防洪物资调运问题

防洪物资的调运模型建模：编程：论文：防洪物资的调运模型摘要本文针对防洪物资调运问题，建立了两个模型，模型一是在不考虑汛期的情况下运费最小的线性规划模型；模型二是在考虑汛期的情况下时间最短的线性规划模型，并通过这两个模型完整地解决了问题。

对于问题1，首先对交通图进行梳理，然后建立一个包含42个顶点的赋权图(,)G V E，利用Floyd算法找出包括企业、仓库及国家级储备库在内的13个调运点任意两点间运费最少的路径。

对于问题2，为重点保证国家级储备库，只允许国家级储备库调入不调出，同时保证国家储备库达到或者超过预测库存、仓库尽量达到或者超过预测库存，建立以运费最少为目标的线性规划模型一。

为使运费最小，考虑到实际情况，企业只调出不调入。

对于仓库尽量达到或者超过预测库存，本文定义一个偏离控制变量η来衡量。

根据调运计划及各企业的生产能力，至少需要8天才能满足基本要求，所以在问题2中，算得当调运期为8天，0.04η=时的最少运费为354931.2元及具体的调运量及调运线路。

对于问题3，利用问题2中建立的模型一，得到当调运期为20天，0.04η=时的最少运费为319953元以及20天后的各库的库存量。

对于问题4，由于汛期，需要最快调运物资，无须考虑运费，故问题2中的模型不能够解决紧急调运的问题。

鉴于4条道路被冲断，故应建立新的交通赋权图*(,)G V E，再次利用Floyd算法求出13个调运点任意两点间距离最短的路径。

在该问题中，假设高等级公路与普通公路的运输速度一样，则最快调运物资转化为物资的总调运路程最短，据此建立了以物资总调运路程最短为目标的线性规划模型二。

并计算得到当调运期为8天时具体的调运方案。

最后，分别从偏离控制变量η一定时，调运期的长短对最小费用的影响和同时考虑调运期的长短及偏离控制变量η的大小两方面对最少运费的影响。

再进一步分析η的取值是否合适时，本文采用量纲分析法，定义了衡量指标φ，得到当调运期为8天，η取0.02最为合适。

并在突发洪涝的情况下，对模型进行了推广。

关键词：最优调运模型赋权图Floyd算法线性规划一、问题重述问题背景我国气候多变，各种自然灾害频频发生，特别是每年爆发的洪涝灾害，给国家和人民带来不少的损失，某地区为做好今年的防洪抗涝工作，根据气象预报及历史经验，决定提前做好某种防洪抗涝物资的储备。

问题提出已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，各库库存及需求情况见附件1，其分布情况见附件2。

经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里•百件，普通公路1.2元/公里•百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运。

（1）根据附表2提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型。

（2）设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在重点保证国家级储备库的情况下，为给该地区有关部门做出科学决策提供依据。

（3）根据你的调运方案，20天后各库的库存量是多少？（4）如果汛期下列路段因洪水交通中断，能否用问题二的模型解决紧急调运的问题，如果不能，请修改你的模型。

中断路段：○14—○23，○11—○25，○26—○27，○9—○31。

二、问题分析对于问题1，首先对交通网进行梳理，画出较为清晰的交通网。

考虑到企业、仓库、国家储备库间可以互相调运物资，将各调运点之间的运费作为边的权重建立赋权图模型，相应的赋权图用邻接矩阵表示。

不在汛期时，以总运输费用最少为目标，根据Floyd算法找出两两调运点间的最优路径及最少运输费用。

对于问题2，本文对预测库存量理解是：根据气象预报及历史条件预测出如果该地区发生洪涝时需要的最少库存量，因此汛期时调运结束的条件是各仓库达到预测库存量。

为重点保证国家级储存库，我们只让国家级储备库只调入不调出，以减少物资在国家级储存库与仓库间的运输费用，同时要确保仓库的储存量尽量达到或者超过预测库存量，国家级储备库达到或超过预测库存量，最后以运输费最少为目标函数，考虑到实际情况，为使运费最小，企业只调出不调入。

根据企业的生产能力以及现有的库存量，可知调运期至少应为8天，所以我们在问题2中，利用第1问中的运费最少的最优路径算出当调运期为8天时的具体调运路线及调运量。

问题3是根据问题2中的模型，找到当调运期为20天时总运输费最少的方案。

对于问题4，如果汛期来临，我们考虑的是时间最短，而无须考虑运费，则问题2中的模型不能满足问题4的需要。

我们假设高等级公路与普通公路的运送速度相同，则调运时间就转化成所有物资的调运路程。

，在这种条件下，我们要找到各个调运节点间的最短路径，建立模型二，以物资总调运路程最短为目标，找到最优解决方案。

三、基本假设3.1模型一的假设1)运送物资期间不发生任何意外情况；2)物资在企业、仓库、国家级储备库之间的运输时间不计，即运输能力足够大；3)企业物资的生产不中断，且相互之间没有影响；4)在满足各仓库的库存要求下，物资可以在各个物资调运节点间进行调运；5)只考虑运费不考虑其他费用。

3.2模型二的假设1)物资在高速公路与普通公路的运送速度相同；2)物资运送到目的地的时间只与距离和运送量有关，运送期间不发生意外情况；3)在满足各库的库存要求下，物资可以在各个物资调运节点间进行调运。

