圆锥曲线——点乘双根法
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x 2 y 2例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b2 线OD ，求 D 的轨迹方程.= 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ，⎧ y = kx + m⎪联立⎨ x 2 ⎪⎩ 2b 2 y 2b2 1 化简可得:(2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2, y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 )m 2 - 2b 2k 2x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2+1 + 2k 2 +1 =0∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y对比于1 2 0y 0 y 0⎨ 20 00 0y y ⎧- x 0 = k y = kx + m ，则⎪ y 0x 代入* 中，化简可得： x 2 + y 2= 2b 2. 3 ⎪ 0 + y = m ⎪ y 0 ⎩ 0解法二（齐次式）：⎧ mx + ny= 1 ⎧ mx + ny = 1 ⎪ ⎪ 设直线Q 1Q 2 方程为 mx + ny = 1，联立⎨ x 2 + y 2 =⇒ ⎨ x 2 + y 2- =⎪⎩ 2b2b21⎪⎩ 2b2 b21 0x 2 y22x 2 y 2 2 2 2 22b 2 + (m x + ny ) b 2= 0 化简可得: 2b 2 + m x b 2- n y- 2mnxy = 0 整理成关于 x , y x , y 的齐次式： (2 - 2b 2n 2 ) y 2 + (1- 2m 2b 2 ) x 2 - 4mnb 2xy = 0 ，进而两边同时除以 x 2，则2 2 2 2 2 21- 2m 2b 2(2 - 2b n )k - 4mnb k +1- 2m b= 0 ⇒ k 1k 2 =2 - 2b 2n 21- 2m 2b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 k 1k 2 = -1，2 - 2b 2n2= -1∴3 = 2b 2 (m 2 + n 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于1 2⎧x 0= my 0 y 0⎪ x 2 + y 22mx + ny = 1，则⎨ 0 0y 代入* 中，化简可得： x 2+ y 2= b 2 .3 0 = n ⎪ x 2 + y 2 ⎩ 0 0例 2：已知椭圆 x 2 + 24= 1，设直线l 不经过点P (0,1) 的直线交于 A , B 两点，若直线 PA , PB 的斜率之和为-1，证明：直线l 恒过定点.⎩ ⎩解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标 新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(0,1) ⇒ (0, 0)⎧ x ' = x ⎧ A → A ' 所以⎨ y ' = y -1 ⇒ ⎨B → B '原来 k + k = -1⇒y 1 -1 + y 2 -1 = -1 则转换到新坐标就成为： y 1 ' + y 2 '= -1PAPBx x x ' x ' 1 21 2即k 1 '+ k 2 ' = -1设直线l 方程为： mx '+ ny ' = 1原方程： x 2 + 4 y 2 = 4 则转换到新坐标就成为： x '2 + 4( y '+1)2= 4展开得： x '2 + 4 y '2+ 8 y ' = 0⎨⎪x' ⎩ ⎩ 构造齐次式： x '2 + 4 y '2+ 8 y '(mx '+ ny ') = 0整理为： (4 + 8n ) y '2 + 8mx ' y '+ x '2= 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n )k '2+ 8mk '+1 = 0所以 k '+ k ' = -8m= -1 所以 2m - 2n = 1 ⇒ m = n + 1124 + 8n 21 x '而 mx '+ ny ' = 1 ∴(n + )x '+ ny ' = 1 ⇒ n (x '+ y ') + -1 = 0 对于任意 n 都成立.2 2⎧x '+ y ' = 0则： ⎪⇒ -1 = 0 ⎩ 2⎧ x ' = 2 ⎨ y ' = -2，故对应原坐标为⎧ x = 2 ⎨ y = -1所以恒过定点(2, -1) .x 2例 3：已知椭圆y 2+ = 1，过其上一定点 P (2,1) 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 8 2圆于 A , B 两点，证明：直线 AB 斜率为定值.解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(2,1) ⇒ (0, 0)所以⎧x ' =x - 2⇒⎧A →A '⎨y '=y -1⎨B →B '⎩⎩原来k +k = 0 ⇒ y1-1+y2-1= 0 则转换到新坐标就成为：y1'+y2'= 0PA PB x - 2 x -1 x ' x '1 2 1 2即k1 '+k2' = 0设直线 AB 方程为： mx '+ny ' = 1原方程： x2 + 4 y2 = 8 则转换到新坐标就成为： (x '+ 2)2 + 4( y '+1)2 = 8 展开得： x '2 + 4 y '2 + 4x '+ 8 y ' = 0构造齐次式： x '2 + 4 y '2 + 4x '(mx '+ny ') + 8 y '(mx '+ny ') = 0整理为： y '2 (4 + 8n) +x ' y '(4n + 8m) + (1 + 4m)x '2 = 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n)k '2 + (4n + 8m)k '+1+ 4m = 0所以 k '+k ' =-4n + 8m= 0 所以 n =-2m1 2 4 +8n1而mx '+ny ' = 1 ∴mx '+ (-2m) y ' = 1 ⇒mx - 2my -1 = 0 .