中国计量学院期末考试09-10高数A2.试卷答案
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中国计量学院2009 ~ 2010 学年第二学期 《高等数学(A)（2）》课程考试试卷（B ）
参考答案及评分标准
开课二级学院：_____ ，学生班级： ，教师： 一、单项选择题（每小题3分, 共15分) 1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题3分，共15分) 1．12dx dy +
2．5
3
3．2(,)x f a b '
4．230+-=y z 5．18π 三、计算题(每题7分；共56分)
1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D
根据题意有000+++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
A B C D B C D A B C （4分）
所以有0=D ；::2:1:1=-A B C 所求平面方程为 20--=x y z （3分） 2．解：
21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x
u x
v x
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
+
=⋅+⋅=++-= （3分）
()21212()2(
)4.z z u z v
u v
x y x y y y
u y
v y
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
+
=⋅+⋅-
=+--= （4分）
3解：D 是由2
2y x =及2
1y x =+所围成的闭区域 也就是{
}22
(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x
（3分）
()
{}
2
2
2
2111
11
20
212
2
4
(2)(2)22322
1415
++-+=+==+-=
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
x x x
x
D
x y dxdyD dx x y dy dx ydy
x x
dx （4分）
4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面22
1()2
z x y =
+及平面1z =所
围成的闭区域．
解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)
故10
z
D zdxdydz zdz dxdy Ω
=
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰12
22 3
z dz ππ
==
⎰
(+5分)
5．解： 设2
2
22
(,),(,)y x P x y Q x y x y
x y
=
=-
++，因为()()22
:111L x y -+-=，
所以22
0x y +≠，而且有
()
2
2
2
2
2
Q x y
P x
y
x
y
∂-∂=
=
∂∂+， .(3分)
故由格林公式得2
2
L
ydx xdy I x y
-=
+⎰
0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫
∂∂=
-= ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰ .(4分)
6．解：计算⎰⎰∑
++dxdy z dzdx y dydz x 2
2
2
，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有
限部分的下侧。 解：由对称性知：
2
2
0x dzdy y dxdz ∑
∑
=
=⎰⎰
⎰⎰
（3分）
3
20
10
5
2
π
θ
π-
=-=⎰
⎰
⎰⎰
∑
dr r d dxdy z .(4分)
7．解：2
1
1111()43
(1)(3)
213f x x x x x x x ⎛⎫=
=
=
- ⎪++++++⎝⎭
11111111221412214124x x x x ⎛
⎫ ⎪
⎛⎫ ⎪=-=- ⎪
--+-+-⎛⎫⎛
⎫ ⎪⎝⎭++
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
. (3分) ()()
111
11111113, 1,351144
2884112
4
n
n
n
n
n n x x x x x x ∞
∞
==--⎛⎫
⎛⎫=
--<<=--<< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
+
+
∑∑
所以原式()()
1
111()11 4
284n
n
n
n
n n x x f x ∞
∞
==--⎛⎫
⎛⎫
=
--- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