北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》直线与平面垂直的性质
b a
l
α
9
思考3:设 为直线 为平面， 思考3:设l为直线，α，β为平面， 3: 为直线， ⊥α， 若l⊥α，α//β，则l与β的位置关 ⊥α α//β， 与 系如何？为什么？ 系如何？为什么？
l
b α a β
10
思考4:设 为直线 为平面， 思考4:设l为直线，α、β为平面， 4: 为直线， ⊥α， ⊥β， 若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位 ⊥α ⊥β 则平面α 置关系如何？为什么？ 置关系如何？为什么？
2
问题提出
1.直线与平面垂直的定义是什么？ 1.直线与平面垂直的定义是什么？ 直线与平面垂直的定义是什么 如何判定直线与平面垂直？ 如何判定直线与平面垂直？ 2.直线与平面垂直的判定定理， 2.直线与平面垂直的判定定理， 直线与平面垂直的判定定理 解决了直线与平面垂直的条件问题； 解决了直线与平面垂直的条件问题； 反之，在直线与平面垂直的条件下， 反之，在直线与平面垂直的条件下， 能得到哪些结论？ 能得到哪些结论？
14
PA ⊥
D
作业: 作业: 练习： 2.（做书上） P71练习：1，2.（做书上） 教后反思： 教后反思：
15
7
知识探究（ 知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究
思考1:设 思考1:设a，b为直线，α为平面， 1: 为直线， 为平面， a⊥α，b//a， 若a⊥α，b//a，则b与α的位置关 系如何？为什么？ 系如何？为什么？
a b
α
8
思考2:设 思考2:设a，b为直线，α为平面， 2: 为直线， 为平面， a⊥α，b//α， 若a⊥α，b//α，则a与b的位置关 系如何？为什么？ 系如何？为什么？
β A a
b
l B α
13
如图， 矩形ABCD ABCD所 例3 如图，已知 PA ⊥矩形ABCD所 在平面， 分别是AB PC的中点 AB、 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1） MN ⊥ CD; 求证： o 求证： （2）若 ∠PDA = 45，求证：MN ⊥面PCD
P E N A M B C
高中数学必修2第一章立体 高中数学必修 第一章立体 几何初步
法门高中姚连省制作
1
教学目的
使学生掌握直线与平面垂直的性 质：垂直于同一平面的两条直线 平行，并会用性质定理解答问题。 平行，并会用性质定理解答问题。 教学重点： 教学重点：直线与平面垂直的性 质及其应用。 质及其应用。 教学难点： 的教学。 教学难点：例4的教学。 的教学
C1 B1 C B A A1 D
4
D1
思考2:如果直线a 思考2:如果直线a，b都垂直于同一 2:如果直线 条直线l，那么直线a 条直线 ，那么直线a，b的位置关系 如何？ 如何？
l
a b a b
l
b
l
a
5
思考3:一个平面的垂线有多少条？ 思考3:一个平面的垂线有多少条？ 3:一个平面的垂线有多少条 这些直线彼此之间具有什么位置关 系？
a c b
α
O
思考4:如果直线a 思考4:如果直线a，b都垂直于平面 4:如果直线 由观察可知a//b a//b， α，由观察可知a//b，从理论上如 何证明这个结论？ 何证明这个结论？
6
思考5 根据上述分析， 思考5：根据上述分析，得到一个什 么结论？ 么结论？ 定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行 思考6:上述定理通常叫做直线与平 思考6:上述定理通常叫做直线与平 6:上述定理通常叫做 面垂直的性质定理. 面垂直的性质定理.用符号语言可表 述为： 述为： ⊥ α, b ⊥ α ⇒ a // b.该定理 a 有什么功能作用？ 有什么功能作用？
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱα
β
11
理论迁移
如图， 例1 如图，已知 α I β = l, CA ⊥ α, 于点A 于点B a 于点A，CB ⊥ β 于点B， ⊂ α, a ⊥ AB, 求证： 求证：a // l .