所以k =21平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值.21 2 1 1 2 2 1 2 1 21 二，点乘双根法例 4：设椭圆中心在原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左右顶点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 ,OF 2 中点分别为 B 1 , B 2 ，且△AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形.（1） 求其椭圆的方程（2） 过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.x 2y 2解：（1） + = 20 4（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为： y = k (x + 2) ， P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 )因为 PB ⊥ QB，则，22PB 2 QB 2 =0所以(x - 2, y )(x - 2, y ) = 0 ⇒ (x - 2)(x - 2) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 *⎧ y = k (x + 2) ⎪2 2 2现联立⎨ x 2+ y 2 = ⇒ x ⎩ 20 4+ 5k (x + 2) - 20 = 0则方程 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 可以等价转化(1+ 5k 2)( x - x )( x - x ) = 012即 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(x - x )(x - x )令 x = 2 ， 4 + 80k 2- 20 = (1+ 5k 2)( x 1 - 2)( x 2 - 2) ⇒ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) =80k 2 -16 1+ 5k 2令 x = -2 ， 4 + 0 - 20 = (1+ 5k 2)( x + 2)( x + 2) ⇒ ( x + 2)( x + 2) = -161 2 1 21+ 5k 21结合(x1 - 2)(x2- 2) +k (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 *化简可得：80k 2 -161+ 5k 2+-16= 01+ 5k 280k 2 -16k 2 -16 = 0 ⇒ 64k 2 =16 ⇒k 2 =1∴k =±1 4 2所以直线l 方程为： y =± 1(x + 2) . 22。
齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题
“齐次式”法解圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：例题、（07山东）已知椭圆C ：13422=+y x 若与x 轴不垂直的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解法一（常规法）：m kx y l +=:设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，（*） 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，（**）整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +--+-。
数学分析：点乘双根法
数学分析：点乘双根法知识与方法1．预备知识（二次函数的两根式）：一般地，设=++≠f x ax bx c a 02)()(，若一元二次方程++=ax bx c 02有两根x 1和x 2，则必有=−−f x a x x x x 12)()()(， 即++=−−ax bx c a x x x x 122)()(.2．点乘双根法：若我们将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于x 的一元二次方程++=ax bx c 02≠a 0)(，并且假设该方程的两根为x 1和x 2，现在我们要计算−−x t x t 12)()(这个量，此时当然可以将其展开，利用韦达定理来进行计算，但更简单的操作方法是利用二次函数的两根式，得出++=−−ax bx c a x x x x 122)()(，并在两端同时令=x t ，即可得到++=−−at bt c a t x t x 122)()(，从而−−=++ax t x t at bt c122)()(，这样就求出了我们想要的量，这种技巧叫做“点乘双根法”，其一般的步骤是“化两根式→赋值→求得结采”.【例题】已知抛物线=>E y px p :202)(的焦点为F ，A y 1,0)(>y 00)(为抛物线E 上一点，=AF 45 （1）求p 和y 0的值；（2）过F 作两条互相垂直的直线与抛物线E 交于另外两点B 和C ，证明：直线BC 过定点. 