北师大版八年级数学下册第一章 1.1等腰三角形练习题(无答案)
等腰三角形
一、单选题
1．如图，在等腰三角形ABC 中，,40,AB AC A CD AB =∠=⊥于点D ，则BCD ∠的度数为（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．20°
D ．15°
2．在等腰△ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12 两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A ．7
B ．7或11
C ．11
D ．7或10 3．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A ．65°
B ．65°或80°
C ．50°或65°
D ．40°
4．如图，在△ABC 中，△A =36°，AB=AC ，BD 平分△ABC ，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．如图，在△BAC 中，△B 和△C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE△BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD=5，CE=4，则线段DE 的长为（ ）
A ．9
B ．6
C ．5
D ．4
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知()-2,2A ，在y 轴上确定点P ，使AOP ∆为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，CD ，CE 分别是斜边上的高和中线，若AC=CE=6，则CD 的长为（ ）
A B ．C ．6 D ．
8．下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A ．有两个内角是60°的三角形
B ．三边都相等的三角形
C ．有一个角是60°的等腰三角形
D ．有两个外角相等的等腰三角形
9．已知△AOB =30°，点P 在△AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形 10．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若11OA =，则
667A B A V 的边长为（ ）
A ．6
B ．12
C ．32
D ．64
二、填空题
11．若等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角为______．
12．某轮船由西向东航行，在A 处测得小岛P 的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B 处测得小岛P 的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P 的距离BP=________海里．
13．如图，在面积为32cm 2的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是_______ cm 2．
14．下列三角形中：
△有两个角等于60︒的三角形；△有一个角等于60︒的等腰三角形；△三个角都相等的三角形；△三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有____(填序号)
三、解答题
15．如图，AC ＝BC ，AE △CD 于点A ，BD △CE 于点B ．
（1）求证：CD ＝CE ；
（2）若点A 为CD 的中点，求△C 的度数．
16．已知，如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG △CE 于G ，CG ＝EG
（1）求证：CD ＝AE ；
（2）若AD ＝BD ，CD ＝2，则求△ABD 的面积．
17．已知，如图，矩形ABCD 中，点E 、F 均为BC 边上的点，且满足BE =CF ，连接AE 、DF ，延长相交于点G ，求证：AG =DG ．
18．已知a 、b 、c 为ABC △的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC △的周长并判断ABC △的形状.
19．如图，点 O 是等边△ABC 内一点，△AOB ＝105°，△BOC 等于α，将△BOC 绕点 C 按 顺时针方向旋转 60°得△ADC ，连接 OD .
（1）求证：△COD 是等边三角形．
（2）求△OAD 的度数．
（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题 (1)
2018年北师大版八年级数学下册1.1《等腰三角形》综合训练题一、选择题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35° B．40° C．45° D．50°3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD 等于( )A．36° B．54° C．18° D．64°4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C 的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．60°6. 如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是( )A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°8. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD ＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°9. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A．6 B．3 C．2.5 D．210. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题11.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE ＝____．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.(1)若∠BAC＝80°，则∠BAD＝____；(2)若AB＋CD＝12 cm，则△ABC的周长为____ cm.13. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．14. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．三、解答题15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.17. 如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD.18. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y 与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．19. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；(2) 证明：BD＝2EC.参考答案1.B2.A3.B4.C5.C6.D7.C8.D9.C 10.C11.3 12.40°24 13.20°14.12°15.证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．16.证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．17.证明：如图，连接AC，AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD，∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD．18.解：（1）如图所示，BD即为△ABC关于点B的伴侣分割线；（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分两种情况：①△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°-x，当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且90°≥y＞45°；②△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时180°-x-y=y-90°，当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时∠A=45°，∴y=135°-x．综上所述，当y=90°-x，或y=90°+x，或x=45°且y＞x且90°≥y＞45°，或或y=135°-x时，△ABC存在伴侣分割线．19.解：满足条件的所有图形如图所示：共5个．20.证明：（1）△ABD≌△ACF．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠FAC=∠BAC=90°，∵BD⊥CE，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）. （2）∵△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∵BD⊥CE，∴∠BEF=∠BEC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠FBE=∠CBE，∵在△FBE和△CBE中，∴△FBE ≌△CBE （ASA ）， ∴EF=EC ， ∴CF=2CE ， ∴BD=2CE ．北师大版九年级数学上册期中测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.(1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式;(2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
初二数学下1.1等腰三角形综合练习含答案(北师大版)