C β B α l A a
12
如图， 例2 如图，已知 a ⊥ b, b ⊥ α, a ⊄ α. 求证： 求证： // α. a
3
知识探究（ 知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理
思考1:如图，长方体ABCD— 思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 1:如图 ABCD 中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何？ ABCD的位置关系如何 与底面ABCD的位置关系如何？它们 彼此之间具有什么位置关系？ 彼此之间具有什么位置关系？
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高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.6.1.1直线与平面垂直的判定2
在 Rt△D1DO 中,
D1O=
1 2 + 2 =
12 +
2
2
2
2
2
2
=
6
.
2
=
3
.
2
在 Rt△EBO 中,
1 2
2
OE= 2 + 2 =
+
在 Rt△D1B1E 中,
D1E=
1 12
+ 1
2
=
2
( 2) +
#43;OE2=D1E 2,∴ D1O⊥OE.
可假设结论不成立证明
题型一
题型二
题型三
反思在平面几何中,我们有结论:经过一点,有且只有一条直线与
已知直线垂直.在立体几何中,也有类似的重要结论:
结论1:过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
结论2:过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 下列命题正确的是(
)
A.如果一条直线垂直于平面内的一条直线,那么这条直线和这个
正确
答案:①③⑤
如图所示,PO 为三棱锥的高,则 PO⊥平面 ABC,O 为垂
足,连接 OA,OB,OC,则 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.由
PA=PB=PC,易得 OA=OB=OC,故 O 为△ABC 的外心
很明显结论错误
可假设结论不成立证明
因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直,
所以直线也可能在平面内
是底面正方形ABCD的中心.
求证:OE⊥平面ACD1.
分析:只需证OE⊥AC,OE⊥D1O即可.其中OE⊥AC易证,通过计算
可得D1E2=D1O2+OE2,从而得到OE⊥OD1.
D1O=
1 2 + 2 =
12 +
2
2
2
2
2
2
=
6
.
2
=
3
.
2
在 Rt△EBO 中,
1 2
2
OE= 2 + 2 =
+
在 Rt△D1B1E 中,
D1E=
1 12
+ 1
2
=
2
( 2) +
#43;OE2=D1E 2,∴ D1O⊥OE.
可假设结论不成立证明
题型一
题型二
题型三
反思在平面几何中,我们有结论:经过一点,有且只有一条直线与
已知直线垂直.在立体几何中,也有类似的重要结论:
结论1:过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
结论2:过一点和已知直线垂直的平面有且只有一个.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 下列命题正确的是(
)
A.如果一条直线垂直于平面内的一条直线,那么这条直线和这个
正确
答案:①③⑤
如图所示,PO 为三棱锥的高,则 PO⊥平面 ABC,O 为垂
足,连接 OA,OB,OC,则 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.由
PA=PB=PC,易得 OA=OB=OC,故 O 为△ABC 的外心
很明显结论错误
可假设结论不成立证明
因为平面内的任意一条直线都和该平面的垂线垂直,
所以直线也可能在平面内
是底面正方形ABCD的中心.
求证:OE⊥平面ACD1.
分析:只需证OE⊥AC,OE⊥D1O即可.其中OE⊥AC易证,通过计算
可得D1E2=D1O2+OE2,从而得到OE⊥OD1.
数学北师大版高中必修2北师大版高中数学必修二第一章第六节《直线平面垂直的判定及性质》ppt
0, . 2
共 71 页
2
(2)直线与平面垂直 ①定义:如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,
那么就说直线l和平面α互相垂直.
②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都 垂直,那么这条直线垂直于这个平面. ③性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 线平行.
不正确. 如果l∥α,那么,α内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正 确. 在上述三种情况下,α内总存在直线m,使得m⊥l.
答案:C
共 71 页
13
类型一
线线垂直
解题准备:判定直线与直线垂直的方法:
(1)计算两直线所成的角为90°(包括平面角与异面直线所成
的角). (2)线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b). (3)a·b=0⇔a⊥b.
共 71 页
16
[反思感悟] 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线 是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,
如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为
线面垂直进行证明.
