关于点O的“度比坐标”为(90°,12).(1)请分别直接写出A，B两点的坐标及点B到A关于点O的“度比坐标”；(2)若点A到C关于点D的“度比坐标”与点C到B关于点D的“度比坐标”相同．(ⅰ)求直线l2的函数表达式；(ⅱ)点E，F分别是直线l1，l2上的动点，连接OE，OF，若点E到F关于点O的“度比坐标”为(90°,3)，求此时点E的坐标．5答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵x2−2x=4，∴x2−2x−4=0，∴一元二次方程x2−2x=4的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−2，−4，故选：D．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数、一次项系数、常数项即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，②找项的系数带着前面的符号．2.【答案】D【解析】解：由题意可得，它的左视图为．故选：D．根据从左面看到的图形是两个同心圆即可得到答案．本题考查了几何体的三视图，熟知左视图的定义是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵x3=y2(x≠0)，∴2x=3y，A.∵xy =23，∴3x=2y，故A不符合题意；B.∵y:x=3:2，∴3x=2y，故B不符合题意；C.2x=3y，故C符合题意；D.∵xx+y =25，∴5x=2x+2y，∴3x=2y，故D不符合题意；故选：C．根据比例的基本性质，把比例式转化成等积式是解题的关键．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，把比例式转化成等积式是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：由表可知，50天中日用水量小于0.4m3的频数为2+3+5+20=30，所以估计50天日用水量小于0.4的频率为3050=0.6．故选：B．求得日用水量小于0.4m3的频数，然后算得频率即可．本题主要考查频率的计算．5.【答案】B【解析】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：B．根据正方形、矩形的性质即可判断．本题考查正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：x2+4x−5=0，x2+4x=5，x2+4x+4=5+4，∴(x+2)2=9．故选：C．先将原方程进行配方，然后逐项进行对照，即可得到正确选项．本题考查解一元二次方程---配方法，解题的关键是明确配方的过程．7.【答案】C【解析】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=76°，所以△BDE和△ABC相似；图②中，只有一对角相等，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两组角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．8.【答案】D【解析】解：A.k=6>0，图象分布在第一、三象限，故A说法不正确；B.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，故B说法错误；C.k=6>0，图象在第一、三象限内，在每一象限内，y随x增大而减小，所以当−2<x<0时，y<−3，故C说法错误；D.当x=1时，y=6；x=6时，y=1，所以点(1,6)和点(6,1)都在该图象上，故D说法正确；故选：D．依据反比例函数图象的性质作答．本题主要考查反比例函数图象的性质，关键是熟记函数图象在每个象限内如何变化．【解析】解：∵以点O 为位似中心，把△AOB 放大到原来的2倍得到△A′OB′，点B 的对应点B′的坐标是(4,−2)，∴点B 的坐标为(4×(−12),−2×(−12))，即点B 的坐标为(−2,1)， 故选：C ．根据位似变换的性质计算，得到答案．本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．10.【答案】D【解析】解：∵小路宽为xm ，∴种植花草的部分可合成长(32−2x)m ，宽(18−x)m 的矩形． 依题意得：(32−2x)(18−x)=448， 故选：D ．由小路的宽为xm ，可得出种植花草的部分可合成长(32−2x)m ，宽(18−x)m 的矩形，根据绿化面积为448m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11.【答案】2【解析】解：∵k 是一元二次方程x 2−x −2=0的一个根， ∴x =k 满足该方程，即k 2−k −2=0， 解得：k 2−k =2． 故答案是：2．把x =k 代入已知方程可以得到关于k 的一元二次方程k 2−k −2=0，所以将“k 2−k ”看作整体进行解答即可．本题考查了一元二次方程的解的定义．解题过程中，利用了“整体代入”数学思想求得所求代数式的值．【解析】解：由题意可得，△OPQ的面积为12×|−2√5|=√5．故答案为：√5．根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．13.【答案】21【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵BD=2AD，∴AD AB =13，∵相似三角形的周长比等于相似比，△ADE的周长为7，∴△ABC的周长=21，故答案为：21．由DE//BC，可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的周长比等于相似比求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】(10√5−10)【解析】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB=20米，∴AC=√5−12AB=√5−12×20=(10√5−10)(米)，故答案为：(10√5−10)．由黄金分割点的定义得AC=√5−12AB，再代入AB的长计算即可．本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．15.【答案】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，(x−1)2=2，∴x−1=±√2，∴x1=1+√2，x2=1−√2，(2)(x−2)2+2(x−2)=0，(x−2)(x−2+2)=0，∴x−2=0或x=0，∴x1=2，x2=0．【解析】(1)利用配方法解方程即可；(2)先提公因式(x−2)，再利用因式分解法解方程即可．本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法．16.【答案】解：设a6=b5=c4=k≠0，则a=6k，b=5k，c=4k，∵a+b−2c=3，∴6k+5k−8k=3，∴k=1，∴a=6k=6．【解析】设a6=b5=c4=k≠0，得出a=6k，b=5k，c=4k，代入得出6k+5k−8k=3，求出k即可．本题考查了比例的性质的应用，解此题的关键是用“设k法”引入参量．17.【答案】解：∵BC//PQ，∴△ABC∽△APQ，∴AB AP =BCPQ，∵AB=2m，BP=34m，∴AP=AB+BP=36m，∴2 36=1.72PQ，∴PQ=30.96m≈31m，答：火炬塔塔身PQ的高度约为31m．【解析】由BC//PQ，得到△ABC∽△APQ，则有236=1.72PQ，从而求出PQ的长．本题主要考查了相似三角形的的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，周长为24，∴AB=BC=CD=AD=6，AC⊥BD，OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，∠BAO=12∠BAD=12×60°=30°，∴∠AOB=90°，∴OB=12AB=3，∴BD=2OB=6；(2)由(1)得：BD=6，AB=6，OB=3，∠AOB=90°，∴OA=√AB2−OB2=√62−32=3√3，∴AC=2OA=6√3，∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×6√3×6=18√3．