力法的原理与方程
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高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
第十二章-力法及正则方程(材料力学课件)
a2 2
2a
3
2a 3 3EI
1P
1 EI
2 3
qa 2 8
a
a
2
qa 4 24 EI
由 11 X1
1P
0得
X1
qa 16
XB
qa 16
,
YB
9qa 16
X
A
qa 16
,
YA
7qa 16
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、 Ｂ、Ｃ三处的约束力。
CL12TU85
M10 图
CL12TU83
11
1 EI
l 1
l EI
M10 图
1P
1 EI
Pl 2 8
1
Pl 2 8EI
由 11 X1
1P
0得X 1
Pl 8
MP图
vC
Pl 3 48EI
Pl l 2 2 8
16EI
Pl 3 192EI
求图示刚架的支反力。
CL12TU84
M10 图
MP图
11
2 EI
CL12TU86
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。
由平衡条件可得：
Q P cos45 2 P 2
M max
Pa 2
M max 发生在外载荷P作用点处
0 j
实际载荷引起的弯矩为M P
则： ii
l
M
0 i
M
0 i
EI
dx，
i j
l
M
0 i
M
0 j
EI
dx
i P
l
M
0 i
MP
EI
dx
平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求 C处的约束力、支座反力。
7.2 力法的基本原理
A B
d11
X1=1
此方程便称为一次超静定结构的力法的基本方程。
δ11X1+Δ1P = 0
M 1M 1 d11 ds EI Ay 1 1 2 1 01 ( l l )( l ) EI EI 2 3 3 l 3EI
Δ1P M 1M P ds EI A y 1 1 l FP l 5 2 02 ( )( l ) EI EI 2 2 2 6 3 5 FP l 48 EI
(ql2/8) D ql2/8
ql2/8 ql2/8
A
(ql2/8) E
3ql/8
5ql/8 C B 5ql/8
C
A
3ql/8
B
M图
FQ 图
力法的基本原理是：以结构中的多余未知力为基本未知量；根 据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知位移相 等的变形条件，建立力法的基本方程，从而求得多余未知力； 最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构的内力图
+
A B X1 Δ11
FP
A
l/2
C
(Δ1=ΔB =0) EI B l/2
FP
A C B Δ1P
=
X1
基本体系
+
A B X1 Δ11 =d11X1
若以d11表示基本结构在 单位力X1=1单独作用下沿 X1方向产生的位移，则有
Δ11=d11X1 (c ) 于是，上述位移条件（b）可写为 δ11X1+Δ1P = 0 (7-1)
A
C
B
A
B
基本体系
X1
基本结构
基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿 多余未知力X1方向的位移D1应与原结构位移ΔB相同，即 Δ1 = ΔB = 0 这个转化条件是一个变形条件或称位移条件，也就是 计算多余未知力时所需要的补充条件。
力法—力法的基本原理和典型方程(工程力学课件)
——
M
i、M
图互乘
j
iP
M
i
MP EI
ds
——
M
i、M
图互乘
P
力法又称为柔度法，力法方程称为柔度方程。
11X1 12 X 2 1i X i 1n X n 1P 0 21 X1 22 X 2 2i X i 2n X n 2P 0
n1 X1 n2 X 2 ni X i nn X n nP 0
物理意义：基本结构在全部多余力和荷载共同作用 下，在去掉各多余联系处沿各多余力方向的位移，与 原结构相应的位移相等。
δij X j 1 单独作用下引起的 Xi 方向的位移；
iP 外荷载单独作用下引起的Xi 方向的位移
主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。
副系数：δij (i≠j)可能>、=或<0。 δij=δji
➢ 力法的典型方程
一般情况下，一个 n 次超静定结构，则有n 个多余未 知力，而每个多余力都对应一个多余联系，相应就有一 个位移条件，故可据此建立 n 个方程，这 n 个方程为：
X3=1 B
δ13
➢ 力法的典型方程
q
C
D
FP 基本体系
11 X1 12 X2 13 X3 1P BH 0 21 X1 22 X2 23 X3 2P BV 0 31 X1 32 X2 33 X3 3P B 0
A
X3
i 表示位移的因。
X2
力法的基本原理
超静定结构
力法
超静定次数较低时
位移法
超静定次数较高时
➢ 力法的基本概念
待解的未知问题
基本体系
1 0
变形条件
X1
力法基本 未知量
11力法原理和力法方程
在基本体系中，一方面保留着原结构的外荷载；另一 方面有相应的约束力X1存在，只是把它由原来的被动力（ 约束）改为主动力。
因此基本体系的受力状态与原结构完全相同
结论：基本体系既是静定结构，又可用它来代表原来的超 静定结构，因此基本体系是静定结构过渡到超静定结构的 一座桥梁。
2020/2/29
力法方程（Equation of Force Method）
l3 3EI
代入
A
q
B
1P1x110
就得到X1
