探索勾股定理3
探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
《探索勾股定理》第三课时上课课件
B C
动手操作
五巧板的制作： 五巧板的制作：
I H D G
F E
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积 下列阴影部分是一个正方形，
15厘米 厘米 17厘米 厘米
设正方形的边长为x厘米 解：设正方形的边长为 厘米 , 则 x2=172-152 x2=64 正方形的面积是64平方厘米 平方厘米。 答：正方形的面积是 平方厘米。
拓展练习 如图，受台风麦莎影响， 2、如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂 的大树断裂， 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根 折断后有多高 底部6米处，这棵树折断后有多高？ 底部6米处，这棵树折断后有多高？
6米 米
补充练习： 补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 、放学以后，小红和小颖从学校分手， 南方向和西南方向回家， 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 分钟到家， 分钟到家， 是40米/分，小红用 分钟到家，小颖用 分钟到家， 米 分 小红用15分钟到家 小颖用20分钟到家 小红和小颖家的距离为 （ C ） A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定 、 米 、 米 、 米 、 2、直角三角形两直角边分别为 厘米、12厘米，那么 、直角三角形两直角边分别为5厘米 厘米、 厘米 厘米， 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； 、 厘米 厘米； B、 8厘米； 厘米； 、 厘米 D、 60/13厘米； 厘米； 、 厘米 C、 80/13厘米； 、 厘米； 厘米
探索勾股定理(3)
课题：1.1探索勾股定理 (3)
教学目标：1、用拼图的方法验证勾股定理；
2、掌握勾股定理，并能运用它解决一些实际问题；
教学重点：掌握勾股定理，会运用它进行简单的计算及解决一些实际问题； 教学难点：用拼图的方法验证勾股定理；
导入方式：复习引入
一、课前练习：
1、 在Rt ΔABC 中，∠C=900，a=8，b=15，求c 。
2、 如图：Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=10，BC=24，求AB 的长。
3、 完成书本P11知识技能#1。
二、知识点一：
1、课外阅读P12～13页， 从“朱青出入图”的拼图方法理解勾股定理的验证。
2、完成书本P26页#7题，动手验证勾股定理。
3、 试与同学交流一下你的体会。
4、 完成书本P14页议一议，
A C B
三、知识二：
1、完成书本P15随堂练习#1
2、求图中直角三角形的未知边长。
3、要修建一个育苗棚，棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5、 完成书本：P15页问题解决#1
4 3。
第3课时 探索勾股定理8月10号
第3课时 探索勾股定理（3）活动一：利用五巧板拼“朱青出入图”（1）取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C 为边长的正方形，将另外一幅五巧板拼成两个边长分别为a 、b 的正方形。
你能拼出“朱青出入图”来吗？ （2）利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流。
活动二：观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2。
四、师生互动：下面几个图是勾股定理的“无字证明”法，你能看懂吗？五、训练达标：1、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积 为2、等腰直角三角形三边的平方比为3、长方形的一条对角线的长为10cm ，一边长为6cm ，它的面积是4、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为5、Rt ∆ABC 中，︒=∠90C ，AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2= .6、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1m ）。
7、一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 8、等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则它的面积是 cm 2.D'CBA9.直角三角形两直角边的比为3：4，面积是24，求这个三角形的周长.10.某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？11.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理。
12. 如图,有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？13、 如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15CB=10㎞.现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少㎞处？14、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？15、以Rt △ABC 三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S 1、S 2、S 3之间有什么关系？说明理由。
探索勾股定理3(1) - 副本
解：有勾股定理可求得：AB2=AC2+BC2 解AB=10cm，由题意可知AE=AC， DE=DC,∠ACD=∠AED=90° 所以BE=AB-AE=4cm
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm 在Rt△BDE中，（8-x）2=x2+42 解得x=3，即CD的长为3cm
8
6
X
6 10
一架云梯AB长25m,如图斜靠在一面墙上梯子底端离墙7m (1) 这个梯子的顶端距离地面的高度AC是多少? (2) 如果梯子的顶端下滑了4m,那么梯子的底端在水平方向移 动的距离为 m 思考:梯子在下滑的过程中,什么量是不变的?
