小学奥数公式讲解学习

公式

1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a – b )

2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

3. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

4. 等差数列公式 Sn = = a

+

1

n = + 1

5. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2– ab + b2 )

6. 立方差公式: a3– b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )

7. 奇数和公式: 1 + 3 + 5 + …… + (2n-1) = n2

8. 偶数和公式: 2 + 4 + 6 + …… + 2n = n(n+1)

9. 多数平方和公式: 12 + 22 + 32 + …… + n2 =

10. 多数立方和公式: 13 + 23 + 33 + …… + n3 = (1 + 2 + …… + n)2

11. 特种公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + …… + n×(n+1)

= 12 + 22 + 32 + …… + n2 + 1 + 2 + 3 + …… + n = n(n+1)(n+2)

与因数相关的知识

1. 因数个数：分解质因数后，所有指数加1后的乘积。

2. 因数和：设

A＝2a×3b×5c

那么因数和＝（20+21+…+2a）×（30+31+…+3b）×（50+51+…+5c）3. 因数积：设A＝2a×3b×5c

那么因数积＝A因数个数/2(完全平方数除外)

4. 因数倒数和：设A＝2a×3b×5c

那么+ + =

循环小数

7：＝0.142857

＝0.285714

＝0.428571

＝0.571428

＝0.714285

＝0.857142

13：＝0.076923 ＝0.153846

1

8

4

2

7

5

＝0.230769 ＝0.384615 ＝0.307692 ＝0.461538 ＝0.692307 ＝0.538461 ＝0.769230 ＝0.615384 ＝0.923076

＝0.846153

排列组合进阶

※ 排列是先选再排，组合是只选不排。

=(n 里选m 个的数量和n 里(n-m)个不选的数量是一样的)

=＝1（一个不选和全部都选只有一种情况）

+

+

+……+

2n (每个元素有选中和不选中两种情况)

常用方法：

1. 优限法：找出特殊的情况，先把特殊的情况分组（有可能需要细分，如0，2，4又分为0和2，4），再计算其他情况

2. 捆绑法：相邻问题，直接捆在一起，算一个，再与其他的排，注意捆在一起包内的，也 要排序，然后两个数乘积即可。

3. 插空法：求不相邻问题，那就把他们仍出去，先排剩下的，排完，再插空，查出多少个 空位再选多少个元素去插空即可。

4. 大除法：先把所有的元素排列数量求出来，再找出限定条件的元素单独排一排，并找到 限定条件后占全部限定元素排列的比率，再与所有排列数量相乘即可。

5. 插板法：都变为“至少一个”的情况，再查空位，插板，用C 计算即可。

6. 排除法：正面求解困难，则利用反向求解，再用全部减去反向，可得正向解。

3

7

6

9

2

6 1

5

3

8

4

余数

余数性质：

1. 周期性。

2. 余数的和等于和的余数。

3 余数的差等于差的余数。

4. 余数的积等于积的余数。

物不知数（中国剩余定理）

解：3和5的最小公倍数为15，15+1＝16，A最小值为16.

公倍数，再减去补数，即为最小的被除数。

例：A÷7余6

A÷6余5，

A÷5余4，

A÷4余3，求A最小多少？

解：余数与除数互补，[7，6，5，4]＝420，420－1＝419，A最小为419.

3. 试数法：先找第一个式子满足的数，再套用第二个式子，求解。

例：A÷7余5

A÷6余3，求A最小多少？

解：试第一项满足的数：5，12，19，26，33，40

分别套用第二式，发现33满足条件，所以A最小为33，通式为33+42K。

4. 逐级满足法：用第一个式子设商值为K，然后求得被除数，代入二式，求K，即为最小的被除数。

A÷6余3，求A最小多少？

解：设A÷7＝K余5

A=7K+5代入第二式中，得，（7K+5）÷6余3，得7K÷6余4

当K＝4时，满足。即A=7K+5＝33，通式为A=33+42K

同余

定义：对于自然数A、B，除以相同的数m，所得的余数也相同，则称A、B

对于模m同余。表示为A≡B（mod m）读作：“A同余于B，模m”

推论1：若A＞B，A÷m＝X…….n

B÷m＝Y…….n

那么，A-B＝（X-Y）m; m能整除A、B的差, m∣(A-B).

推论２：若A≡B（mod m），B≡C（mod m）

那么，A≡C（mod m）；

推论３：若A≡B（mod m），C≡D（mod m）

那么，（A±C）≡（B±D）（mod m）；AC≡BD（mod m）

推论4：若A≡B（mod m），那么A n≡B n（mod m）

手段一：十字相乘法

即代表左边，

手段二：作差

A－B＞0 A＞B A－B＜0 A＜B

手段三：作商

1 A＞B 1 A B

手段四：取倒数

A B A B

手段五：化小数

手段六：基准法

真分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越大

假分数：当分子与分母差一定时，分母越大，值越小

在之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是真分数，则

在之间比较大小，因分子与分母差都为3，且是假分数，则

手段七：通分差法（将分子分母变为差一定，再用手段六判断大小）

在之间比较大小，先将变为，分子与分母差都为5，真分数，则

手段八：糖水法（糖水的甜度＝

模型一： (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解为通分差) 模型二： (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之间)

模型三：

有趣的巧数

1. 33......3×33......3＝11......1088 (89)

n个3 n个3 n－1个1 n－1个8

推论：6666×6666＝44435556，9999×9999＝99980001，3333×6666＝22217778 3333×9999＝33326667，6666×9999＝66653334

2. 33......3×33......34＝11......122 (2)

n个3 n－1个3 n个1 n个2

推论：6666×3334＝22224444，9999×3334＝33336666

3. 111＝3×37 10001＝73×37 2007＝32×223

999＝27×37 10101＝3×7×13×37 2008＝23×251

11111＝271×41 1995＝3×5×7×19 2015＝5×13×31 111111＝3×7×11×13×37 1998＝2×33×37 2016＝25×3×7

4. 头同尾和10：两个两位数相乘，如首位相同，末位加和为10，则得数四位数中前两位为首位与首位加1的乘数，末两位为尾数相乘的乘数。

如：53×57＝3021，84×86＝7224，39×31＝1209……

5. 完全平方数口算：找到接近5与0的数再利用平方差公式计算

如：782＝802-（802－782）＝6400-（80+78）×2＝6400-316＝6084 762＝752+（762－752）＝5625+（76+75）＝5625+151＝5776

6. 123456789×8+9＝987654321

7. M×99……9的数字和为9K.（其中M＜99……9）

K个9

8. （+ +）×（++）－（+ + +）×+＝×

两项乘积－两项乘积问题：把最长的算式看作小龙，则原式为：

（有头无尾小龙）×（无头有尾小龙）－小龙×（无头无尾小龙）

则结果为头尾相乘。

9. 1×2 + 2×3 +……+ n×(n+1) ＝

1×a

1 + 2×a

2

+……+ n×a

n

＝n(n+1)×(2a n+a1),a1,a2……an为等差数

列