初二数学下1.1等腰三角形（北师大版）一．选择题（共15小题）1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（）A．40°B．55°C．65°D．70°2．△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，若AB＝6，则AC＝（）A．6 B．8 C．5 D．133．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm4．等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（）A．50°B．40°C．40°或100°D．50°或100°5．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（）A．22.5°B．67.5°C．67°50' D．22.5°或67.5°6．下列四个说法：①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．其中正确的个数为（）A．1个B．2 C．3 D．47．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍8．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（）A．10 B．13 C．17 D．13或179．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为（）A．30°B．25°C．15°D．10°10．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG ＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（）A．8+2B．6+4C．8+4D．6+211．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG ＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（）A．3 B．4 C．5 D．912．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．1213．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2 B．4 C．6 D．815．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°二．填空题（共5小题）16．已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是cm．17．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，∠A＝50°，则∠DBC的度数是．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是．20．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．答案选择题：CAABD ABCCB BBCCD 填空：16：6或717：9．18：25°19:110°或80°20: ∠1＝2∠2。
北师大版八年级下册数学等腰三角形同步练习
1.1等腰三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（）A．5 B．7.5 C．9 D．102．如图，AB∥CD，∠A＝70°，OC＝OE，则∠C的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．55°3．如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（）A．2+B．2+2C．4 D．34．如果等腰三角形的一个外角为140°，那么底角为（）A．40°B．60°C．70°D．40°或70°5．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，BA＝BC，DB＝DA，若∠BAC＝m，∠ADB＝n，则m 与n之间的关系是（）A．3m+n＝180°B．4m﹣n＝180°C．3m﹣n＝180°D．2m+n＝180°6．用一条长为16cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．6cm C．4cm或6cm D．4cm或8cm7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD＝AE，则下列结论错误的是（）A．∠ADB＝∠ACB+∠CAD B．∠ADE＝∠AEDC．∠B＝∠C D．∠BAD＝∠BDA8．等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（）A．70°或40°B．40°或55°C．55°或70°D．70°9．已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（）A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm10．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍二、填空题11．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．12．如图，在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝80°，则∠ADC等于°．13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．14．等腰三角形的两边长是3和7，则这个三角形的周长等于．15．在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB，若∠ACD＝42°，则∠BAC＝°．三、解答题16．如图所示，∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．（1）求证：△AFD为等腰三角形；（2）若DF＝10cm，求DE的长．17．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．18．已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：△ABD为等腰三角形．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A 同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQ∥BC？。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步选择专项练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步选择专项练习题（附答案）1．等腰三角形一边为6，另一边是方程4x﹣5＝7的根，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC 上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+αC．90°﹣αD．30°+α4．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A．20°B．50°或70°C．70°D．20°或70°5．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC、BC于点D、点E．若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（）A．2B．4C．6D．86．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，BD＝AD，AC＝DC，则∠B的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．46°7．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，则图中一共有（）个等腰三角形．A．3B．4C．5D．68．如图，已知点A（2，2），在x轴上确定一点P，使得△AOP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个9．如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（）A．8B．9C．10D．1110．如图，△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC，∠ACB，DE过点I，且DE∥BC，若AB＝A．8B．9C．10D．1111．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，BD＝2，CD＝7，则AB长为（）A．4B．5C．6D．712．如图，DE＝11，FG＝3，BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，DE∥BC．则BD+CE＝（）A．3B．11C．7D．813．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③14．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．615．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，A．B．4C．D．4.516．如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB＝120°，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若AD＝2，则BE的长为（）A．2B．3C．4D．617．如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE ＝2，下列结论错误的是（）A．∠ADE＝30°B．BD＝4C．△EFC的周长为18D．△ABC的周长为2118．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°．DE垂直平分AB，交BC于点E．若BE＝10cm．则AC＝（）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm19．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，点M，N在边AB上，CM＝CN．若MN＝2，则AM＝（）A．1B．2C．3D．420．用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先应该假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．AB≠AC D．AB≠AC且∠B≥90°21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作EF ∥BC，交AB于E，交AC于F，若BE＝8，CF＝6，则EF的长是（）A．4B．2.5C．2D．1.522．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个23．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定参考答案1．解：∵4x﹣5＝7，∴x＝3，当腰3时，三角形的三边为3、3、6，此时构不成三角形；当腰为6时，三角形三边的长为3、6、6，此时周长为15；综上，该等腰三角形的周长为15．故选：B．2．解：∵BD为△ABC的高，∴∠BDC＝90°．∵∠CBD＝20°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣20°＝70°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝70°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．3．解：∵∠A＝α，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣α）＝90°﹣，∴∠D＝∠B＝90°﹣，∵∠AGE＝∠DGF，∴∠A+∠1＝∠D+∠2，∵∠1＝2∠2，∴α+2∠2＝90°﹣+∠2，∴∠2＝90°﹣α，∴∠EGF＝∠D+∠2＝90°﹣+90°﹣α＝180°﹣2α，故选：A．