第19讲—— 线性分组码编码与译码(1)
线性分组码的编码与译码
实践教学大学计算机与通信学院2014年秋季学期计算机通信课稈设计题目：线性分组码（9 , 4）码的编译码仿真设计专业班级：_______________________________姓名：_________________________________________学号：_______________________________________指导教师：______________________________________成绩：______________________________________________摘要该系统是（9, 4）线性分组码的编码和译码的实现，它可以对输入的四位的信息码进行线性分组码编码，对于接收到的九位码字可以进行译码，从而译出四位信息码。
当接收到的九位码字中有一位发生错误时，可以纠正这一位错码；当接收到的码字有两位发生错误时，只能纠正一位错误，但同时能检测出另一位错误不能纠正。
只有特定位有两位错误时，才能纠正两位错误。
这样就译出正确的信息码组，整个过程是用MATLAB语言实现的。
关键词：编码；译码;纠错摘要 目录1. 信道编码概述2.•…1.1信道模型 ............................................................... 2•…1.2抗干扰信道编码定理及逆定理 ............................................ 3…1.3检错与纠错的基本原理 .................................................. 4•…1.4限失真编码定理 ........................................................ 5•…2. 线性分组码的编码 ........................................................... 6 _2.1生成矩阵 ............................................................... 6•…2.2校验矩阵 ............................................................... 9•…2.3伴随式与译码 ......................................................... 1.0....3. 线性分组码编码的 Matlab 仿真 ............................................... 1.2..3.1程序流程图 ............................................................ 1.2....3.2程序执行结果 ......................................................... 12....3.2线性分组码译码的 Matlab 仿真 .......................................... 1.3.3.3结果分析 .............................................................. 1.5.... 参考文献 .................................................................... .1.6..... 总结 ......................................................................... 1.7.... 致谢 ......................................................................... 1.8.... 附录目录19刖言由于计算机、卫星通信及高速数据网的飞速发展，数据的交换、处理和存储技术得到了广泛的应用，数字信号在传输中往往由于各种原因，使得在传送的数据流中产生误码，从而使接收端产生图象跳跃、不连续、出现马赛克等现象，人们对数据传输和存储系统的可靠性提出来了越来越高的要求，经过长时间的努力，通过编译码来控制差错、提高可靠性的方式在信道传输中得到了大量的使用和发展，并形成了一门新的技术叫做纠错编码技术，纠错编码按其码字结构形式和对信息序列处理方式的不同分为两大类：分组码和卷积码。
线性分组码详解
