14.3(2)空间直线与平面的位置关系(斜交)
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系1、直线和平面平行的定义如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。
2、直线与平面位置关系的分类（1）直线与平面位置关系可归纳为(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．(3)直线与平面位置关系的图形画法：①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。
例1、下列命题中正确的命题的个数为。
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。
变式1、下列说法中正确的是。
①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l //α；②若直线a 在平面α外，则a//α;③若直线a//b ，直线α⊂b ，则a//α;④若直线a//b ，直线α⊂b ，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线。
变式2、下列命题中正确的个数是( )①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3分析：如图2,图2我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB 平面ABCD,所以命题③不正确；l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案：B变式3、若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.图3解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.图5用符号语言表示为：若a∩b=A,b⊂α,则a⊂α或a∩α=A.变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.图6用符号语言表示为：若a与b异面,a⊂α,则b∥α或b∩α=A.例3、若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交.图7例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α,以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.分析：如图8,三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，图8其中真命题是①.变式2、若直线a ⊄α,则下列结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a 异面 (2)α内的直线与a 都相交 (3)α内存在唯一的直线与a 平行(4)α内不存在与a 平行的直线A.0B.1C.2D.3分析：∵直线a ⊄α,∴a ∥α或a ∩α=A.如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.图9答案：A.知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
空间直线与平面的位置关系与交点求解
空间直线与平面的位置关系与交点求解空间直线和平面是三维几何中的基本几何元素。
它们在空间中的位置关系十分重要，用于解决许多实际问题，比如计算机图形学、机械制造和物理学等。
本文将详细介绍空间直线和平面的位置关系，以及如何求解它们的交点。
一、空间直线和平面的位置关系空间直线和平面的位置关系有以下三种情况：1. 相交当空间直线与平面交于一点时，它们的位置关系是相交。
此时，交点可以通过求解直线和平面的联立方程组得到。
具体而言，假设空间直线的参数方程为：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上一点的坐标，$(l,m,n)$ 是直线的方向向量。
而平面的一般式方程为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中 $(A,B,C)$ 是平面法向量的坐标，$D$ 是平面常数。
将直线的参数方程代入平面方程中，可得到：$$Al+Bm+Cn+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$$解上述联立方程组，即可求出直线和平面的交点坐标。
2. 平行当空间直线与平面平行时，它们的位置关系是平行。
此时，两者的方向向量方向相同或相反。
若方向相同，则直线和平面不相交，否则直线与平面之间存在一个无穷远点的距离。
3. 垂直当空间直线与平面垂直时，它们的位置关系是垂直。
此时，它们的方向向量互相垂直。
二、求解空间直线和平面的交点求解空间直线和平面的交点需要解决两个问题。
首先，需要判断直线和平面是否相交或平行，从而决定是否存在交点。
其次，如果相交，则需要求解它们的交点坐标。
以一个实际的例子来说明。
假设平面的法向量为 $(1,2,3)$，经过点$(4,5,6)$ , 空间直线的参数方程为：$$\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$$首先，需要求解直线和平面是否相交或平行。
根据向量的点积运算，直线的方向向量和平面的法向量的点积为：$$\begin{aligned}&(1,2,3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\frac{3} {\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\right)\\=&1\times\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+2\times\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}+3\times\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\=&0\end{aligned}$$由于点积为 $0$，所以直线和平面垂直，相交于一点。
空间解析几何中的直线与平面的位置关系总结
判定：若直线与平面内的一条直线不平行且不相交，则该直线与该平面斜交。
结论：在空间解析几何中，斜交直线与平面的位置关系是相对复杂的，需要综合考虑直线的方向 向量和平面的法向量等因素。
03
判断直线与平面位置关系的方法
平行直线在同一平面内不相交
平行直线在无限远处相交于一 点
平行直线上的任意两点与另一 条直线上的两点分别连线的线 段互相平行
平行直线具有传递性，即如果 两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行
垂直直线的性质
直线与平面垂直时， 直线上的任意一点 到平面的距离都相 等
直线与平面垂直时， 平面内任意一直线 都与该直线平行