【解析】(1)由菱形的性质得AB=6，∠AOB=90°和∠BAO=12∠BAD=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得OB=12AB=3，即可求解；(2)由勾股定理求出OA的长，再由菱形面积公式即可得出答案．本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)列出表格，如图所示：由列表可知所有等可能的情况有9种；(2)小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种， ∴P(小明获胜)=P(小颖获胜)=39=13， ∴P(小凡获胜)=13， ∴这个游戏对三人公平．【解析】(1)列表得出所有等可能的情况数；(2)找出小明与小颖获胜的情况数，求出两人获胜的概率，继而得出小凡获胜的概率，比较即可判断游戏是否公平．此题考查了列表法或画树状图法求解概率，熟练掌握相关知识是解题的关键．20.【答案】解：(1)把x =1代入y =3x 中得：y =3，∴A(1,3)，把A 点坐标代入y =kx +2得，3=k +2，解得：k =1， ∴一次函数解析式为：y =x +2， 由{y =3x y =x +2得：{x =1y =3或{x =−3y =−1，∴B(−3,−1)；(2)如图，设一次函数y =x +2与x 轴交于点C ， 令y =0，得：x =−2． ∴点C 的坐标是(−2,0)，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×2×3+12×2×1=4；(3)①当点P 在AB 下方时，作AB 的平行线l ，经过点D(2,0)，则点O 到直线AB 和到直线l 的距离相等，则△ABP 的面积是△AOB 的面积的2倍，设直线l 的表达式为：y =x +b ，将点D 的坐标代入上式并解得：b =−2， 故直线l 的表达式为y =x −2①，而反比例函数的表达式为：y =3x ②，联立①②并解得：{x =3y =1或{x =−1y =−3；②当点P 在AB 上方时，同理可得，直线l 的函数表达式为：y =x +6③， 联立②③并解得：{x =−3+2√3y =3+2√3或{x =−3−2√3y =3−2√3，∴P 点的坐标为(3,1)或(−1,−3)或(−3+2√3,3+2√3)或(−3−2√3,3−2√3).【解析】(1)首先把x =1代入反比例函数解析式中确定A 的坐标，然后把A 的坐标代入y =kx +2确定k ，然后两解析式联立成方程组，解方程组即可求得B 的坐标；(2)求得一次函数与x 轴的交点C 的坐标，根据S △AOB =S △AOC +S △BOC 即可求解； (3)分点P 在AB 下方、点P 在AB 上方两种情况，分别求解即可．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想．21.【答案】−3【解析】解：设另一个根为m ，由根与系数之间的关系得， m ×2=−6， ∴m =−3， 故答案为：−3．利用根与系数之间的关系求解．本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．22.【答案】900【解析】解：估计该小镇看该电视台早间新闻的人数约有30200×6000=900(人)，故答案为：900．用总人数乘以样本中看该电视台早间新闻的人数所占的比例即可．本题主要考查用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中看该电视台早间新闻的百分比．23.【答案】4√7【解析】解：如图，设AB 和OA′交于M 点，BC 和OC′交于N 点， ∵四边形ABCD 和四边形OA′B′C′都是正方形，∴OB =OC ，∠OBA =∠OCB =45°，∠BOC =∠A′OC′=90°， ∴∠A′OB =∠COC′． 在△OBM 与△OCN 中，{∠OBM =∠OCNOB =OC ∠BOM =∠CON, ∴△OBM ≌△OCN(ASA)， ∴S △OBM =S △OCN ，∴四边形OMBN 的面积等于三角形BOC 的面积，即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD 和正方形A′B′C′O 面积的14， ∴正方形A′B′C′O 的面积为4√7． 故答案为：4√7．根据正方形的性质得出OB =OC ，∠OBA =∠OCB =45°，∠BOC =∠A′OC′=90°，推出∠A′OB =∠COC′，证出△OBM ≌△OCN(ASA)，再利用全等三角形的性质得出重叠阴影部分面积等于正方形A′B′C′O 面积的14即可得到答案．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识进行转化，使不规则图形转化为规则图形进行求解．24.【答案】72或−72【解析】解：连接OC ，Rt △ABC 的斜边AB 经过原点O ，AC =6，BC =8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10， ∵△ABC 的三个顶点恰好都落在双曲线y =kx上， ∴OA =OB =5，∴OC =12AB =5，S △AOC =12S △ABC =12×12×AC ×BC =12×12×6×8=12，如图，过点A 作AM ⊥x 轴于M ，AP ⊥y 轴于P ，过点C 作CN ⊥x 轴于N ，设点C 坐标为(m,n)，点A 坐标为(n,m)， ∵OM 2+AM 2=OA²=25， ∴m 2+n 2=25①，∵S △AOM =S △CON =S △AOP=12|k|，S △CON +S △AOP +S △AOC =S 梯形AMNC +S △AOP +S △AOM∴S △AOC =S 梯形AMNC ，∴S △AOC =12(n +m)(m −n)=12， 即m 2−n 2=24②， ①+②得2m 2=49， ∴m 2=492， ∴n 2=12， ∴(mn)2=494， ∴mn =±72，∵△ABC 的三个顶点恰好都落在双曲线y =kx上， ∴k =mn =±72， 故答案为：72或−72．根据题意设点C 坐标为(m,n)，点A 坐标为(n,m)，即可得出m 2+n 2=25①，S △AOC =S 梯形AMNC ，12(n +m)(m −n)=12，即m 2−n 2=24②，由①+②得2m 2=49，求得m 2=492，进而得出n 2=12，即可得到(mn)2=494，即可求得k =mn =±72．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，正确表示出A 、C 的坐标是解题的关键．25.【答案】23【解析】解：若“方正系数”越大，相同面积下保留的完整正方形越多，则点A 为直角顶点或点B 为直角顶点更可能，点A 和点B 位置对称，不妨设点B 为直角顶点，当面积为3时，“方正系数”为：0； 当面积为6时，“方正系数”为：36=12；当面积为9时，“方正系数”为：69=23； 当面积为12时，“方正系数”为：812=23；∴“方正系数”最大值为：23； 故答案为：23．若“方正系数”越大，相同面积下保留的完整正方形越多，则点A 为直角顶点或点B 为直角顶点更可能，再具体分析即可．本题属于新定义类问题，关键是了解在格点中哪种情况最有可能产生最大值．26.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，将(1,60)，(4,90)代入y =kx +b 得：{k +b =604k +b =90，解得：{k =10b =50，∴y与x之间的函数关系式为y=10x+50(0≤x<10)．(2)依题意得：(20−x−10)(10x+50)=440，整理得：x2−5x−6=0，解得：x1=6，x2=−1(不合题意，舍去)，当x=6时，y=10×6+50=110．答：该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．【解析】(1)观察函数图象，根据图象上的点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；(2)利用经销商销售该种水果每日获得的利润=每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其正值，再将其代入y=10x+50中即可求出日销售量．