《线性代数》期末试卷 A 答案及评分标准

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线性代数期末试卷A答案及评分标准

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线性代数期末试卷A答案及评分标准IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案(32学时必修)专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;3.本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;4.本试卷正文共7页。

说明:试卷中的字母E 表示单位矩阵;*A 表示矩阵A 的伴随矩阵;)(A R 表示矩阵A 的秩;1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6个题目都做,按照前面5个题目给分) 1.5阶行列式中,项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ,)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式,则4443424122A A A A +-+等于【0】.3.设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,A 为34⨯矩阵,且()2A =R ,则()AB =R 【2】.4.若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关,则=t 【1】.5.设A 是3阶实的对称矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解,则常数=m 【1】.6.设A 和B 是3阶方阵,A 的3个特征值分别为0,3,3-,若AB B E =+,则行列式=+-|2|1E B 【-8】.二、选择题(共5个小题,每小题3分) 1.设A 为3阶矩阵,且21||=A ,则行列式|2|*-A 等于【A 】.(A)2-;(B)21-;(C)1-;(D)2. 2.矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【A 】.(A)210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(B)210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;(C)110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(D)110110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.3.设A 是n 阶非零矩阵,满足2A A =,若A E ≠,则【A 】. (A)||0A =;(B)||1A =;(C)A 可逆;(D)A 满秩.4.设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ,则1C -的第3行第1列的元素为【D 】.(A)4;(B)8;(C)0;(D)1-.5.设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=,a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数,则必有【B 】.(A)2=a ;(B)1=a ;(C)3=a ;(D)以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)1.若,,αβγ线性无关,2,αβ+2k βγ+,3βγ+线性相关,求k解:因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关,所以必定存在不全为零的数321,,λλλ,使得0=3+++2+2+321)()()(γβλγβλβαλk ----------2分 整理得:0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ)()(k 由于,,αβγ线性无关,因此可得由于321,,λλλ不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此0=30122001k ,由此得k =分2.设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ,若2)(=+B AB R ,求a .解:由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ,由此可得0=+B E A又02=122010012=+≠--E A ----------2分因此0=B因此可得5=-a .----------7分3.设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且,A B 相似,求a 与t 的值.解:由,A B 相似可知,A B 的特征值相同,而易知B 的特征值为-1,t ,3,因此A 的特征值也为-1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3ta t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分 解得12a t ==,.----------7分四、(共2小题,每小题8分) 1.求向量组的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解:令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪⎪⎝⎭,把A 进行行变换,化为行最简形,()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421,,βββ是C 的列向量组的一个最大无关组,且421303ββββ++=, 故421,,ααα是A 的列向量组的一个最大无关组,且421303αααα++=.----------8分2.问a 满足什么条件,才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量?解:由0=30030412=λλλλ----a E A ,得A 的特征值:3==2=321λλλ, 要使A 有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量,即0=)3(x E A -的解空间的维数为1,则2=)3(E A R -,----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,因此可知0≠a .----------8分五、问λ为何值时,线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解.解:记方程组的增广矩阵为,则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ,对其进行行变换,化为行阶梯形:101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭,易知,当1≠λ时,3)(2)(=≠=B R A R ,方程组无解;当1=λ时,2)()(==B R A R ,方程组有无穷多解;----------6分当1=λ时,101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩,由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩,并求正交变换Py x =,化二次型为标准形.解:记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为分由0442442221=-------=-λλλλE A ,可得:0,9321===λλλ,当,91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当,032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-,01232ξξ, 正交化:[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--,012222323322ηηηξηξηξη,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35,0125132p p ,----------12分 令()321p p p P =,则可得正交变换Py x =,二次型的标准形为:232221321009),,(y y y y y y f ++=.----------14分 七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)1.“设A 是n 阶实的反对称矩阵,则对于任何n 维实的列向量α,α和αA 正交,且E A -可逆”.您认为该结论成立吗?请说明理由.解:该结论成立。