共 71 页
17
直线､平面垂直的判定及性
质
金溪一中汪君兴
共 71 页
1
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做
这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说 它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就 说它们所成的角是0°的角,可见,直线和平面所成的角的范 围是
共 71 页
3
注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同 于“无数条”.
(2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直
北师大版高中数学必修2课件-垂直关系的性质
D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质课件北师大版必修2
∴AM＝a，EM＝MB＝a. ∴AE＝AB＝ 2a. ∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB. 又∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，AE 平面 ABEF， ∴EA⊥平面 ABCD.
• 方向4 证明平面和平面垂直 • 【例3－4】 如图，在四面体ABCD中， • 平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC， • DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD. • 证明 ∵平面ABC⊥平面BCD，平面 • ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内， • 作AE⊥BC于点E， • 如图，则AE⊥平面BCD. • 又CD 平面BCD，∴AE⊥CD.
•又∵PA⊥平面ABC，BC •∴PA⊥BC， •又∵PA∩AD＝A， •∴BC⊥平面PAB. •又AB 平面PAB， •∴BC⊥AB.
平面ABC，
方向 3 ABCD 所在平面
与四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE， AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.求证：EA⊥平面 ABCD. 证明 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M， ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF. ∴四边形 AMEF 是正方形．
6.2 垂直关系的性质
•学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂 直的性质定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简
单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直
的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点)．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
AE∥MN. • 证明 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD， • 所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. • 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. • 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. • 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. • 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C， • 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
高中数学北师大版必修2第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质
答案:A
1
2
3.已知m,n是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:
①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;
②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n;
③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;
④若α∩β=m,m∥n,且n⊈α,n⊈β,则n∥α且n∥β.
其中正确命题的序号是
.
3
ABCD,直线D1C1⫋平面A1B1C1D1,直线C1C⊥直线D1C1,但是平面
ABCD与平面A1B1C1D1平行,排除A选项;平面ABCD⊥平面D1DCC1,
直线C1C⊥平面ABCD,B1B∥平面D1DCC1,但是B1B∥C1C,排除B选项;
平面ABCD⊥平面A1ABB1,平面ABCD∩平面A1ABB1=AB,AB⊥BC1,
但是BC1不垂直于平面A1ABB1,排除D选项.
答案:C
反思本题是符号语言表述的位置关系的判断题,以选择题的情势
出现,通常借助几何模型,利用排除法,排除错误的选项.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 已知平面α⊥平面β,m是α内一条直线,n是β内一
条直线,且m⊥n,那么:①m⊥β;②n⊥α;③m⊥β或n⊥α;④m⊥β且
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,且AC ∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C.
∴EF∥BD1.
反思当题中垂直条件很多,但又需证明两条直线平行时,就要考虑
用直线与平面垂直的性质定理,从而完成由垂直向平行的转化.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 (1)本例中的“正方体ABCD-A1B1C1D1”换为“长方
高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质课件北师大版必修2
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
2．如果两条直线都垂直于同一个平面，那么它们的位置关系能确定吗？观察 一下教室里两个与地面垂直的墙角，给出答案．
[提示] 能确定，互相平行．
数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
1．认识和理解空间中线面、面面垂直的性质． 2．能够灵活应用线面、面面垂直的性质定理证明相关问题． 3．理解线线垂直、线面垂直的内在联系．
高效测评·知能提升
3．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC， 且EC＝12，则ED＝________.
解析： ∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥CD， 又可设AB＝10，∴CD＝5， 由EC＝12，故ED＝13. 答案： 13
数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
高效测评·知能提升
[规律方法] (1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础．
(2)证明线线平行常有如下方法：
①利用线线平行定义：证共面且无公共点；
②利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
③利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
④利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为线面垂直．
数学 必修2
第一章 立体几何初步
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1 且平面 AA1FE 与它们的交线分别为 AE 和 A1F， ∴AE∥A1F， ∴AA1FE 为平行四边形，
∴A1F 綊 AE.