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=CD，∠BCD=90°，∴∠ABE=∠BEC，∵CM⊥BE，∴∠BEC+∠MCE=90°，又∵∠BCM+∠MCE=90°，∴∠BCM=∠BEC，∴∠ABE=∠BCM，即∠ABM=∠NCM，∵MN⊥AM，CM⊥BE，∴∠AMN=∠BMC=90°，∴∠AMB=∠NMC，∴△MAB∽△MNC；(2)解∵点E为CD的中点，AB=CD=4，∴CE=DE=2，∴在Rt△BCE中，BE=√BC2+CE2=√36+4=2√10，∵S△BEC=12×BC×CE=12×BE×CM，∴2×6=2√10×CM，∴CM=3√105，∵tan∠CBE=CEBC =CMBM，∴2 6=35√10BM，∴BM=9√105，由(1)可知：△MNC∽△MAB，∴NC AB =MCBM，∴NC4=3√1059√105，∴NC=43，∴BN=BC−BN=143；(3)解：由(1)可知：△MNC∽△MAB，∴NC AB =MCBM，∵∠CBM=∠EBC，∠BMC=∠BCE=90°，∴△BMC∽△BCE，∴MC BM =CEBC，∴NC AB =CEBC，∴AB BC =NCCE=34，∴ABNC=BCCE=BMMC∴设NC=3a(a>0)，则CE=4a，设AB=3x(x>0)，则BC=4x，如图，过点B作BH//CM，交MN的延长线于H，∵CM⊥BE，BH//CM，∴BH⊥BE，∴∠HBM=90°，∵MB平分∠AMN，∴∠AMB=∠BMN=45°，∴∠BMN=∠H=45°，∴BM=BH，∵BH//CM，∴△BHN∽△CMN，∴BH MC =BNNC，∴BM MC =BNNC，∴BM MC =BNNC =4x−3a3a=ABNC，∴4x−3a3a =3x3a，∴x=3a，∴BC=12a，∴BN=BC−NC=9a，∴CE BN =4a9a=49．【解析】(1)由平行线的性质可得∠ABE=∠BEC，由余角的性质可得∠BCM=∠BEC=∠ABE，即∠ABM=∠NCM，∠AMB=∠NMC，可得结论；(2)由勾股定理可求BE的长，由面积法可求CM的长，由锐角三角函数可求BM的长，由相似三角形的性质可求NC的长，即可求解；(3)由相似三角形的性质可得ABBC =NCCE=34，则设NC=3a，CE=4a，AB=3x，BC=4x，通过相似三角形的性质可求x=3a，可求BN=9a，即可求解．本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用参数表示线段的长是解题的关键．28.【答案】解：(1)A(−5,0)，B(0,5)，点B到A关于点O的“度比坐标”为(90°,1)；(2)(i)过D作DH⊥x轴于H，连接AC，如图：∵在y=x+5中，令x=0时，y=5，令y=0时，x=−5，∴A(−5,0)，B(0,5)，∵C(0,10)，∴BC=5，AC=√OA2+OC2=5√5，∵点A到C关于点D的“度比坐标”与点C到B关于点D的“度比坐标”相同，∴DA DC =DCDB，∠ADC=∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴AD CD =CDBD=ACBC=5√55=√5，∴AD=√5CD，CD=√5BD，∴AD=5BD，即ADBD=5，∵DH⊥x轴于H，∴OB//DH，∴AD BD =AHOH=5，∴AH=5OH，∴OA=4OH，∴OH =54，在y =x +5中，令x =54得y =254，∴D(54,254)， 设直线l 2的函数表达式为y =mx +n(m ≠0)，将C(0,10)，D(54,254)代入得： {n =1054m +n =254， 解得：{m =−3n =10，∴直线l 2的函数表达式为：y =−3x +10；(ⅱ)过E 作EK ⊥x 轴于K ，过F 作FT ⊥x 轴于T ，如图：∵点E 到F 关于点O 的“度比坐标”为(90°,35)， ∴∠EOF =90°，EO FO=35，∴∠EOK +∠FOT =90°， ∴∠EOK =90°−∠FOT =∠OFT ， 又∠EKO =∠OTF =90°， ∴△EKO ∽△OTF ， ∴EO FO=EK OT=OK FT=35，设E(t,t +5)，则OK =−t ，EK =t +5， ∴t+5OT=−t FT=35，∴OT =5t+253，FT =−5t3，∴F(5t+253,−5t3)，把F(5t+253,−5t3)代入y=−3x+10得：−3×5t+253+10=−5t3，解得：t=−92，∴E(−92,1 2 ).【解析】解：(1)在y=x+5中，令x=0时，y=5，令y=0时，x=−5，∴A(−5,0)，B(0,5)，∴OA=5，OB=5，∴OB OA =55=1，∵∠BOA=90°，∴点B到A关于点O的“度比坐标”为(90°,1)；(2)(ⅰ)见答案；(ⅱ)见答案；(1)在y=x+5中，令x=0时，y=5，令y=0时，x=−5，即得A(−5,0)，B(0,5)，故OBOA =55=1，而∠BOA=90°，即得点B到A关于点O的“度比坐标”为(90°,1)；(2)(i)过D作DH⊥x轴于H，连接AC，根据点A到C关于点D的“度比坐标”与点C到B关于点D的“度比坐标”相同，可得DADC =DCDB，∠ADC=∠CDB，即知△ADC∽△CDB，从而AD=√5CD，CD=√5BD，可得AD=5BD，即ADBD =5，即得AH=5OH，OA=4OH，故D(54,254)，设直线l2的函数表达式为y=mx+n(m≠0)，用待定系数法可得直线l2的函数表达式为y=−3x+10；(ⅱ)过E作EK⊥x轴于K，过F作FT⊥x轴于T，由点E到F关于点O的“度比坐标”为(90°,35)，得∠EOF=90°，EOFO =35，根据△EKO∽△OTF，得EOFO=EKOT=OKFT=35，设E(t,t+5)，可得F(5t+253,−5t3)，把F(5t+253,−5t3)代入y=−3x+10，即可解得：t=−92，得到E(−92,12).本题考查一次函数综合应用，涉及新定义、待定系数法、三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是理解“度比坐标”的定义，熟练运用相似三角形对应边成比例．。
(完整word版)成都市九年级上学期期末数学试卷(含答案)
九年级上册期末数学测试卷（时间：120分钟，总分：150分）A 卷（共100分）一 、选择题（每题3分，共30分） 1、3--的倒数是（ ）A ．3B ．3-C ．31 D ．31- 2、已知12-=-b a ，则124+-b a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．33、如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其主视图是（ ）4、在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12B ．22C ．32 D ．335、某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）.A ． (x －30)(100－2x)=200B ．x(100－2x)=200C ． (30－x)(100－2x)=200D ． (x －30)(2x －100)=200 6、反比例函数ky x=在第二象限的图象如图所示，过函数图象上一点P 作PA ⊥x 轴交x 轴于点A, 已知PAO ∆的面积为3，则k 的值为（ ） A ．6 B ．6- C ．3 D ．3-7、如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A ．B ．C ．D ．正面A →M →N →C 的小路（M 、N 分别是AB 、CD 中点）.极少数同学 为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了草坪，实际上他们 仅少走了（ ）A ．7米B ．6米C ．5米D ．4米8、将抛物线23y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（ ）A ．23(2)1y x =++B ．23(2)1y x =-+C ． 