人教版八年级数学上册第12章全等三角形知识点复习总结及常考题型练习.doc
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
人教版数学八年级上册 第十二章 小结与复习
(可以简写成“边角边”或“SAS”).
用符号语言表示为：
在△ABC 与△DEF 中， AC = DF，
A
D
∠C =∠F， BC = EF，
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF (SAS).
3. 有两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等
(可以简写成“角边角”或“ASA”).
用符号语言表示为：
在△ABC 和△DEF 中， ∠A =∠D ，
E
A 1
N P
2
B
FC
证明：过点 P 作 PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F.
又∵∠1 =∠2，∴ PE = PF，∠PEA =∠PFC = 90°.
∵∠PCB + ∠BAP = 180°，∠BAP +∠EAP = 180°，
∴∠EAP = ∠FCP.
在△APE 和△CPF 中，
∠PEA =∠PFC = 90°，
第十二章 全等三角形
小结与复习
知识结构图
对应边相等，对应角相等
三角形
性质 全等三角形 判定
应用 角的平分线
知识回顾 一、全等三角形的定义和性质
能够完全重合的两个图形叫全等形，能够完全重 合的两个三角形叫全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
内就在三角形外；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分.
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于
点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F.
人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点总结(含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；C 、添加BE ＝CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；D 、添加DA ＝DE 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．7C解析：C【分析】 先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA C解析：C【分析】 根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.5．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20°B解析：B【分析】根据正方形的性质得到AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转的性质推出ADE ≌ABF ，求出∠FAE=∠BAD=90︒，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90︒，由旋转得ADE ≌ABF ，∴∠FAB=∠EAD ，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE ，∴∠FAE=∠BAD=90︒，∴旋转角的度数是90︒，故选：B ．【点睛】 此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 6．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ≥C ． 5PQ <D ．5PO ≤ B 解析：B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，∴点P 到OB 的距离为5，∵点Q 是OB 边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．7．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）A ．BC ED =B ．A F ∠=∠C ．B E ∠=∠D ．//AB EF C解析：C【分析】 由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．【详解】∵AD FC =，∴AC=FD ，∵AB FE =，∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，故选：C ．【点睛】此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．8．下列命题，真命题是（ ）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A解析：A【分析】根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 9．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OBB ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2B解析：B【分析】根据题意可以得到∠AOC=∠BOC，OC=OC，然后即可判断各个选项中条件是否能判定△AOC≌△BOC，从而可以解答本题．【详解】解：由已知可得，∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴若添加条件OA=OB，则△AOC≌△BOC（SAS），故选项A不符合题意；若添加条件AC=BC，则无法判断△AOC≌△BOC，故选项B符合题意；若添加条件∠A=∠B，则△AOC≌△BOC（AAS），故选项C不符合题意；若添加条件∠1=∠2，则∠ACO=∠BCO，则△AOC≌△BOC（ASA），故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=25°，则∠ACA'的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°C解析：C【分析】利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB，再利用等式的性质可得答案．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′=25°，故选：C．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．二、填空题11．如图，AC=BC，请你添加一个条件，使AE=BD．你添加的条件是：________．∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可【详解】解：因为AC=BC∠C=∠C所以添加∠A=∠B或CD=CEAD=BE∠AEC=∠BDC可得△ADC与△解析：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC等【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【详解】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC，可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，故答案为：∠A=∠B或CD=CE、AD=BE、∠AEC=∠BDC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．0,3，另12．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C的坐标为()8,8，则点A的坐标为____________一个顶点B的坐标为()（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ根据线段的和差可得OQ可得答案【详解】解：作BP⊥y轴AQ⊥y轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A解析：（5，－5）【分析】根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ，CQ，根据线段的和差，可得OQ，可得答案．【详解】解：作BP⊥y轴，AQ⊥y轴，如图，∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=AC，∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACQ=90°．又∠CAQ+∠ACQ=90°∴∠BCP=∠CAQ ．在△BPC 和△CQA 中，BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．∵QO=QC-CO=8-3=5，∴A （5，-5），故答案为：（5，-5）．【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．13．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD 再求出AD 的长即可【详解】解：∵AB=6BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵∴∠BAC=∠FCE 在△ADE 和△CFE 中∴△ADE ≌△CFE ∴解析：4【分析】根据ASA 证明△ADE ≌△CFE 得CF=AD ，再求出AD 的长即可．【详解】解：∵AB=6，BD=2∴AD=AB-BD=6-2=4∵//CE AB∴∠BAC=∠FCE ，在△ADE 和△CFE 中BAC FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CFE∴CF=AD=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE ≌△CFE 是解答此题的关键．