4．解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝（90°﹣50°）＝20°，②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．故选：D．5．解：设∠C＝x，∵ED是AC的垂直平分线，∴∠EDA＝90°，EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∵∠BAE＝45°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+x，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°+x，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴2（x+45°）+x＝180°，解得：x＝30°，∴∠EAC＝∠C＝30°，∵DE＝2，∴AE＝2DE＝4，故选：B．6．解：设∠B＝x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x，∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD＝x°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝2x°，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝2x°，∵∠C+∠ADC+∠CAD＝180°，∴5x°＝180°，∴x＝36，∴∠B＝36°，故选：B．7．解：∵AB＝AC＝BD，∴△ABD和△ABC是等腰三角形，∵∠D＝∠C＝∠DEA＝∠BEC，∴AD＝AE，BC＝BE，∴△ADE和△BEC是等腰三角形，∵AD＝BC，∴AE＝BE，∴△AEB是等腰三角形，故选：C．8．解：（1）若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA 为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个．以上4个交点没有重合的，故符合条件的点有4个．故选：B．9．解：如图所示：满足条件的点C有9个，故选：B．10．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I，∴∠DBI＝∠CBI，∠ECI＝∠BCI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠CBI，∠BCI＝∠EIC，∴∠DBI＝∠DIB，∠ECI＝∠EIC，∴DB＝DI，EI＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DI+EI+AE＝AD+BD+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故选：B．11．解：在CD上取一点E，使BD＝DE＝2，∵CD＝7，∴CE＝5，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠B＝2∠C，∵∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C，∴∠C＝∠EAC，∴AE＝CE＝5，∴AB＝5，故选：B．12．解：∵BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECG＝∠BCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EGC＝∠ECG，∴∠DBF＝∠DFB，∠EGC＝∠ECG，∴BD＝DF，EG＝CE，∴BD+CE＝DF+EG＝DE﹣FG＝11﹣3＝8，故选：D．13．解：∵有两个角等于60°，则第三个角为180°﹣60°﹣60°＝60°，∴这个三角形是等边三角形，故①选项符合题意；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故②选项符合题意；∵三个外角都相等，∴三个内角也都相等，∴这个三角形是等边三角形，故③选项符合题意；∵一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，∴腰和底边相等，∴这个三角形是等边三角形，故④选项符合题意，∴正确的选项有①②③④，故选：A．14．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．15．解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故选：B．16．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∵DE⊥AB于E，∴在△ADE中，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝2，∴AE＝1，在△ABD中，AB＝2AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝3．故选：B．17．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°∵AE＝2，∴AD＝2AE＝BD＝4，故选项A，B正确，∴AB＝BC＝AC＝8，∴△ABC的周长为24，故选项D错误．∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴△EFC的周长＝3×（8﹣2）＝18，故选项C正确，故选：D．18．解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA＝10cm，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AE＝5（cm），故选：C．19．解：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵CM＝CN，且MN＝2，∴DM＝MN＝1，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC，∵AC＝4，∴AD＝2，∴AM＝2﹣1＝1．故选：A．20．解：用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＜90°”时，首先假设∠B ≥90°，故选：A．21．解：∵BD平分∠ABC，BE＝8，CF＝6，∴∠ABD＝∠DBC，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED＝8，同理可得FD＝FC＝6，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC＝8﹣6＝2．故选：C．22．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．23．解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．。
北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步练习 (含解析)
1.1等腰三角形同步练习一．选择题1．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（）A．10B．13C．17D．13或172．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（）A．65°，65°B．80°，50°C．65°，65°或80°，50°D．不确定3．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD 的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．65．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM 的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.56．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．67．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对8．如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一）B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一）D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设P A＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（）A．5B．6C．7D．8二．填空题11．已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于．12．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．13．如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，∠ADE＝度．14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝．15．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD 是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝°．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．18．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？参考答案一．选择题1．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；综合上述：三角形的周长是17，故选：C．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；②当顶角∠A＝50°时，∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠A）＝65°；即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，故选：C．3．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．4．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．5．解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．6．解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，∴∠ADC＝30°，∴DC＝2AC＝6，∴DE＝DC＝6，故选：D．7．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．故选：C．8．解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AC＝BC（等腰三角形三线合一），条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符；B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AD＝BD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；故选：A．