性质：直线与平面的交点是直线与平面的切点 判定：直线与平面相交的充分必要条件是直线上的任意一点都不在平 面内 位置关系：直线与平面相交时，直线与平面平行或重合
直线与平面平行
定义：直线平行于平面，且与平面无公共点
表示方法：用符号表示为 l // 平面α
性质：直线的方向向量与平面的法向量平行 判定定理：如果直线与平面内的两条相交直线平行，则直线与平面 平行
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几何法
定义：通过观察直线的方向向量和平面的法向量是否平行来判断直线与平 面的位置关系 特点：直观易懂，易于操作，但精度不高
应用场景：适用于初步判断直线与平面的位置关系
注意事项：需结合其他方法进行精确判断
向量法
定义：通过向量的数量积、向量积和混合积来判断直线与平面的位置关系
计算方法：利用向量的运算性质，计算出向量的数量积、向量积和混合积，并根据结果 判断直线与平面的位置关系
立体几何知识点总结(少三垂线定理)
如果一条直线和一个平面内的 都垂直，我们就说直 线和平面互相垂直. 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此 平面平行． 两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直．
图形
符号语言 a ⊥ b ， b => a ⊥ （ b 为任意的）
图形
符号语言
二面角 => ⊥
a
是直二面角
Hale Waihona Puke 面面垂直的 判定定理 判定方法（文字叙述）
空间两条直线所成的角为 。
一个平面过另一个平面 的 ， 则这两个平面垂直．
六、空间两条直线垂直的判定方法
名称 空间两条 直线垂直 的定义 图形 异面 符号语言 a, b 是异面直线 a // a, b // b
如果两个平面平行， 那么其中一个平 面内的 一个平面 直线必 于另
五、空间两平面平行的判定方法
名称 面面平行 的定义 面面平行 的判定定 理 面面平行 的判定定 理的推论 课本例题 定理 判定方法（文字叙述）
空间两平面没有公共点
图形
符号语言
线面垂直 的性质
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，则另一条 这平个面．
直线 直线 不在 平面内 （ a ） 直 线 与 平 面 平 行 与平面 相交 线与面垂直 线与面斜交
图示
表示方法
交点个数
线面平行 的定义 线面平行 的判定定 理 面面平行 的性质
a 与
无公共点
a
a A
一条直线与此 行．
的
一条直线平行， 则该直线与此平面平
a ⊥ a A a //
a b o , a 与 b 所 成 角 是
高二数学讲义直线与平面的位置关系
BHC D AF EG直线与平面的位置关系一、直线与平面平行1、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.2、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒【例1】如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形， (1)求证：CD ∥平面EFGH ； (2)求异面直线AB ，CD 所成的角．训练：如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH .【例2】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点.（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小； （2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.二、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.,//a b a b αα⊥⊥⇒【例3】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B 1H ⊥D 1O ，H 为垂足．求证：B 1H ⊥平面AD 1C ．【例4】如图，正方体AC 1中，已知O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点。
空间直线与平面的位置关系(夹角)
§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角）【知识解读】1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面．7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角FEDCBA【例题讲解】例1 、简述下列问题的结论，并画图说明：（1）直线⊂a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？（2）直线α⊂a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？例2、已知：空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面．例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证 MN ∥平面BCE_ CBM HS CAA例4、在正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ；例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2）求证：AF ⊥BD ；【课堂练习】1、在长方体1111D C B A ABCD -中,AB=4,BC=3,1CC =2 (1)求B A 1与面ABCD 所成的角; (2)求D A 1与面ABCD 所成的角;(3)求C A 1与长方体的各个面所成的角的大小; (4)求C A 1与长方体的各条棱所成的角的大小;2、.在正方体1111D C B A ABCD -中,求B A 1和平面CD B A 11所成的角的大小;3、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.D 1C 1B 1A 1D C BA。
空间直线与平面的位置关系与判定
空间直线与平面的位置关系与判定空间中的直线和平面是几何学中常见的基本要素，它们之间的位置关系及其判定方法在解决实际问题和进行空间几何推理时起着至关重要的作用。
本文将就空间直线与平面的位置关系以及判定方法进行分析和探讨。
一、空间直线与平面的位置关系在三维空间中，直线与平面之间可以存在三种不同的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
下面将分别对这三种情况进行详细说明。
1. 直线在平面内：当直线完全包含在平面内部时，我们称直线在平面内。
这种情况下，直线上的所有点都同时满足平面方程，即直线上的任意一点坐标代入平面方程后等式成立。
举例来说，考虑一条直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}，以及一个平面P：x+y-z=0。
可以发现，直线L上的所有点坐标代入平面P的方程后等式成立，所以该直线L在平面P内。