23(2)1y x =+-D ．23(2)1y x =-- 9、已知二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象如图所示， 给出以下结论：①0<abc ；②当1x =时，函数有最大值； ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0； ④024<++c b a 其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、下列四个图象表示的函数中，当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）二、填空题（每空4分，共16分） 11、化简．12、如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，DE 平分∠ADC ， 则B E ＝ ．13、若关于x 一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个实数根分别是3、b ，则=b ．14、如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 、xxxxy yy y O O O O A ．B ．C ．D ．D 在反比例函数xy 6=（x ＞0）的图象上，则点C 的坐标为 ． 三、计算题（15题6分，16题每小题6分，共18分)15、计算：245sin 2201221801-︒++⎪⎭⎫ ⎝⎛--；16、解方程：（1）x x 232-=； （2）1213122+=--+-x x x x四、解答题(每小题8分，共16分)17、放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在万达广场上放风筝．如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D 处．此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处10米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°．已知点A 、B 、C 在同一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，结果保留根号）18、今只有一张欢乐谷门票，而小明和小华都想要去，于是他们两人分别提出一个方案：小明的方案是：转动如图所示的转盘，当转盘停止转动后，如果指针停在阴影区域，则小明获得门票；如果指针停在白色区域，则小华获得门票（转盘被等分成6个扇形，若指针停在边界处，则重新转动转盘）．小华的方案是：有三张卡片，上面分别标有数字1，2，3，将它们背面朝上洗匀后，从中摸出一张，记录下卡片上的数字后放回，重新洗匀后再摸出一张．若摸出两张卡片上的数字之和为奇数，则小明获得门票；若摸出两张卡片上的数字之和为偶数，则小华获得门票．（1）在小明的方案中，计算小明获得门票的概率，并说明小明的方案是否公平？（2）用树状图或列表法列举小华设计方案中可能出现的所有结果，计算小华获得门票的概率，并说明小华的方案是否公平？五、解答题(每小题10分，共20分)19、如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝错误! (x＞0)的图象于点A、B，交x轴于点C．(1)求m的取值范围；(2)若点A的坐标是(2，－4)，且BCAB＝13，求m的值和一次函数的解析式．20、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．(1)求证：△FOE≌ △DOC；(2)求sin∠OEF的值；(3)若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求AB CDGH的值．①②③……B 卷（共50分）一、填空题。
2022-2023学年四川省成都市双流区九年级上学期期末考试数学试卷含详解
2022~2023学年度上期期末学生学业质量监测九年级数学试题注意事项：1．全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟．2．考生使用答题卡作答3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．4．答题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．A 卷（共100分）一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．1.方程x 2＝4的解是（）A.x ＝2 B.x ＝﹣2 C.x ＝±2 D.没有实数根2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若3AO =，则BD 的长为（）A.3B.4C.5D.63.反比例函数3y x =的图象在第（）．A.一、三象限 B.二、四象限C.一、二象限D.二、三象限4.如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D. 5.我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x 步，则所列的方程正确的是（）A.()12864x x +-= B.()12864x x ++= C.()12864x x -= D.()12864x x +=6.从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（）A.0.53B.0.87C.1.03D.1.507.如图，已知ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，:2:3OA AD =，ABC 的面积为4，则DEF 的面积为（）A.6B.10C.25D.128.如图，直线y ax b =+与x 轴相交于点A ()2,0，与函数k y x =的图象交于点B ，C ，点B 的横坐标是8，点C 的横坐标是6-，则不等式组0k ax b x <+<的解集是（）A.62x -<<B.60x -<<C.68x -<<D.02x <<二、填空题（每小题4分，共20分）9.如果34m n =，那么m n=_________．10.若点()13,A y ，()25,B y 都在反比例函数(0)m y m x=>的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ___________2y （填“>”或“<”）．11.如图，C ABC BD ∽△△，4AB =，6BD =，则BC =______．12.已知关于x 的一元二次方程2320x x k +-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是___________．13.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，按下列步骤作图：①分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧的交点分别为点E ，F ；②过点E ，F 作直线EF ，交CD 于点P ；③连接OP ．若 1.5OP =，则菱形ABCD 的周长为___________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：10112(|33|(2023)2π----++-（2）解方程：2420x x -+=．15.某小队在探险过程途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪AB 从观测出发点A 观测深坑底部P ，且观测视线刚好经过深坑边缘点M ，在深坑右侧用观测仪CD 从观测出发点C 观测深坑底部P ，且观测视线恰好经过深坑边缘点N ．（点E ，B ，M ，N ，D ，F 在同一水平线上）已知：,AB EM CD NF ⊥⊥，观测仪AB 高2m ，观测仪CD 高1m ， 1.6m,0.8m BM ND ==，深坑宽度8.8m MN =．请根据以上数据计算深坑深度多少米？16.