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线性分组码的生成矩阵
线性码的封闭性:
线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。 [证明]：若 U 和 V 为线性码的任意两个码字，故有
HU T=0T，HV T=0T 那么 H(U+V)T=H(U T+V T)=HU T+HV T=0T 即 U+V 满足监督方程，所以 U+V 一定是一个码字。 一个长为 n 的二元序列可以看作是GF(2)(二元域)上的 n
说明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元 的模2和，依此类推。
H 阵的 r 行代表了 r 个监督方程，也表示由H 所确定
的码字有 r 个监督元。 为了得到确定的码，r 个监督方程（或H 阵的r 行）必 须是线性独立的，这要求H 阵的秩为 r。 若把H 阵化成标准形式，只要检查单位子阵的秩，就 能方便地确定H 阵本身的秩。
2018/10/Байду номын сангаас5
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信息码组 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 由线性方程组得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1 即信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。 其它7个码字如表。 (7,3)分组码编码表 信息组 对应码字
000 001 010 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100
则称集合V是数域F上的n维矢量空间，或称n维线 性空间，n维矢量又称n重(n-tuples)。
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矢量空间中矢量的关系
对于域F上的若干矢量 V1 ,V2 , 线性组合：
线性分组码的编码原理
如果用两个二进制码元来表示一个消息，有4 种可能的码字，即“00”、 “01”、“10”和
“11”。比如规定“00”表示消息A， “11”表示 消息B。码字“01”或“10”不允许使用，称为禁
用码字，对应地，用来表示消息的码字称为许用 码字。如果在传输消息的过程中发生一位错码， 则变成禁用码字“01”或“10”，译码器就可判决 为有错。这表明在信息码元后面附加一位监督码 元以后，当只发生一位错码时，码字具有检错能 力。但由于不能判决是哪一位发生了错码，所以 没有纠错能力。
间的最小距离，称为该编码的最小汉明距离，简称为最小码距，用 d min 表示。例如码长 n =3 的重复码，只有 2 个许用码字，即 000 和 111， 显然 d min ＝3。
《通信原理课件》
《通信原理课件》
信道编码的效用
《通信原理课件》
[例9.2.1]
《通信原理课件》
《通信原理课件》
9.2.2 信道编码的译码方法
《通信原理课件》
《通信原理课件》
9.4.1 循环码的码多项式
循环码可用多种方式进行描述。在代数编码理论中，通常用多项式 去描述循环码，它把码字中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个
n 长的码字 C ＝ cn1,cn2 ,cn3,,c1,c0 用一个次数不超过（n-1）的多
项式表示为
C x cn1 x n1 cn2 x n2 c1 x c0
《通信原理课件》
9.2 信道编码的基本原理
香农的信道编码定理指出：对于一个给
定的有扰信道，如果信道容量为C，只要发 送端以低于C的信息速率R发送信息，则一
定存在一种编码方法，使译码差错概率随 着码长的增加，按指数规律下降到任意小 的值。这就是说，通过信道编码可以使通 信过程不发生差错，或者使差错控制在允 许的数值之下。
线性分组码
❖ 信息码组 (101)，即C6=1, C5=0, C4=1 ❖ 由线性方程组得： C3=0, C2=0, C1=1, C0=1
❖ 即信息码组 (101) 编出的码字为 (1010011)。
其它7个码字如表。
(7,3)分组码编码表
信息组 对应码字
000 0000000 001 0011101 010 0100111 011 0111010 100 1001110 101 1010011 110 1101001 111 1110100