【解析】（1）由题意，=+=AF p 2415，解得：=p 21，所以抛物线C 的方程为=y x 2，将A y 1,0)(代入=y x 2得：=y 102，又>y 00，所以=y 10. （2）解法1：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B y y ,112)(，C y y ,222)(，易得直线AB 和AC 斜率均存在，因为⊥AB AC ，所以−−⋅=−−−y y y y 11111122212，从而++=−y y 11112)()(①，联立⎩=⎨⎧=+y xx my t2消去x 整理得：−−=y my t 02②，因为y 1和y 2是方程②的两根，所以−−=−−y my t y y y y 122)()(，令=−y 1得：+−=−−−−m t y y 11112)()(，所以++=+−y y m t 11112)()(代入式①得：+−=−m t 11，所以=+t m 2，故直线BC 的方程为=++x my m 2，即=++x m y 12)(，所以直线BC 过定点−2,1)(.解法2：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B x y ,11)(，C x y ,22)(，联立，消去x 整理得：①，则和是方程①的两根，所以，令=y 1得：−−=−−m t y y 11112)()(，所以−−=−−y y m t 11112)()(联立消去y 整理得：−++=x t m x t 20222)(②，则x 1和x 2是方程②的两根，所以−++=−−x t m x t x x x x 212222)()()(令=x 1得：−−+=−−t m t x x 12111222)()(，所以−−=−−+x x t m t 11121222)()(，由（1）知点A 的坐标为1,1)(，所以=−−AB x y 1,111)(，=−−AC x y 1,122)(， 由题意，⊥AB AC ，所以⋅=−−+−−=AB AC x x y y 111101212)()()()(， 从而−−++−−=t m t m t 121022)()(整理得：+−−−=t m t m 120)()(，所以=−t m 1或=+t m 2， 若=−t m 1，则直线BC 的方程为=+−x my m 1 即=−+x m y 11)(，显然直线BC 过点A ，不合题意， 所以=+t m 2，从而直线BC 的方程为=++x my m 2， 即=++x m y 12)(，故直线BC 过定点−2,1)(.【反思】当涉及到−−x t x t 12)()(或−−y t y t 12)()(这种结构计算时，就可以考虑使用点乘双根法，这是一种能够降低计算复杂度的优越算法.强化训练1.（★★★★）椭圆+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、B ，离心率为，=AB .（1）求椭圆的方程；（2）过F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若⋅+⋅=AC DB AD CB 8，求k 的值. 【解析】（1）由题意，==AB a 2=a又椭圆的离心率eb ， 故椭圆的方程为+=x y 32122. （2）由（1）可得A )(，B)，−F 1,0)(，所以直线l 的方程为=+y k x 1)(，设C x y ,11)(，D x y ,22)(，则=+AC x y 3,11)(，=−−DB x y 3,22)(，=+AD x y 3,22)(，=−−CB x y 3,11)(，从而⋅+⋅=+−−++−−AC DB AD CB x x y y x x y y 333312122112)()()()(=−+−+−=−−=−−++x x x x y y x x y y x x k x x 3362262211112212112121212122)()(，由题意，⋅+⋅=AC DB AD CB 8，所以−−++=x x k x x 62211812122)()(，故+++=−x x kx x 11112122)()(①，联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+x y y k x 321122)(消去y 整理得：+++−=k x k x k 3263602222)(②，因为x 1和x 2是方程②的两根，所以+++−=+−−k x k x k k x x x x 32636321222222)()()()(③，在③中取=−x 1可得：+++=−k x x 32114212)()(，又由方程②的韦达定理，+=−k x x k 32362122，代入①得：⎝⎭++ ⎪+⋅−=−⎛⎫−k k k k 323213642222，解得：=k2.（★★★★）已知椭圆+=C x y 42:122和点P 1,1)(，过点P 且斜率为2的直线与椭圆C 交于A 、B 两点.（1）求⋅PA PB 的值；（2）直线l 过点P 与椭圆C 交于不与A 、B 重合的M 、N 两点，若⋅=⋅PA PB PM PN ，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意，直线AB 的方程为−=−y x 121)(，即=−y x 21，设A x y ,11)(，B x y ,22)(联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=−x y y x 4212122消去y 整理得：−−=x x 98202①，则x 1和x 2是方程①的两根，所以−−=−−x x x x x x 9829122)()(，令=x 1可得−−=−x x 911112)()(，故−−=−x x 911112)()(从而⋅=−−=−−=PA PB x x x x 91151151212)()(.（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为=x 1，代入椭圆C的方程可求得=y所以⎝⎭⎪ ⎪⋅=−=≠⋅⎛⎫PM PN PA PB 2111，不合题意， 当直线l 斜率存在时，设其方程为−=−y k x 11)(，即=+−y kx k 1，设M x y ,33)(，N x y ,44)(， 联立⎩⎪=+−+=⎨⎪⎧x y y kx k142122消去y 整理得：++−+−−=k x k k x k 12412140222)()()(②，则x 3和x 4是方程②的两根，所以++−+−−=+−−k x k k x k k x x x x 124121412342222)()()()()()(令=x 1可得++−+−−=+−−k k k k k x x 1241214121134222)()()()()()(， 所以+−−=−k x x 12111234)()(从而+⋅=−−=+⋅−−=+k PM PN x x k x x k 121111112343422)()()(，因为⋅=⋅PA PB PM PN所以+=+k k 1291522，解得：=±k 2，因为M 、N 不与A 、B 重合， 所以≠k 2，故=−k 2，从而直线l 的方程为=−+y x 23.。