14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA解析：5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．【详解】解：①当AE=CB 时，∵∠B=∠EAP=90°，在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，AE CB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），即AE=BC=5；②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，AE AB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE （HL ），即AE=AB=12，∴当点E 与点B 重合时，△CBA 才能和△DAE 全等．综上所述，AE=5或12．故答案为：5或12．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．15．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在解析：AB//CD【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】解：∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC在△ABF 和△CDE 中，,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CDE （SSS ），∴∠DCE=∠BAF ．∴AB//CD ．故答案为：AB//CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．16．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即 解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝12×AB×OE＋12×BC×OD＋12×AC×OF＝12×（AB＋BC＋AC）×3＝12×22×3＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．17．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为___．cm2【分析】如图延长AP交BC于T利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题【详解】解：如图延长AP交BC于T∵BP⊥AT∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP∠PBA=∠PBT∴△BPA≌解析：12cm2【分析】如图，延长AP交BC于T．利用全等三角形的性质证明AP=PT即可解决问题．【详解】解：如图，延长AP交BC于T．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA=∠BPT=90°，∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==， 1122PBC ABC S S ∴==， 故答案为12cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．18．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°可得∠ACD ＝∠BCE 利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE 则BE ＝AD ∠DAC ＝∠EBC 再证明∠DBE ＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】解析：30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°，可得∠ACD ＝∠BCE ，利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE ，则BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ，再证明∠DBE ＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．【详解】解：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ．即∠ACD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BEC ，∴△ACD ≌△BCE ．∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ．∵∠DAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EBC ＋∠ABC ＝90°．∴△BDE 为直角三角形．∵AB ＝17，BD ＝5，∴AD ＝AB －BD ＝12．∴S △BDE ＝12BD ⋅BE ＝30． 故答案为：30．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．19．ABC 中，4AB =，6AC =， 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______．【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题【详解】解：延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC解析：15a <<【分析】如图延长AD 至点E ，使得DE=AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB=CE ，AD=DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．【详解】解：延长AD 至点E ，使得DE=AD ，∵点D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△CDE 中，AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CDE （SAS ），∴AB=CE ，∵△ACE 中，AC-CE ＜AE ＜AC+CE ，即：AC-AB ＜AE ＜AC+AB ，∴2＜AE ＜10，∴1＜AD ＜5．故答案为：1＜AD ＜5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD ≌△CDE 是解题的关键．20．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键解析：8【分析】由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．【详解】AD BC ⊥，CE AB ⊥，90ADC CEA ∴∠=∠=︒，AHE CHD ∠=∠，EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，EAH HCD ∴∠=∠，在BEC △和HEA △中，90BEC HEA HCD EAHEB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC HEA AAS ∴≅，EC EA ∴=，8EA =，8EC ∴=，6EH =，11862422AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=， 11883222AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=，32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．故答案为：8．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键．三、解答题21．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．解析：见解析【分析】根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．【详解】证明：∵DE=BF ，∴DE+EF=BF+EF ；∴DF=BE ；∵AF BD ⊥，CE BD ⊥∴∠AFD=∠CEB=90°∵//AD CB∴∠B=∠D在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADF ≌Rt △BCE∴AF CE =【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．22．如图，AD CB =，AB CD =．求证：ABC CDA ∠=∠．解析：见解析【分析】根据SSS 可证明△ABD ≌△CDB ，即可得∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，进而可证明结论．【详解】在ABD ∆和CDB ∆中AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩()ABD CDB SSS ∴∆≅∆ABD CDB ∴∠=∠ADB CBD ∠=∠ABC ABD CBD ∠=∠-∠CDA CDB ADB ∠=∠-∠ABC CDA ∴∠=∠【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，利用SSS 证明△ABD ≌△CDB 是解题的关键． 23．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．解析：（1）详见解析；（2）52︒【分析】（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．即∠BAC=∠DAE ．