为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A ，B ，C ）．彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．（1）彤彤抽到A 组题目的概率是______；（2）请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率．17.如图，一次函数122y x =+的图象与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于点A ，与y 轴交于点B ．已知点A 的纵坐标为6．（1）求k 的值：（2）点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．18.如图，在正方形ABCD 中，BM ，DN 分别是其外角CBP ∠和CDQ ∠的平分线，点E 在射线BM 上，点F 在射线DN 上，连接AE ，AF ，EF ．已知45FAE ∠=︒．（1）求证：以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形；（2）若AEF △为等腰直角三角形，探究线段BE ，DF 之间的数量关系；（3）当EF AD ∥时，请求出BE DF的值．B 卷一、填空题（每小题4分，共20分）19.已知0234a b c ==≠，且230a b c -+≠，则23a b c a b c+--+的值为______．20.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_____cm 2．21.若1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，则代数式211234x x x --+的值是___________．22.已知过原点的一条直线l 与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A ，B 两点(A 在B 的右侧)．C 是反比例函数图象上位于A 点上方的一动点，连接AC 并延长交y 轴于点D ，连接CB 交y 轴于点E ．若AC mCD BC nCE ==，，则m n -=___________．23.如图，在Rt AOB △和Rt COD 中，90AOB COD ABO CDO ∠∠∠∠=== ，，E 为OA 的中点，46OA OB ==，．将COD △绕点O 旋转，直线AC ，BD 交于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是___________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x 元销售该款商品．（1）当x 为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由．25.如图，在锐角ABC 中，=45ABC ∠︒，过点A 作AD BC ⊥于点D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 相交于点H ，连接DE ．AEB ∠的平分线EF 交AB 于点F ，连接DF 交BE 于点G ．（1）求证：DBG DAE∠∠=（2）试探究线段AE ，BE ，DE 之间的数量关系；（3）若6CD BE ==，，求GH 的长．26.如图，点()1,A m 和点B 是反比例函数()1k y k x x =>0,>0图象上的两点，一次函数()220y ax a =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点C ，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，连接,OA OB ．已知OAC ∆与OBD ∆的面积满足:2:3OAC OBD S S ∆∆=．（1）求OAC ∆的面积和k 的值；（2）求直线AC 的表达式；（3）过点B 的直线MN 分别交x 轴和y 轴于,M N 两点，2NB MB =，若点P 为MON ∠的平分线上一点，且满足2OP OM ON = ，请求出点P 的坐标．2022~2023学年度上期期末学生学业质量监测九年级数学试题注意事项：1．全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟．2．考生使用答题卡作答3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．4．答题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效．6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等．A 卷（共100分）一、选择题（每小题4分，共32分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．1.方程x 2＝4的解是（）A.x ＝2B.x ＝﹣2C.x ＝±2D.没有实数根C【分析】用直接开平方法求解即可.【详解】解：∵x 2＝4，∴x ＝±2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax 2+c=0（a≠0）的方程可变形为x 2=-c a，当a 、c 异号时，可利用直接开平方法求解．2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若3AO =，则BD 的长为（）A.3B.4C.5D.6D【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知3OA =，则26AC OA ==，又BD AC =，故可求．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴OC OA =，BD AC =，又∵3OA =，∴26AC OA OC OA =+==，∴6BD AC ==，故选D ．【点睛】本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．3.反比例函数3y x =的图象在第（）．A .一、三象限 B.二、四象限C.一、二象限D.二、三象限A【分析】根据反比例函数解析式，得出30k =>，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数3y x =中，30k =>∴反比例函数3y x=的图象在第一、三象限，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，掌握0k >，函数图象在第一、三象限是解题的关键．4.如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D.B【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上面看，只有一行，有两个正方形，即故选B【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．5.我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x 步，则所列的方程正确的是（）A.()12864x x +-= B.()12864x x ++= C.()12864x x -= D.()12864x x +=D【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为()12x +步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，∴矩形的长为()12x +步．依题意，得：()12864x x +=．故选D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（）A.0.53B.0.87C.1.03D.1.50A【分析】根据频率估计概率，随机事件概率进行判断即可求解．