201520161《线性代数》期末考试(A)答案及评分标准

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201520161《线性代数》期末考试(A)答案及评分标准————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案(32学时必修)专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项:1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;3.本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;4. 本试卷正文共7页。

说明:试卷中的字母E 表示单位矩阵;*A 表示矩阵A 的伴随矩阵;)(A R 表示矩阵A 的秩;1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6个题目都做,按照前面5个题目给分)1.5阶行列式中,项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ,)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式,则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3.设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,A 为34⨯矩阵,且()2A =R ,则()AB =R 【 2 】.4.若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关,则=t 【 1 】.5.设A 是3阶实的对称矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解,则常数=m 【 1 】.6.设A 和B 是3阶方阵,A 的3个特征值分别为0,3,3-,若AB B E =+,则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.本题满分15分 本题得分二、选择题(共5个小题,每小题3分)1. 设A 为3阶矩阵,且21||=A ,则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-; (B) 21-; (C) 1-; (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】.(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3.设A 是n 阶非零矩阵,满足2A A =,若A E ≠,则【 A 】.(A) ||0A =; (B) ||1A =; (C) A 可逆; (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ,则1C -的第3行第1列的元素为【 D 】.(A) 4; (B) 8; (C) 0; (D) 1-.5.设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=,a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数,则必有【 B 】.(A) 2=a ; (B) 1=a ; (C) 3=a ; (D) 以上选项都不对.本题满分15分 本题得分三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关,2,αβ+2k βγ+,3βγ+线性相关,求k . 解:因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关,所以必定存在不全为 零的数321,,λλλ,使得0=3+++2+2+321)()()(γβλγβλβαλk ----------2分 整理得:0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ)()(k 由于,,αβγ线性无关,因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321,,λλλ不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此0=30122001k ,由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ,若2)(=+B AB R ,求a .解:由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ,由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分本题满分21分本题得分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且,A B 相似,求a 与t 的值.解:由,A B 相似可知,A B 的特征值相同,而易知B 的特征值为 -1,t ,3,因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、(共2小题,每小题8分)1.求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα 的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解:令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换,化为行最简形, ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421,,βββ是C 的列向量组的一个最大无关组,且421303ββββ++=, 故421,,ααα是A 的列向量组的一个最大无关组,且421303αααα++=.----------8分本题满分16分 本题得分2. 问a 满足什么条件,才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量?解:由0=30030412=λλλλ----a E A ,得A 的特征值:3==2=321λλλ, 要使A 有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量, 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1,则2=)3(E A R -, ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时,线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解.解:记方程组的增广矩阵为,则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ,对其进行行变换,化为行阶梯形:101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭,易知,当1≠λ时,3)(2)(=≠=B R A R ,方程组无解;当1=λ时,2)()(==B R A R ,方程组有无穷多解; ----------6分当1=λ时,101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩,由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分本题满分12分本题得分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩,并求正交变换Py x =,化二次型为标准形.解:记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ,可得:0,9321===λλλ,当,91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当,032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-,01232ξξ, 正交化:[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--,012222323322ηηηξηξηξη, 单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3515541552-15452-35,0125132p p , ----------12分 本题满分14分本题 得分令()321p p p P =,则可得正交变换Py x =,二次型的标准形为:232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵,则对于任何n 维实的列向量α,α和αA 正交,且E A -可逆”.您认为该结论成立吗?请说明理由. 解:该结论成立。

