精选推荐018-2019学年高中数学人教B版必修二学案：2.1.1 数轴上的基本公式

人教新课标版数学高一B必修2学案 2.1 平面直角坐标系中的基本公式

数学人教B必修2第二章2.1 平面直角坐标系中的基本公式1．理解实数和数轴上的点的对应关系以及实数与位移向量的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上、平面内两点间的距离公式与中点坐标公式．1．数轴上的基本公式(1)数轴的定义．一条给出了________、________和________的直线叫做数轴，或者说这条直线上建立了________．(2)向量的相关定义．①位移是一个既有大小，又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．②从点A到点B的向量，记作AB.点A叫做向量AB的起点，点B叫做向量AB的终点，线段AB的长叫做向量AB的长度，记作|AB|.③数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．④向量AB的坐标，用AB表示．(3)数轴上的基本公式．①数轴上任意三点A，B，C，则AC＝________；②设OB＝x2，OA＝x1，则AB＝________；③已知数轴上两点A，B，OB＝x2，OA＝x1，则两点A，B的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝________.【做一做1－1】下列说法正确的是()．A．点M(x)位于点N(2x)的左侧B．数轴上等长的向量是相等的向量C．向量AB在数轴上的坐标AB＝－BAD．数轴是有方向的直线【做一做1－2】若在直线坐标系中，有两点A(6)，B(－9)，且AB＋BC＝2 012，则点C 的坐标为________．2．平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离公式：d(A，B)＝______________________.(1)当x 1≠x 2，y 1≠y 2时，|AB |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2实质上就是直角三角形的勾股定理．若AB ∥x 轴或与x 轴重合，则|AB |＝|x 2－x 1|；若AB ∥y 轴或与y 轴重合，则|AB |＝|y 2－y 1|.(2)两点间的距离与两点的顺序无关，即|AB |＝|BA |.在直角坐标系中，只要两点位置确定了，即点的坐标定了，则它们之间的距离就可以计算出来．(3)数轴上两点间的距离公式是平面直角坐标系中两点间的距离公式的特殊情况．即当两点在同一坐标轴上时，平面直角坐标系中的两点就转化为数轴上的两点．【做一做2】求下列两点间的距离：(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7,－1)；(3)A (3,0)，B (0,－4)．3．中点公式(1)直线上的中点公式．已知数轴上两点A (x 1)，B (x 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为________．设中点M 的坐标为x 0，则AM ＝x 0－x 1，MB ＝x 2－x 0.又AM ＝MB ，所以x 0－x 1＝x 2－x 0，所以2x 0＝x 1＋x 2，即x 0＝x 1＋x 22. (2)平面内中点公式．已知平面内两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点M (x ，y )，则x ＝__________，y ＝__________.(1)平面内中点公式实际上为直线上中点公式的推广．(2)重要结论：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，△ABC 的重心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33.【做一做3】已知点A (－8，－3)与B (5，－3)关于点C 对称，则点C 的坐标是( )．A ．⎝⎛⎭⎫32，3B ．⎝⎛⎭⎫－32，－3C ．⎝⎛⎭⎫－32，3D ．⎝⎛⎭⎫32，－31．解析法的应用剖析：解析法是通过建立适当的坐标系，把几何问题转化成代数问题进行解决的解题方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个步骤，把几何问题转化为代数问题来求解．2．教材中的“？”如果数轴上的单位长取作1 cm ，你能在数轴上标出数0.001，0.000 1和2对应的点吗？你能说明在数轴上确实存在这些点吗？剖析：不能标出0.001,0.000 1和2对应的点，因为数轴上的单位长取作1 cm ，而0.001,0.000 1“太小”了，2是无理数，因此它们在数轴上不能准确标出．数轴上的点与实数是一一对应的关系，即每给出一个点，一定有唯一的实数与之对应；反过来，每一个实数也有唯一的一个点与之对应，因此0.001，0.000 1，2确实存在于数轴上．题型一数轴上的坐标运算【例1】求数轴上两点A (m )，B (－m )所对应的向量AB →的数量及长度．分析：利用数轴上向量的数量及长度的公式计算即可．反思：本题要区分好向量的数量与长度的概念，数量公式中两个坐标不能颠倒顺序，但长度公式中可以．题型二判断已知式子表示的几何意义【例2】根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义．(1)|x－2|＜1；(2)|x－2|＞1；(3)|x－2|＝1.分析：结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可．反思：可以发现，题目给出的是一些代数式子，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，通过此题可以体会数形结合的思想．题型三平面内两点间距离公式的应用【例3】已知AO是△ABC中BC的中线，证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．分析：可以建立适当的坐标系，采用“解析法”，通过计算证明题中结论．反思：本题用解析的方法证明了一个几何结论．用解析法证题，首先，要正确合理地建立坐标系，给相关元素赋值，然后运用相关公式进行证明．本题中的结论也可以说明平行四边形四条边的平方和等于其两条对角线的平方和．题型四平面内中点坐标公式的应用【例4】已知ABCD的两个顶点分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线的交点为E(－3,4)，求另外两个顶点C，D的坐标．分析：平行四边形的对角线互相平分，交点为两个相对顶点的中点，利用中点公式解题．反思：对于中点坐标公式要注意公式中各个字母的具体含义，还要从方程的角度来认识公式，要加深对“知二求一”的理解．题型五易错辨析【例5】求函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8的最小值．错解：∵x2＋1≥1，∴x2＋1≥1.又∵x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，∴x2－4x＋8≥2.∴y＝x2＋1＋x2－4x＋8≥3.∴函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8的最小值为3.错因分析：没有验证等号是否成立，而导致扩大了y 的范围，实际上x 是同步的，不能轻易分开．若分别讨论，必须验证等号成立的条件是否满足题意．【例6】已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3,1)，(0,2)，求平行四边形第四个顶点的坐标．