【详解】解∶抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为12，当抛掷的次数很大时，频率会稳定在概率的周围波动，∴落下后，正面朝上的频率稳定在12的周围波动，∴正面朝上的频率最有可能接近的数值为0.53，故选：A 【点睛】本题考查了频率的稳定性，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定数左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，熟记频率的稳定性是解题的关键．7.如图，已知ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，:2:3OA AD =，ABC 的面积为4，则DEF 的面积为（）A.6B.10C.25D.12C【分析】根据比例的性质，求出位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，求出DEF 的面积即可．【详解】解：ABC 和DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，:2:3OA AD =，∴:2:5OA OD =，∴ABC 和DEF 相似，且相似比为：2:5，∴:4:25ABC DEF S S = ，∴254254DEF S ⨯== ；故选C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似比等于位似比，是解题的关键．8.如图，直线y ax b =+与x 轴相交于点A ()2,0，与函数k y x =的图象交于点B ，C ，点B 的横坐标是8，点C 的横坐标是6-，则不等式组0k ax b x <+<的解集是（）A.62x -<<B.60x -<<C.68x -<<D.02x <<B【分析】利用数形结合的思想，直接得出关于x 的不等式0k ax b x <+<的解集．【详解】解：观察图象可得，当60x -<<时，直线y ax b =+位于x 轴的上方、函数k y x=图象的下方，∴不等式组0k ax b x<+<的解是60x -<<．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题关键．二、填空题（每小题4分，共20分）9.如果34m n =，那么m n=_________．34##0.75【分析】根据比例的性质变形即可求解．【详解】解：∵34m n =，即43m n =，∴34m n =，故答案为：34．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．10.若点()13,A y ，()25,B y 都在反比例函数(0)m y m x =>的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ___________2y （填“>”或“<”）．>【分析】根据反比例函数的图象与性质即可解答．【详解】解：(0)m y m x=>的图象当0x >时，y 随x 的增大而减小，∵35<，故12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．11.如图，C ABC BD ∽△△，4AB =，6BD =，则BC =______．【详解】解：∵C ABC BD ∽△△，∴AB CB CB DB=，∴224CB AB BD =⋅=，∵0CB >，∴CB =故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．12.已知关于x 的一元二次方程2320x x k +-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是___________．13k >-【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到0∆>，列式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2320x x k +-=有两个不相等的实数根，∴244120b ac k ∆=-=+>，解得：13k >-；故答案为：13k >-．【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，0∆>，是解题的关键．13.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，按下列步骤作图：①分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧的交点分别为点E ，F ；②过点E ，F 作直线EF ，交CD 于点P ；③连接OP ．若 1.5OP =，则菱形ABCD 的周长为___________．12【分析】根据作图可得P 是CD 的中点，根据菱形的性质得出O 是BD 的中点，根据三角形中位线的性质得出23BC OP ==，根据菱形的性质即可得周长．【详解】解：根据作图可知EF 是C D 的垂直平分线，∴P 是CD 的中点，∵菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，∴BO OD =，∴12EP BC =，∵ 1.5OP =，∴3BC =，∴菱形ABCD 的周长为12，故答案为：12．【点睛】本题考查了作线段垂直平分线，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握基本作图是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：10112(|33|(2023)2π----++-（2）解方程：2420x x -+=．（132）1222,22x x =+=【分析】（1）根据实数运算法则进行计算即可；（2）运用配方法求解即可．【详解】（110112()|33|(2023)2π---++-32331=-+3=（2）2420x x -+=242x x -=-24424x x -+=-+()222x -=22x -=∴1222,22x x =+=-．【点睛】此题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则，正确解一元二次方程．15.某小队在探险过程途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪AB 从观测出发点A 观测深坑底部P ，且观测视线刚好经过深坑边缘点M ，在深坑右侧用观测仪CD 从观测出发点C 观测深坑底部P ，且观测视线恰好经过深坑边缘点N ．（点E ，B ，M ，N ，D ，F 在同一水平线上）已知：,AB EM CD NF ⊥⊥，观测仪AB 高2m ，观测仪CD 高1m ， 1.6m,0.8m BM ND ==，深坑宽度8.8m MN =．请根据以上数据计算深坑深度多少米？5.5【分析】过点P 作PH ⊥EF 于点H ，通过AB ∥HP ，CD ∥HP ，得到,A APH C HPN ∠=∠∠=∠，从而得到,AMB PMH CND PNH △∽△△∽△，得到108.HP NH =，21688..HP NH=-，利用08.NH HP =，1.6HP =17.6-2NH ，从而求出HP 的长度．即可得到答案．【详解】解：过点P 作PH ⊥EF 于点H ，∵,AB EM CD NF ⊥⊥，PH ⊥EF ，∴AB ∥HP ，CD ∥HP ，∴,A APH C HPN ∠=∠∠=∠，又∵,AMB NMP CND MNP ∠=∠∠=∠，∴,AMB PMH CND PNH△∽△△∽△∵CND PNH △∽△，∴CD DNHP NH =，即108.HP NH =，∴08.NH HP =，∵,AMB PMH △∽△∴AB BMHP MH =，即21688..HP NH =-，∴1.6HP =17.6-2NH ，将08.NH HP =代入上式得：1.6HP =17.6-2×0.8HP ，化简得：3.2HP=17.6，解得HP=5.5，故答案为：5.5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造三角形相似．16.为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A，B，C）．彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．（1）彤彤抽到A组题目的概率是______；（2）请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率．