9．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．10．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故选：B．二．填空题11．解：∵等腰三角形的一个外角等于130˚，∴与其相邻的内角为50°．当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；当50°为底角时，其他两角为50°、80°．所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD＝AC＝3cm．故填3．13．解：∵BD＝BC，∠ACE＝25°∴∠BDC＝∠C＝25°∴∠ABD＝50°∵AD＝BD∴∠A＝∠ABD＝50°∴∠ADE＝∠A+∠C＝75°．故填75．14．解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵∠DAE＝60°∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC∴△ADC≌△BFC（SAS）∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF∴△DCE≌△FCE（SAS）∴DE＝EF∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，故答案为4.6．15．解：∵a∥b，∴∠1＝∠ACD，∵△BCD是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，∴∠1＝36°．故答案为36．三．解答题16．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．17．解：∵BD＝CD，∴∠BCD＝∠CBD，设∠BCD＝∠CBD＝x°，∵AB＝BC＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，∴∠ABC＝3∠C＝3x°，∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180，解得x＝36，∴∠C＝36°∴∠ABC＝3∠C＝108°．18．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t＝，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y＝．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．。
北师大版八年级下册数学等腰三角形专项训练(原创)
北师大版八年级下册数学等腰三角形专项训练（原创) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 中，,AB AC =延长BC 至点,D 恰好使得,CA CD =若84BAD ∠=︒，则B 为（ ）A ．32B ．48C ．52D ．64 2．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70° 3．一个等腰三角形的三边长分别为21x -、1x +、32x -,该等腰三角形的周长是（ ） A ．10或4 B ．10或7 C ．4或7 D ．10或4或7 4．若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（ ）A ．80°B ．50°C ．80°或50°D ．80°或20° 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个6．已知等腰三角形的两边长x ，y 满足2|4|(8)0x y -+-=，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．16B ．20C ．16或20D ．以上都不对 7．如图，已知 AB ＝AC ＝BD ，则∠1与∠2的关系是（ ）A ．3∠1﹣∠2＝180°B ．2∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．∠1＝2∠28．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠ACB ＝60°，AB ＝16，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ACB 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）A B ． C ．163 D ．二、填空题10．有两边相等的三角形的一边是7，另一边是4，则此三角形的周长是_____． 11．等腰三角形的一个底角为50︒，则它的顶角的度数为__________．12．有一个顶角为30°的等腰三角形,若腰长为4，则腰上的高是________13．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，32BC =，AB =_______．14．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长度为_______cm ． 15．在ABC 中，AB AC =，60A ∠=︒，6BC =，则AB =____．三、解答题16．已知：如图，AB AC =，DE AC ，求证：DBE 是等腰三角形．17．已知：如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，AD BC =，E 是AB 上一点，且AE CD =，60B ∠=，求证：EBC ∆是等边三角形.18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在AB 边上，AD AC =，过点B 作BE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ．（1）求BCD ∠的度数；（2）求证：2CD BE =．19．如图，以平行四边形ABCD 的边DC BC 、分别做等边BCE ∆和等边CDF ∆． （1）求证：AE AF =；（2）求EAF ∠的度数．20．已知：如图，点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：CF＝CH；（3）判断△CFH的形状并说明理由．21．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．参考答案1．D【来源】重庆市西南大学附中2018-2019学年七年级下学期期末数学试题【解析】【分析】根据等边对等角可得CAD D ∠=∠，再通过三角形外角的性质可得2ACB CAD D D =+=∠∠∠∠，再根据等边对等角可得2B ACB D ==∠∠∠，再根据三角形内角和定理求出32D ∠=︒，即可求出B 的度数．【详解】∵CA CD =∴CAD D ∠=∠∴2ACB CAD D D =+=∠∠∠∠∵AB AC =∴2B ACB D ==∠∠∠∵84BAD ∠=︒∴180180284BAD B D D D ∠=︒--=︒--=︒∠∠∠∠∴32D ∠=︒∴264B D ==︒∠∠故答案为：D ．【点睛】本题考查了三角形内角的度数问题，掌握等边对等角、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键．2．B【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB ）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°． 【详解】∵AD 是△ABC 的中线，AB=AC ，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB ）=70°． ∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°． 故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．3．B【来源】湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2019-2020学年八年级上学期10月月考数学试题【解析】【分析】三边的长度都不清楚，所以需要讨论三种情况，然后找出能组成三角形的组合，算出答案.【详解】解：若21x -=1x +，则x=2，则三边为3,3,4，符合条件，周长为10；若21x -=32x -，则x=1，则三边为1，1，2 无法构成三角形.若1x +=32x -，则x=32，则三边为52，52，2，符合条件，周长为7； 综上该等腰三角形的周长为10或7.【点睛】求三角形的周长一定要注意三边能否构成三角形.4．C【来源】【区级联考】山东省枣庄市薛城区2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题【解析】【分析】利用等腰三角形的性质，分两种情况解答本题即可得到答案.【详解】①当80°为顶角时，底角=()18080250︒︒︒-÷=，②当80°为底角时，底角为80°，∴底角为 80°或50°，故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及分类讨论思想.分两种情况讨论是解答本题的关键. 5．C【来源】2014-2015学年四川省自贡赵化中学八年级上学期第三次段考数学试卷（带解析)【解析】【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可．【详解】解：如图，①AB 的垂直平分线交AC 一点P 1（PA=PB ），交直线BC 于点P 2；②以A 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有二点P 3，P 4，交BC 有一点P 2，（此时AB=AP ）； ③以B 为圆心，BA 为半径画圆，交BC 有二点P 5，P 2，交AC 有一点P 6（此时BP=BA ）． 2+（3-1）+（3-1）=6，∴符合条件的点有六个．故选C ．6．B【来源】山西省运城市芮城县2018-2019学年七年级下学期期末数学试题【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】根据题意得，x−4＝0，y−8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4＋4＝8，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4＋8＋8＝20．所以，三角形的周长为20．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．7．A【来源】湖北省武汉市洪山区2018-2019学年八年级上学期期中调研考试数学试卷（word)【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1 和∠C 之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1 和∠2 之间的关系．【详解】解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝180°﹣2∠1，∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1，∴3∠1﹣∠2＝180°．