3 x1 8 ql
l
1 ql 2 8
原结构
A
B
求得的未知力X1是正号，表示反力X1的方 向与原设的方向相同。
M图
多余的未知力的求出以后，就可以利用平衡条件求原结构的支座反力， 作出内力图，如图所示。
根据叠加原理，结构任以截面的弯矩 M 也可用下列公式表示：
B
1P
0 （补充条件） BV
1P110
11
1P1x110力法方程
B X1
δ 在数值上等于基本结构在单位力
11 X1＝1单独作用下沿X1方向产生的
位移
力法方程（Equation of Force Method）
• 由上式可以看出：若求出X1的大小，就可以求得此超静定结构的内力来。
2020/2/29
MM1x1MP
小结(Summary)
1、土木工程是由各种构件组成的几何不变体系。几何 不变体系包括静定结构和超静定结构。
2、力法方程的实质是位移方程，之所以称其为力法 方程，是因为方程的建立是从多余力入手的。
3、要深入的领会多余力和支座约束的关系，基本体系 和原结构的等价关系，只有这样方可举一反三，触类 旁通。
因此基本体系的受力状态与原结构完全相同
结论：基本体系既是静定结构，又可用它来代表原来的超 静定结构，因此基本体系是静定结构过渡到超静定结构的 一座桥梁。
2020/2/29
力法方程（Equation of Force Method）
l3 3EI
代入
A
q
B
1P1x110
就得到X1
3 x1 8 ql
l
1 ql 2 8
原结构
A
B
求得的未知力X1是正号，表示反力X1的方 向与原设的方向相同。
M图
多余的未知力的求出以后，就可以利用平衡条件求原结构的支座反力， 作出内力图，如图所示。
根据叠加原理，结构任以截面的弯矩 M 也可用下列公式表示：
B
1P
0 （补充条件） BV
1P110
11
1P1x110力法方程
B X1
δ 在数值上等于基本结构在单位力
11 X1＝1单独作用下沿X1方向产生的
位移
力法方程（Equation of Force Method）
• 由上式可以看出：若求出X1的大小，就可以求得此超静定结构的内力来。
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MM1x1MP
小结(Summary)
1、土木工程是由各种构件组成的几何不变体系。几何 不变体系包括静定结构和超静定结构。
2、力法方程的实质是位移方程，之所以称其为力法 方程，是因为方程的建立是从多余力入手的。
3、要深入的领会多余力和支座约束的关系，基本体系 和原结构的等价关系，只有这样方可举一反三，触类 旁通。
【毕业论文】力法的基本原理
1第六章力法2一. 力法的基本未知量和基本体系力法计算的基本思路：把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题，即利用已经熟悉的静定结构的计算方法来达到计算超静定结构的目的。
6-1 力法的基本原理3力法思路基本结构待解的未知问题qEI EIqEIX 1基本体系基本未知量01=Δ基本方程41111=+=P ΔΔΔ11111X Δδ=01111=+⋅P ΔX δ力法方程力法方程P 1Δ其中δ11和Δ1P可图乘法获得；由此确定约束力X 1，通过叠加求内力；超静定问题变成静定问题。
q1X Δ11=X 11δqEIqEIX 11=Δ5)力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。
)将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。
)根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。
在变形条件成立条件下，基本体系的内力和位移与原结构相同。
1111=+⋅P ΔX δ6基本结构X 1例：基本体系PV ΔB 1==原结构已知的X 1方向的位移原结构70V ΔB 1==基本结构在X 1和外荷载P 分别作用下的变形：X 111ΔPP1Δ原结构已知的X 1方向的位移基本结构在X 1方向的位移1P 11Δ+Δ1P 11Δ+Δ0=11111X Δδ=11=X 11δ01111=Δ+P X δ力法基本方程的物理意义：基本结构在X 1和外荷载P 共同作用下，在B 点的竖向位移之和＝原结构已知的在B 点的竖向位移（等于零）。
8一个超静定结构可选的力法基本结构往往不只一种。
X 1表示原结构支座B 截面的弯矩。
基本体系二基本体系二选取：原结构PPX 1基本结构Δ1=原结构在B 点左右两截面的相对转角等于零9基本结构:PX 11PΔ11ΔB11111X δ=Δ0ΔX δ=+1P 111基本体系在X 1 和外荷载P 共同作用下，在B 点左右两截面的相对转角之和＝原结构已知的在B 点左右两截面的相对转角（等于零）1P11Δ+Δ0=10（1）（2）（1）基本结构的图和图好绘。
力法的原理与方程
d n1 X 1 d n2 X 2 ............... d nn X n DnP = 0
1） DiP ,d ij 的物理意义；
d ij
2）由位移互等定理 d ij = d ji ； 位移的地点
产生位移的原因
3）d ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
§6－2 力法的基本概念
一、力法基本思路
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个静定结构（基本
体系），然后让基本体系在受力方面和变形 方面与原结构完全一样。
一、力法基本思路
2、力法的三个基本概念: 基本未知量—多余未知力X1；
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
RB