8圆锥曲线向量点乘-中等难度-讲义
圆锥曲线向量点乘知识讲解一、相关向量知识点1.三点共线： ①；②存在实数，使；③若存在实数，且，使． 2.给出，等于已知，即是直角； 给出，等于已知是钝角， 给出，等于已知是锐角．3.给出，等于已知是4.在中，给出垂心是三角形三条高的交点）．5.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．二、垂直与角度1.垂直以AB 为直径的圆过原点O 121200OA OB x x y y ⇔⋅=⇔+=2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 21222221kmb x x k a b+=-+ 故222222222121212122222222(1)(1)0(1)()11m k m k b b x x y y k x x km x x m mk k a b a b +-=+=++++=-+++ A B C ，，//AB AC λAB AC λ=αβ，1αβ+=OC OA OB αβ=+0MA MB ⋅=MA MB ⊥AM B ∠0MA MB ⋅<AM B ∠0MA MB ⋅>AM B ∠MA MB MP MA MB λ⎛⎫⎪+= ⎪⎝⎭MP AM ∠ABC △OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅两边同时乘以2221k a b+，整体处理得222222222221(1)(1)()0m k m k k m b b a b+--++= 消去高次项222k m b得2222210m m k b a --+=即找了,,,a b m k 的关系式. 推广：以AB 为直径的圆过焦点1F1112120()()0F A FB x c x c y y ⇔⋅=⇔+++=⇔可以看得出，同样可以采用整体法处理.2.角度问题成锐角或钝角原点O 在以AB 为直径的圆内0OA OB x ⇔⋅<⇔易得2222210m m k b a--+<原点O 在以AB 为直径的圆外121200OA OB x x y y ⇔⋅>⇔+>易得2222210m m k b a--+>经典例题一．选择题（共7小题）1．（2018•重庆三模）直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F且与抛物线交于A，B两点，则=（）A．B．C．2a D．4a【解答】解：抛物线的焦点F（，0），设直线l的方程为x=ky+，联立方程组，消去y得：x2﹣（+k2a）x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=+k2a，x1x2=，又|AF|=x1+，|BF|=x2+，∴====．故选：B．2．（2018•三明模拟）设F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，M，N为直线bx﹣ay=0上两点，且，，∠MAN=135°，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：如图，F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，，，即以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，∴直线MN：bx﹣ay=0，圆的方程为：x2+y2=c2，联立，解得M（a，b），N（﹣a，﹣b），∵A（﹣a，0），∴=（2a，b），=（0，﹣b），∵∠MAN=135°，∴cos＜，＞==﹣，解得b=2a，∴c==a，∴e==．故选：A．3．（2018•乌鲁木齐模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）与圆F：x2+y2﹣px=0，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|•|CD|的值的说法中，正确的是（）A．等于B．等于4p2C．最小值为p2D．最大值为p2【解答】解：圆F的半径为，设A（x A，y A），D（x D，y D），由抛物线的定义可知|AB|=|AF|﹣|BF|=x A+﹣=x A，同理可得|CD|=x D．∴|AB|•|CD|=x A x D．（1）当直线l与x轴垂直时，x A=x D=，∴|AB|•|CD|=．（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx﹣，联立方程组，消去y得：k2x2﹣（k2p+2p）x+=0，∴x A x D=，即|AB|•|CD|=．综上，|AB|•|CD|=．故选：A．4．（2018•宁城县模拟）椭圆的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，且=0，则△MF1F2的内切圆半径为（）A．B．C．D．2﹣【解答】解：设，，椭圆的焦距为：2c=2，a=2，因为点M在椭圆上，且=0，可得m2+n2=12，m+n=4，可得mn=2，△MF1F2的内切圆半径为：r．mn=（m+n+2c）r，解得r===2﹣．故选：D．5．（2018•上饶二模）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|，则实数λ的值为（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：由双曲线方程可得a=2，b=，c=，∴||=又∵使，∴（+）（﹣）=0，∴﹣=0，∴||=||=，故△PF1F2是以P为直角的直角三角形又∵P是双曲线右支上的点∴|PF1|＞|PF2|，∴|PF1|=|PF2|+4，由勾股定理可得|PF2|2+（|PF2|+4）2=4C2=40，解得|PF2|=2，|PF1|=6故λ=3故选：A．