矢量空间
❖ 每个矢量空间或子空间中必然包含零矢量 ❖ 两个矢量正交：V1V2＝ 0 ❖ 两个矢量空间正交：某矢量空间中的任意
元素与另一矢量空间中的任意元素正交 ❖ 正交的两个子空间V1、V2互为对偶空间
(Dual Space)，其中一个空间是另一个空 间的零空间（null space，也称零化空 间）。
一致监督方程和一致监督矩阵
一致监督方程：
❖ 编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。 ❖ 在 k 个信息码元之后附加 r(r=n－k) 个监督码元，使每个监督元是
其中某些信息元的模2和。 ❖ 例k=3, r=4构成 (7,3) 线性分组码。设码字为
(C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0) C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元，每个码元取“0”或
为什么要引入线性码
发现或构造好码是信道编码研究的主要问题。 编码方案太多，以至全局搜索是不可能的。 现实的做法是对编码方案加以一定的约束，在一个子
集中寻找局部最优。 这种约束即要能包含尽可能好的码，又要便于分析，
便于译码。 目前对线性系统的研究远远比非线性系统要充分。
引入线性码的好处
线性分组码的编码_通信原理（第3版）_[共4页]
![线性分组码的编码_通信原理（第3版）_[共4页]](https://img.taocdn.com/s3/m/f1c78fd1eff9aef8951e06c2.png)
通信原理（第3版）260范围以内，则自动纠错；如果超出了码的纠错能力，但能检测出来，则经过反馈信道请求发送端重发。
这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，误码率较低，因此，近年来得到广泛应用。
9.3 线性分组码线性分组码既是分组码，又是线性码。
分组码的编码包括两个基本步骤：首先将信源输出的信息序列以k 个信息码元划分为一组；然后根据一定的编码规则由这k 个信息码元产生r 个监督码元，构成n ( = k + r )个码元组成的码字。
线性码是指监督码元与信息码元之间的关系是线性关系，它们的关系可用一组线性代数方程联系起来。
线性分组码一般用符号(,)n k 表示，其中k 是每个码字中二进制信息码元的数目；n 是码字的长度，简称为码长；(-)r n k =为每个码字中的监督码元数目。
每个二进制码元可能有2种取值，n 个码元可能有2n 种组合，(,)n k 线性分组码只准许使用2k 种码字来传送信息，还有()22n k −种码字作为禁用码字。
如果在接收端收到禁用码字，则认为发现了错码。
一个n 长的码字C 可以用矢量()1210n n c ,c ,,c ,c −−="C 表示。
线性分组码(,)n k 为系统码的结构如图9-4所示，码字的前k 位为信息码元，与编码前原样不变，后r 位为监督码元。
9.3.1 线性分组码的编码在介绍线性分组码的原理之前，首先我们来看一种简单而又常用的线性分组码——奇偶监督码（也称为奇偶校验码），分为奇数监督码和偶数监督码。
无论信息码元有多少，监督码元只有一位。
在偶数监督码中，监督码元的加入使得每个码字中“1”的数目为偶数；在奇数监督码中，监督码元的加入使得每个码字中“1”的数目为奇数。
奇偶监督码是一种()1n,n −线性分组码，它的最小码距min 2d =，能够检一位错码。
偶数监督码()1210n n c ,c ,,c ,c −−=C "满足下式条件1200n n c c c −−⊕⊕⊕=" （9.3-1） 式中，0c 为监督码元，()121n n c ,c ,,c −−"为信息码元，⊕表示模2加。
线性分组码的译码
一、实验目的1、通过实验掌握线性分组码的编码原理2、通过实验掌握线性分组码的译码3、了解编码与检错能力之间的关系二、实验内容1、自行设置线性分组码或汉明码的参数，计算所设计出的线性分组码或汉明码的所有码字集合；2、利用库函数译码或利用通信工具箱设计译码模块译码；3、整理好所有的程序清单或设计模块，并作注释。
三、实验结果1、写出产生（3，1）汉明码的生成矩阵，给出生成码的源程序，并给出运行结果。