错解：设A (－1，－2)，B (3,1)，C (0,2)，第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，∵四边形ABCD为平行四边形，且由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋02＝x ＋32，－2＋22＝1＋y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1. ∴点D 的坐标为(－4，－1)，即平行四边形的第四个顶点的坐标为(－4，－1)．错因分析：误认为平行四边形为四边形ABCD ，其实还有四边形ABDC ，四边形ACBD ，由于考虑不全面而导致丢解．1若在直线坐标系中，有两点A (5)，B (－2)，且AB ＋CB ＝0，则点C 的坐标为( )．A ．－5B ．－9C ．－3D ．32(2011·湖南高一期中)已知在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)，则△ABC 的形状为( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3已知A (3)，B (－2)两点，则AB ＝__________，|AB |＝__________.4已知点M (2,2)平分线段AB ，且A (x ,3)，B (3，y )，则x ＝__________，y ＝__________. 5已知点A (1,5)，B (－1,1)，C (3,2)，若四边形ABCD 为平行四边形(ABCD 四点逆时针排列)，求点D 的坐标．答案：基础知识·梳理1．(1)原点度量单位正方向直线坐标系 (3)①AB ＋BC ②x 2－x 1 ③|x 2－x 1|【做一做1－1】C【做一做1－2】2 0182．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2【做一做2】解：(1)∵x 1＝－1，x 2＝2，y 1＝0，y 2＝3，∴Δx ＝x 2－x 1＝2－(－1)＝3，Δy ＝y 2－y 1＝3－0＝3.∴d (A ，B )＝(Δx )2＋(Δy )2＝32＋32＝3 2.(2)∵x 1＝4，x 2＝7，y 1＝3，y 2＝－1，∴Δx ＝x 2－x 1＝7－4＝3，Δy ＝y 2－y 1＝－1－3＝－4.∴d (A ，B )＝(Δx )2＋(Δy )2＝32＋(－4)2＝5.(3)∵x 1＝3，x 2＝0，y 1＝0，y 2＝－4，∴Δx ＝x 2－x 1＝－3，Δy ＝y 2－y 1＝－4.∴d (A ，B )＝(Δx )2＋(Δy )2＝(－3)2＋(－4)2＝5.3．(1)x 1＋x 22 (2)x 1＋x 22 y 1＋y 22【做一做3】B典型例题·领悟【例1】解：向量AB →的数量AB ＝(－m )－m ＝－2m .向量AB →的长度|AB →|＝|(－m )－m |＝|2m |＝⎩⎪⎨⎪⎧2m ，m ≥0，－2m ，m <0. 【例2】解：如下图，B (1)，A (2)，C (3)．(1)|x －2|＜1表示到点A (2)的距离小于1的点的集合，∴|x －2|＜1表示线段BC (不包括端点)．(2)|x －2|＞1表示到点A (2)的距离大于1的点的集合，∴|x －2|＞1表示射线BO 和射线CD (不包括端点)．(3)|x －2|＝1表示到点A (2)的距离等于1的点的集合，∴|x －2|＝1表示点B (1)和点C (3)．【例3】证明：如图所示，以BC 边的中点为原点，直线BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设C (c,0)，A (a ，b )，则B (－c,0)，|AB |2＝(a ＋c )2＋b 2，|AC |2＝(a －c )2＋b 2，|OA |2＝a 2＋b 2，|OC |2＝c 2，所以|AB |2＋|AC |2＝(a ＋c )2＋b 2＋(a －c )2＋b 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，2(|AO |2＋|OC |2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)．因此，|AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)．【例4】解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．∵E 为AC 的中点，∴－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，解得x 1＝－10，y 1＝6.又∵E 为BD 的中点，∴－3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，解得x 2＝－11，y 2＝1.∴顶点C 的坐标为(－10,6)，顶点D 的坐标为(－11,1)．【例5】正解：∵y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8 ＝(x －0)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0－2)2，令A (0,1)，B (2,2)，P (x,0)，则y ＝|PA |＋|PB |.求函数的最小值问题，转化为在x 轴上求一点P ，使得|PA |＋|PB |取得最小值问题．借助于光学的知识和对称的知识，如图所示，作出点A 关于x 轴的对称点A ′(0,－1)，连接BA ′交x 轴于点P ，可知|BA ′|即为|PA |＋|PB |的最小值．即|BA ′|＝22＋32＝13.∴y min ＝13.【例6】正解：设A (－1,－2)，B (3,1)，C (0,2)，第四个顶点D 的坐标为(x ，y )，(1)若四边形ABCD 是平行四边形，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝－1＋02，y ＋12＝－2＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝－1， ∴点D 的坐标为(－4,－1)． (2)若四边形ABDC 是平行四边形，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝3＋02，y －22＝1＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝5，∴点D 的坐标为(4,5)． (3)若四边形ACBD 是平行四边形，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋32＝x ＋02，－2＋12＝y ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴点D 的坐标为(2，－3)．综上所述，满足条件的第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4,5)或(2，－3)．随堂练习·巩固1．B 2．B3．－5 5 由于AB 是向量AB →的坐标，因此一定要用终点坐标减去起点坐标；|AB |是向量AB →的长度，因此一定要求向量AB →的数量的绝对值．AB ＝－2－3＝－5；|AB |＝|－2－3|＝|－5|＝5.4．1 1 “点M (2,2)平分线段AB ”的含义就是点M 是线段AB 的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解．∵点M (2,2)平分线段AB ，∴x ＋32＝2，3＋y 2＝2，解得x ＝1，y ＝1. 5．解：设点D (x ，y )，∵A (1,5)，C (3,2)，∴AC 的中点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，72. 由于点O 也是BD 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＝2，y ＋12＝72，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6. 故点D 的坐标为(5,6)．。