6．（2018•乌鲁木齐模拟）已知抛物线y2=4x与圆F：x2+y2﹣2x=0，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|•|CD|的值的说法中，正确的是（）A．等于1 B．等于16 C．最小值为4 D．最大值为4【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线：x=﹣1．由定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A，同理：|CD|=x D，当l⊥x轴时，则x D=x A=1，∴|AB|•|CD|=1当l：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，∴|AB|•|CD|=1综上所述，|AB|•|CD|=1，故选：A．7．（2018•济南二模）已知抛物线C：x2=4y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两切线的交点O为坐标原点若，则直线OA与OB的斜率之积为（）A．B．﹣3 C．D．﹣4【解答】解：设A（，），B（，），由抛物线C：x2=4y，得，则y′=．∴，，由，可得，即x1x2=﹣4．又，，∴．故选：A．二．填空题（共6小题）8．（2018•襄城区校级一模）已知直线l：x+y+m=0与双曲线C：﹣=1（a ＞0，b＞0）右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足+=（其中O为坐标原点），且∠MNQ=30°，则双曲线C的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意可知：M，Q关于原点对称，设M（m，n），N（u，v），则Q（﹣m，﹣n），即有﹣=1，﹣=1，两式相减可得=，可得k MN•k QN=•==，∵k MN=﹣，k QN=tan150°=﹣，∴=1，即a=b，∴双曲线C的渐近线方程为y=±x，即y=±x，故答案为：y=±x．9．（2018•赤峰一模）抛物线y2=2px （p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N 两点，若=14，则p=．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，焦点F（，0）．把x=﹣代入双曲线方程：，化简得：y2=﹣9，∴M（﹣，），N（﹣，﹣），∴=（﹣p，），=（﹣p，﹣），∴=p2﹣+9=14，又p＞0，∴p=．故答案为：．10．（2018•黑龙江模拟）M，N分别为双曲线﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|•|的最小值为4．【解答】解：由向量数量积的定义知•即向量在向量上的投影||模长的乘积，故求|•|的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知|•|的最小值为4故答案为：411．（2018•黄州区校级模拟）已知点F2、P分别为双曲线（a＞0，b ＞0）的右焦点和右支上的点，O为坐标原点，若，，且，则此双曲线的离心率为．【解答】解：∵，∴M是PF2的中点，∵，∴OF2=F2M=c，∵，则2c2cos（π﹣∠OF2M）=a2+b2=c2，∴∠OF2M=120°．∴M（，），∵F2（c，0），M是PF2的中点，∴P（2c，c），∵P在双曲线上，∴，即4b2c2﹣3a2c2﹣a2b2=0，∵b2=c2﹣a2，∴4c2（c2﹣a2）﹣3a2c2﹣a2（c2﹣a2）=0，即4c4﹣8a2c2+a4=0，4e4﹣8e2+1=0，解得e2=．∴．故答案为：．12．（2014秋•杭州期末）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．【解答】解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．13．（2007•南通模拟）经过双曲线＞，＞上任一点M，作平行于实轴的直线，与渐近线交于P，Q两点，则=a2．【解答】解：设M（x，y），则有： ⇒x2=①且P（﹣y，y），Q（y，y），∴，，，∴=（﹣）•（）+0=x2﹣=﹣=a2．故答案为a2．三．解答题（共6小题）14．（2018•定远县模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则由|OP|=5，得=25，由=16，得（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=16，∴﹣c2=16，∴c2=9，c=3，∵，∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为=1．（2）设动直线l的方程为y=kx﹣1，由，得（2k2+1）x2﹣4kx﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=﹣，假设在y轴上存在M（0，m），满足题设，则=（x1，y1﹣m），=（x2，y2﹣m），=x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）==x1x2+（kx1﹣1）﹣m（kx1﹣1+kx2﹣1）+m2===，由假设得对于任意的k∈R，=0恒成立，即，解得m=3．∴在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点，点M的坐标为（0，3）．15．（2018•南平二模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且=5，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线定义知MF=2+所以2+=3，⇒p=2．