(1)、源程序function f=hanmingencod(a) %对信息元a进行编码G=[1 1 1]; %（3,1）的生成矩阵t=input('输入0或1:'); %t=0时产生（3,1），汉明编码所有码字t=1时对输入序列进行编码if t==1;a=input('输入信息元序列:'); %当t=0时，则用户手动输入信息元序列c=mod(a*G,2); %对应码字disp('编码后序列为:');disp(c); %显示编码后的结果elsedisp('（3,1）汉明系统为:');%当t=0时，对for循环得到的信息元序列进行编码for i=0:1%进行for循环，得到信息元序列a=dec2bin(i,1); %生成信息源序列c=mod(a*G,2); %对信息元a进行编码disp(a); %显示信息元disp('对应码字为:');disp(c); %显示编码结果endend（2）运行结果:输入0或者1:0（3，1）汉明系统码为:对应码字为:0 0 01对应码字为: 1 1 1输入0或者1:1输入信息元序列:0编码后序列为: 0 0 0输入0或者1:1输入信息元序列:1编码后序列为: 1 1 1（3）、计算生成矩阵：由（3,1）汉明码可知：n=3,k=1;即信源符号1位一组：{}(),0,1,0,1,2,3;i i u u u i =∈=码符号3位一组：{}210(,,),0,1,0,1,2,3,4,5,6;j c c c c c j =∈=则可得其生成矩阵：[]1,1,1G = 或者校验矩阵H=⎥⎦⎤⎢⎣⎡110110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100111 所以生成矩阵[]1,1,1G =2、用encode函数对随机产生的序列进行汉明编码，给出编码结果。
线性分组码
C mG
G是一个k*n阶矩阵，称为(n,k)码的生成矩阵。
7
1 0 G 0
0 0 1 0 0 1
p11 p 21 p k1
p12 p 22 pk 2
p1( n k ) p 2( nk ) I P k pk ( nk )
n 1
u和v之间的距离表示2个码字对应位不同的数目。
如(7,3)码的两个码字：u=0011101
v=0100111
它们之间的距离d=4
4
码的最小距离的dmin ：在（n,k）线性码字集合中， 任意两个码字间的距离最小值，是衡量抗干扰能力的 重要参数，dmin越大，抗干扰能力越强。 码字的重量W：码字中非零码元符号的个数；在二元 线性码中，码字的重量是码字中含“1”的个数。 码的最小重量Wmin：线性分组码中，非零码字重量的 最小值，称为码的最小重量，表示为：
限， 性能界限，即码的译码错误概率的上、下 限。 对码距限而言，最重要的限是汉明限，普 洛特金限和吉尔伯特－瓦尔沙莫夫限，汉 明码和普洛特金限告诉我们，在给定码长n 和码的传输速率R=k/n下，最小距离可以达 到的最大值，故它们都是上限，而吉尔伯 特一瓦尔沙莫夫限给出了码的最小距离的 下限。
HC 0
T
T
r=n-k
H
阵是n列，(n-k)行的矩阵；
为了得到确定的码，r个监督方程必须是线性
无关的，即要求H阵的秩为r。
6
2. 生成矩阵G
把方程组写成矩阵的形式为
h11 h 21 h r1
h12 h1k h 22 h 2k h r2 h rk
m 信道编码
C
线性分组码(1)
定理4：[n,k]分组码的最小距离d满足 d min w(c)
c1
c[n,k ]
d(c1,c2)=w(c1+c2)=w(c3)
d(c1,c2)
d(c1,c3)
定理5：GF(2)上的[n,k,d]分组码中任何码字c1,c2满足:
c2
w(c1+c2) = w(c1)+w(c2)- 2(c1•c2)
• 内积
+
r=c+e
e
h1,n-1 h1,n-2 … h1,0
H=
h2,n-1 h2,n-2 … h2,0
..........
= (hn-1, hn-2, … , h1,h0 )
hn-k,n-1hn-k,n-2 … hn-k,0
设e = (en-1, en-2, … , e1, e0 ) = (0, …, ei1, … , ei2, … , eit , … ,0 )
1111000 H= 1 1 0 0 1 1 0
1010101
b. 系统码 1110100
H= 1 1 0 1 0 1 0 1011001
五、线性分组码的译码6
3. 线性分组码的最小距离与H的关系
e1s1=e1 HT e2s2=e2 HT 若e1e2，希望s1s2 .即保证e与s有一一对应关系。 设e1= (0…ei1….ei2…eit…)
秩是多少？
基不同，G不同，但 生成的空间是一样的， 不同的G的意义是什 么？
G称为[n,k]码的生成矩阵。 G的标准形式[IkP], 称为典型生成矩阵。
三、G与H的关系
G的行矢量是码字， HgiT=0T, 有HGT= 0T, H与G所张成的空间互为零空间。
CH: H校验，G生成。 CG: G校验，H生成。