（1）1 3（2）1 3【分析】（1）根据概率公式直接求概率即可；（2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：彤彤抽到A组题目的概率是1 3；故答案为：1 3．【小问2详解】解：根据题意画出树状图，如图所示：∵共有9种等可能的情况，彤彤和祺祺抽到相同题目的情况数有3种，∴彤彤和祺祺抽到相同题目的概率为31 93=．【点睛】本题主要考查了概率公式，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．17.如图，一次函数122y x=+的图象与反比例函数(0)ky kx=>的图象交于点A，与y轴交于点B．已知点A的纵坐标为6．（1）求k 的值：（2）点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将点A 的坐标代入122y x =+求得a ，再把点A 的坐标代入k y x=求出k ；（2）当AB 是对角线时，先求出点P 的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB 为边时，同样先求出点P 的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标．【小问1详解】解：设点(),6A a ，把,6x a y ==代入122y x =+得1262a +=，8a ∴=，即点()8,6A 把8,6x y ==代入k y x=得68k =，48k ∴=【小问2详解】解：【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解题关键是画出图形，全面分类．18.如图，在正方形ABCD 中，BM ，DN 分别是其外角CBP ∠和CDQ ∠的平分线，点E 在射线BM 上，点F 在射线DN 上，连接AE ，AF ，EF ．已知45FAE ∠=︒．（1）求证：以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形；（2）若AEF △为等腰直角三角形，探究线段BE ，DF 之间的数量关系；（3）当EF AD ∥时，请求出BE DF的值．（1）见解析（2）12BE DF =（3）2【分析】（1）过点A 作AH AF ⊥，并截止AH AF =，连接,BH EH ，证明()SAS ADF ABH ≌，()SAS AFE AHE ≌，得到BEH △即为以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形，利用正方形的性质和角平分线平分角，求出90EBH HBP EBP ∠=∠+=︒，即可得证；（2）证明ADF EBA ∽，得到BE AE AB AD AF DF ==，根据AEF △为等腰直角三角形，得到22BE AB AD DF ==，进而求出BE ，DF 之间的数量关系；（3）连接DB 并延长交FE 的延长线于点G ，证明,DFG BEG 均为等腰直角三角形，得到,FG GE ==，利用BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形，得到222EF BE DF =+，设,BE x DF y ==，得到(2x y =，进而求出BE DF的值．【小问1详解】证明：过点A 作AH AF ⊥，并截止AH AF =，连接,BH EH ，则：90HAF ∠=︒，∵四边形ABCD 为正方形，∴,90AD AB DAB ADC ABC =∠=∠=∠=︒，∵DAF FAB HAB FAB ∠+∠=∠+∠，90,90CDQ CBP ∠=︒∠=︒，∴DAF BAH ∠=∠，∴()SAS ADF ABH ≌，∴,AF BH ADF ABH =∠=∠，∵45FAE ∠=︒，∴45EAH FAH FAE FAE ∠=∠-∠=︒=∠，又∵,AE AE AF AH ==，∴()SAS AFE AHE ≌，∴EH EF =，∴BEH △即为以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形，∵BM ，DN 分别是CBP ∠和CDQ ∠的平分线，∴45,45FDC EBP ∠=︒∠=︒，∴135ADF ABH ADC FDC ∠=∠=∠+∠=︒，∴18045HBP ABH ∠=︒-∠=︒，∴90EBH HBP EBP ∠=∠+=︒，∴BEH △为直角三角形，即：以线段BE ，DF ，EF 为三边组成的三角形是直角三角形；【小问2详解】解：∵BM ，DN 分别是CBP ∠和CDQ ∠的平分线，∴45,45FDC CBE ∠=︒∠=︒，∴9045135ADF ABE ∠=∠=︒+︒=︒，∴18045EAB BEA ABE ∠+∠=︒-∠=︒，∵45EAB EAF DAB FAD ∠+∠=∠-∠=︒，∴BEA DAF ∠=∠，∴ADF EBA ∽，∴BE AE AB AD AF DF==，∵AEF △为等腰直角三角形，45FAE ∠=︒，∴2222,2AE EF AE EF AE AF =+==，∴22AE AF =，∴22BE AB AD DF ==，∴2,2BE AD DF ==，∵AD AB =，∴12BE DF =；【小问3详解】解：连接DB 并延长交FE 的延长线于点G ，则：45,45CDB ADB CBD ∠=∠=︒∠=︒，∴90,90FDB FDC CDB DBE CBE CBD ∠=∠+∠=︒∠=∠+∠=︒，∵FE AD ，∴45DFE FDQ ∠==︒，45G BDA ∠=∠=︒，∴,DFG BEG 均为等腰直角三角形，∴,FG GE ==，由（1）知：222EF BE DF =+，∴)222DF BE BE DF ⎤-=+⎦，设,BE x DF y ==，∴()2222y x x y -=+，解得：(2x y =或(2x y =+（不合题意，舍掉）∴(22y BE x DF y y===【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．本题的综合性较强，熟练掌握正方形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，以及证明三角形相似，是解题的关键．B 卷一、填空题（每小题4分，共20分）19.已知0234a b c ==≠，且230a b c -+≠，则23a b c a b c+--+的值为______．1-【分析】根据已知条件，设2a k =，3b k =，4c k =，代入原式后以达到约分的目的即可．【详解】设2a k =，3b k =，4c k =，且230a b c -+≠，∴23a b ca b c +--+234494k k k a k k +-=-+k k=-1=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，此类题目的常用解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，达到约分的目的．20.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小乐同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为4cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为_____cm 2．9.6【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可估计点落入黑色部分的概率为0.6，再乘以正方形的面积即可得出答案．【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，∴估计黑色部分的总面积约为4×4×0.6＝9.6（cm 2），故答案为：9.6．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21.若1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，则代数式211234x x x --+的值是___________．