故选A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．8．A【来源】山东省德州市武城县实验中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题【解析】【分析】由等边对等角可求出∠ABC=∠ACB=72°，再根据角平分线与三角形外角性质求出图中其余角度，在图中标注出角度，根据相等的角找出等腰三角形即可得解．【详解】∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°∴∠ABC=∠ACB=()1180A 2-∠=72° ∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，∠ACE=∠BCE=12∠ACB=36° ∴∠CDE=∠A+∠ABD=72°，∠CED=∠BCE+∠CBD=72°，在图中标注如下：等腰三角形有：△ABC ，△ABD ，△BCE ，△CDE ，△BCD ，总共5个，故选A.【点睛】本题考查等腰三角形的判断，根据三角形内角和与外角性质求出角度是关键.9．C【来源】广东省汕头市潮南区两英镇2018-2019学年八年级期末数学试题【解析】【分析】在Rt △ABD 中，利用等腰直角三角形的性质列方程求解可求出AD 和BD 的长度，在Rt △ADC 中；根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半的性质可列方程解出CD ，同理可得DE 的长度，再利用AE=AD −DE 即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，即△ABD 、△ADC 和△CDE 为直角三角形，在Rt △ABD 中，∵∠ADB =90°，AB =16，∠B =45°，∴∠B=∠BAD =45°，则AD =BD ，设AD =BD=x ，由勾股定理得：22216+=x x ，解得：=x AD =BD=在Rt △ADC 中，∵∠ADC =90°，∠ACD =60°，AD =∴∠CAD =30°，则12CD AC =， 设CD =x ，则AC =2x ，由勾股定理得：222(2)+=x x ，解得：3=x ，即CD 3=， ∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD =30°，在Rt △CDE 中，同理得：DE =，∴AE =AD ﹣DE =3=3=， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，根据勾股定理构造方程是解题的关键．10．15或18【来源】北京交大附中2018-2019学年七年级下学期期末数学试题【解析】【分析】有两边相等的三角形是等腰三角形，由于不确定哪边是底，哪边是腰，故分两种情况讨论，并结合构成三角形的三边的关系，即可得解．【详解】若7为底，则三边为7，4，4，由于4+4>7，故可以构成三角形，周长为15；若4为底，则三边为4，7，7，也可以构成三角形，周长为18．故答案为：15或18．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分类讨论哪边为底哪边为腰是解题关键．11．80【来源】四川省成都市2018年中考数学试题【解析】分析：本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．详解：∵等腰三角形底角相等，∴180°-50°×2=80°，∴顶角为80°．故答案为80°．点睛：本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．12．2【来源】上海市静安区实验中学九年级下学期沪教版五四制第一轮复习直角三角形【解析】【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，∵AC=AB=4，∠A=30°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴BD=12AB=2，故答案为2．【点睛】此题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．3【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2017-2018学年八年级下学期期末数学试题【解析】【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝32，∴AB＝2BC＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．14．4【来源】福建省平潭县2018-2019学年八年级上学期期中数学试题【解析】【分析】在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，据此进一步求解即可.【详解】∵在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边的一半，且该直角边长为2cm，∴该直角三角形斜边长度为4cm，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了直角三角形性质，熟练掌握相关概念是解题关键.15．6【来源】吉林省名校2019-2020学年八年级上学期期中调研A数学试题【解析】【分析】根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】=AB AC∴是等腰三角形ABC∠=︒A60∴等腰ABC是等边三角形∴==AB BC6故答案为：6．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．16．见解析【来源】北京市第一六六中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题【解析】试题分析：根据等角对等边即可证明.试题解析：=，证明：∵AB AC∠=∠，∴B C∵DE∥AC，∠=∠=∠，∴C ADE B=，∴DB DE∴DBE 为等腰三角形．17．见解析.【来源】安徽省宿州市萧县2018-2019学年八年级下学期期末数学试题【解析】【分析】由已知条件证得四边形AECD 是平行四边形，则CE=AD ，从而得出CE=CB ，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证得结论.【详解】证明：//CD AB ，AE CD =，∴四边形AECD 是平行四边形，CE AD ∴=，AD BC =，BC EC ∴=60B ∠=，BEC ∴∆是等边三角形.【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等边三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.18．（1）22.5︒；（2）见解析【来源】广西壮族自治区贵港市覃塘区2018-2019学年八年级下学期期中数学试题【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求解即可；（2）过点作AF CD ⊥于点F ，得出122.52CAF BAC ∠=∠=︒，因此，22.5BCE CAF ∠=∠=︒，再证明BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，然后即可证明结论． 【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴45BAC ABC ∠=∠=︒，∵AD AC =， ∴()11804567.52ACD ADC ︒︒∠=∠=⨯-=︒， ∴9067.522.5BCD ACB ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（2）证明：如图，过点作AF CD ⊥于点F ．∵AD AC =，45BAC ∠=︒， ∴122.52CAF BAC ∠=∠=︒， ∴22.5BCE CAF ∠=∠=︒，又BE CD ⊥，∴90AFC BEC ∠=∠=︒，∵BC AC =，∴BCE CAF ≌△△，∴BE CF =， 又12CF DF CD ==， ∴2CD BE =．【点睛】本题考查的知识点是三角形的内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，根据图形找准各角之间的数量关系是解此题的关键．19．（1）见解析（2）60°【来源】河南省洛阳市高新区三山学校2018-2019学年八年级下学期期中数学试题【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD ，BC=AD ，∠ABC=∠ADC ，根据等边三角形的性质得出DC=DF ，BC=BE ，∠EBC=∠CDF=60°，求出AB=DF ，BE=DA ，∠ABE=∠FDA ，根据SAS 推出△ABE ≌△FDA 即可．（2）连结EF ，设∠ABC=α，则∠BCD=180°-α，通过图形上角的关系，用α表示出∠FCE ，∠ABE 即可得到关键条件∠ABE=∠FCE ，再用同（1）的方法证明△ABE ≌△FCE ，得到EF=AE ，进一步得到AE=AF=EF ，△AEF 为等边三角形求得EAF ∠=60°. 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，BC=AD ，∠ABC=∠ADC ，∵△BCE 和△CDF 为等边三角形，∴DC=DF ，BC=BE ，∠EBC=∠CDF=60°，∴AB=DF ，BE=DA ，∠ABE=∠FDA ，在△ABE 和△FDA 中AB DF ABE FDA BE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△FDA （SAS ），∴AE=AF ．（2）连结EF ，设∠ABC=α，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD=180°-α， ∴∠FCE=360°-∠BCE-∠DCF-∠BC,D=360°-60°-60°-(180°-α)= 60°+α， 而∠ABE=∠CBE+∠ABC=60°+α，∴∠ABE=∠FCE ，又∵△BCE 和△CDF 为等边三角形，∴EC=BE ，CF=CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∴CF=AB ，在△ABE 和△FCE 中AB CF ABE FCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△FCE(SAS),∴EF=AE,∴AE=AF=EF,∴△AEF 为等边三角形，∴EAF ∠=60°【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．20．①证明见解析②证明△BCF≌△ACH；③△CFH 是等边三角形【来源】人教版八年级上册数学第13章13.3.2《等边三角形》【同步练习】【解析】试题分析：①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE ≌△ACD ；②利用△BCE ≌△ACD 得出∠CBF=∠CAH ，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH 进而得出△BCF ≌△ACH 因此CF=CH ．③由CF=CH 和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH 是等边三角形．试题解析：①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ．又BC=AC 、CE=CD ，∴△BCE ≌△ACD ．②∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF=∠CAH ．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH．又BC=AC，∴△BCF≌△ACH．∴CF=CH．③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．21．(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【来源】湖北省孝感市八校联谊2017-2018学年八年级上12月联考数学试卷含答案【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解：(1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y x y x ααβ=+⎧⎨=-+⎩①② -②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α∴+y x y x ααβ=+⎧⎨=+⎩①② -①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y x y x αβα-++=⎧⎨++=⎩①② -①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题(原题版 )