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译码步骤
由接收码字r计算伴随式sT=HrT 若s=0，则译码器认为接收码字没错，否则有错，并 由s计算错误图样e 由错误图样进行译码，估计发送的码字 c=r-e=r+e 其中最困难的是确定错误图样，即错误定位。如何 进行错误定位？
译码思路1
h 0 h0,0 h h 1, 0 H 1 h n k 1 hn k 1, 0
一致校验矩阵
由对偶空间的定义知，有对任意的 c C
cH T 0
即H可以检验一个n重是否为码字，称H为码C的 一致校验矩阵。
h 0 h0,0 h h 1, 0 H 1 h n k 1 hn k 1, 0 h0,1 h1,1 hn k 1,1 h0,n 1 h1,n 1 hn k 1,n 1
00101 00110 00111
01100 01111 01110
10111 10100 10101
11110 11101 11100
消息 000 001 010 011 100 101 110 111
码字 00000 01001 10010 11011 00100 01101 10110 11111
求其一致校验矩阵？ 【例】设二元(5,3)码，其生成矩阵为
1 0 0 1 1 G 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
求其一致校验矩阵？
线性分组码编码
• 线性分组码的编码过程分为两步： – 把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由 k 位组成； – 编码器按照预定的线性规则，把信息码组变换成 n 重 (n>k) 码字。 • 信息码组长 k 位，有 2k 个不同的信息码组，则有 2k 个 码字与它们一一对应。
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
线性分组码
长度为n，有2k个码字的码组，当且仅当这2k个码字是 GF(2)上n维矢量空间的一个k维子空间时，称为(n,k) 线性分组码，简称(n,k)码。 由于k维子空间是在模2加法下运算的，构成了一个加法 交换群，所以线性分组码也称为群码。
译码器就是从接收码字r得到发送码字的估计值，或者 说从接收码字中确定错误图样e，然后由c=r-e得到发送 码字的估计值。如果估计正确则译码正确，否则译码错 误。 如何得到发送码字的估计值，根据什么准则？
译码准则
最大后验概率译码
max pN (c m v )
最大似然译码 最小距离译码
max pN ( v c m )
消息
00 01 10 11
码字 00000 01001 10010 11011
分元陪集划分 00000 01001 10010 11011 00100 01101 10110 11111
00001 00010 00011
01000 01011 01010
10011 10000 10001
11010 11001 11000
对于系统码，上式可以写成 [Ik Q] [P Ir ] T =0 得 [PT+Q]= 0 所以 PT =Q 或者 P=QT 即P矩阵与Q矩阵互为转置矩阵。 对于系统码，已知校验矩阵H就可以确定典型生成矩 阵G，反之，已知生成矩阵也就可以确定校验矩阵。
例 题
【例】设二元(7,4)码的生成矩阵为
1 0 G 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1
典型一致校验矩阵
系统码的一致校验矩阵为
h0,1 h0, 0 h h1,1 1, 0 H hn k 1,n 1 hn k 1,n 1 h0,n k 1 1 h1,n k 1 0 1 0 hn k 1,n k 1 0 0 0 0 0 0 1
典型生成矩阵
基底的线性组合等效于G的行初等变换，可以产生一组 新的基底。利用这一点，可使生成矩阵具有如下“系 统形式”，称之为典型生成矩阵。
1 0 1 G 0 0 0 0 0 0 g 0, 0 0 g1, 0 1 g k 1,n 1 g 0,1 g1,1 g k 1,n 1 g 0,n k 1 g1,n k 1 g k 1,n k 1
生成矩阵
对于任何一个给定的信息序列 m (m0 , m1 , , mk 1 )，可指定
g0 g 1 c m G (m0 , m1 , , mk 1 ) g 量，分别对应信息位为 (10…0),(010…0)…(00…01)时的码字。
一致校验矩阵编码
1 0 1 1 1 0 0 H 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