推荐学习2018-2019学年高中数学人教B版必修二学案：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式[学习目标] 1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法.3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.[知识链接]1.在直角坐标系中,A (1,0),B (3,0)两点的距离为2；C (0,－1),D (0,3)两点的距离为4.2.在直角三角形ABC 中,B ＝90°,AB ＝3,BC ＝4,则AC ＝5. [预习导引] 1.两点间距离公式两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ,B ) 当AB 垂直于y 轴时,d (A ,B )＝|x 2－x 1|；当AB 垂直于x 轴时,d (A ,B )＝|y 2－y 1|；当B 为原点时,d (A ,B )2.坐标法(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.(2)坐标法解决问题的基本步骤如下：第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；第三步,把代数结果翻译成几何关系. 3.中点坐标公式已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),设点M (x ,y )是线段AB 的中点,则中点坐标公式为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.要点一两点的距离公式的应用例1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－a,0),B (a,0),C (0,3a ). 求证：△ABC 是等边三角形. 证明由两点的距离公式得 |AB |＝(a ＋a )2＋(0－0)2＝2|a |,|CA |＝(0＋a )2＋(3a －0)2＝2|a |. ∴|AB |＝|BC |＝|CA |, 故△ABC 是等边三角形.规律方法 1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的距离求解.2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.跟踪演练1 本例若改为：已知A (－1,－1),B (3,5),C (5,3),试判断△ABC 的形状. 解 d (A ,B )＝[3－(－1)]2＋[5－(－1)]2 ＝42＋62＝52＝213,d (A ,C )＝[5－(－1)]2＋[3－(－1)]2 ＝62＋42＝52＝213,d (B ,C )＝(5－3)2＋(3－5)2＝22＋22＝8＝2 2. 所以|AB |＝|AC |≠|BC |,且显然三边长不满足勾股定理, 所以△ABC 为等腰三角形, 要点二中点公式的应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2),B (5,7),对角线交点为E (－3,4),求另外两顶点C 、D 的坐标.解设C 点坐标为(x 1,y 1),则由E 为AC 的中点得： ⎩⎨⎧ －3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6.设D 点坐标为(x 2,y 2),则由E 为BD 的中点得 ⎩⎨⎧－3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6),D 点坐标为(－11,1).规律方法 1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的坐标.2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解.跟踪演练2 已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0),B (2,0),D (1,3),求顶点C 的坐标. 解 ∵平行四边形的对角线互相平分, ∴平行四边形对角线的中点坐标相同. 设C 点坐标为C (x ,y ),则⎩⎨⎧0＋x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.即C (3,3). 要点三坐标法的应用例3 已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小,并求此最小值. 解以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系如图.则A ⎝⎛⎭⎫0，32a ,B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0,C ⎝⎛⎭⎫a 2，0 设P (x ,y )则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2 ＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎫y －36a 2＋a 2≥a 2,当且仅当x ＝0,y ＝36a 时,等号成立, ∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，3a 6是正△ABC 的中心. 规律方法 (1)也可以B 为原点,BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,计算也不复杂. (2)配方法求最值是重要方法,应掌握好. (3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.跟踪演练3 已知△ABC 是直角三角形,斜边BC 的中点为M ,建立适当的直角坐标系.证明：AM ＝12BC .证明如图所示,以Rt △ABC 的直角边AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系,设B 、C 两点的坐标分别为(b,0)、(0,c ),∵点M 是BC 的中点,故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2. 由两点的距离公式,得 |BC |＝(0－b )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2,∴AM ＝12BC .1.已知A (－8,－3),B (5,－3),则线段AB 的中点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－32，－3 C.⎝⎛⎭⎫－32，3 D.⎝⎛⎭⎫32，－3 答案 B解析由中点坐标公式可以求得.2.已知A (1,2),B (a,6),且|AB |＝5,则a 的值为( ) A.4 B.－4或2 C.－2 D.－2或4 答案 D 解析(a －1)2＋(6－2)2＝5,解得a ＝－2或4.3.已知线段AB 的中点在坐标原点,且A (x,2),B (3,y ),则x ＋y 等于( ) A.5 B.－1 C.1 D.－5答案 D解析易知x ＝－3,y ＝－2,∴x ＋y ＝－5. 4.以A (5,5),B (1,4),C (4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 B5.点A (2,3),B (5,4)之间的距离为________. 答案10解析 |AB |＝(5－2)2＋(4－3)2＝9＋1＝10.1.A ,B 两点的距离与A ,B 两点的顺序无关,即d (A ,B )＝d (B ,A ).公式中坐标的顺序也可以同时调换,即d (A ,B )＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.2.在平面直角坐标系内,若已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 的中点M 的坐标为(x ,y ),则有⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.对于A ,B ,M 三点,只需知道其中两点的坐标,便可求出其余一点的坐标. 3.坐标法应用的注意点：一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,注意利用图形的几何性质. (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. 事实上,建立不同的直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.。