基本体系—静定结构(悬臂梁)；
d 12 X 2
............... d 1n X n
DnP
=0
d 21 X 1
d 22 X 2
............... d 2n X n
D2P
= 0
....................................................................
d11 X 1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2P = 0
（5）解力法方程 X1 X 2
（6）内力
M = M1 X1 M2 X2 MP
同一结构可以选取不同的基本体系
P
P
X2
X1 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。
X2
P
X1
P
X2
4）柔度系数及其性质
对称方阵
d11 d12 ........... d1n
力法和位移法的基本方程
力法和位移法的基本方程力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法。
力法是以外力为基础，通过计算结构内力来求解结构的变形和应力状态；位移法则是以结构变形为基础，通过计算结构位移来求解结构的内力和应力状态。
两种方法各有优缺点，应根据具体情况选择合适的方法进行分析。
力法的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式。
平衡方程是指结构受到的外力与内力的平衡关系，可以用以下公式表示：∑F = 0其中，∑F表示结构受到的所有外力的合力，等于内力的合力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式是指材料的应力与应变之间的关系，可以用以下公式表示：σ = Eε其中，σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
这个方程可以用来计算结构的应力分布。
位移法的基本方程为位移-力关系式和应力-应变关系式。
位移-力关系式是指结构的位移与内力之间的关系，可以用以下公式表示：u = ∑(k_i)^(-1)F_i其中，u表示结构的位移，k_i表示第i个节点的刚度，F_i表示第i个节点的外力。
这个方程可以用来计算结构的内力分布。
应力-应变关系式同样适用于位移法，可以用来计算结构的应力分布。
需要注意的是，力法和位移法的基本方程只是分析结构的起点，具体的分析方法和计算过程还需要根据具体情况进行选择和确定。
同时，结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素也会对分析结果产生影响，需要进行综合考虑。
总之，力法和位移法是结构力学中常用的两种分析方法，它们的基本方程为平衡方程和应力-应变关系式、位移-力关系式和应力-应变关系式。
在实际分析中，应根据具体情况选择合适的方法进行分析，并考虑结构的材料性质、几何形状、边界条件等因素。
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（1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰
撤 除
支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
约
束 （2）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支
的 方
座，等于撤除两个约束。
式
（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
撤除约束时需要注意的几个问题：
（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1=1
Pl/2
P
MP
l3 δ11= 3EI
D1P
=
-
5Pl3 48EI
X1
= - D1P
d11
=
5P 16
同一结构选不同的基本体系进行计算
3Pl/16
EI l/2 P 1）
M 5Pl/32 X1
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
P l/2
3Pl/16 X1
2) P
M 5Pl/32
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
是无多余约束的几何不变体系。 b) 超静定结构
是有多余约束的几何不变体系。 由此可见：内力超静定，约束有多余，是超 静
定结构区别于静定结构的基本点。
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数
超静定次数确定
超静定次数=多余约束的个数
把原结构变成静定结构 时所需撤除的约束个数
=
多余未知力的个数 =未知力的个数—平衡方程的个数
（5）解力法方程 X1 X 2
（6）内力
M = M1 X1 M2 X2 MP
同一结构可以选取不同的基本体系
P
P
X2
X1 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。
X2
P
X1
P
X2
X1
？
D1 = 0 D2 = 0
d11 X 1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2P = 0
二、多次超静定结构的计算
对于 n 次超静定结构有n个多余未知力X1、 X2、…… Xn，力法基 本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，
Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0，将它们展开
d 11 X 1
d 12 X 2
............... d 1n X n
DnP
=
0
d 21 X 1
d 22 X 2
Force Method
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数 §6－2 力法的基本概念 §6－3 超静定刚架和排架 §6－4 超静定桁架和组合结构 §6－5 对称结构的计算 §6－9 支座移动和温度改变时的计算 §6－10 超静定结构位移的计算
§6－1 超静定结构的组成和超静定次数
a) 静定结构
〓
δ11
+
×X1 X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
= X1=－Δ1P / δ11
3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
3ql/8
例：作图示结构的弯矩图
EI
P
l/2
l/2
3Pl/16
P 1）
M 5Pl/32 X1
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
l
M1
基本方程—位移条件（变形协调条件）。
当ΔB=Δ1=0
〓
X1<<=> RB
Δ1=Δ11+ Δ1P=0
δ11
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
力法的特点： 由基本体系与原结构变形 一致达到受力一致
+
×X1 X1 =1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
Δ1P
l，EI
ql2/8
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
X1=1
l
M1
X1=1
Pl/2
P
δ11=
l3 3EI
MP
D1P
=
-
5Pl3 48EI
X1
= - D1P
d11
=
5P 16
1
M1
P MP
Pl/4
l δ11= 3EI
D1P
=- Pl2 16EI
X1
= - D1P
d11
=
-3Pl 16
力法基本体系的选择
3Pl/16
P 1）
M 5Pl/32 X1
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。
二、多次超静定结构的计算 P
P
X2
P
D2 P
D1P
d 21
d 11
X1 = 1
（1）基本结构 悬臂梁
（2）基本未知力
X1
d 22
X2 =1
d 12
（3）基本方程 D1 = 0 （4）系数与自由项D2 = 0
d11 X 1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X 1 d 22 X 2 D 2P = 0
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
举例
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4
3
5 1
外部一次，内部六次
1
2
共七次超静定
不能撤除作支为杆多1后余体系约成束为的瞬变是杆 1、2、 5
§6－2 力法的基本概念
一、力法基本思路
............... d 2n X n
Hale Waihona Puke D2P= 0 ....................................................................
d n1 X 1 d n2 X 2 ............... d nn X n DnP = 0
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个静定结构（基本
体系），然后让基本体系在受力方面和变形 方面与原结构完全一样。
一、力法基本思路
2、力法的三个基本概念: 基本未知量—多余未知力X1；
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
RB
基本体系—静定结构(悬臂梁)；
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
EI l/2 3Pl/16
X1
P l/2 2)
P
M 5Pl/32
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
3Pl/16
P X1
3)
M 5Pl/32
Δ1=δ11X1+Δ1p= 0
同一结构选不同的基本体系进行计算，则： 1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；
方程中的系数和自由项不同。 2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，
M1
l d
=
MM 1 1 dx
11
EI
X1=1
求l X1方= E向1I 的 l位22 移23l 虚 =拟3的lE3I力状P=态1
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP D= 1P
M 1M P dx EI
=-
1
1
ql
2
l
3l
=
-
ql
4
EI 3 2 4 8 EI
ql2/8
或按：M = MX1 M P 叠加
力法典型方程
n次超静定结构
d 11 X 1
d 12 X 2
............... d 1n X n
DnP
=
0
d 21 X 1
d 22 X 2
............... d 2n X n
D2P
= 0