在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴ABC ADE △≌△；（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．∵ABC ADE △≌△，∴52DAE BAC ∠=∠=︒．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．24．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△． 第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是 （选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．解析：（1）存在，见解析；（2）不一定全等；（3）全等，见解析【分析】（1）根据尺规作图的方法画出图形即可．（2）根据题（1）所得两种情况及全等三角形的判定即可求解；（3）第三种情况：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N,先证明△CMA ≌△FND ，推出AM =DN ，推出AB =DE ，再证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】解：（1）存在，如图所示．射线EM 上有两个点满足要求．（2）不一定全等．如题（1）所示：由于满足条件的D 有两个，故△ABC 和△DEF 不一定全等，故答案为：不一定全等；（3）△ABC 和△DEF 全等．理由如下：如图所示，过点C 作AB 边的垂线交AB 的延长线于点M ，过点F 作DE 边的垂线交DE 的延长线于N ．∵ABC DEF ∠=∠，∴CBM FEN ∠=∠．∵CM AB ⊥，FN DE ⊥，∴90CMB FNE ∠=∠=︒．在△CBM 和△FEN 中，∵,,,CMB FNE CBM FEN BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBM ≌△FEN （AAS ）．∴BM EN =，∴CM FN =．在Rt △ACM 和Rt △DFN 中，∵,,AC DF CM FN =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △DFN （HL ）．∴AM DN =，∴AM BM DN EN -=-，即AB DE =．又∵BC EF =，∴△ABC 和△DEF （SSS ）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，学会作辅助线，难度适中．25．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______，根据图2证明你的猜想；（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）解析：（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β【分析】（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；（3）根据（1）与（2）直接得到结论．【详解】（1）证明：设AF 交BO 于G ，∵60AOB DOE ∠=∠=︒，∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA FGB ∠=∠，∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°证明：设AF 交BO 于G ，∵90AOB DOE ︒∠=∠=，∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，OD OE =，∴AOD BOE ≌△△，∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，∵OGA DGB ∠=∠，∴90AFB AOB ∠=∠=︒；故答案为：AD BE =，90°；（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=故答案为：AD BE =，β．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．26．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 解析：图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 27．如图，BC ⊥AD 于C ，EF ⊥AD 于F ，AB ∥DE ，分别交BC 于B ，交EF 于E ，且BC =EF ．求证：AF =CD ．解析：证明见解析．【分析】由BC ⊥AD ，EF ⊥AD 得∠EFD =∠BCA =90°，由AB ∥DE ，得∠D =∠A ，又BC =EF ，从而△ABC ≌△DEF ，则AC =FD ， AF =CD ．【详解】证明：∵BC ⊥AD ，EF ⊥AD ，∴∠EFD =∠BCA =90°∵AB ∥DE ，∴∠D =∠A∵BC =EF ，∴△ABC ≌△DEF ，∴AC =FD ，∴AF =CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 28．已知：如图，AC ＝BD ，BD ⊥AD 于点D ，AC ⊥BC 于点C ．求证：∠ABC ＝∠BAD ．解析：详见解析【分析】利用HL 证明Rt △ABD ≌Rt △BAC ，即可得到结论．【详解】∵BD ⊥AD ，AC ⊥BC ，∴∠D=∠C=90︒，在Rt △ABD 和Rt △BAC 中，AB BA BD AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △BAC （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，根据题中的已知条件确定两个三角形的对应相等的条件，根据全等的判定定理证得这两个三角形全等是解题的关键．。
人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题
BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
初二数学第十二章全等三角形详细知识点及题型总结
第十二章全等三角形第一讲全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平移、翻折、旋转前后的图形全等。
“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．≅表示，读作“全等于”．．．．．．．．．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如∆和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC∆DEF∆。
ABC∆≅把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例1.已知：如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠EAC=300，则∠DAB的大小为例2.如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC’为________度.例3.如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4课堂练习：∆的是( )1.根据下列条件，能画出唯一ABCA. AB=3,BC=4,CA=8B.AB=4,BC=3,∠A=300C. ∠C=600,∠B=450,AB=4D.∠C=900,AB=62.如图∠1＝∠2=200，AD=AB，∠D=∠B，E在线段BC上，则∠AEC=（）A.200B.700C.500D.8003.已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF.则不正确的等式是（）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF4.如图，△BCD≌△CBE，BC＝6，CE＝5，BE＝4，则CD的长是（）A．4 B．5 C．6 D．无法确定5.已知图中的两个三角形全等，则∠ 度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°6.如图，将Rt△ABC(其中∠B＝340，∠C＝900）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.560B.680C.1240D.18007.如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEB＝60°，则∠DAC的度数等于（）A．120° B．70° C．60° D．50°8.若两个三角形的面积相等 , 则这两个三角形________全等．9.如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_______．10.如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:______,对应角:_________．11.如图，△ABO≌△CDO，OA=2，AB=4，BO=3，则DC= ，OC= ，OD= .12.如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=320，∠A=680，AB=13cm，则∠F=______度，DE=______cm．13.已知△ABC≌△DEF,∠A=52°,∠B=67°BC=15cm则∠F=_____,FE=_____cm.14.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P/AC，则∠PAP/的度数为________．15.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则∠CBD的大小为_________16.如图所示，，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，，，，则的度数为17.