2018学年高中数学人教B版必修2课件：2.1.1 数轴上的基

向量坐标运算法则
对数轴上任意三点 A、B、C，都具有关系
AC＝AB＋BC .
向量坐标表示及已知数轴上两点 A(x1)，B(x2)，距离公式则 AB＝ x2－x1 ，d(A，B)＝ |x2－x1| .
在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，解下列方程： (1)|x＋3|＋|x－1|＝5； (2)|x＋3|＋|x－1|＝4.
阶段 1
阶段 3
2.1
阶段 2
平面直角坐标系中的基本公式数轴上的基本公式
学业分层测评
2.1.1
1．理解实数与数轴上的点的一一对应关系及实数运算在数轴上的几何意义． 2．理解向量及其相等的概念．(易混点) 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算及数轴上两点间的距离公式．(重点、难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 1 数轴及向量概念
阅读教材 P65～P66 内容，完成下列问题． 1．一条给出了原点、 2．向量的概念 (1)向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．
度量
和正方向
的直线．
(2)相等向量数轴上同向且等长的向量． (3)向量的坐标用实数表示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量．
[ 再练一题] → 是数轴上的一个向量，O 为原点，则下列各式中不成立 2．如图 211，AB 的是( )
图 211 →| A．OA＝|OA C．AB＝OB－OA →| B．OB＝|OB D．BA＝OA－OB
【解析】由于点 A 在原点的右侧，点 B 在原点的左侧，可知点 A 表示的数 x1 比点 B 表示的数 x2 大，即 OA＝x1>0，OB＝x2<0， → |＝|x |＝x ，OB＝x ≠|OB → |＝|x |＝－x ，所以 OA＝|OA 1 1 2 2 2 AB＝x2－x1＝OB－OA，BA＝x1－x2＝OA－OB. 故 B 不成立．

