二阶行列式与逆矩阵
二阶矩阵逆矩阵的简便方法
二阶矩阵逆矩阵的简便方法
既然已经知道二阶矩阵的逆矩阵可以用于矩阵求解以及数值分析计算，那么要求解二阶矩阵逆矩阵最简便的方法是什么？
首先要了解二阶矩阵，二阶矩阵指的是将实数构成的矩阵分解为两个一维的矩阵的组合形式，其行列式为二阶的多项式。
它可以表示一对线性方程组的解，也可以表示两个一维空间上各向量之间的乘积。
二阶矩阵的逆矩阵，即矩阵的乘积关系加以逆操作变换成乘除式的结果。
如果要求解二阶矩阵逆矩阵，最简便的方法就是使用其特征值，也就是通过求解二阶矩阵行列式的系数值，可以确定矩阵特征值，由特征值反推出二阶矩阵的逆矩阵。
因此，求解二阶矩阵逆矩阵最简便的方法就是要先求解二阶矩阵行列式的系数值，然后根据特征值反推出二阶矩阵的逆矩阵。
其次，还可以利用矩阵的可逆性，即二阶矩阵的行列式的系数与特征值皆不为零，其反矩阵可以得出。
要求解可逆二阶矩阵可以用简易的计算方法，让行列式的值为1即可，注意乘以一定的常数使矩阵行列式的值满足要求；然后只需要利用可逆性，将每一行中数项乘以行列式的值后又除以行列式值，即可求出反矩阵。
最后，十字交叉乘法也能求解二阶矩阵的逆矩阵。
这种方法是先用计算出一个单位矩阵的值，然后乘以原始矩阵形成的新矩阵，最后再用十字交叉乘法将其分解开，即可求出一个新的可逆矩阵，这个矩阵就是即原始矩阵的逆矩阵。
总之，要求解二阶矩阵逆矩阵最简便的方法就是使用它的特征值、矩阵的可逆性以及十字交叉乘法，以上方法各自有其独特的优势，可以根据实际情况取胜，由此求解出二阶矩阵的逆矩阵。
二阶行列式与逆矩阵优秀教学设计
二阶行列式与逆矩阵【教学目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵【教学重难点】1．掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵2．运用行列式求逆矩阵【教学过程】一、行列式与矩阵行列式：我们把a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦两边的“⎡⎤⎢⎥⎣⎦”改为“”，于是，我们把a bc d 称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的行列式，它的结果是一个数值，记为||det()a b A A ad bc c d ===-。
计算方法：主对角线上两数之积减去副对角线上两数之积。
矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值。
二、利用行列式求逆矩阵设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，记||a b A ad bc c d ==-。
则 矩阵A 可逆的充要条件：||0a bA ad bc c d ==-≠。
当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 三、典例剖析设4112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -。
判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵（1） 1111A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2）101b B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦已知矩阵234b A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆，求实数b 的范围。
四、课堂练习展开下列行列式，并化简（1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779矩阵00a d 可逆的条件为 。
行列式(,,,{1,1,2})a ba b c d c d ∈-的所有可能值中，最大的是 。
若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵。
求二阶矩阵逆矩阵的方法
求二阶矩阵逆矩阵的方法
二阶矩阵的逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
这个过程可以通过求解线性方程组来完成。
本文将介绍求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法：代数余子式法和伴随矩阵法。
1. 代数余子式法
代数余子式法是求解二阶矩阵逆矩阵比较简单实用的方法之一。
假设有一个二阶矩阵A=[a，b；c，d]，其行列式为：|A|=ad-bc。
若行列式|A|不等于0，则A可逆，其逆矩阵为：
A^-1 = 1/|A| ×
⎡d，-b⎤
⎣-c，a⎦
其中1/|A|为A的行列式的倒数。
若|A|=0，则A不可逆。
2. 伴随矩阵法
伴随矩阵法是通过矩阵的伴随矩阵求解矩阵逆的方法。
伴随矩阵是指将原矩阵的代数余子式转置后构成的矩阵，即
A* =
⎡d，-c⎤
⎣-b，a⎦
其中a，b，c，d为原矩阵的元素。
若原矩阵可逆，则其逆矩阵为：A^-1 = 1/|A| × A*
其中1/|A|为原矩阵的行列式的倒数。
总结：
以上就是求解二阶矩阵逆矩阵的两种方法，代数余子式法和伴随矩阵法。
对于二阶矩阵来说，两种方法都比较简单易懂，但对于高阶矩阵来说，伴随矩阵法更具有实用价值。
在求解矩阵逆时，一定要注意行列式是否为零。
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目的熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法重点与难点重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念教学内容一、概念的引入逆矩阵: 设A 是数域上的一个n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得: AB=BA=E 。
则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。
定义1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则说矩阵A是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
A 的逆矩阵记为1-A.,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B. ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====∆则设唯一性 .. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故11==-E A A所以0≠A定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且*11A AA =-其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵证 由例1知：E A A A AA ==** 因0≠A ，故有E A A AA A A ==**11所以有逆矩阵的定义，既有*11A AA=-当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