所以，抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）设AB中点坐标（2，m），直线l的斜率存在，所以m≠0，=，所以直线AB方程为：y﹣m=，即2x﹣my+m2﹣4=0．由得y2﹣2my+2m2﹣8=0，其中△＞0得到m2＜8，．AB的垂直平分线方程为：y﹣m=﹣，，令y=0，得x=4，所以G（4，0），，，，．因为=5，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+y1y2=5．x1x2﹣4（x1+x2）+16+y1y2=5，③，把②代入③得（（m2﹣4）2+8（m2﹣4）﹣20=0，（m2+6）（m2﹣6）=0，m2=6＜8，m=，所以，直线l方程为2x﹣或2x+．16．（2018•黄山一模）已知椭圆Γ：＞＞的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．【解答】解：（1）∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴椭圆方程为+=1．（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则=（x1，y1），=（2，y0）直线CM：y﹣0=（x+2），即y=x+y0．代入椭圆x2+2y2=4，得（1+）x2+y02x+y02﹣4=0，故方程的两个根分别为﹣2和x1，由韦达定理可得x1﹣2=，∴x1=，∴y1=．∴=（，）∴=+==4．17．（2018•海南一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＞＞的离心率为，A，F分别为椭圆的上顶点和右焦点，△AOF的面积为，直线AF与椭圆交于另一个点B，线段AB的中点为P．（1）求直线OP的斜率；（2）设平行于OP的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，且与直线AF交于点Q，求证：存在常数λ，使得．【解答】解：（1）根据题意，椭圆＞＞的离心率为，即e==，即a2=2b2，c2=a2﹣b2=b2，所以A（0，b），F（c，0），所以，所以c=1，所以椭圆的方程为．直线AF的方程为y=﹣x+1，联立消去y得3x2﹣4x=0，所以或x=0，所以，，从而得线段AB的中点，．所以直线OP的斜率为．（2）证明：由（1）知，直线AF的方程为y=﹣x+1，直线OP的斜率为，设直线l的方程为．联立得；所以点Q的坐标为，．所以，，，．所以．联立消去y得，由已知得△=4（3﹣2t2）＞0，又t≠0，得，，．设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，，．所以，=，，，，故===．所以．所以存在常数，使得．18．（2018•马鞍山二模）在直角坐标系中，己知点A（﹣2，0），B（2，0），两动点C（0，m），D（0，n），且mn=3，直线AC与直线BD的交点为P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点F（1，0）作直线l交动点P的轨迹于M，N两点，试求的取值范围．【解答】解：（1）直线AC的方程：（1）直线BD的方程：（2）上述两式相乘得：，又mn=3，于是：由mn=3得m≠0，n≠0，∴x≠±2所以动点P的轨迹方程：．（2）当直线MN的斜率不存在时，，，，，有：，，，，得；当直线MN的斜率存在时，设方程：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）联立：，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0有，，由；由k2＞0，可得：＜＜，综上所得：的取值范围：，．19．（2018•全国I模拟）设O为坐标原点，椭圆C：=1，动直线l （l不经过O）与C交于P、Q两点，M为线段PQ的中点．（1）设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为k1，求k1k的值；（2）若△OPQ的面积等于，求M的轨迹方程，并|OM||PQ|的最大值．【解答】解：（1）设l：y=kx+m，代入椭圆方程整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0则设M（x，y），则x=y=故k1=，于是k1k=为常数；（本问也可用点差法）…（5分）（2）当l不与y轴平行时，同（1）可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=8（4k2﹣m2+2），|PQ|=，d O﹣l=，S=…（8分）化简得：m2=2k2+1…①，代入△=8（4k2﹣m2+2）=8（2k2+1）＞0设M（x，y）则x=…②y=…③①②③式消去m、k可得=1当l与y轴平行时，设l：x=m，可解得：|PQ|=2S=|m|由S=解得m=，此时M（，0）也满足=1…（10分）|OM||PQ|=当k=时等号成立，故最大值为3…（12分）。
高中解析几何简化计算之点乘双根法
（ Ⅰ）
设 P（ m，0）
则→PA = （ →PA·P→B
x1 =（
，－Am（ ，xy1 ，1 ）y1，）P→，BB=（
x1 － m） （ x2 －
x2 ，y2 ） ， （ x2 － m，y2 m） + y1 y2
）， =（
x1
－
m）
（
x2
－
m） + k2 （ x1 － 1） （ x2 － 1） ．
解题技巧与方法
JIETI JIQIAO YU FANGFA
131
高中解析几何简化计算之点乘双根法
◎陈俊健 （ 广西南宁市第三中学（ 青山校区） ，广西 南宁 530021）
【摘要】高中解析几何在求解圆锥曲线与直线问题的时 候，通常需要联立方程，利用韦达定理去求解． 利用韦达定 理进行运算求解时，稍不注意就容易出错． 在求解点乘或者 斜率乘积为定值，甚至求 x1 x2 ，y1 y2 的时候，我们可以改进 解法，引入 点 乘 双 根 法，避 开 韦 达 定 理，简 化 计 算，减 少 失误．
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1 （ a ＞ b ＞ 0） 上，且椭圆的