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2.1.1 数轴上的基本公式一、选择题1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] ①②③④都正确．2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 [答案] A[解析] BA ＝x A －(－5)＝－6，∴x A ＝－11.故选A.3．在下列四个命题中，正确的是( )A ．两点A 、B 确定一条有向线段B ．起点为A ，终点为B 的有向线段记作ABC ．有向线段A B →的数量AB ＝－|B A →|D ．A 、B 两点确定一条直线[答案] D[解析] 两点A 、B 可确定AB →和BA →，故A 错；AB 表示AB →的数量，故B 错；当AB <0时，才有AB ＝－|BA →|，故C 错．4．数轴上，M 、N 、P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP ＋PN 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12[答案] A[解析] MP ＋PN ＝MN ＝－1－3＝－4.5．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定[答案] D[解析] 2x ＋a 与2x 的大小由a 确定，从而A 与B 的位置关系也由a 确定．6．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案] B[解析] ∵AB ＝(2＋b )－b ＝2，∴点B 一定在点A 的右侧．7．已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( ) A ．0B ．－23 C.23 D.19 [答案] C[解析] d (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪13＋13＝23.8．如图，数轴上的每一格等于一个长度单位，则点A 的坐标为( )A ．A (－1)B ．A (1)C ．A (0)D ．A (2)[答案] A二、填空题9．数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.[答案] －2或－5[解析] 由题知|x ＋8|＝3|x ＋4|，则x ＝－2或x ＝－5.10．设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0；②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ －PN ＋MN －MQ ＝0；④QM ＝MN ＋NP ＋PQ .其中正确的序号是________．[答案] ①②③[解析] 由向量的运算法则知，MN ＋PQ －MQ －PN ＝MN ＋PQ ＋QM ＋NP ＝MP ＋PM ＝0，故①②正确；PQ －PN ＋MN －MQ ＝PQ ＋NP ＋MN ＋QM ＝NQ ＋QN ＝0，故③正确；MN ＋NP ＋PQ ＝MQ ，与QM 不相等，故④错．11．若数轴上有四点A 、B 、C 、D ，且A (－7)、B (x )、C (0)、D (9)，满足AB →＝CD →，则x＝________.[答案] 2[解析] ∵AB →＝CD →表示向量AB →与向量CD →方向相同，且长度相等，∴AB ＝CD ，∴x ＋7＝9－0，∴x ＝2.12．在数轴上已知点B (3)，AB ＝4，则A 点的坐标为______；已知点B (2)，d (B ，A )＝2，则A 点的坐标为________；已知点B (－1)，BA ＝2，则A 点的坐标为______．[答案] －1 0或4 1三、解答题13．根据所给条件，在数轴上分别画出点p (x )对应的范围．(1)d (x,17)<30；(2)|x －12|>3；(3)|x ＋1|≤2.[解析](1)据轴上两点间距离的意义d (x,17)<30即|x －17|<30，∴－30<x －17<30，∴－13<x <47.(2)x －12>3或x －12<－3，∴x >15或x <9.(3)－2≤x ＋1≤2，∴－3≤x ≤1.如上图．14．已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，延长DC 到点E ，使d (C ，E )d (E ，D )＝14，求点E 的坐标． [解析] 设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －(－2)x －1＝12， ∴x ＝－5.即C 点坐标为－5.∵E 在DC 的延长线上，∴d (C ，E )d (E ，D )＝EC ED ＝－5－x ′3－x ′＝14， ∴x ′＝－233，即E 点坐标为－233. 15．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．[解析] (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3.(2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3，|AB |＝|(－5)－(－2)|＝3.16．在数轴上求一点的坐标，使它到点A (－9)的距离是它到点B (－3)距离的2倍．[解析] 设所求点为P (x )，由题意，得d (A ，P )＝2d (B ，P )，即|x ＋9|＝2|x ＋3|，解得x ＝3或x ＝－5.17．符合下列条件的点P (x )位于数轴上的何处？(1)d (x,2)<8；(2)|x ＋3|<4.[解析] (1)d (x,2)＝|2－x |<8.∴－8<x －2<8，即－6<x <10.点P (x )位于数轴上的－6到10之间的区域内．(2)∵|x ＋3|<4，∴－4<x ＋3<4，即－7<x <1.∴点P (x )位于数轴上的－7到1之间的区域内．18．已知数轴上的点A 、B 、C 的坐标分别为－1、3、5.(1)求AB 、BA 、|AB |、|BC |、|AC |.(2)若数轴上还有两点E 、F ，且AE ＝8，CF ＝－4，求点E 、F 的坐标．[解析] (1)AB ＝3－(－1)＝4；BA ＝－AB ＝－4；|AB |＝|3－(－1)|＝4；|BC|＝5－3＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E、F点的坐标分别为x E、x F.∵AE＝8，∴x E－(－1)＝8，有x E＝7. ∵CF＝－4，∴x F－5＝－4，有x F＝1. 故E、F两点坐标分别为7、1.。

人教B版高中数学必修二2.1.1《数轴上的基本公式》ppt课件

• ∴(1)当a＝0或a＝10时，|a－5|＝5. • (2)当a>10或a<0时，|a－5|>5. • (3)当0<a<10时，|a－5|<5.
课堂典例讲练
•数轴上的点与实数间的关系
•
(1)若点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，
求x的取值范围；
• (2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系．
• [解析] 设B(x)，则|x－2|＝5，
• ∴x＝7或－3.
• 4．已知点N的坐标为2，|MN|＝1，则点M的坐标为
________．
• [答案] 1或3
• [解析] 设M点坐标为x，∵|MN|＝|2－x|＝1，∴x＝
1或3.
• 5．已知数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)的距离的2倍，则x＝________.
• 通过一次函数与图象的关系建立直线方程的概念，并通过直线方程讨论直线的有关问题，让学生初步领略解析几何的基本思想；
• 在具体认识直线方程的基础上，再研究圆的方程，用坐标研究直线与圆和圆与圆的位置关系，强化解析几何的思想；
• 最后，教材编写了空间直角坐标系，探索空间中的点的坐标，给出了空间直角坐标系中的两点间的距离公式．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
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谢谢欣赏！
• A．－10 B．－2
• C．－10或－2 D．10