【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】第一章：三角形的证明一.选择题：（每小题3分共30分）1．等腰三角形两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长为（ ）A ．4B ．9C ．4或9D ．大于5且小于132．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是高,30A ∠=︒,若3BD a =,则AD 的长度为（ ）A ．6aB ．9aC ．12aD ．15a3．如图,在ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,若ABC 的周长为19cm ,ABD △的周长为13cm ,则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm4．如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 是AB 的中点,ED AB ⊥于点D,交BC 于点E,连接AE ,若2DE =,则BC 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E,若DB=10cm,则CD 的长为（ ）6．如图,点C 为∠AOB 的角平分线l 上一点,D,E 分别为OA,OB 边上的点,且CD ＝CE,作CF ⊥OA,垂足为F,若OF ＝5,则OD+OE 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．157．如图,等腰三角形ABC 的底边BC 长为4,面积是18,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于点E 、F ．若点D 为BC 的中点,点M 为线段EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．118．如图,ABC 中,AB BC =,点D 在AC 上,BD BC ⊥．设BDC α∠=,ABD β∠=,则下列关系式正确的是（ ）A ．3180αβ+=︒B ．2180αβ+=︒C ．3180αβ-=︒D ．290αβ-=︒9．如图,已知等边ABC 和等边ADE ,其中点A 、D 、B 在同一条直线上,连接BE 交AC 于点M ,连接DC 交AE 于点N ,BE 和DC 交于点P ,则下列结论中：（1）MN BD ∥；（2）60BPC ∠=︒；（3）DN DE =；（4）BAM CAN ≅△△．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个侧作等边△ADE 和等边△ADF,分别和AB,AC 交于点G,H,连接GH ．若∠BOC=120°,AB=a,AC=b,AD=c ．则下列结论中正确的个数有（ ）①∠BAC=60°；②△AGH 是等边三角形；③AD 与GH 互相垂直平分；④()12ABC S a b c =+△． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题:（每小题3分共15分）11．在ABC 中,AB AC =,64BAC ∠=︒,BAC ∠的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿EF 折叠,点C 与点O 恰好重合,则CFO ∠的度数为__________．12．如图,已知CD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥BC,垂足为E,若AC ＝4,BC ＝10,△ABC 的面积是14,则DE ＝_____．13．如图,1230∠=∠=︒,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在边AC 上,AE 与BD 相交于点O,则∠C 的度数为______．14．如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF+EF 的最小值等于______．15．如图,已知等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于点D,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP=OC,下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．三.解答题:(共55分)16．(5分)如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒．BD ,CE 相交于点F ．BD ,AC 相交于点M ．(1)求证：BD CE =；(2)求BFC ∠的度数．17．(8分)如图,在ABC 中,60ACB ∠=︒,点D 在AC 上,BC CD =,以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ,连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△； (2)过点B 作BF ED ⊥于点F ,2DF =,求BD 的长．18．(8分)点C 、D 都在线段AB 上,且AD ＝BC,AE ＝BF,∠A ＝∠B,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证∠E ＝∠F ；(2)若CE ＝10,DG ＝4,求 EG 的长．19．(8分)在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．(1)如图1,当A(0,−2),C(1,0),点B 在第四象限时,求点B 的坐标．(2)如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A(0,a)在y 轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,求a,m,n 之间的关系．20．(8分)如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD 是BC 的中线,AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．连接AD,作∠ADE ＝40°,DE 交线段AC 于E ．(1)当∠BDA ＝115°时,∠EDC ＝______,∠DEC ＝_____；(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE,请说明理由；(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA 的度数．若不可以,请说明理由．22．(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线()140y x m m=-+>分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,把线段(1)当54m 时,求点C的坐标；(2)当m值发生变化时,△BOC的面积是否保持不变？若不变,计算其大小；若变化,请说明理由；(3)当S△AOB=2S△BOC时,在x轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,求满足条件的所有P点的坐标．。
2020-2021学年北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步练习 (含解析)
1.1等腰三角形同步练习一．选择题1．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：23．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠C的度数是（）A．80°B．100°C．50°D．40°4．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（）A．③④B．①②C．①②③D．②③④5．如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC 的长为（）A．9B．8C．6D．77．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，若NM＝4，则OM的值（）A．2B．3C．4D．58．如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（）A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一）B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一）D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，E，F是AD上的两点，且AE＝EF＝FD．若△ABC的面积为6cm2，则图中阴影部分的面积是（）cm2．A．2B．3C．4.8D．5二．填空题11．在△ABC中，若∠A＝66°，∠B＝∠C，则∠B＝．12．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC边上的点，DA＝DB＝3，则AC的长为．13．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD＝12，则DE ＝；△EDC与△ABC的面积关系是：＝．14．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为cm．15．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠A n+1B n B n+1＝θn，则θn＝．（用含α的式子表示）三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：（1）∠ADC的大小；（2）∠BAD的大小．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD 交于点F．