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n 个大三角形中白色三角形有 个 ．18.如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转350，得到△A /B /C, A /B /交AC 乎点D ，已知∠A /DC=90°，求∠A 的度数.19.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．20.如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？ABC ADE △≌△105ACB AED ∠=∠=15CAD ∠=30B D ∠=∠=1∠课后练习：1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．②③④2.下列说法错误的有（ ）①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等图形；④边数相同的图形一定能互相重合．A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知△ABC 与△DEF 全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E 的度数是（ ）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°4.如果D 是中BC 边上一点，并且，则是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形5.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800到△OCD 的位置，已知∠AOB=450，则∠AOD （ ）A.550B.450C.400D.3507.如图，△ABE ≌△ACD,AB=AC,BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC 的度数等于（ ）A.120°B.70°C.60°D.50°8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°9.如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ） A. △ADC B. △BDC ´ C. △ADC ´ D. 不存在6.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=25°，则∠CAE=ABC △ADB ADC △≌△ABC△7.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．8.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．9.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．10.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是____．11.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.12.如图所示，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，BD=7，AD=6，则BE的长是___13.如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=______度．14.如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为15.如图，D,E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=480，则∠APD等于16.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=____17.如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．能力提高：1.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为( ) A.64l l x ≤< B.84l l x ≤< C.64l l x << D.84l l x << 2.已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，△ABC 的三边为3、m 、n ，△A ′B ′C ′的三边为5、p 、q ，若△ABC 的各边都是整数，则m+n+p+q 的最大值为__________3.如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则∠DFB 的度数是4.下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.AB C D E F5.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a 的度数为6.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm, ∠DAM=39°,则AN= cm, NM= cm, ∠NAB= .7.如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上？（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C'在同一直线上？8.如图, 在ABCD中, 将△ABE沿BE翻折, 点A落在CD边上, 成为点F, 如果△DEF和△BCF的周长分别是8cm和22cm, 求FC的长度。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》期末复习题型分类练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》期末复习题型分类练习题（附答案）一．三角形的面积1．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，CD⊥AB，则CD长为；（2）如图2，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，则△ABC的高CD与AE的比是；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°（∠A＜∠ABC），点D，P分别在边AB，AC上，且BP＝AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E，F．若BC＝5，求DE+DF的值．二．全等图形2．下列各组图形中，属于全等图形的是（）A．B．C．D．3．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（）A．100°B．90°C．60°D．45°三．全等三角形的性质4．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则∠DCB的度数为（）A．75°B．65°C．40°D．30°5．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（）A．34°B．56°C．62°D．68°6．如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC＝8，BF＝11.5，则EC的长为（）A．5B．4.5C．4D．3.57．如图所示，△ABC≌△AEF．在下列结论中，不正确的是（）A．∠EAB＝∠F AC B．BC＝EF C．CA平分∠BCF D．∠BAC＝∠CAF 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，若△ABC≌△A′B′C，且点A′恰好落在AB上，则∠ACA′的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°9．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC的度数的值为（）A．84°B．60°C．48°D．43°10．如图，Rt△AOB≌Rt△CDA，且点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），则OD长是（）A．2B．5C．4D．311．如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A＝70°，∠B＝50°，则∠1等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°12．如图，△ACB≌△A′CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°四．全等三角形的判定13．如图，AB∥DE，AB＝DE，添加下列条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．AC∥DF14．下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）A．B．C．D．15．如图，∠1＝∠2，添加下列条件，不能使△ABC≌△BAD的是（）A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．∠C＝∠D D．AD＝BC16．如图，已知线段AB＝40米，MA⊥AB于点A，MA＝20米，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（）A．8B．8或10C．10D．6或1017．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS18．如图，若∠B＝∠C，下列结论正确的是（）A．△BOE≌△COD B．△ABD≌△ACE C．AE＝AD D．∠AEC＝∠ADB 19．如图，已知AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．则△ABC≌△DEF的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS20．