7【分析】根据题意得到122x x +=，21125x x -=，再将所求式子变形为()2111224x x x x --++，代入计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是关于x 的方程2250x x --=的两个实数根，∴122x x +=，211250x x --=，∴21125x x -=，∴()22112111234245247x x x x x x x --+=--++=-+=，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程解的概念，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．22.已知过原点的一条直线l 与反比例函数(0)k y k x=>的图象交于A ，B 两点(A 在B 的右侧)．C 是反比例函数图象上位于A 点上方的一动点，连接AC 并延长交y 轴于点D ，连接CB 交y 轴于点E ．若AC mCD BC nCE ==，，则m n -=___________．2【分析】根据题意作出图形，得出,DFC DGA FCE HBE ∽∽，根据题意得出()()11BH m CF n CF =+=-，即可求解．【详解】解：如图所示，过点,,A B C 分别作y 轴的垂线，垂足分别为,,F G H ，CF AG BH ∴∥∥，,DFC DGA FCE HBE ∴ ∽∽CE CF EF BE BH EH ∴==，DF CF DC DG GA DA==AC mCD BC nCE ==， 11CF EF CE CE BH EH BE BC CE n ∴====--()1BH n CF ∴=-FC GA ∥ ∴,AC FG m CD DF ==∴11DF CF DC DF DG GA DA mDF DF m ====++，则()1AG m CF =+，根据对称性可得BH AG =()1m CF=+()()11m CF n CF ∴+=-∴11m n ∴+=-2m n ∴-=故答案为：2【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例数的性质，得出()()11BH m CF n CF =+=-是解题的关键．23.如图，在Rt AOB △和Rt COD 中，90AOB COD ABO CDO ∠∠∠∠=== ，，E 为OA 的中点，46OA OB ==，．将COD △绕点O 旋转，直线AC ，BD 交于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是___________．133-【分析】取AB 的中点M ，连接,EM FM ，则EF FM EM ≥-，当,,E M F 三点共线时，EF 最小，证明AOB COD ∽，进而推出DOB COA ∽，进而得到90AFB ∠=︒，根据三角形中位线定理以及斜边上的中线等于斜边的一半，求出,EM FM ，进而求出EF 的最小值．【详解】解：取AB 的中点M ，连接,EM FM ，则EF FM ME ≥-，∴当,,E M F 三点共线时，EF 最小，∵90AOB COD ABO CDO ∠∠∠∠=== ，，∴AOB COD ∽，∴OB OA OD OC =，∴OB OD OA OC =，∵90DOB BOC AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，∴DOB AOC ∠=∠，∴DOB COA ∽，∴DBO OAC ∠=∠，∵180DBO OBF ∠+∠=︒，∴180OAC OBF ∠+∠=︒，∴180BOA BFA ∠+∠=︒，∴90BFA ∠=︒，∵46OA OB ==，，∴224613AB =+=，∵M 是AB 的中点，E 为OA 的中点，∴113,1322EM OB MF AB ====，∴EF 3；3-．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，中位线定理，斜边上的中线．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x 元销售该款商品．（1）当x 为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由．（1）当x 为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元（2）按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到500元【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可；（2）由（1）所得的算式，使得总利润等于50000列式计算即可．【小问1详解】解：该批发商场决定降价x 元销售该款商品，依题意得，()()300010001040000x x +-=，即27100x x -+=解得：122,5x x ==，答：当x 为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元【小问2详解】解：()()300010001050000x x +-=，即27200x x -+=∵24494200b ac ∆=-=-⨯<，原方程无解，∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当Δ0＜时，方程无实数根”．25.如图，在锐角ABC 中，=45ABC ∠︒，过点A 作AD BC ⊥于点D ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，AD 与BE相交于点H ，连接DE ．AEB ∠的平分线EF 交AB 于点F ，连接DF 交BE 于点G ．（1）求证：DBG DAE∠∠=（2）试探究线段AE ，BE ，DE 之间的数量关系；（3）若6CD BE ==，，求GH 的长．（1）证明见解析（2）BE AE =（3）57GH =【分析】（1）利用AD BC ⊥，BE AC ⊥得到90BEC ADC ∠=∠=︒，利用等角的余角相等，即可得证；（2）过点D 作DM DE ⊥，交BE 于点M ，证明MBD EAD ≌，得到,DM DE BM AE ==，进而推出线段AE ，BE ，DE 之间的数量关系；（3）证明ECD EAF ∽，得到DE =，利用BE AE =+，求出,DE AE 的长，进而求出AB 的长，过点作DP AC ⊥，垂足为P ，证明ADP DCP ∽，求出,CD CP 的长，进而求出,AC AF 的长，利用平行线分线段成比例，求出,,AH DH EH 的长，进而求出BH 的长，作FN BE ∥，交AD 于点N ，得到AFN ABH ∽，求出,AN FN 的长，再证明DGH DFN ∽，求出GH 的长．【小问1详解】证明：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BEC ADC ∠=∠=︒，∴90C CBE C CAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBG DAE ∠∠=；【小问2详解】解：过点D 作DM DE ⊥，交BE 于点M ，则：90MDE ∠=︒，∵AD BC ⊥，=45ABC ∠︒，∴90ADE ADM ADM MDB ∠+∠=∠+∠=︒，AD BD =，∴ADE MDB ∠=∠，又∵DBG DAE ∠∠=，∴()ASA MBD EAD ≌，∴,DM DE BM AE ==，∴MDE 是等腰直角三角形，∴ME =，∴BE BM ME AE =+=；【小问3详解】解：由（2）知：45BED ∠=︒，∵BE AC ⊥，∴90AEB CEB ∠=∠=︒，∴45CED ∠=︒，∵AEB ∠的平分线EF 交AB 于点F ，∴1452AEF AEB ∠=∠=︒，∴CED AEF ∠=∠，∵18018045AFE AEF BAC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠，18018045C ABC BAC BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠，∴C AFE ∠=∠，∴ECD EFA ∽，∴CD DE AF AE=，∵CD =，∴DE =，∵BE AE =，∴26BE AE AE =+=，∴2AE =，∴DE =AB ==，过点作DP AC ⊥，垂足为P ，则：222DP EP DE ===，DP BE ∥，。