物理几何光学竞赛讲解及试题

如下图所示。
A
B
F2 B′
F1 O
A′
L1
A
L2
F2
B′
A′
B F1 O
A F2
B′
F1 B O
L1
L2
A′
L1 L2
在对光具组中某一镜进行计算时，u、v、f 都应
从该镜的光心算起。
最后成像的虚实，由最后一次成像决定。
总的放大率等于各次放大率的乘积。
1.物与屏相距L=80cm，在其间放一个薄凸透镜，透镜 放在两个不同的位置，都可以在光屏上得到物体的像。 已知这两个像长之比为1/9，求此透镜的焦距f。
薄透镜成像问题
一、薄透镜成像公式的推导
二、薄透镜
1.折射面是两个球面，或者一个是球面另一个是平面的 透明体，叫透镜。
通常，厚度比球面半径小得多的透镜，叫做薄透 镜。
2. 透镜的中心叫光心。过光心的直线叫光轴，其中与 透镜垂直的光轴叫主光轴，其余的叫副光轴。
3. 平行于主光轴（或副光轴）的近轴光线经透镜后将 会聚（或反向延长后相交）于主光轴（或副光轴）上 的一点，该点称为焦点（或副焦点）。
L
1.0cm
H 2.0cm S
3.0cm
7.在焦距为15cm的凸透镜O右边40cm处放一平面镜， 平面镜垂直于主轴，有一点光源S放在O的左面主轴上 离O为10cm处，求最后成的像的位置。
透镜左边17.4cm处。
8.有两个焦距分别为f1和f2的凸透镜，如果把这两个透
镜作适当的配置，则可使一垂直于光轴的小物体在原
15cm
2.如图所示，位于凸透镜L的焦点F处的点光源S射到透 镜上的光，经透镜折射后，在距透镜2倍焦距处与主光 轴垂直的光屏上，留下直径为d的亮斑。现沿主光轴移 动S一段距离，使在屏上留下亮斑的直径变为d/2。已
知此透镜的焦距为f，求物点S移动的距离。
L
S d
F
O
F
3f 或 f /3
3.如图所示，全反射棱镜上方6cm处放置一物体AB， 棱镜直角边长为6cm，棱镜右侧10cm处放置一焦距为
锥的顶点位于焦点F，锥高等于2f，锥的母线与其中心
轴线的夹角等于 ，求圆锥面的像。 L
F
2
2f
f
圆锥面的像是一个一端在透镜右方距透镜3f/2，另 一端位于无穷远处的半径为R=f tan 的圆柱面，是
实像。
10.一个焦距为f 的会聚透镜，在其左侧的主光轴上离 透镜2f 处有一小光源，在右侧屏上观察到此光源的清
10cm/s，向远离透镜方向运动。
6.有一个水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0cm，折 射率n=1.5，在其下表面下2.0cm处有一小物S；在玻璃
板上方有一薄透镜L，其焦距f=30cm，透镜的主轴与
玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如图所示。若透 镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处， 问透镜与玻璃板上表面的距离为多少？
x1
(n 1)d nf (n 1)d
f
x2
(n 1)d n
11.如图所示，外形一样，折射率均为n的两个薄平凸透 镜，一个透镜的平面镀银，另一个透镜的凸面镀银。 如果光线从未镀银的一面入射，它们的焦距之比为多 少？
f : f′= n : (n-1)
12.如图所示，容器中装有深度为2h的某种液体,其折射
其变化率△r/ △ x=4/3。求透镜L1和L2的焦距f1和f2各为
多少？
L1
A
L2
f1 =f2= 2cm
O
O′
14.一薄透镜一侧有一球面物，球心在透镜的主轴上， 透镜两边的介质均为空气，透镜焦距为f。试给出一种 方案，能使此球面物通过此透镜成像仍为一球面。假 设球面各部分发出的光线均不被球面的其他部分挡住。
f1=10cm的凸透镜，凸透镜右侧15cm处再放置一焦距为 f2=10cm的凹透镜，求此光学系统成像的位置和放大率
（全反射棱镜的折射率n=1.5）。
BA
15cm
位置为凹透镜右侧距离凹透镜10cm处，是正立实像。 放大率为2。
4.光屏与遮光板互相平行，两者相距为b，遮光板上有 一个半径为r的圆孔。今在此孔中嵌入透镜，设透镜与
由于只讨论近轴光线，所以所有副焦点都位于 垂直于主光轴的平面内，称为焦平面。
4.焦点到光心的距离叫焦距。 如果透镜两侧介质相同，则两个焦距相等；如
果两侧介质不同，则两个焦距的关系为：