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架P ABQ，其中AB＝42cm，AP，BQ足够长，P A⊥AB于A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，使M，N运动的速度之比3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为（）A．18cm B．24cm C．18cm或28cm D．18cm或24cm 21．下列三角形与如图全等的三角形是（）A．B．C．D．22．如图，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F，DE＝DF．则△BDE≌△BDF的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL五．全等三角形的判定与性质23．如图，点E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，连接FE并延长，交AB于点D，若AB＝9，CF＝6，则BD的长为（）A．2B．2.5C．3D．4.524．如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（）A．3B．6C．8D．1225．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°26．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，BE与AD交于点F，若AD＝BD＝5，CD＝3，则AF的长为（）A．3B．3.5C．2.5D．227．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OD＝4，OP＝5，则PE的长为（）A．3B．C．4D．28．如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标是（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（﹣，1）D．（﹣，﹣1）29．如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②F A平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC＝BE．其中，正确的结论有（）A．①②③④B．①③④C．②③D．②③④30．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED ＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①③B．①②③C．②③④D．①②④31．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜732．如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连结CD，若∠ECD＝25°，则∠AOB＝（）A．50°B．45°C．40°D．25°33．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求证：AC∥DF；（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．34．如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC ＝AE．（1）判断CE与BE的关系是．（2）如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．35．如图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．求证：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF；（3）连接AM，求证：MA平分∠EMF．36．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）若∠ABC＝31°，求∠CAO的度数．37．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠CBA，连接AE，若AD＝AE，∠DAE ＝∠CAB．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）若∠CAB＝36°，求证：CD∥AB．38．如图，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．（1）求证：AD＝BC；（2）若∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，求∠B的度数．39．如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AE＝DB，BC与EF交于点O．（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝50°，求∠COE的度数．40．如图，已知AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，求证：∠B＝∠C．41．已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求证：（1）CF＝DE；（2）AF∥EB．42．已知：OA＝OB，OC＝OD．（1）求证：△OAD≌△OBC；（2）若∠O＝85°，∠C＝25°，求∠BED的度数．43．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．44．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求证：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．45．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；（2）如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展与应用：如图3，当α＝120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB＝AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．46．问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．47．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．六．全等三角形的应用48．如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（）A．只带①去B．带②③去C．带①③去D．只带④去49．如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS七．角平分线的性质50．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（）A．4：3：2B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：551．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm52．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处53．如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）A．48cm2B．54cm2C．60cm2D．66cm254．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是20cm2，AB＝15cm，AC＝5cm，则DF的长为（）A．10cm B．5cm C．4cm D．2cm55．如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝6，∠A＝30°，则AD的长为（）A．6B．8C．12D．1656．下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N57．如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（）A．28B．14C．21D．758．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝7cm，DE＝3cm，那么AE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm八．等腰三角形的性质59．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD ＝BC．九．全等三角形综合题60．如图1，分别以△ABC的两边AB，AC为边作△ABD和△ACE，使得AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．（1）求证：BE＝CD；（2）过点A分别作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，①如图2，连接FG，请判断△AFG的形状，并说明理由；②如图3，若CD与BE相交于点H，且∠DAB＝∠EAC＝60°，试猜想AH，CH，HE之间的数量关系，并证明．参考答案一．三角形的面积1．解：（1）如图1中，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CD，∴CD＝＝；故答案为：；（2）如图2中，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE∴，∴2CD＝AE，∴CD：AE＝1：2；故答案为：1：2；（3）∵S△ABP＝，，，∵S△ABP＝S△ADP+S△BDP，∴，又∵BP＝AP，∴，即DE+DF＝BC＝5．