（1）求证：DC＝EB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求证：△BPM是等腰三角形；②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．参考答案一．选择题1．解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．2．解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c＝2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∵∠A＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．3．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°．故选：D．4．解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB，∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC．故选：C．5．解：由图可知，∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠C＝36°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36°∴△CBD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A∴△BAD均为等腰三角形，∴图中三角形共有三个．故选：B．6．解：∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝60°，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝60°，∠DEC＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝60°，∴∠ADE＝∠AED，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝3，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，故选：B．7．解：过点P作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝2，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∵OP＝10，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝3，故选：B．8．解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AC＝BC（等腰三角形三线合一），条件没有等腰三角形，故因果关系与所填依据不符；B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），∴AD＝BD（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），因果关系与所填依据相符；故选：A．9．解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．10．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴BD＝CD，∵阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半，∵△ABC的面积6cm2，∴阴影部分的面积＝3cm2．故选：B．二．填空题11．解：∵∠A＝66°，∠B＝∠C，∴∠B＝＝×（180°﹣66°）＝57°．故答案为：57°．12．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DA＝DB＝3，∴∠DBC＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，∴DC＝2DB＝6，∴AC＝AD+CD＝3+6＝9．故答案为：9．13．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠DAC＝∠BAC＝30°，∵AD＝12，∴DE＝AD＝6；∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴EC＝DC，∴BC＝4EC，∵S△EDC＝×6×EC＝3EC，S△ABC＝×12×BC＝6BC＝24EC，∴．故答案为：6，．14．证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∴△BDF和△CEF为等腰三角形；∵DF＝BD，CE＝EF，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），∴EC＝5（cm），故答案为：5．15．解：设∠A1B1O＝x，则α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，∴θ1＝，设∠A2B2B1＝y，则θ2+y＝180°①，θ1+2y＝180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，∴θ2＝＝，…θn＝．故答案为：．三．解答题16．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；（2）∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°．17．（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AD＝AC＝AE，即BD＝CE，在△DBC和△ECB中，，∴△DBC≌△ECB（SAS），∴DC＝EB；（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，∵DE∥BC，∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．18．（1）解：△AMN是是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）①证明：∵BP平分∠ABC，∴∠PBM＝∠PBC，∵MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∴∠PBM＝∠MPB，∴MB＝MP，∴△BPM是等腰三角形；②由①知MB＝MP，同理可得：NC＝NP，∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，∵△ABC的周长为a，BC＝b，∴AB+AC+b＝a，∴AB+AC＝a﹣b∴△AMN的周长＝a﹣b．。
2020-2021学年北师大版数学八年级下册1.1等腰三角形 练习题2
等腰三角形性质3：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一） 几何语言：在△ABC 中，如果AB=AC ，D 点在BC 上。
（1）∵∠1=∠2，∴ ⊥ ， = （2）∵BD=CD ，∴∠ =∠ ， ⊥ ； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠ =∠ ， = 。
练习：1、如图，在△ABC 中，AB=AC 。
（1）当∠1=∠2，DB=3cm 时，则BC= cm（2）当BD=DC=2cm ，AD=5cm 时，△ABC 的面积= cm 22、已知在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 边上的中点，则以下说法错误的是（ ） A 、BD 是底边上的中线 B 、BD 是底边上的高 C 、BD 是顶角的平分线 D 、BD 是一腰上的中线3、如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ） A 、∠B =∠C B 、AD ⊥BC C 、AD 平分∠BAC D 、AB =2BD4、如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，则图中等腰三角形有_______个．5、在△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则下列结论正确的是（ ） A 、AB=AC B 、AB=BC C 、AC=BC D 、AB=AC=BC6、如图所示，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC ， 立柱AD ⊥BC ，且顶角∠BAC=100°，则∠B= °， ∠C= °，∠BAD= °，∠CAD= °7、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。
8、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。
新北师大八下数学下册第一章等腰三角形习题(共4课时)含答案
第1课时等腰三角形的有关概念知识要点基础练知识点1全等三角形1.(成都中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(C)A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC2.(荆州中考)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是SSS.知识点2等腰三角形的性质3.如果一个等腰三角形的两边长分别是 5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是(D)A.15 cmB.15 cm或16 cmC.17 cmD.16 cm或17 cm4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为(D)A.30°B.75°C.75°或105°D.30°或75°知识点3等腰三角形三线合一5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(C)A.5B.6C.8D.106.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=4.综合能力提升练7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿AC翻折180°,使点B落在点B'的位置上,则下列关于线段AC的性质的说法正确的是(D)A.是边BB'上的中线B.是边BB'上的高C.是∠BAB'的平分线D.以上三种性质都有8.如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数是(B)A.20°B.30°C.35°D.40°9.若实数m,n满足等式|m-4|+-=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两边的边长,则△ABC的周长是(B) A.22 B.20C.16D.20或1610.(张家界中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转150°,得到△ADE,这时点B,C,D恰好在同一直线上,则∠B的度数为15°.11.如图,AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,M是CD的中点.求证:AM⊥CD.证明:连接AC,AD.