四、符号说明4.1模型一符号说明4.2模型二符号说明五、模型的建立与求解5.1问题1的模型建立与求解由于交通网中有两个○9，为了便于区分，我们将位置较低的○9标记为○42。

这样图中共有42个点，整理后的交通网络网见图1，每条边的权值表示两个节点之间的距离。

28图 1 该地区的交通网以下是我们建立该地区公路交通网的数学模型。

由附件二可以看出，该地区交通的示意图上分布着42个不同的交通交汇点，故可以把它看成是一个包含42个顶点的赋权图(,)G V E ，其中{1,2,3,...,42}V =是顶点的集合，{(,)|,}E m n m n V =∈是边的集合，图(,)G V E 中每条边的权重为m n ω，m n ω表示m 、n 之间的运输费用m n m n p l 。

则赋权图(,)G V E 可以用矩阵4242()m n A a ⨯=表示。

其中,(,),,(,).m n m n m n E a m n E ω∈⎧=⎨∞∉⎩在该地区交通示意图中调运节点共有13个，包括三家企业、八个仓库、两个国家储备库，防洪物资的调运只限于13个节点之间进行调运，故需要找出它们之间的最优调运线路，为了表示方便，我们按企业1、企业2、企业3、仓库1、仓库2、……、仓库8、国家储备库1，国家储备库2的顺序编号为1到13，将调运节点号用向量(1,2,...,13)i B b i ==表示：[24,41,34,28,23,35,31,22,36,29,38,30,27]B =在不是汛期的时段，应以最小运输费用(,1,2,...,13)ij W i j =为优，调运线路本文中用元胞数组{,}(,1,2,...13)path i j i j =表示。

这里寻找最优路线及最少运输费用，采用Floyd 算法求出企业1与仓库1之间的最优调运路线为24->26->25->15->42->28，每百件的运输成本1,4184.8W =（元/百件）；仓库5与仓库2之间的最优调运路线为22->19->18->23,每百件的运输成本8,5166.8W =（元/百件）等，由此得出最小运输成本矩阵(,1,2,...,ij W i j =。

5.2 问题2的模型建立与求解 5.2.1 模型一的建立问题2要求设计一个在重点保证国家级储备库的情况下的合理调运方案，我们为重点保证国家级储备库的库存，约定国家级储备库的物资只调进不调出；再考虑实际情况，企业只生产和调出物资而不调入物资。

为此设从调运节点i 到j 的物资调运量为ij x ，则调运节点i 的实际库存量i r 为：131111311111,1,2,3,,4,5,,11,,12,13.i ij i j i i ji ij j j i ji j q x v t i r q x x i q x i ====⎧-+=⎪⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩∑∑∑∑对于重点保证国家级储备库的库存，除了国家级储备库的物资只调进不调出，还要使得国家级储备库的库存达到或者超过其预测库存量；仓库1到8的应该尽量达到或者超过预测库存量，为此我们建立了一个偏离控制变量η来衡量，即：,4,5,,11.i i if r i f η-≤=此外，库存量还受到最大库存量i M 、最小库存量i m 的限制，综上我们建立了以追求总调运费最小为目标的线性规划模型。

131311m in ijij i j Z Wx ===∑∑；,1,2,,13,,4,5,,11,,12,13,..0,1,2,3,0,12,13,0,0,.i i i i i i i i ij ijij m r M i f r i f f r i s t x j x i x t T t η+≤≤=⎧⎪-⎪≤=⎪⎪≤=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪≥⎪⎪≤≤∈⎪⎩N5.2.2 模型一的求解根据企业的现有库存量及各企业的生产能力，计算得到调运期至少应为8天，才能满足国家储备库的储量达到或超过预测库存，仓库1到8尽量达到或超过预期库存的要求。

取8T =，0.04η=用lingo 程序得到的总运费最少为354931.2元。

具体的调运方案见表1。

表 1 调运期为8天，0.04η=时的具体运送路线及调运量5.3 问题3的求解对于问题3，利用问题2建立的运费最少模型，取20T =，0.04η=时用lingo 运行得到的最少费用为319953元。

具体的国家级储备库及仓库的20天后的库存量见表2。

表 2 调运期为20天，0.04η=时各调运点的调运后的库存与预测库存5.4 问题4的模型建立与求解 5.4.1 模型二的建立问题4是解决汛期时道路中断的紧急物资调运问题，当汛期发生的时候，首先要考虑在最短时间内将物资运到仓库，而不需要考虑资金。

所以问题2中的模型不能解决问题4。

针对问题4，将交通网络看作是一个赋权图()*,G V E ，较赋权图(),G V E 的区别是赋权图()*,G V E 边的权重为m n l 。

赋权图()*,G V E 可以用邻接矩阵4242()m n A a *⨯=表示。

其中,(,),,(,).mn mn l m n E a m n E *∈⎧=⎨∞∉⎩根据邻接矩阵A *以及问题1中Floyd 算法得到了调运点i 、j 间的最短路径(,1,2,...,13)ij S i j *=。

在紧急调运的情况下，我们需要在一定的时间T 内，把物资尽快调运到各个仓库。