二．全等图形2．解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，故选：C．3．解：在△ABC和△FDE中，，∴△ABC≌△FDE（SAS），∴∠1＝∠EDF，∵∠EDF+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：B．三．全等三角形的性质4．解：∵△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∴∠D＝∠A＝75°，∵∠DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣40°＝65°，故选：B．5．解：∵△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∴∠BAE＝∠1＝56°，∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣56°）＝62°，∴∠AED＝∠B＝62°，故选：C．6．解：∵BC＝8，BF＝11.5，∴CF＝BF﹣BC＝3.5，∵△ABC≌△DEF，BC＝8，∴EF＝BC＝8，∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3.5＝4.5，故选：B．7．解：∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠EAE＝∠EAF﹣∠EAC，∴∠EAB＝∠F AC，故A不符合题意；∵△ABC≌△AEF，∴BC＝EF，故B不符合题意；∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，∠ACB＝∠F，∴∠ACF＝∠F＝∠ACB，∴CA平分∠BCF，故C不符合题意；∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＞∠CAF，故D符合题意，故选：D．8．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，∵△ABC≌△A′B′C，∴CA′＝CA，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，故选：D．9．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，∵∠BAD＝94°，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝43°，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝43°，∴∠BAC＝∠EAD＝43°，故选：D．10．解：∵点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），∴OB＝2，OA＝1，∵Rt△AOB≌Rt△CDA，∴AD＝OB＝2，∴OD＝OA+AD＝1+2＝3，故选：D．11．解：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵△ABC≌△DEF，∴∠1＝∠C＝60°故选：B．12．解：∵△ACB≌△A′CB'，∴∠ACB＝∠A′CB'，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB'﹣∠A′CB，∴∠ACA'＝∠BCB'＝30°，故选：B．四．全等三角形的判定13．解：∵AB＝DE，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC∥DF时，∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，故选：A．14．解：△ABC中，∵∠B＝72°，∠C＝58°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，∴根据“SAS”可判断△ABC下面的三角形全等．故选：C．15．解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，∴当添加∠CAB＝∠DBA时，根据“ASA”可证明△ABC≌△BAD，所以A选项不符合题意；当添加AC＝BD时，不能判断△ABC≌△BAD，所以B选项符合题意；当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可证明△ABC≌△BAD，所以C选项不符合题意；当添加AD＝BC时，根据“SAS”可证明△ABC≌△BAD，所以D选项不符合题意；故选：B．16．解：当△APC≌△BQP时，AP＝BQ，即40﹣x＝3x，解得：x＝10；当△APC≌△BPQ时，AP＝BP＝AB＝20米，此时所用时间x为20，AC＝BQ＝60米，不合题意，舍去；综上，出发20后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．故选：C．17．解：由题意可得，OC＝OD，MC＝MD，又∵OM＝OM，∴△OMC≌△OMD（SSS），故选：A．18．解：∵∠B＝∠C，∠CAE＝∠BAD，∴∠AEC＝∠ADB，所以D选项符合题意；∵不能确定BE＝CD，AE＝AD，∴不能判断△BOE≌△COD、△ABD≌△ACE，所以A、B、C选项不符合题意．故选：D．19．解：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），故选：C．20．解：设：BM＝3xcm，则BN＝4xcm，∵∠A＝∠B＝90°，（1），当△ACM≌△BNM时，有BM＝AM，BN＝AC，又AM+BM＝42cm，∴3x+3x＝42，∴x＝7．∴AC＝BN＝4x＝28cm；当△ACM≌△BMN时，有AM＝BN，BM＝AC，又AM+BM＝42cm，∴4x+3x＝42，∴x＝6，∴AC＝BM＝18cm；故选：C．21．解：180°﹣51°﹣49°＝80°，A．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；B．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；C．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项符合题意；D．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；故选：C．22．解：∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠BED＝∠BFD＝90°，在Rt△BDE和△Rt△BDF中，，∴Rt△BDE≌△Rt△BDF（HL），故选：D．五．全等三角形的判定与性质23．证明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝6，∵AB＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6＝3，故选：C．24．解：∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠DBA，在△CDE和△BDA中，，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故选：A．25．解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故选：A．26．解：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠AEB+∠AFE+∠DAC＝180°，∴∠DAC＝∠DBF，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF＝CD＝3，∵AF+DF＝AD＝5，∴AF＝2，故选：D．27．解：∵OD＝4，OP＝5，PD⊥OA，PD＝3，∵∠AOC＝∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝3．故选：A．28．解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO，∵∠AOC＝∠CDO＝90°，∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠AOE，在△OCD和△AOE中，，∴△OCD≌△AOE（AAS），∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝，∴C（﹣，1）．故选：C．29．解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝45°，∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，∵∠ADC和∠AEB不一定相等，∴∠BDC与∠BEC不确定相等；故①错误，∵∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，故④正确；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如图，∵△ADC≌△ABE，∴AM＝AN，∴AF平分∠DFE，所以②正确．∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，而∠ADC＝∠ABE，∠1＝∠2，∴∠BFD＝∠DAB＝90°，∴DC⊥BE，所以③正确；故正确的结论为②③④．故选：D．30．解：过E点作EF⊥AD于F，如图，∵AE平分∠BAD，EF⊥AD，EB⊥AB，∴EF＝EB，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AB＝AE，∠AEB＝∠AEF，∵点E是BC的中点，∴EC＝EB，∴EC＝EF，在Rt△DEC和Rt△DEF中，，∴Rt△DEC≌Rt△DEF（HL），∴DC＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；∵∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠BEF+∠CEF∴∠AED＝90°，所以①正确；∵DE＞EC，而EC＝BE，∴DE＞BE，所以③错误；∵AF＝AB，DF＝DC，∴AD＝AF+DF＝AB+CD，所以④正确．