线性代数A参考答案与评分标准

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广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案与评分标准一.填空题(每小题3分,共15分)1.行列式524210321--中(2,3)元素的代数余子式A 23的值为__-10__ 2.设A 是4阶方阵,A =-2,则*A -=___-8___3.向量组α1=(1,2,-1,1), α2=(2,0,3,0), α3=(-1,2,-4,1)的秩为__2__4.若α1,α2,α3都是齐次线性方程组Ax=0的解向量,则A (3α1-5α2+2α3)=__0__.5.已知0=λ是方阵A 的一个特征值,则|A|= 0___ 二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.设n 阶方阵A 中有n 2-n 个以上元素为零,则A 的值【 B 】A .大于零B .等于零C .小于零D .不能确定2.设n 阶方阵A ,B ,C 满足ABC=E ,则必有【 D 】A .ACB=EB .CBA=EC .BAC=ED .BCA=E3.设3阶矩阶A=(α1,β,γ),B=(α2,β,γ),且A =2,B =-1,则B A += 【 A 】A .4B .2C .1D .-44.设A 是3阶可逆矩阵, A 的第2行乘以2为矩阵B ,则1-A 的【 C 】为1-BA .第2列乘以2; B. 第2行乘以2; C. 第2列乘以21; D. 第2行乘以21. 5.设A 为m ×n 矩阵,则非齐次线性方程组Ax=b 有惟一解的充分必要条件是【 D 】A .m=nB .Ax=0只有零解C .向量b 可由A 的列向量组线性表出D .A 的列向量组线性无关,而增广矩阵A 的列向量组线性相关三.(本题8分)计算行列式3351110243152113------=D .解:331511204351213121-------=↔c c D 7216011206480213114125------=+-r r r r ……………………2分 7216064801120213132-----=↔r r 1510001080011202131242384----=-+r r r r ……………………………4分 402/50001080011202131344/5=---=+r r …………………………………………6分…………………………………………8分四.(本题8分)设矩阵3400430000200022A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,求4A 解: 记13443A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭22022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2212343450434305A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭44145005A ⎛⎫=⎪⎝⎭………………………………………………3分22232202*********A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 442642022A ⎛⎫= ⎪⎝⎭………………………………………………6分444414144226450000005000000200022A A A A A ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭…………8分 五.(本题10分)已知向量1110α-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1322α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2133α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7054α,(1)试判定1α,2α,3α是向量组1α,2α,3α,4α的一个最大无关组(2)将4α用1α,2α,3α线性表出解:(1)12341235(,,,)13100127A αααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭122334123501250013r r r r r ÷---⎛⎫⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭ ……………………………………………2分 123233120401010013r r r r +---⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………4分 12(1)123412100601010013(,,,)r r r Bββββ-⨯-⎛⎫⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭= ………………………………………………6分 由于()()3R A R B ==,且1β,2β,3β线性无关,所以1α,2α,3α是向量组1α,2α,3α,4α的一个最大无关组………………………………………………8分(2)由于对矩阵初等行变换,不改变列向量组的线性相关性所以412363αααα=++ …………… ……………………………10分六.(本题10分)已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B 解:B A AB 2+=A B E A =-⇒)2( ……………………………………………2分021*********≠=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-E A …………………………………………4分所以1)2(--E A 存在,有A E A B 1)2(--= (6)分 ()A EA 2-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321121011011330332⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++330110011011352310~23212r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+022200363301352310~1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷↔011100352310363301~)2(312r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100321010330001~323133r r r r ………………………8分⇒A E A B 1)2(--==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-011321330 ……………………………………………10分七.(本题12分)求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解解:对系数矩阵A 作初等行变换,变为行最简形矩阵,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------81014045701111~121327r r r r …………………………3分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000045701111~232r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----÷-00007/47/5107/37/201~)7(221r r r ……………………6分便得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=43243174757372x x x x x x ……………………………………………8分令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0143x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,则对应有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7/57/221x x 及⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7/47/3,即得基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21ξ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=107/47/32ξ……………………………………………10分 并由此写出通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=017/57/21c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+107/47/32c ,),(21R c c ∈…………………………………12分 八.(本题12分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00111100x A ,问x 为何值时,矩阵A 能对角化? 解:λλλλλλλ---=---=-11)1(011110x E A ……………………………2分)1()1(2+--=λλ得11-=λ,132==λλ ……………………………………………4分 对应单根11-=λ,可求得线性无关的特征向量恰有一个,故A 可对角化的充分必要条件是对应重根132==λλ,有两个线性无关的特征向量,即方程0)(=-x E A 有两个线性无关的解,亦即系数矩阵E A -的秩为1………6分由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-10101101)(x E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-000100101~x r ,……………………………8分 要1)(=-E A R ,得01=+x ,即1-=x ………………………………10分 因此,当1-=x 时,矩阵A 能对角化。