2. 直线与平面相交：当直线与平面有交点时，我们称直线与平面相交。
直线与平面相交的情况下，直线上的所有点坐标代入平面方程后等式成立，但并不能包含直线上的所有点。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}与平面P：x+2y+3z=0为例，我们可以求解这两个方程组，找出它们的交点。
经计算可得，L和P的交点为(-1, -2, 1)，因此直线L与平面P相交。
3. 直线与平面平行：当直线与平面没有交点且直线上的所有点坐标代入平面方程后等式不成立时，我们称直线与平面平行。
以直线L：{(x,y,z)|x+y-z+1=0}和平面P：2x+2y-2z+2=0为例，我们可以观察到直线L上的任意一点坐标代入平面P的方程后等式不成立。
因此，直线L与平面P平行。
二、空间直线与平面的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的方程或条件来判断直线与平面之间的位置关系。
下面将介绍两种常用的判定方法：点法向式和方向向量法。
1. 点法向式：点法向式是通过平面上的一点和该平面的法向量来表示平面的方程。
利用点法向式可以判断直线与平面的位置关系。
空间直线与平面的位置关系
空间直线与平面的位置关系
空间直线与平面的位置关系：线在面内：线与面有无数个交点；线在面外：平行，线与面没有交点。
相交：线与面又且只有一个交点。
两个向量，一个是直线的方向向量，一个是平面的法向量。
如果这两个向量的数量积等于0，当直线上的已知点在平面上时，直线在平面内。
扩展资料
直线在平面内——有无数个公共点；直线与平面相交——有且只有一个公共点；直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。
直线与平面垂直的判定：如果直线L与平面α内的任意一直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的'垂线，平面α叫做直线L的垂面。
线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
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2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。
引课
我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面 的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它 取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种 关系呢?
线段B1O
（2）AB1在面A1B1CD中的射影
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
A1
B1
D
C
O
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影
线段B1E
（3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
C1
角。
D
C1 B1
O
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
为O,连接PA, PB, PC.
1).若PA PB PC, C 900,则O是AB边的__点.
2).若PA PB PC,则O是ABC的 _____心.
3).若PA PB, PB PC, PC PA,则O是ABC
的 _____心.
P
A
C
B
作业布置 作业:P74 A组9题,B组4题
A1
30o
E
D
A
C1 B1
C B
归纳小结
1．直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 范围：0，90 3．直线与平面垂直的判定
（1）利用定义；垂直于平面内任意一条直线
（2）利用判定定理．
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
巩固练习
2.过ABC所在平面外一点P,作PO ,垂足
垂线
垂足
这个平面所成的角。
规定: 一条直线垂直于平面,我们说它所成的
角是直角；一条直线和平面平行,或在
平面内,我们说它所成的角是00的角。
想一想:直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?
巩固练习
1.判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影
一定是平行直线
（×）
（2）两条相交直线在同一平面内的射影
A1
C1 B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 45o D1
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D
A
C1 B1
C B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
B1
E
D
C
A
B
巩固练习
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）AB1在面BB1D1D中的射影
（2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影 D1
线段C1D C1
A1
B1
D
C
A
B
巩固练习
3.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角 0o
如图,若一条直线PA和一个 平面α相交,但不垂直,那 么这条直线就叫做这个平面 的斜线,斜线和平面的交点 A叫做斜足。
斜线 P A 斜足
斜线
如图,过斜线上斜足以外的一 斜足 点向平面引垂线PO,过垂足O
和斜足A的直线AO叫做斜线在
这个平面上的射影.平面的一 条斜线和它在平面上的射影 射影 所成的锐角,叫做这条直线和
一定是相交直线
（× ）
（3）两条异面直线在同一平面内的射影
要么是平行直线，要么是相交直线 （×）
（4）若斜线段长相等，则它们在平面内
的射影长也相等
（×）
例题讲解
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为a （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角 （2）求直线D1B和平面ABCD所成的角
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D1
C1
A1
B1
Dj A
C B
例题示范,巩固新知
例2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求
（1）直线A1B和平面 BCC1B1所成的角。
（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。
分析:找出直线A1B在平面
D1
BCC1B1和平面A1B1CD内的射 A1
影,就可以求出A1B和平面
BCC1B1和平面A1B1CD所成的