人教B版高中数学必修二第二章2.1.1.docx

高中数学学习材料唐玲出品第二章平面解析几何初步§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式课时目标 1．理解数轴上的向量和相等的向量的含义，理解向量的长度和向量的坐标之间的关系．2．探索并掌握数轴上两点间距离公式．1．如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了__________．位移是一个既有________又有________的量，通常叫做______________，本书简称为________．2．数轴上________且________的向量叫做相等的向量．3．在数轴上向量AB →的长度连同表示方向的符号称作向量AB →的坐标或数量，向量AB →的坐标用________表示．4．起点和终点重合的向量是__________，它没有确定的方向，它的坐标为______．5．对数轴上任意三点A 、B 、C ，三向量AC →、AB →、BC →之间关系为AC →＝AB →＋BC →，它们的坐标之间关系为____________________________________________________________．6．设AB →是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝__________；数轴上两点A 、B 的距离公式是________________．一、选择题1．下列说法中，正确的是( )A ．向量不能比较大小，所以向量无大小B ．零向量是没有方向的C ．向量的长度也是向量的数量D ．若AB ＝4，则BA ＝－42．下列说法正确的是( )A ．两点确定一条有向线段B ．有向线段AB →的数量AB ＝－|BA|C ．若A ，B ，C 是数轴上的任意三点，则一定有AB ＝AC ＋CBD．点A(2)，B(－1)，则AB＝33．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d－2a＝10，那么数轴的原点应是()A．A点B．B点C．C点D．D点4．若点A、B、C、D在一条直线上，BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD等于() A．0 B．－2 C．10 D．－105．A、B为数轴上的两点，A点的坐标是－1，AB＝6，那么点B的坐标为()A．5 B．－7 C．5或－7 D．－5或76．三个不相等的实数a，b，c在数轴上分别对应点A，B，C，如果|a－b|＋|b－c|＝|a －c|，则点B在点()A．A，C的右边B．A，C的左边C．A，C之间D．A或C上二、填空题7．已知数轴上两点A(a)，B(5．5)，并且d(A，B)＝7．5，则a＝________；若AB＝7．5，则a＝________．8．下列各组点中，点B在点A右侧的是________．①A(－1)和B(－4)；②A(a)和B(a＋1)；③A(a)和B(3a)；④A(－2)和B(0)；⑤A(a)和B(b)(其中a<b)；⑥A(2x)和B(x2) (x≠0)．9．数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)距离的2倍，则x＝__________．三、解答题10．已知数轴上的两个点A(a)、B(5)，当a为何值时：(1)两点间的距离等于5；(2)两点间的距离大于5；(3)两点间的距离小于3．11．根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x|<2；(2)|x|>2；(3)|x|＝2；(4)|x－1|>2；(5)|x＋1|>2．能力提升12．已知数轴上点A的坐标x满足|x＋3|＋|x－1|＝4，则x的取值为()A．x＝－3或x＝1 B．x≥1或x≤－3C．－1≤x≤3 D．－3≤x≤113．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位到达k1，第二步由k1向右跳2个单位到达k2，第三步从k2向左跳3个单位到达k3，第四步由k3向右跳4个单位到达k4，……按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰为19．94，试求电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数．1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①对于数轴上任意三点A，B，C都有AC＝AB＋BC；②AB＝－BA或AB＋BA＝0．3．向量与数量的区别与联系向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．第二章平面解析几何初步§2．1平面直角坐标系中的基本公式2．1．1数轴上的基本公式答案知识梳理1．零位移大小方向位移向量向量2．同向等长3．AB4．零向量05．AC＝AB＋BC6．x2－x1d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|作业设计1．D[由向量的概念可知，A，B均不正确，C不正确．故选D．]2．C3．B[用排除法，如原点为A，则a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A，同样的方法，排除C、D；当B为原点时，a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，满足条件，故选B．] 4．B5．A6．C[①若点B在A，C右边，则b>a，b>c，则有|a－b|＋|b－c|＝b－a＋b－c＝2b－(a ＋c)，不一定等于|a－c|；②若点B在A，C左边，则b<a，b<c所以|a－b|＋|b－c|＝a－b＋c －b＝(a＋c)－2b也不一定与|a－c|相等；③若点B在点A，C之间，则a<b<c或c<b<a，则有|a－b|＋|b－c|＝|a－b＋b－c|＝|a－c|；④∵a，b，c不相等，故点B不可能在点A，C上．] 7．－2或13－28．②④⑤9．0或－16310．解数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB|＝|a －5|．(1)根据题意|a －5|＝5，解得a ＝0或a ＝10．(2)根据题意|a －5|>5，即a －5>5或a －5<－5，∴a>10或a<0．(3)根据题意|a －5|<3，即－3<a －5<3，∴2<a<8．11．解 (1)|x|<2表示与原点距离小于2的点．(2)|x|>2表示与原点距离大于2的点．(3)|x|＝2表示两个点A(－2)，B(2)．(4)|x －1|>2表示与点P(1)的距离大于2的点．(5)|x ＋1|>2表示与点P(－1)的距离大于2的点．12．D13．解设k 0表示数轴上的数为x ，则k 1，k 2，k 3，…，k 100表示的有理数分别为x －1，x －1＋2，x －1＋2－3，…，x －1＋2－3＋4－…－99＋100，由题意得x －1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94，即x ＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－99＋100)＝19．94，即x ＋50＝19．94，∴x ＝－30．06，∴k 0表示的数为－30．06．。

新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)

人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义知识点正分数指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__．思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？提示：x ∈R ．知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1．思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1，即(a －2)(a －1)＝0，解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2，所以指数函数的解析式为y ＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64．题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1；当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33，又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数，又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )，即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]，则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]，若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)≥f (x 1)，则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1．角度2 两个特殊对数值的应用典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0，所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625，所以log 5 625＝4．题型对数恒等式的应用典例剖析典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3，即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7．规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ，又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1，即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。