推论：若E AB =（或E BA =），则1-=A B证1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是111*)()(---=====AE A AB A B A A EB B 方程的逆矩阵满足下述运算规律①若A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()()1111----=ABB A AB AB1-=AEA ,1E AA==-().111---=∴A B AB例2 求方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321.A 的逆矩阵解023********≠=⋅+⋅+⋅=A A A A ，知1-A 存在2.11=A6.21=A 4.31-=A3.12-=A 6.22-=A 532=A2.13=A 2.23=A 2.33-=A于是.A 的伴随矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=222563462.*A所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-111253232311.*1A A A注：利用伴随矩阵法求逆矩阵的主要步骤是1. 求矩阵.A 的行列式A ，判断.A 是否可逆；2. 若1.-A 存在，求.A 的伴随矩阵*.A ；3.利用公式*11A AA =-，求1.-A 三、逆矩阵的运算性质;1, 1. 1AA A -=则可逆若;)(, , 2.111A A A A -=--且也可逆则可逆若;)()(, 则 , 3.11T T T A A A A --=且也可逆可逆若证明：()()TTTA A AA 11--=ΘTE=,E =()().11TT A A--=∴().,,0,10kkAAE A A --==≠定义时当另外()为正整数k有为整数时当,,,0μλ≠A().λμμλA A =;1)( 0 4.11--=≠A kkA kA k A 也可逆，且，则可逆，数若 ;)( 5.111---=A B AB AB B A 且也可逆，为同阶可逆矩阵，则，若;)( ,,, 111211211----=A A A A A A A A s s s ΛΛΛ则为同阶可逆阵若Ⅴ.小结与提问小结：、逆矩阵及其求法、 提问：求逆矩阵应注意什么？。
《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.3 用二阶行列式求逆矩阵》教案2教学目标1.了解行列式产生的背景；2.经历引入二阶行列式的过程；3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征．教学重难点二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组．教学过程典型例题例1 求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.(2009江苏卷) 解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-， 从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 或由逆矩阵知识a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则1db ad bc ad bc A ca ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦直接可得答案．例2 已知曲线C ：1=xy将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程；解：由题设条件，0000cos 45sin 4522sin 45cos 45M ⎢⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'Mx yx x xTy y yy⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x yy y⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得'')2'')2x x yy y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C的方程为22''2y x-=。
二阶逆矩阵的求法
对于一个二阶矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A 的逆矩阵，记作A^-1。
对于一个二阶矩阵，其逆矩阵的求法如下：
对于一个二阶矩阵A = [a b; c d]，首先计算A的行列式D，即D = ad - bc。
如果D≠0，则矩阵A可逆，逆矩阵A^-1 = 1/D ×[d -b; -c a]。
如果D=0，则矩阵A不可逆，称为奇异矩阵。
因此，对于一个二阶矩阵A，只有当其行列式D≠0时，才存在逆矩阵。
如果行列式D=0，则矩阵A不可逆。
需要注意的是，在计算逆矩阵时，需要保证矩阵A是一个可逆矩阵，即其行列式不为0。
此外，对于高阶矩阵，逆矩阵的求解方法比较复杂，通常需要使用高等数学中的行列式、伴随矩阵等概念和方法进行求解。
矩阵的逆矩阵与行列式计算
矩阵的逆矩阵与行列式计算矩阵是线性代数中的一项重要概念，它在各种领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆矩阵和行列式是矩阵理论中的两个关键概念，本文将介绍逆矩阵和行列式的计算方法及其重要性。
一、逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I表示单位阵），那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的倒数。
对于可逆矩阵A，它的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的计算方法如下：设A为一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵。
求矩阵A的逆矩阵的方法有多种，以下是其中两个常用的方法：1. 初等行变换法通过利用矩阵初等行变换，将矩阵A变换成一个特殊形式，然后通过初等行变换得到B，使得AB=I。
具体步骤如下：a) 取A和单位阵I并排组成一个增广矩阵[A|I]；b) 对[A|I]做行变换，将矩阵A变换为n阶单位矩阵；c) 当[A|I]变为[I|B]时，B就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法通过伴随矩阵的概念，求解矩阵A的逆矩阵。