故选：D．31．解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，∵AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE与△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，9﹣5＜2x，∴2＜x＜7，故选：D．32．解：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵∠ODE＝∠OCE＝90°，∴∠ODC＝∠OCD，∴OC＝OD，∵ED＝EC，∴点O与点E都在CD的垂直平分线上，∴OE是CD的垂直平分线，∴∠AOE+∠OCD＝90°，∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠AOE＝∠ECD＝25°，∴∠AOB＝2∠AOE＝50°，故选：A．33．证明：（1）∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠F，∴AC∥DF；（2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°，在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°．34．解：（1）CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，在△CDE和△EAB中，，∴△CDE≌△EAB（SAS），∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠CED+∠BEA＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∴CE＝BE且CE⊥BE．（2）（1）中结论成立，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，在△CDE和△EAB中，，∴△CDE≌△EAB（SAS），∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠CED+∠BEA＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∴CE＝BE且CE⊥BE．35．证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）设AB与EC的交点为D，∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDM，∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，∴EC⊥BF；（3）如图，作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∵△ABF≌△AEC，∴S△AEC＝S△ABF，∴EC•AP＝BF•AQ，∵EC＝BF，∴AP＝AQ，∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴MA平分∠EMF．36．（1）证明：∵∠D＝∠C＝90°，∴△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）解：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC＝∠BAD＝31°，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝59°，∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝28°．37．（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE．∴∠DAC＝∠EAB．在△DAC和△EAB中∵∴△DAC≌△EAB（SAS）（2）证明：∵AB＝AC，∠CAB＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°−36°）＝72°，∵BE平分∠CAB，∴∠ABE＝∠ABC＝36°．∴∠ABE＝∠BAC＝36°．∵△DAC≌△EAB，∴∠DCA＝∠EBA＝36°．∴∠DCA＝∠BAC＝36°．∴CD∥AB．38．（1）证明：如图，∵AB∥DE，∴∠E＝∠CAB．在△ABC与△EAD中．∴△ABC≌△EAD（SAS）．∴AD＝BC．（2）解：∵∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAC＝35°．由（1）知，△ABC≌△EAD，∴∠B＝∠DAE＝35°．39．（1）证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC和△DEF是直径三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠DEF＝40°，∴∠COE＝∠ABC+∠BEF＝40°+40°＝80°．40．证明：∵AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，∴AE＝AD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C．41．证明：（1）∵DF∥CE，∴∠FDC＝∠ECD，在△FDC和△ECD中，，∴△FDC≌△ECD（SAS），∴CF＝DE；（2）∵△FDC≌△ECD，∴∠FCD＝∠EDC，∵AD＝BC，∴AD+DC＝BC+DC，∴AC＝BD，在△F AC和△EBD中，，∴△F AC≌△EBD（SAS），∴∠A＝∠B，∴AF∥EB．42．（1）证明：在△OAD和△OBC中，，∴△OAD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵∠O＝85°，∠D＝∠C＝25°，∴∠OBC＝180°﹣85°﹣25°＝70°，∴∠BED＝∠OBC﹣∠D＝70°﹣25°＝45°．43．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．44．（1）证明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，且∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE；②由①得：∠BAD＝∠CDE，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；（2）解：在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，∴∠ADE＝55°．45．解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等边三角形，∴F A＝FC，∠FCA＝∠F AB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠F AD＝∠FCE，∴△F AD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DF A＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等边三角形．46．解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，∴BE＝DG，EF＝GF，∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．故答案为：EF＝BE+FD．探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠F AG＝∠F AD+∠DAG＝∠F AD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF，＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）答：此时两舰艇之间的距离为320海里．47．证明：（1）延长BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延长BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．六．全等三角形的应用48．解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带④去．故选：D．49．证明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），故选：B．七．角平分线的性质50．解：∵O是△ABC三条角平分线交点，∴点O到AB、AC、BC的距离相等，设O到AB、AC、BC的距离为h，∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝（•h•AB）：（•h•BC）：（•h•AC）＝AB：BC：AC＝16：12：8＝4：3：2．故选：A．51．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，解得DE＝DF＝3cm，故选：A．52．解：∵这个砂石场到三条公路的距离相等，砂石场在三条公路围成的三角形平地内，∴这个砂石场为三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点，∴可供选择的地址仅有一处．故选：A．53．解：如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF＝3（cm），∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB×OF+×BC×OD+×AC×OE＝×OD×C△ABC＝×3×36＝54（cm2）．故选：B．54．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵△ABC的面积是20cm2，∴•AB•DE+AC•DF＝20，即×15×DF+×5×DF＝20，解得DF＝2．故选：D．55．