在△ABC和△AED中,∴△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD,∴△ACD是等腰三角形.∵M是CD的中点,∴由三线合一知AM⊥CD.12.如图,在△ABC中,AB=AC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF.求证:DE=DF.解:过点E作EG∥AC交BC于点G,∴∠F=∠DEG,∠EDG=∠FDC,∠ACB=∠EGB.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B,∴∠B=∠EGB,∴BE=EG.∵BE=CF,∴EG=CF.在△EGD和△FCD中,∴△EGD≌△FCD(AAS),∴DE=DF.拓展探究突破练13.(常州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.(1)求证:OB=OC;(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE是△ABC的两条高线,∴∠BEC=∠BDC=90°,∴△BEC≌△CDB,∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.(2)∵∠ABC=50°,AB=AC,∴∠A=180°-2×50°=80°.∵∠DOE+∠A=180°,∴∠BOC=∠DOE=100°.第2课时等腰三角形的有关性质知识要点基础练知识点1等腰三角形中相等的线段1.在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,BE,CD交于点O.若AB=AC,BE是边AC上的中线,且BE=CD,则线段CD(D)A.是边AB上的中线B.是边AB上的高线C.是∠ACB的平分线D.不一定是边AB上的中线2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2BM,AN=2NC.求证:DM=DN.证明:∵AM=2MB,∴AM=AB.同理AN=AC.又∵AB=AC,∴AM=AN.∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.在△AMD和△AND中,∴△AMD≌△AND(SAS),∴DM=DN.知识点2等边三角形的性质3.(福建中考)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)A.15°B.30°C.45°D.60°4.如图所示,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则∠DFC 的度数为(A)A.60°B.45°C.40°D.30°5.边长为 6 cm的等边三角形中,其一边上高的长度为3cm.6.如图,在等边三角形ABC中,D为AC边的中点,E为BC延长线上一点,CE=CD,DM⊥BC于点M.求证:M是BE的中点.证明:连接BD.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵CD=CE,∴∠CDE=∠E=30°.∵BD是AC边上的中线,∴BD平分∠ABC,即∠DBC=30°,∴∠DBE=∠E,∴DB=DE,又∵DM⊥BE,∴DM是BE边上的中线,即M是BE的中点.综合能力提升练7.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(A)A.顶角的一半B.底角的一半C.90°减去顶角的一半D.90°减去底角的一半8.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是(A)A.100°B.80°C.70°D.50°9.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,则下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确结论的个数是(B)A.3B.2C.1D.010.(徐州中考)边长为a的正三角形的面积等于a2.11.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下几个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③∠AOB=60°.恒成立的有①②③.(把你认为正确的序号都填上)12.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以PB为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.解:猜想:AP=CQ.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵∠PBQ=60°,∴∠ABC=∠PBQ,∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中,∴△ABP≌△CBQ(SAS).∴AP=CQ.拓展探究突破练13.已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h.”请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在△ABC内(如图2),点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间的关系如何?请写出你的猜想,不用证明.解:当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h仍然成立.理由:连接PA,PB,PC,则S△PAB+S△PBC+S△PCA=S△ABC,∴AB·PD+BC·PF+CA·PE=BC·AM,∴PD+PE+PF=AM,即h1+h2+h3=h.当点P在△ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是h1+h2-h3=h.提示:∵S△PAB+S△PCA-S△PBC=S△ABC,∴AB·PD+CA·PE-BC·PF=BC·AM,∴PD+PE-PF=AM,∴h1+h2-h3=h.第3课时等腰三角形的判定知识要点基础练知识点1等腰三角形的判定1.下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)A.∠A=3°,∠B=60°B.∠A=50°,∠B=80°C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周长为182.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是(B)A.(4,0)B.(1,0)C.(-2,0)D.(2,0)3.(桂林中考)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是3.知识点2反证法4.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,第一步应假设(D)A.a∥bB.a与b垂直C.a与b不一定平行D.a与b相交5.用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角不小于60°,应先假设(B)A.三角形中有一个内角小于60°B.三角形中每一个内角都小于60°C.三角形中有一个内角大于60°D.三角形中每一个内角都大于60°综合能力提升练6.如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=5,则线段DE的长为(A)A.5B.6C.7D.87.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设a=b.8.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是等腰直角三角形.9.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是①②③④.(写出所有正确答案的序号)①∠BAD=∠CAD;②BD=CD;③AB+BD=AC+CD;④AB-BD=AC-CD.10.如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.解:△AFC是等腰三角形.理由:∵∠BAD=∠BCE,∠B=∠B,BD=BE,∴△ABD≌△CBE,∴AB=CB,∴∠BAC=∠BCA,∴∠FAC=∠FCA,∴△AFC是等腰三角形.拓展探究突破练11.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC交AC于点E.(1)求证:△ADE是等腰三角形;(2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.解:(1)∵BD=AB,∴∠BAD=∠BDA.∵DE⊥BC,∴∠BDE=90°.又∵∠BAC=90°,∴∠EAD=∠EDA,∴△ADE是等腰三角形.(2)还有三个等腰三角形:△ABD,△ABC,△CDE.第4课时等边三角形的判定知识要点基础练知识点1等边三角形的判定1.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为(C)A.6B.8C.9D.122.如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上分别截出AD=AE,则△ADE(C)A.不是等边三角形B.不一定是等边三角形C.一定是等边三角形D.无法判断3.如图,点D在BC上,点E在AD上,BE=AE=CE,并且∠BED=∠CED=60°.下列结论:①△ABC是等边三角形;②BD=CD;③BE平分∠ABC;④AD ⊥BC.其中正确的有(D)A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2含30°角的直角三角形4.如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为(C)A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm5.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,若AB=4 cm,则BC=2cm.综合能力提升练6.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是(D)A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A 等于(B)A.25°B.30°C.45°D.60°8.(淄博中考)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(B)A.4B.6C.4D.89.如图,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),∠AON=60°.(1)OP=10时,△AOP为等边三角形;(2)OP=5或20时,△AOP为直角三角形.拓展探究突破练10.如图,△ABC为等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,CE=BD.求证:△ADE是等边三角形.证明:由条件知∠ACD=120°,∴∠ACE=∠ECD=60°,在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠B=∠ACE,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AE=AD,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE是等边三角形.。