离心率为
1 2
．
（ 1） 求椭圆 C 的方程．
（ 2） 若 M 为椭圆 C 的右顶点，点 A，B 是椭圆 C 上不同
的两点（
均异于
M）
且满足直线
MA
与
MB
斜率之积为
1 4
．
试判断直线 AB 是否过定点？ 若是，求出定点坐标； 若不是，
定理进行繁杂计算的过程，达到简化计算、提高解题速度的
效果，下面举例说明．
例 1 （ 2018 年西南四省名校高三第一次大联考） 已知
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一、圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值且OQ 11OQ 2，过原点O 作直线Q 1Q 2的垂D (X, V0)，设直线 Q 1Q 2 方程为 V= kx +m ，V = kx + m X 2 V 2 化简可得: ——+ — = 1 〔2b 2 b 2(2b 2k 2 + b 2)x 2 + 4kmb 2x + 2b 2(m 2 一b 2) = 0，所以2b 2(m 2 + b 2)b 2(m 2 -2b 2k 2)解法二（齐次式）:w r k r第十讲 锥曲线齐次式与点乘双根法V = kx +m ，x]—0-二kV代入*中， 化简可得: x 2 -0- + V = mV 0x x 2V = --0-x + T- + V 对比于V VX 2 V 2 一例1：4%为椭圆乐+b=1上两个动点,线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设Q ",V j Q 2a 2,V 2）x 2 y 2 x 2 y 2----------- 1 ---------(mx + ny )2 = 0 化简可得 --- 1 ------------ m 2x 2 一 n 2y 2 一 2mnxy = 02 b 2 b 22 b 2 b 2整理成关于 X , J X , J 的齐次式：(2 - 2b 2n 2)y 2 + (1 - 2m 2b 2)x 2 - 4mnb 2xy = 0，进而两边同时除以x 2，则1 -2 m 2 b 2(2 一 2b 2n 2)k 2 一 4mnb 2k +1 一 2m 2b 2 = 0 n k k = ---------1 2 2 - 2 b 2 n 2因为OQ 1 OQ OQ 1 OQ 所以kk =—1:.3 = 2b 2(m 2 + n 2)・・・*设直线Q 1Q 2方程为mx + ny=1，又因为直线Q1Q2方程等价于为y-y 0 =-x0- (x - x )y0x x 2y = -i x + t- + y对比于mx + ny = 1，则<x--------- 0—x 2 + y 0 (y2i代入*中，化简可得：x 2 + y 2 = -b2. x 2 , ____ __ .一例2：已知椭圆了+y2 =1，设直线,不经过点P(0，D的直线交于A，B两点若直线PA, PB的斜率之和为-1，证明：直线/恒过定点.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:即 k 「+ k 2' ―-1设直线l 方程为：mx '+ ny ' = 1原方程：X 2+ 4y 2 = 4则转换到新坐标就成为：x '2 + 4(y '+1)2 = 4 展开得：x '2 + 4y '2 + 8y' = 0构造齐次式：x '2 + 4y '2 + 8y '(mx '+ ny ') = 0 整理为：(4 + 8n )y '2 + 8mx'y '+ x '2 = 0 两边同时除以 x '2，则(4 + 8n )k '2 + 8mk '+1 = 08 m 1所以 k + k = ---- = —1 所以 2 m — 2 n — 1 n m — n + —1 2 4 + 8 n 2 , ,< ,1 ............................................. x’ “八而 mx + ny = 1「. (n + -)x + ny = 1 n n (x + y ) + --1 = 0 对于任意 n 都成立.x 2 y 2 ~ _ _例3：已知椭圆7 + 4- = 1，过其上一定点尸(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭所以原来 k pA +k pB =T ny -1, y -1 —t —+——x1—-1则转换到新坐标就成为：十,二一1 12x'+ y' — 0x ' n --1 — 0 [2x' = 2 t c ，故对应原坐标为 y =-2x = 2 1所以恒过定点(2,-1). y = -1即(0,1) n (0,0)8 2圆于A ,B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:旧坐标 新坐标即(2,1) n (0,0)所以原来『女。
【经典高考】高考数学 圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。
2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线
焦点在y 轴上的椭圆，那么 m 的取值范畴是—〔答：(°(谆〕2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视”括号〃内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点F ,, F 2的距离的和等于常数 2a ,■ ■ ■J"J- -1-■ ■ ■." ~—- -^-1" ■- ■■■且此常数2a 一定要大于 RF 2，当常数等于FT ?时，轨迹是线段卩汗2，当常数小于FT ?时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F 1, F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2I ，定义中的”绝对值'’与2a v |F 1F 2 |不可忽视。