数学 必修2
第一章 立体几何初步
数学北师大版高中必修2北师大版 必修2 第一章 立体几何初步 第六节 垂直的性质定理
§6．2 垂直关系的性质学习目标 ：1．掌握直线与平面垂直的性质定理并会灵活应用2. 理解平面与平面垂直的性质定理，并能够灵活应用证明有关问题预 习 案І.相关知识直线与平面垂直以及平面与平面垂直的性质II .教材助读1. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线2. 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，则在一个平面内 的直线与另一个平面垂直III.预习自测1. 平面⊥α平面β，AB =⋂βα ，直线AB a a ⊥,//α，则直线a 与平面β的位置关系是2. 过一点有 条直线与已知平面垂直，过一点有 个平面与已知直线垂直，过一点有个 平面与已知平面垂直3. 若平面βα、都与直线l 垂直，则α＿β我的疑惑 请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决.探 究 案I.质疑探究——质疑解疑、合作探究（一）基础知识探究探究点一：如图，S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC求证：AB ⊥BC.II .当堂检测1.在下列命题中，正确命题的个数是（ )① 过平面的一条垂线有且只有一个平面与已知平面垂直② 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直③ 分别过两条互相垂直直线的两个平面必垂直④ 三条共点的直线两两垂直，所得的三个平面也必两两垂直A.0B.1C.2D.32.(2009年·浙江卷·文第5题)设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A.ββαα⊂⊥⊥l l 则若,, B.ββαα⊂l l ，则若//,// C.ββαα⊥⊥l l 则若,//, D.ββαα⊥⊥l l 则若,,//3.( 2009 年· 广东卷· 文第6 题）给定下列四个命题：① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（ )A ① 和②B ② 和③C ③ 和④D ② 和④我的收获（反思静悟、体验成功）训 练 案1. 如图，斜边为AB 的直角三角形ABC ，过点A 作PA ⊥平面ABC , AE ⊥PB ，AF ⊥PC , E 、F 分别为垂足，( l ）求证：面PAC ⊥面PBC ( 2 ）求证：EF ⊥PB .2.如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求证：MN ⊥CD ；。
高中数学 第一章 立体几何初步《直线与平面垂直的判定》参考课件1 北师大版必修2
线面垂直(chuízhí)的判定
第一页，共16页。
第二页，共16页。
直线(zhíxiàn)和平面垂直的 如果一条定直义线 l 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，
我们就说直线 l 和平面 互相垂直，记作 l ． 直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l的垂面．
它们唯一的公共(gōnggòng)点即交点叫做垂足．
A. 直线l垂直平面内的一条直线
B. 直线l垂直平面内的两条直线
C. 直线l垂直平面内的无数条直线 D. 直线l垂直平面内所有直线 E. 直线l垂直平面内某两条相交直线
第九页，共16页。
第十页，共16页。
例2：如图, M是菱形ABCD
在平面(píngmiàn)外一点,满足 MA=MC
ntí)
（2）如果一条(yī tiáo)直线和一个平面内的两条直线垂 直，此直线是否和平面垂直？
D
C
A
B
D1
C1
A1
B1
第六页，共16页。
探究线面垂直(chuízhí)的 判定
请准备一块三角形的纸片， 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕(shéhén)AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）， 如何翻折才能保证折痕(shéhén)AD与桌面垂直？
第七页，共16页。
直线(zhíxiàn)和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 (chuízhí)，那么这条直线垂直(chuízhí)于这个平面
。m , n , m n B,l m,l n. l
第八页，共16页。
练习：下列条件中是l 的条件的有
DE
:
① 定义 l垂直于内的任意一条直线 l
第一页，共16页。
第二页，共16页。
直线(zhíxiàn)和平面垂直的 如果一条定直义线 l 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，
我们就说直线 l 和平面 互相垂直，记作 l ． 直线 l 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 l的垂面．
它们唯一的公共(gōnggòng)点即交点叫做垂足．
A. 直线l垂直平面内的一条直线
B. 直线l垂直平面内的两条直线
C. 直线l垂直平面内的无数条直线 D. 直线l垂直平面内所有直线 E. 直线l垂直平面内某两条相交直线
第九页，共16页。
第十页，共16页。
例2：如图, M是菱形ABCD
在平面(píngmiàn)外一点,满足 MA=MC
ntí)
（2）如果一条(yī tiáo)直线和一个平面内的两条直线垂 直，此直线是否和平面垂直？
D
C
A
B
D1
C1
A1
B1
第六页，共16页。
探究线面垂直(chuízhí)的 判定
请准备一块三角形的纸片， 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕(shéhén)AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）， 如何翻折才能保证折痕(shéhén)AD与桌面垂直？
第七页，共16页。
直线(zhíxiàn)和平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 (chuízhí)，那么这条直线垂直(chuízhí)于这个平面
。m , n , m n B,l m,l n. l
第八页，共16页。
练习：下列条件中是l 的条件的有
DE
:
① 定义 l垂直于内的任意一条直线 l
高中数学第一章立体几何初步162垂直关系的性质课件北师大版必修2
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解析：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得DE＝ 3，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
类型三垂直关系的综合问题 [例3]