设c=[c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6]，其中，[c0,c1,c2,c3]为信息 位，[c4,c5,c6]为校验位。
由HCT=0可知校验方程为：
c0 c 1 1 0 1 1 1 0 0 c2 0 1 1 1 0 0 1 0 c 0 3 0 1 1 1 0 0 1 c4 0 c5 c 6
基本概念
码 许用码字 禁用码字 编码效率
汉明重量 汉明距离 最小汉明距离 纠检错能力 V5 V53 V52 群 子群 分元陪集 域 GF(2) GF(2)上的矢量空间 子空间 V5 V53 V52 矢量张成的子空间 基底 维数
零化空间 矩阵行空间 0 1
消息
00 01 10 11
码字 00000 01001 10010 11011
将其化为标准形式？
一致校验矩阵
与任何一个(n,k)码的码空间C相对应，一定存在一个 对偶空间D，它的每个矢量都与C中的每个矢量正交， 其维数为n-k。 事实上，若找出生成空间D的基底（n-k个）用这n-k 个矢量同样可以生成包含 2 n k 个码字的(n,n-k)线性分 组码，我们称其(n,k)码的对偶码，生成矩阵为
即：G=[Ik Q ]，Q为k×r矩阵，Ik为k×k单位阵。 非系统码与系统码并无本质区别，它的生成矩阵可 以通过行初等变换转变为系统形式，这个过程叫做 系统化。系统化并不会改变码集，其纠错能力完全 等价。
例 题
设二元（5,3）码，其生成矩阵为
1 0 0 1 1 G 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1
第十九讲 线性分组码的 编码与译码(1)
消息 000 001 010 011 100 101 110 111
码字 00000 01001 10010 11011 00100 01101 10110 11111
基本概念
码 许用码字 禁用码字 编码效率 汉明重量 汉明距离 最小汉明距离 纠检错能力 群 子群 分元陪集 V5 V53 V52
若信息码元m=[1101]，则有c= mG=[1101000]。
译码准则
设发送码字为c=( c0,c1,……, cn-1)，由于信道干扰产生差 错，反映到接收码字上可以用一个二元矢量e表示， e=( e0,e1,……, en-1) ，称为错误图样，其中，ei=1表明相 应位有错，ei=0表明相应位无错。这时接收码字可以表 示为r=c+e=( c0+e0，c1+e1,……cn-1+en-1)
C中任何一组基底所构成的矩阵G称作码C的生成矩阵
G k n
g 0 g 0, 0 g g 1, 0 1 g k 1 g k 1,n1
g 0,1 g1,1 g k 1,n 1
g 0,n 1 g1,n1 g k 1,n1
设码C的一致校验矩阵为H，接收矢量为r，定义
s ( s0 , s1 , , sn k 1 ) rH T
称s为接收矢量r的伴随式。
由伴随式的定义可知 s=rHT=(c+e)HT =cHT+eHT=eHT
可以看出伴随式完全由e决定，它充分反映了信道的 干扰情况。如果伴随式s≠0，接收码字一定有错误； 如果伴随式s=0，译码器认为接收码字无错误。
最小距离译码
伴随式
h 0 h0,0 h h 1, 0 H 1 h n k 1 hn k 1, 0
h0,1 h1,1 hn k 1,1
h0,n 1 h1,n 1 hn k 1,n 1
N 1
dm
则对数似然函数为
ln pN ( v cm ) N ln( 1 p) dm ln (1 p)(q 1) / p
最大似然译码准则可简化为： 若对所有的 m' m ，有
则判定 c c m
(d m' d m ) ln (1 p)(q 1) / p 0
即H=[P Ir], 其中，Ir为r×r单位阵，P为r×k矩阵。
一致校验矩阵与生成矩 阵之间的关系
由于生成矩阵每一行都是一个码字，因此应当满 足一致校验矩阵所规定的校验关系，即应当有： GHT=0 或者 HGT=0 因此H与G互为正交矩阵，说明G和H的行空间 互为零化空间。
一致校验矩阵与生成矩 阵之间的关系
对于给定的接收矢量，计算它与M个可能的发 送码字之间的距离，从中选择能使距离达到最 小的码字作为判决结果。
最小距离译码
若信道是对称DMC信道，其转移概率为1-p和p/(q-1)，则
p N d m p N ( v c m ) p ( v n cn ) 1 p q 1 n 0 m 1, , M d m d (c m , v)
h 0 h0,0 h h 1, 0 H 1 h n k 1 hn k 1, 0 h0,1 h1,1 hn k 1,1 h0,n 1 h1,n 1 hn k 1,n 1