【B版】人教课标版高中数学必修二教学教案-数轴上的基本公式-新版

2.1.1数轴上的基本公式目标重点：理解和掌握数轴上的基本公式；目标难点：熟练应用数轴上的基本公式。

教法关键：1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向；2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）；3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标。

情境引入：网络坐标法地图起源很早，传说在人类发明象形文字以前就有了地图。

战国时期，军事地图更为普遍。

《孙子兵法》和《孙膑兵法》分别附图9卷和4卷。

《管子·地图篇》曾道，凡统帅军队者，必事先详尽熟悉和掌握军事活动地区的地图。

1973年湖南长沙马王堆3号汉墓出土三幅西汉初年地图。

一幅为地形图，一幅为驻军图，另一幅为城邑图。

距今已有2100多年。

如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。

古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。

西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。

用坐标法来刻画动态的、连续的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。

阿波罗尼在《圆锥曲线论》中，已借助坐标来描述曲线。

十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”（相当于纵坐标和横坐标）的方程来刻画动点的轨迹。

十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为x轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与x轴成一固定角度的线段的长表示。

最早引进负坐标的是英国人沃利斯，最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马，最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰·贝努利。

“坐标”一词是德国人莱布尼兹创用的。

牛顿首先使用极坐标，对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹的研究甚为方便# 不同的坐标系之间可以互换，最早讨论平面斜角坐标系之间互换关系的是法国人范斯库腾。

新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)

人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义知识点正分数指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__．思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？提示：x ∈R ．知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号．对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1．思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1，即(a －2)(a －1)＝0，解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式．对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2，所以指数函数的解析式为y ＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64．题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增．由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1；当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ，即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1．知识点解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33，又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数，又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞；又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞．规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域．对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32．题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1，因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )，即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3，由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小．对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数，则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]，则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]，若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)≥f (x 1)，则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34，所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34．因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__．思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ．知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1．角度2 两个特殊对数值的应用典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0，所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80．规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0，所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625，所以log 5 625＝4．题型对数恒等式的应用典例剖析典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3，即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7．规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y．规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ，又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1，即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。

高中数学必修二(人教B版)导学案：2.1.1 数轴上的基本公式

2.1.1 数轴上的基本公式【教学目的】1. 通过对数轴的复习，理解实数和数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义。

掌握数轴上两点间距离公式，掌握数轴上的向量加法的坐标运算。

通过探讨得出平面上两点间距离公式及线段中点坐标公式。

二、重点、难点：1. 重点：理解和掌握数轴上的基本公式；2. 难点：对各个概念的正确理解及基本公式的探索；运用数形结合的思想。

三. 教学过程：（一）数轴上的基本公式1. 基础概念：（1）数轴：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