复旦大学《线性代数I》2017-2018学年第一学期期末考试试卷A卷

复旦大学《线性代数I》2017-2018学年第一学期期末考试试卷A卷

2有惟一解,无解,
x1 x2 x3 1
无穷多解?并求其通解 .
解:
1 x 3 1 2 y
1 2 0
2
x
2 2 y
0 2 3
x y3
即得
3
x
16
2
y
4 7
解:
B
Ab
1
1
1 1
0 1 2
r1 r3
r2 r1 r3 r1
1 0
1 1
1
1 1 1
0 0 0 0 0 0
得基础解系
1
0
1
=
1
,2
0
0
1
1
2
0
.1
,
2
已正交,单位化得
p1 =
1 2
0
,
p2
0
1
2

3
=
1 时,
A
E
2
0
2 2 0
0 1
03
0 0
1 0 0
0
1 0
,
x1 x3
x2 0
0
1
1
2
得基础解系
3
=
1
,单位化得
0
得分
4= 5,2,4, 10T ,求该向量组的秩以及一个最大无关组,并将其余向量用该最大
无关组线性表示.
解:
1 1 3 5
1 1 3 5
1,
2,
3,
4
2 0
4 2
3 1
2 4
r2 2 r1
r4 2r1
0 0
6 2312Fra bibliotek1 4

2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准

2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准

A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案(32学时必修)专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项:1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;3.本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;4. 本试卷正文共7页。

说明:试卷中的字母E 表示单位矩阵;*A 表示矩阵A 的伴随矩阵;)(A R 表示矩阵A 的秩;1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6个题目都做,按照前面5个题目给分)1.5阶行列式中,项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ,)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式,则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3.设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,A 为34⨯矩阵,且()2A =R ,则()AB =R 【 2 】.4.若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关,则=t 【 1 】.5.设A 是3阶实的对称矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解,则常数=m 【 1 】.6.设A 和B 是3阶方阵,A 的3个特征值分别为0,3,3-,若AB B E =+,则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题(共5个小题,每小题3分)1. 设A 为3阶矩阵,且21||=A ,则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-; (B) 21-; (C) 1-; (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】.(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3.设A 是n 阶非零矩阵,满足2A A =,若A E ≠,则【 A 】.(A) ||0A =; (B) ||1A =; (C) A 可逆; (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ,则1C -的第3行第1列的元素为【D 】.(A) 4; (B) 8; (C) 0; (D) 1-.5.设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=,a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数,则必有【 B 】.(A) 2=a ; (B) 1=a ; (C) 3=a ; (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关,2,αβ+2k βγ+,3βγ+线性相关,求k . 解:因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关,所以必定存在不全为零的数321,,λλλ,使得0=3+++2+2+321)()()(γβλγβλβαλk ----------2分 整理得:0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ)()(k 由于,,αβγ线性无关,因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321,,λλλ不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此0=30122001k ,由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ,若2)(=+B AB R ,求a .解:由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ,由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且,A B 相似,求a 与t 的值.解:由,A B 相似可知,A B 的特征值相同,而易知B 的特征值为 -1,t ,3,因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、(共2小题,每小题8分)1.求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解:令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换,化为行最简形, ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421,,βββ是C 的列向量组的一个最大无关组,且421303ββββ++=, 故421,,ααα是A 的列向量组的一个最大无关组,且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件,才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量?解:由0=30030412=λλλλ----a E A ,得A 的特征值:3==2=321λλλ, 要使A 有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量, 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1,则2=)3(E A R -, ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时,线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解.解:记方程组的增广矩阵为,则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ,对其进行行变换,化为行阶梯形:101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭,易知,当1≠λ时,3)(2)(=≠=B R A R ,方程组无解;当1=λ时,2)()(==B R A R ,方程组有无穷多解; ----------6分当1=λ时,101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩,由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩,并求正交变换Py x =,化二次型为标准形.解:记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ,可得:0,9321===λλλ,当,91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当,032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-,01232ξξ,正交化:[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--,012222323322ηηηξηξηξη,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35,0125132p p , ----------12分令()321p p p P =,则可得正交变换Py x =,二次型的标准形为:232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵,则对于任何n 维实的列向量α,α和αA 正交,且E A -可逆”.您认为该结论成立吗?请说明理由. 解:该结论成立。