解：如图所示，过D作DF⊥AB于F，∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF＝6，∵∠A＝30°，∴AD＝2DF＝12，故选：C．56．解：由图形可知，点Q在∠AOB的角平分线上，∴点Q到∠AOB两边距离相等，故选：B．57．解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，∴OD＝OE＝OF＝2，∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBCAB•OE+AC•OF+BBC•OD＝（AB+AC+BC）•OD＝×28×2＝28，故选：A．58．解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴ED＝EC，∴AE＝AC﹣EC＝AC﹣ED＝7﹣3＝4（cm），故选：C．八．等腰三角形的性质59．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．九．三角形综合题60．（1）证明：∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝CD；（2）①解：△AFG是等腰三角形，理由如下：∵△ADC≌△ABE，∴∠ADF＝∠ABG，∵AF⊥CD，AG⊥BE，∴∠AFD＝∠AGB＝90°，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（AAS），∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形；②解：HE＝AH+CH，理由如下：∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝CD，∠ACF＝∠AEG，∵AF⊥CD，AG⊥BE，∴∠AFC＝∠AGE＝90°，在△ACF和△AEG中，，∴△ACF≌△AEG（AAS），∴CF＝EG，AF＝AG，∵∠CAE+∠AEC+∠ACE＝180°，∠ACE+∠HEC+∠HCA+∠CHE＝180°，∠AEB＝∠ACH，∴∠EHC＝60°，∴∠DHE＝120°，∵AF＝AG，AF⊥CD，AG⊥BE，∴∠AHF＝∠AHG＝60°，∴∠F AH＝∠GAH＝30°，∴AH＝2FH＝2HG，∴FH＝HG，∴HE＝GE+HG＝CF+HG＝CH+FH+HG＝CH+2HG＝CH+AH．。
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习
第十二章 全等三角形复习提纲一、本章的基本知识点知识点1全等三角形的性质；全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
知识点2 全等三角形的判定方法:一般三角形的判定方法： 边角边（SAS 、角边角（ASA 、角角边（AAS 、边边边（SSS 直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL知识点3 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相符号语言： •/ 0P 平分/ MOIN / 1 = Z 2), PA 丄 OM PB 丄 ON••• PA = PB.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
知识点5证明文字命题的一般步骤：证明文字命题， 第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明 过程。
二、本章应注意的问题1、 全等三角形的证明过程：① 找已知条件，做标记；② 找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等；③ 对照定理，看看还是否需要构造条件。
2、全等三角形的证明思路 ：找夹角（SAS ）已知两边 找直角（HL ）找第三边（SSS若边为角的对边，则找 任意角（AAS ）”找已知角的另一边（SAS ）已知 _ 边 _ 一角 边为角的邻边找已知边的对角（AAS ）找夹已知边的另一角（ASA ）3、全等三角形证明中常见图形:已知两角找两角的夹边（ASA ）找任意一边（AAS ）知识点4角平分线的判定方法:符号语言：•/ PA 丄 OM PB 丄 ON , PA =PB•••/ 1 = Z 2 (OP 平分/ MON AD4、全等三角形证明时特殊的辅助线：在本章中，作辅助线的目的就是为了构造全等三角形， 有几种特殊的辅助线需要注意： 问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向 两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一 对全等三角形.三、全等三角形习题精选1. 五大判定定理记忆与应用3.如图：AB=AC EB=EC AE 的延长线交BC 于Db 求证：BD=DC①涉及三角形的中线 1 .下列命题中正确的是( A .全等三角形的高相等 B 平分线相等 2. 下列说法正确的是 (A.周长相等的两个三角形全等 C.面积相等的两个三角形全等 3. 如图，在/ AOB 的两边上， )•全等三角形的中线相等C •全等三角形的角平分线相等D •全等三角形对应角的交于点P ,则厶AOD ◎△ BOC 理由是A.ASAB.SASC.AASD.SSS4. 如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AO=BO ,在AO 和BO 上截取 CO=DO ,连结AD 和BC ) 那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 互补或相等 2. 重点图形的识记4/ 1B1. 2. 如图，已知/仁/ 2，/ 3=7 4, 如图，/ 1 = 7 2,7 C=7 D, ACEC=AD 求证：AB=BE BC=DBBD 交于E 点，求证：CE=DE 变形DCEE1、 如图，在 △ ABC 中，/ C = 90°, AD 是/ BAC 的角平分线，若 BC = 5 cm, BD = 3叫则点 D 到AB 的距离 为 cm.2、 如图，在厶ABC 中，AD 为/ BAC 的平分线，DE 丄AB 于E , DF 丄AC 于F , △ ABC 面积是28 cm 2, AB=20cm ,AC=8cm ，贝U DE 的长为 _________ cm .3、 如图所示，在△ ABC 中，/ C = 90°, AC = BC AD 平分/ CAB 交 BC 于 D,DEI AB 于E , AB=10求厶BDE 的周长1.如图，AE=AC AD=AB, / EAC=/ DAB 求证:2.如图，已知 AB=AD AC 平分/ DAB 求证: EBC EDC 。
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第十二章
一、：：
二、：：
1.：：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
理解：：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.：：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
理解：：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定定理：：
⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（ SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
.
4.：：
5.：：
⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等
6.：：
⑴明确命题中的已知和求证. （包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角
平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
7.：：
(1) 要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三
角形不一定全等；
(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
常考题精选
1. 如图， A， B，Ｃ三点在同一条直线上，∠A=∠ C=90°， AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△ EAB≌△ BCD.
2. 在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， BC=2cm， CD⊥ AB，在 AC上取一点E，使 EC=BC，
过点 E 作 EF⊥ AC 交 CD的延长线于点F，若 EF=5cm，则 AE=cm.
3. 如图，点E，Ｆ在 BC上， BE=CF， AB=DC，∠ B=∠ C. 求证：∠ A=∠ D.
4. 已知：如图，AD， BC 相交于点 O， OA=OD， AB∥ CD.求证： AB=CD.
5.如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC上， AB=AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ ADE(只能添加一
个 ).
(1) 你添加的条件是.
(2)添加条件后，请说明△ ABC≌△ ADE的理由
6.如图，点 F， B， E，Ｃ在同一直线上，并且BF=CE，∠ ABC=∠ DEF.能否由上面
的已知条件证明△ABC≌△ DEF?如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个
条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；② AC=DF；③ AC∥ DF.
7. 如图，已知AB=CD，∠ B=∠ C， AC 和 BD 相交于点O，Ｅ是 AD的中点，连接 OE.
(1) 求证：△ AOB≌△ DOC.(2) 求∠ AEO 的度数 .
8.如图所示， AB∥ CD，Ｅ为 AD上一点，且 BE， CE 分别平分∠ ABC，∠ BCD. 求证： AE=DE.。