假设2a = |F 1F 2|，那么轨迹是以 F 1, F 2为端点的两条射线， 假设2a > |F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
女口〔 1〕定点F 1( 3,0)也(3,0),在满 足以下 条件的平 面上动点P 的轨迹中 是椭圆的是A . PF j |PF 242 2B • |PF ^ |PF 2| 6C • PF 1PF 2 10 D • PF 1 PF 2 12 〔答：C 〕；_匚2〕.方程J (x 6)2 y 2 J (x 6)2 y 2 8表示的曲线是 _________________〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且”点点距为分子、点线距为分母"，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的 2关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。
如点Q(2.. 2,0)及抛物线y — 上一动点P 〔x,y 〕，那4么y+|PQ|的最小值是 ______ 〔答：2〕2.圆锥曲线的标准方程 〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕1 I I 12 2 2 2(3, 3)U ( -,2)〕；〔2〕假设x, y R ，且3x 2y 6，那么x y 的最大值是 _____________________ , x y 的最小值是—〔答：后2〕、x 2y 2y 2x 2〔2丨双曲线：焦点在x 轴上：—J=1，焦点在 y 轴上： 土—= 1〔 a 0,b 0〕。
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圆锥曲线——点乘双根法
适用类型：类似21x x ，21y y ，))((21t x t x ++，))((21t y t y ++或||||,MB MA MB MA ⋅⋅（其中2121,,,y y x x 是直线与曲线的两个交点的横纵坐标，B A ,直线与曲线的两个交点）以及可转化为上述结构的问题
理论基础：二次函数的双根式，若一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则)
)((212x x x x a c bx ax --=++具体步骤：化双根式→赋值→变形代入
1．（2013天津）设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
334．（1）求椭圆的方程；
（2）设B A ,分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于D C ,两点．若8=⋅+⋅CB AD DB AC ，求k 的值．
2．（2012重庆）如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为21,F F ，线段21,OF OF 的中点分别为21,B B ，且21B AB ∆是面积为4的直角三角形．
（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过1B 作直线l 交椭圆于Q P ,两点，使22QB PB ⊥，求直线l 的方程．
3．（2014辽宁理）圆22
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P 且离心率为3.（1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于B A ,两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
4．已知O 是坐标原点，若椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2，右顶点为P ，上顶点为Q ，OPQ ∆的面积为22．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）已知点)0,6(E ，N M ,为椭圆Γ上两动点，若有2-=⋅EN EM ，证明：直线MN 恒过定点．
5．已知点22,1(在椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 上，椭圆离心率为22．（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MB MA ⋅为定值？若存在,求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2014大纲）已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4
QF PQ =
.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.
7．（2016四川）已知椭圆:E 22
221+=x y a b
（0a b >>）的一个焦点与短轴的两个端点是正
三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设不过原点O 且斜率为12
的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B A ,，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于D C ,，证明：||||||||MD MC MB MA ⋅=⋅.
8．（2016四川理）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线3:+-=x y l 与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（2）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点B A ,，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．。