实数集和数轴上的点之间是一一对应关系。

如果点P与实数x对应，则称点P的坐标为x，记作。

（2）向量：既有大小又有方向的量通常叫做位移向量，本书简称为向量。

从点A 到点B的向量，记作，点A叫做向量的起点，点B叫做向量的终点。

（3）向量的长度：线段AB的长叫做向量的长度，记作。

（4）向量的坐标或数量：向量的坐标，用AB表示。

当向量与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定；方向相反时，规定。

（5）相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。

（6）零向量：起点和终点重合的向量叫做零向量，它没有确定的方向，它的坐标为0。

2. 基础公式：（1）对数轴上任意三点A、B、C都具有如下关系：。

（2）设是数轴上的任一个向量，点A的坐标为，点B的坐标为，则；数轴上两点A、B的距离公式是：。

3. 需注意的问题：（1）判断一个量是否为向量，就是要判断该量是否既有大小，又有方向。

（2）特殊向量：零向量的起点与终点重合，它没有确定的方向，它的坐标为0。

（3）注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数、负数、零）。

（4）两相等向量的方向相同，长度相等。

（5）数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标。

一、选择题1．下列命题：①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] ①②③④都正确．2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( )A ．－11B ．－1或11C ．－1D ．1或－11 [答案] A[解析] BA ＝x A －(－5)＝－6，∴x A ＝－11.故选A.3．在下列四个命题中，正确的是( )A ．两点A 、B 确定一条有向线段B ．起点为A ，终点为B 的有向线段记作ABC ．有向线段A B →的数量AB ＝－|B A →|D ．A 、B 两点确定一条直线[答案] D[解析] 两点A 、B 可确定AB →和BA →，故A 错；AB 表示AB →的数量，故B 错；当AB <0时，才有AB ＝－|BA →|，故C 错．4．数轴上，M 、N 、P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP ＋PN 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12 [答案] A[解析] MP ＋PN ＝MN ＝－1－3＝－4.5．数轴上两点A (2x ＋a )，B (2x )，则A 、B 两点的位置关系是( )A ．A 在B 左侧 B ．A 在B 右侧C ．A 与B 重合D ．由a 的取值决定[答案] D[解析] 2x ＋a 与2x 的大小由a 确定，从而A 与B 的位置关系也由a 确定．6．下列各组点：①M (a )和N (2a )；②A (b )和B (2＋b )；③C (x )和D (x －a )；④E (x )和F (x 2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] B[解析] ∵AB ＝(2＋b )－b ＝2，∴点B 一定在点A 的右侧．7．已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为13、－13，则d (A ，B )为( ) A ．0B ．－23 C.23 D.19 [答案] C[解析] d (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪13＋13＝23.8．如图，数轴上的每一格等于一个长度单位，则点A 的坐标为( )A ．A (－1)B ．A (1)C ．A (0)D ．A (2)[答案] A二、填空题9．数轴上一点P (x )，它到A (－8)的距离是它到B (－4)距离的3倍，则x ＝________.[答案] －2或－5[解析] 由题知|x ＋8|＝3|x ＋4|，则x ＝－2或x ＝－5.10．设M 、N 、P 、Q 是数轴上不同的四点，给出以下关系：①MN ＋NP ＋PQ ＋QM ＝0；②MN ＋PQ －MQ －PN ＝0；③PQ －PN ＋MN －MQ ＝0；④QM ＝MN ＋NP ＋PQ .其中正确的序号是________．[答案] ①②③[解析] 由向量的运算法则知，MN ＋PQ －MQ －PN ＝MN ＋PQ ＋QM ＋NP ＝MP ＋PM ＝0，故①②正确；PQ －PN ＋MN －MQ ＝PQ ＋NP ＋MN ＋QM ＝NQ ＋QN ＝0，故③正确；MN ＋NP ＋PQ ＝MQ ，与QM 不相等，故④错．11．若数轴上有四点A 、B 、C 、D ，且A (－7)、B (x )、C (0)、D (9)，满足AB →＝CD →，则x＝________.[答案] 2[解析] ∵AB →＝CD →表示向量AB →与向量CD →方向相同，且长度相等，∴AB ＝CD ，∴x ＋7＝9－0，∴x ＝2.12．在数轴上已知点B (3)，AB ＝4，则A 点的坐标为______；已知点B (2)，d (B ，A )＝2，则A 点的坐标为________；已知点B (－1)，BA ＝2，则A 点的坐标为______．[答案] －1 0或4 1三、解答题13．根据所给条件，在数轴上分别画出点p (x )对应的范围．(1)d (x,17)<30；(2)|x －12|>3；(3)|x ＋1|≤2.[解析](1)据轴上两点间距离的意义d (x,17)<30即|x －17|<30，∴－30<x －17<30，∴－13<x <47.(2)x －12>3或x －12<－3，∴x >15或x <9.(3)－2≤x ＋1≤2，∴－3≤x ≤1.如上图．14．已知数轴上有点A (－2)，B (1)，D (3)，点C 在直线AB 上，且有AC BC ＝12，延长DC 到点E ，使d (C ，E )d (E ，D )＝14，求点E 的坐标． [解析] 设C (x )，E (x ′)，则AC BC ＝x －(－2)x －1＝12，∴x ＝－5.即C 点坐标为－5.∵E 在DC 的延长线上，∴d (C ，E )d (E ，D )＝EC ED ＝－5－x ′3－x ′＝14， ∴x ′＝－233，即E 点坐标为－233. 15．已知两点A 、B 的坐标如下，求AB 、|AB |.(1)A (2)、B (5)；(2)A (－2)、B (－5)．[解析] (1)AB ＝5－2＝3，|AB |＝|5－2|＝3.(2)AB ＝(－5)－(－2)＝－3，|AB |＝|(－5)－(－2)|＝3.16．在数轴上求一点的坐标，使它到点A (－9)的距离是它到点B (－3)距离的2倍．[解析] 设所求点为P (x )，由题意，得d (A ，P )＝2d (B ，P )，即|x ＋9|＝2|x ＋3|，解得x ＝3或x ＝－5.17．符合下列条件的点P (x )位于数轴上的何处？(1)d (x,2)<8；(2)|x ＋3|<4.[解析] (1)d (x,2)＝|2－x |<8.∴－8<x －2<8，即－6<x <10.点P (x )位于数轴上的－6到10之间的区域内．(2)∵|x ＋3|<4，∴－4<x ＋3<4，即－7<x <1.∴点P (x )位于数轴上的－7到1之间的区域内．18．已知数轴上的点A 、B 、C 的坐标分别为－1、3、5.(1)求AB 、BA 、|AB |、|BC |、|AC |.(2)若数轴上还有两点E 、F ，且AE ＝8，CF ＝－4，求点E 、F 的坐标．[解析] (1)AB ＝3－(－1)＝4；BA ＝－AB ＝－4；|AB |＝|3－(－1)|＝4；|BC|＝5－3＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E、F点的坐标分别为x E、x F.∵AE＝8，∴x E－(－1)＝8，有x E＝7. ∵CF＝－4，∴x F－5＝－4，有x F＝1. 故E、F两点坐标分别为7、1.。