爬到点B处吃食,要爬行的最短路程 ( 取3）是
(B )
A.20cm B.10cm
C.14cm D.无法确定
2O
蛋糕 B
C
6
B
8
8
A
A
12
如图：一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm、高为9cm的长方形纸
箱的A点沿纸箱爬到B点，它所走的最短路线的长是 15 。
B
A
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
4．已知某个三角形的三边长分别为5,13,12，则此三角形的面积为( A )
A．30
B．60
C．78
D．不能确定
【解析】 ∵此三角形的三边长分别为5,13,12，而52＋122＝132，∴此三角
形为直角三角形，此三角形的面积为12×5×12＝30.故选A.
• 5.三角形各边长度的平方比如下,其中不是直角三角形的是
解（2）∵a2=（m2-n2）2=m4-2m2n2+n4， b2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4 c2=（2mn）2 =4m2n2
北师大版八年级数学上册《勾股定理3》课件
1
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•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021
▪ 1876年4月1日，伽菲尔德 在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的 这一证法。
▪ 1881年，伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股定 理直观、简捷、易懂、明 了的证明，就把这一证法 称为“总统”证法。
青九
刘
朱章 出算
徽
入术
图
无字证明
④
bc
⑤
③aຫໍສະໝຸດ ①②青无朱字出证入明图
▪ 赵爽：东汉末至三国时 代吴国人
▪ 为《周髀算经》作注， 并著有《勾股圆方图 说》。
▪ 赵爽的这个证明可谓别 具匠心，极富创新意识。 他用几何图形的截、割、 拼、补来证明代数式之 间的恒等关系。
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股 定理是公元前500多年 时古希腊数学家毕达哥 拉斯首先发现的。因此 又称此定理为“毕达哥 拉斯定理”。法国和比 利时称它为“驴桥定 理”，埃及称它为“埃 及三角形”等。但他们 发现的时间都比我国要 迟得多。
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
五巧板的制作 A
④
E
⑤
G
b
Hc
③
1.1探索勾股定理3
第一节探索勾股定理教学目标：1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现 教学过程掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：c 2=a 2+b 2(c 为斜边)。
它反映了直角三角形三边之间的数量关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。
一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。
如图： 1、 小明本来应走大路从A 经B 到C 可是他却直接从A 到C ，为什么？ 2、 为什么近、近多少？ 3、用数学知识如何解答？二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3㎝，4㎝和5㎝，12㎝请你量出斜边的长度。
2、进行有关的计算。
3、得出结论： 三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1）b a a bca c cb a a a b a bc b c b b c aa b a b （1） （2）由（1）S ab c ab c 正=⨯+=+412222 A B C D由（2）S a b ab 正=++222 ∴+=++22222ab c a b ab ∴+=a b c 222（2）如图：S c S S S a b b a a b b a a b a b c a b 正正小正==+=⨯+-=++-=+∴=+222222222441222∆() 练习： 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则∴+=a b c 222（ ） （2）在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。
（ ） （3）在Rt ABC ∆90=∠B ∴+=a b c 222（ ） 2、填空：在Rt ABC ∆中，∠=C 90（1）如果a=3，b=4，则c= （2）如果a=6，b=8，则c= （3）如果a=5，b=12，则c= (4) 如果a=15，b=20，则c=3、 解决新课开始提出的问题c ab ac b b c ba ac。
八年级数学上册《探索勾股定理》知识点北师大版
八年级数学上册《探索勾股定理》知识点
北师大版
八年级数学上册《探索勾股定理》知识点北师大版
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足
a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的
逆命题。
(例：勾股定理与勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：
∠C=90° ∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下：BC= AB ∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示为： CD= AB=BD=AD
D为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边
上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
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例1：根据下列条件,分别判断以a、b、
c为边的三角形是不是直角三角形.
(1) a 7, b 3, c 2 2 2 (2) a , b 1, c 3 3
例2：已知ΔABC的三条边长分别为 a、b、c, 且
(
a m n b 2mn 2 2， , cm n m n, m , n 是正整数)。三角
义务教育课程标准实验教科书
《数学》八年级上册
勾股定理（3)
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等角形是直 角三角形.
判定直角三角形的思路： 做一做：判定下列三角形是不是 直角三角形？ 是否有两边的平方和等于第三
(1) a=7、b=25、c=24 边的平方。 (2)a=6、b=8、c=10 (3)a=5、b=12、c=13
2 2
形是直角三角形吗?请说明理由.
例3：如图,四边形ABCD中,AB=3，
BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，
求四边形ABCD的面积。
D
A B C
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？