f1 : f2 = n1 :n2
式中f1、f2相应为物方焦距和像方焦距， n1、n2相应为 物方和像方介质的折射率。
O1
O2
d
(1)目镜上方5.1m处；(2)m=10。
4cm和2cm。固定A与L1而使L2左右移动，发现仅有一
个位置能使L2接收到经L1射过来的全部光线，即将L2固 定于此位置，然后在L2的右侧垂直于主光轴再置一光
屏，以x表示光屏与L2的距离，使x由零逐渐增大时，
发现：当x小于某值时，光屏上可见到一个大小不变的
光斑；当x大于此值时，圆形光斑的半径r随x线性增加，
做为一般讨论，除特殊说明外，均限于两侧介 质相同的薄透镜的近轴光线成像问题。
三、薄透镜成像公式
11 1 uv f
应用时的注意点：
1.透镜两侧介质折射率应相等。 2.必须是近轴光线。 3.符号法则：实正虚负。
4.放大率：
m v u
四、薄透镜成像作图
1.三条特殊光线的作用
（1）通过光心的光线不改变方向； （2）平行于主光轴的光线，折射后通过焦点（或反 向延长线过焦点）； （3）通过焦点（或对方焦点）的光线，折射后平行 于主光轴。
设球面的半径为R，球心到光心的距离为u0，那么 应满足
R = u0 (u0 2 f )
15.图示是一种反射式望远镜的示意图，已知凹镜集焦 距f1=100cm，平面镜与凹镜主轴成45°角，凹镜主轴与 平面镜交于O2，O1O2=0.95m，目镜（凸透镜）光心到 凹镜主轴的距离d=0.15m，两镜主轴相互垂直。目镜焦 距f2=10.2cm。 求：（1）通过目镜看到的物体像的位置； （2）此望远镜的放大率m。
孔等大，且其主光轴与光屏垂直，再在此透镜的主光
轴上与光心相距为a处置一点光源S，因而在光屏上形 成一个半径为R的圆形光斑。已知a=30cm，b=20cm， r=1cm，R=5cm。试求此透镜的焦距。
（1）若为凸透镜，f=3cm； （2）若为凹透镜，f=－6cm。
5.有一个凸透镜，其焦距为20cm，一点光源以40cm/s 的速度沿主光轴匀速靠近透镜，求点光源与透镜相距 60cm时，像点移动的速度。
A
F2 B′
A
B
F1 O
A′
B F1
O
F2
L
L
2.一般光线的作图
对于任意一条光线SA，过光心O作副光轴OP平 行于SA，SA与焦平面MN交于P点，连接AP或AP的 反向延长线即为SA的折射光线。
A
M P
S
F1
O F2
N L
M A
S F1
O
F2
PN
L
3.注意：
（1）物点上所发出的任意一条光线，经成像系统作 用后，必定会通过像点；
位置成一等大、倒立的像，如图所示。试求出满足上 述要求的配置方案中各透镜的位置。
物
L1
L2
像
取焦距较小的L1放在物右方u处，把焦距较大的L2放
在L1右方d处，其中
d 2 f1 f2
u 2 f1 f2 ( f2 f1 )
9.在焦距为f 的凸透镜L的主光轴上放置 一个发光圆锥
面（如图所示），圆锥的中心轴线与主光轴重合，圆
（2）平行于副光轴的光线，经过透镜作用后，一定 通过焦平面与副光轴的交点。
五、光具组成像 由两个或两个以上的光学器具组成的光学系统，
叫光具组。
光线在传播过程中经过多次折射或反射，可以 依次成像，经第一镜成像后的反射或折射光线，对 于第二镜来说则是入射光线，因此，第一镜的像是 第二镜的物。
若第一镜成的像在第二镜之前，不论像是实像 还是虚像，对第二镜来说均看作实物。反之。若经 第一镜成的像在第二镜之后，则不论是实像还是虚 像均为虚物。
率为n，中心有圆孔的不透明板恰好位于液体深度的一
半，圆孔内镶嵌一个空心薄壁凸透镜，其半径恰好等
于孔的半径r，该透镜在液体中的焦距长为f，一个点光
源S位于透镜的主轴上且距液面高度为H，求在点光源 照射下，容器底部亮圆的半径大小。
R = r[1+ h(u f ) ] uf
S H
h h
13.如图所示，两凸透镜L1和L2及一发光圆盘A共轴（透 镜主光轴为OO′）放置，A、L1、L2的半径分别为1cm、
晰的像。现在光源和透镜的位置保持不变而在光路中
插入一个厚度为d（d＜f）的平板玻璃（平板与光轴垂
直），若还要在屏上得到光源清晰的像，则屏应怎样
移动（分别就玻璃放在光源和透镜之间以及玻璃放在 透镜和光屏之间两种情况讨论）？
（1）玻璃放在光源和透镜之间时，右移△x1； （2）玻璃放在光源和屏之间时，右移△x2；