设A为n阶方阵，A 的伴随矩阵记作Adj(A)，则A的逆矩阵B的表达式如下：B = (1/det(A)) * Adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、行列式行列式是矩阵理论中用于刻画矩阵性质的一种特殊函数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其计算方法如下：1. 二阶方阵的行列式计算：A = [[a, b], [c, d]]det(A) = ad - bc2. 三阶方阵的行列式计算：A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh对于高阶方阵，通常使用行列式的性质和展开定理来计算。
行列式的计算过程相对繁琐，但是具有重要的应用价值。
行列式的性质有如下几个：a) 互换行列式的两行，行列式改变符号；b) 行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面；c) 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0；d) 行列式的某一行（列）可以表示成其他行（列）的线性组合。
二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵教学目标1. 了解行列式的概念；2.会用二阶行列式求逆矩阵。
教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。
教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。
（2）逆矩阵的性质。
二、新课讲解. 例1 设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
例2设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
思考：对于一般的二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？结论：如果矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。
表达式bcad -称为二阶行列式，记作cadb ，即cadb =bc ad -。
ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：detA或|A|① 反之，当≠-bc ad 时，有⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c =⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。
当矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆时，1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -。
1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭三、课堂小结1.矩阵是否可逆与其行列式的值的关系，2.逆矩阵的又一种求法。
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所以矩阵M存在逆矩阵M-1,且
验证
7 6 7 6
M
1
5 2
5
5 1
5
5 2
5
5
1 5
MM
1
1 2
6 7
7 5 2
5
6
5 1
5
1 0
10 I
7
M 1M
5 2
5
6
5 1
5
1 2
76
1 0
0 1
I
2020年5月30日星期六
练习2
选修4－2 矩阵与变换
求下列矩阵的逆矩阵
如果矩阵A=
a c
b
d
是可逆的，
则 ad bc 0 。
表达式 ad bc 称为二阶行列式，
记作 a b cd
，即 a c
b d
= ad bc 。
ad bc 也称为行列式 a b 的展开式。 cd
符号记为：detA或|A|
2020年5月30日星期六
选修4－2 矩阵与变换
定理：二阶矩阵A=
a c
二阶行列式 与逆矩阵
复习：
选修4－2 矩阵与变换
1.对于一个二阶矩阵A,如果存在一个二阶矩阵B，使得
AB=BA= E2 ，则称矩阵A可逆。 2.设A 是二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵 是唯一的.
3.若二阶矩阵 A,B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩 阵,且
(AB)-1=B-1A-1
2020年5月30日星期六
2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可 逆，求出逆矩阵。
①A＝
0 1
1
0
②B＝Biblioteka 1 010
2020年5月30日星期六
练习1
选修4－2 矩阵与变换
判断矩阵M
1 2
76 是否存在逆矩阵, 若存在,
求出它的逆矩阵,并用逆矩阵的定义验证.
解
矩阵M
1 2
6 7
的行列式
16 1 7 6 2 5 0
当ad-bc≠0时有解
u
ad
d
bc
s
c ad bc
且 v t
b ad bc a
ad bc
验证 MN=NM=I
d
矩阵N
ad bc c
ad bc
b
ad ad
a
bc bc
是矩阵M的逆矩阵
当ad-bc=0时方程组无解,矩阵M不存在逆矩阵
2020年5月30日星期六
选修4－2 矩阵与变换
v t
au cu
bs ds
av cv
bt dt
10
10
实数u,v,s,t必须满足
au bs 1 cu ds 0 av bt 0 cv dt 1
2020年5月30日星期六
选修4－2 矩阵与变换
即
au bs 1 cu ds 0
且cavv
bt dt
0 1
满足怎样条件有解?
b
d
可逆，
当且仅当ad bc 0 。
当矩阵A=
a c
b
d
可逆时，
。
d
A = 1
detA
c
detA
-b
detA
a
detA
。
2020年5月30日星期六
知识应用
选修4－2 矩阵与变换
1.计算二阶行列式：
①3 1 42
② 2 2 1 3
2020年5月30日星期六
知识应用
选修4－2 矩阵与变换
建构数学
选修4－2 矩阵与变换
例1
设A=
3 4
1 2
，问A是否可逆？如果可逆，
求其逆矩阵。
例2
设A=
2 4
1 2
，问A是否可逆？如果
可逆，求其逆矩阵。
2020年5月30日星期六
选修4－2 矩阵与变换
抽象概括
对任意矩阵M
a c
b d
由逆矩阵的定义,有
假设它有逆矩阵N
u s
v t
MN
a c
b d
u s
1
1 0
11;
2
2 0
02;
313 42;
2020年5月30日星期六
选修4－2 矩阵与变换
小结 如何判断一矩阵是否存在逆矩阵? 如何求一矩阵的逆矩阵?
2020年5月30日星期六
作业
选修4－2 矩阵与变换
一上交作业：课本第55页习题2,5
二家庭作业：练习册
2020年5月30日星期六