线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料

线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料

线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷(A 卷)2005学年第一学期 考试科目:线性代数 考试类型:闭卷 考试时间:120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.(每小题3分,共30分)1.若行列式D 各行元素之和等于0,则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8.如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的,则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题(每题3分,共15分)1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含( D )个解向量.(A )n (B )r (C )r n - (D )n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵A *的秩为( D )(A )1 (B )2 (C )3 (D )0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵,满足2A E=,则( B )(A)A的行列式为1 (B),-+不同时可逆.A E A E=(D)A的特征值全是1 (C)A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=,其中E是n阶单位阵,则必有( C )(A)ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=, ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=,124,,ααα是一个最大无关组。

17-18线性代数A答案和评分标准

17-18线性代数A答案和评分标准

3 3 3
0 0 0 x1 x2 , x3 2x2 ,3 (1,1,2)T
9’
1 1 1
U
( , , )
1
2
3
1
1
1

10’
1 0 2
0 0 0
(3)B U 1 AU 0 1 0
12’
0
0
9
标准答案第 5 张
标准答案第 6 张
6 3 4
0
2
0
8
4
6 0
1
0
4
2
3 ,
A1
4
2
3
7’
0 0 1 9 4 6 0 0 1 9 4 6
9 4 6
3.

A
3
1
,求
A
的所有的特征值和特征向量.
1 3
3 1
| I A |
( 2)( 4) 0, 2, 4
3’
1 3
1
2
I
A
1
1
1
1, x x
1
1 1 0 0 1 2
3.
A
1
0
2, AAT 5
2
0 1 1
2 2
4. A a c
b , d
A
可逆的条件是
ad-bc
0
,可逆时
A-1=
ad
1
bc
d c
b a .
5. 矩阵 A= 1 2 3 ,I12(-1)为初等倍加阵,则 AI12(-1)= 1 1 3
4 5 6
4 1 6
7 8 9
7
1
9
1 2 6. 4
1 0 1 A 0 2 0,

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题(A卷)试卷类别:闭卷考试时间:120分钟考试科目:线性代数学号:______ 姓名:______题号得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分,共30分)1.设A经过初等行变换变为B,则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B);(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=,则(C)。

A) A中有一行元素全为零;(B) A中必有一行为其余行的线性组合;(C) A有两行(列)元素对应成比例;(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是(A)A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O;(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s;(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=,若矩阵A的秩为n-1,则a必为()。

11;(C) -1;(D)。

(A) 1;(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于()。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4;(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4);(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4;(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b,则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O,In为n阶单位矩阵,则A=−A−3In。

(C)9.设A,B是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

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A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案(32学时必修)专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日注意事项:1.请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题(请勿用铅笔答题),反面及附页可作草稿纸;2.答题时请注意书写清楚,保持卷面清洁;3.本试卷共七道大题,满分100分;试卷本请勿撕开,否则作废;4. 本试卷正文共7页。

