第十一章全等三角形综合复习

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：
ACF BDE ∆≅∆。

思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由A E B F =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=
，再加上AE BF =，AC BD =，
可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

解答过程： AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中
AE BF AC BD =⎧⎨
=⎩
∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠
AE BF =
∴AE EF BF EF -=-，即AF BE = 在ACF ∆与BDE ∆中 AF BE A B AC BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪
=⎩
∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)
知识点二：构造全等三角形
例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：
21C ∠=∠+∠。

解答过程：延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中 90ABD FBD BD BD ADB FDB ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩
∴ABD FBD ∆≅∆(ASA)
∴2D FB ∠=∠
又 1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

解答过程： 90ABC ∠=
，F 为AB 延长线上一点
∴90ABC CBF ∠=∠=
在ABE ∆与CBF ∆中
AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪
=⎩ ∴ABE CBF ∆≅∆(SAS) ∴AE CF =。

知识点三：常见辅助线的作法
1. 连接四边形的对角线
例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

解答过程：连接AC AB //CD ，AD //BC ∴12∠=∠，34∠=∠
在ABC ∆与CDA ∆中 1243AC CA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪
∠=∠⎩
∴ABC CDA ∆≅∆(ASA) ∴AB CD =。

2. 作垂线，利用角平分线的知识
例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。

求证：
BP 为MBN ∠的平分线。

解答过程：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ∴PD PE =
CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F ∴PE PF =
PD PE =，PE PF =
∴PD PF =
PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ∴BP 为MBN ∠的平分线。

3. 倍长中线
在三角形中，常采用延长中线为原来的2倍，构造全等三角形来解题。

例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ∆与FDE ∆中
AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABE FDE ∆≅∆(SAS)
∴B EDF ∠=∠
ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠
又 ADB BAD ∠=∠ ∴ADF ADC ∠=∠
AB DF =，AB CD =
∴DF DC =
在ADF ∆与ADC ∆中 AD AD ADF ADC DF DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪
=⎩
∴ADF ADC ∆≅∆(SAS) ∴AF AC = 又 2AF AE = ∴2AC AE =。

4. “截长补短”构造全等三角形
例7. 如图，在ABC ∆中，A B A C >，12∠
=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：A B A C P B P C ->-。

解答过程：法一：
在AB 上截取AN AC =，连接PN 在APN ∆与APC ∆中
12AN AC AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴APN APC ∆≅∆(SAS)
∴PN PC =
在BPN ∆中，PB PN BN -<
∴-<-PB PC AB AC ，即AB －AC>PB －PC 。

法二：
延长AC 至M ，使AM AB =，连接PM 在ABP ∆与AM P ∆中 12AB AM AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABP AM P ∆≅∆(SAS)
∴PB PM =
在PCM ∆中，CM PM PC >- ∴AB AC PB PC ->-。

同步练习
（答题时间：60分钟）
一、选择题：
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA =
B. 4AB =，3BC =，30A ∠=
C. 60C ∠= ，45B ∠=
，4AB =
D. 90C ∠=
，6AB =
3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③
C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠
B. CE DE =
C. DEA ∆不全等于CBE ∆
D. EAB ∆是等腰三角形
5. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=
，则D ∠等于( )
A. 67
B. 46
C. 23
D. 无法确定
二、填空题：
6. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=
，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且
:2:3C D A D =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；
7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若
100AEB ∠= ，30ADB ∠= ，则BCF ∠=____________；
8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；
9. 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=
，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，
DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ∆的周长等于____________；
10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若
10BD =，2BF =，则EF =___________；
三、解答题：
11. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

12. 如图，90ACB ∠=
，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD
延长线于F 点。

求证：BF CE =。

试题答案
一、选择题： 1. A
2. C
3. B
4. C
5. C
二、填空题： 6. 4
7. 70
8. 90
9. 10 10. 6
三、解答题：
11. 解： ABC ∆为等边三角形
∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=
在ABM ∆与BCN ∆中
AB BC ABC C BM CN =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABM BCN ∆≅∆(SAS) ∴NBC BAM ∠=∠
∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

12. 证明： AE CD ⊥，BF CD ⊥
∴90F AEC ∠=∠=
∴90ACE CAE ∠+∠=
90ACB ∠=
∴90ACE BCF ∠+∠=
∴CAE BCF ∠=∠ 在ACE ∆与CBF ∆中 F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ACE CBF ∆≅∆(AAS) ∴BF CE =。