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60° 且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，
(1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
【思路点拨】 解答本题要先从菱形、正三角形中找到其中 所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结 论．
方法归纳
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两 直线平行的常用方法：
(1)a∥b，b∥c⇒a∥c. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
跟踪训练 1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
解析：(1)如图所示，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB 是等边三角形，所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知 DE⊥CE.由已知可得DE＝ 3，EC＝1. 在Rt△DEC中，CD＝ DE2＋EC2＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时， 因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因AC＝BC，所以AB⊥CE. 又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE. 又CD 平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.
类型三垂直关系的综合问题 [例3]
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60° 且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD，
(1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
【思路点拨】 解答本题要先从菱形、正三角形中找到其中 所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结 论．
方法归纳
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两 直线平行的常用方法：
(1)a∥b，b∥c⇒a∥c. (2)a∥α，a β，β∩α＝b⇒a∥b. (3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b. (4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
跟踪训练 1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是 AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定课件北师大版必修2
A．若l⊥α，l∥m，则m⊥α B．若l∥α，m⊂α，则l∥m C．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C 项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能 平行、异面或相交．
答案：A
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则
∴SC⊥平面AEF. ∵AF 平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A， ∴DC⊥平面SAD. 又AG 平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF， ∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC. ∵SD 平面SDC，∴AG⊥SD.
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.6.1.1直线与平面垂直的判定课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定
1
课件北师大版必修2
【课标要求】 1.了解线面垂直的定义. 2.理解线面垂直的判定定理. 3.能运用判定定理证明线面垂直．
自主学习 基础认识
解析：三角形两边必相交，圆的两条直径必相交，梯形的两 边有可能是平行的一组对边，正六边形的两边也可能是一组平行 对边．故由线面垂直的判定定理知，能保证该直线与平面垂直的 是①③.
答案：①③
课堂探究 互动讲练 类型一证明线面垂直 [例1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面ACB1.
符号语言
a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α
解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C 项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能 平行、异面或相交．
答案：A
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则
∴SC⊥平面AEF. ∵AF 平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，AD∩SA＝A， ∴DC⊥平面SAD. 又AG 平面SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF， ∴SC⊥AG.又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC. ∵SD 平面SDC，∴AG⊥SD.
复习课件
高中数学第一章立体几何初步1.6.1.1直线与平面垂直的判定课件北师大版 必修2
2021/4/17
高中数学第一章立体几何初步1611直线与平面垂直的判定
1
课件北师大版必修2
【课标要求】 1.了解线面垂直的定义. 2.理解线面垂直的判定定理. 3.能运用判定定理证明线面垂直．
自主学习 基础认识
解析：三角形两边必相交，圆的两条直径必相交，梯形的两 边有可能是平行的一组对边，正六边形的两边也可能是一组平行 对边．故由线面垂直的判定定理知，能保证该直线与平面垂直的 是①③.
答案：①③
课堂探究 互动讲练 类型一证明线面垂直 [例1] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面ACB1.
符号语言
a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α