说明:试卷中的字母E 表示单位矩阵;*A 表示矩阵A 的伴随矩阵;)(A R 表示矩阵A 的秩;1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题(请从下面6个题目中任选5个小题,每小题3分;若6个题目都做,按照前面5个题目给分)1.5阶行列式中,项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ,)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式,则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3.设102020103B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,A 为34⨯矩阵,且()2A =R ,则()AB =R 【 2 】. 4.若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关,则=t 【 1 】.5.设A 是3阶实的对称矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解,则常数=m 【 1 】.6.设A 和B 是3阶方阵,A 的3个特征值分别为0,3,3-,若AB B E =+,则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题(共5个小题,每小题3分)1. 设A 为3阶矩阵,且21||=A ,则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-; (B) 21-; (C) 1-; (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】. (A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (B) 210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (C) 110120001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3.设A 是n 阶非零矩阵,满足2A A =,若A E ≠,则【 A 】.(A) ||0A =; (B) ||1A =; (C) A 可逆; (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ,则1C -的第3行第1列的元素为【D 】.(A) 4; (B) 8; (C) 0; (D) 1-.5.设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=,a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数,则必有【 B 】.(A) 2=a ; (B) 1=a ; (C) 3=a ; (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题,每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关,2,αβ+2k βγ+,3βγ+线性相关,求k . 解:因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关,所以必定存在不全为零的数321,,λλλ,使得0=3+++2+2+321)()()(γβλγβλβαλk----------2分整理得:0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ)()(k 由于,,αβγ线性无关,因此可得由于321,,λλλ不全为零,即上述齐次线性方程组有非零解,因此0=30122001k ,由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ,若2)(=+B AB R ,求a .解:由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ,由此可得 0=+B E A又 02=12201012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且,A B 相似,求a 与t 的值.解:由,A B 相似可知,A B 的特征值相同,而易知B 的特征值为 -1,t ,3,因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、(共2小题,每小题8分) 1.求向量组的一个最大无关组,并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解:令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪⎪⎝⎭, 把A 进行行变换,化为行最简形,()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭----------6分则421,,βββ是C 的列向量组的一个最大无关组,且421303ββββ++=, 故421,,ααα是A 的列向量组的一个最大无关组,且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件,才能使得21403003A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量?解:由0=30030412=λλλλ----a E A ,得A 的特征值:3==2=321λλλ, 要使A 有两个线性无关的特征向量,则特征值3对应一个线性无关的特征向量, 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1,则2=)3(E A R -, ----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时,线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解,有无穷多解,并在有无穷多解时求出其通解.解:记方程组的增广矩阵为,则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ,对其进行行变换,化为行阶梯形:101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭,易知,当1≠λ时,3)(2)(=≠=B R A R ,方程组无解;当1=λ时,2)()(==B R A R ,方程组有无穷多解; ----------6分当1=λ时,101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭,与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩,由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩,并求正交变换Py x =,化二次型为标准形.解:记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f的秩为----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ,可得:0,9321===λλλ,当,91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ,单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当,032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-,01232ξξ, 正交化:[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--,012222323322ηηηξηξηξη, 单位化:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3515541552-15452-35,0125132p p , ----------12分 令()321p p p P =,则可得正交变换Py x =,二次型的标准形为:232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、(请从下面2个题目中任选1个,若2个题目都做,按照第1题给分)1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵,则对于任何n 维实的列向量α,α和αA 正交,且E A -可逆”.您认为该结论成立吗?请说明理由. 解:该结论成立。

由于A 为反对称阵,则A A T-=,对于任意n 维实的列向量α,有:所以[]0=ααA ,即α和αA 正交; ----------3分 考虑0=)x E A -(,即x Ax =,等式两边同时左乘T x ,得0==x x Ax x T T ,由此得:0=x ,即0=)x E A -(只有零解,所以0≠-E A ,E A -可逆. ----------7分2. 设矩阵A 满足122A B B E -=+,1002110223002B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,试求出A E -的第2行的元素. 解:等式122A B B E -=+两边同时左乘A 得:A AB B +2=2,整理得:)+2=2E B A B (,B 已知,由此可求出1101003002A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭, ----------5分 从而可求出A E -的第2行的元素为:1,-1, 0. ----------7分。

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