2017高考数学(理)一轮复习练习：第1章 集合与常用逻辑用语 第2讲

基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2015·重庆卷)“x ＞1”是“log 12
(x ＋2)＜0”的( )
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当x ＞1时，x ＋2＞3＞1，又y ＝log 12x 是减函数，
∴log 12(x ＋2)＜log 121＝0，则x ＞1⇒log 12
(x ＋2)＜0； 当log 12(x ＋2)＜0时，x ＋2＞1，x ＞－1，则log 12(x ＋2)＜0⇒x ＞1.故“x ＞1”是“log 12
(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件.选B.
答案 B
2.命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数
B.若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数
C.若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数
D.若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数
解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选
C.
答案 C
3.已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )
A.若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3
B.若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3
C.若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3
D.若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3
解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.
答案 A
4.(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3；x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1.
由于(1，3) (－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件.
答案 A
5.(2015·长沙模拟)在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析由正弦定理知a
sin A＝
b
sin B＝2R(R为△ABC外接圆半径).若sin A＞sin B，则
a
2R＞
b
2R，即a
＞b，所以A＞B；若A＞B，则a＞b，所以2R sin A＞2R sin B，即sin A＞sin B，所以“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件，故选C.
答案 C
6.(2015·东北三省三校二模)若p是綈q的充分不必要条件，则綈p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析∵p是綈q的充分不必要条件，∴綈q是p的必要不充分条件.而
“若綈p，则q”是“若綈q，则p”的逆否命题，
∴綈p是q的必要不充分条件，故选B.
答案 B
7.(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()
A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.
答案 A
8.(2016·安庆调研)下列命题中为真命题的是()
A.若x≠0，则x＋1
x≥2
B.命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1
C.“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D.命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x－3≤0”
解析A：当x＜0时，x＋1
x＜2，错误；B：根据逆否命题的定义可知，命题：若x
2＝1，则x＝1
或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1，正确；C：“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，错误；D：否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，错误.故选B.
答案 B
二、填空题
9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.
答案 2
10.“m<1
4”是“一元二次方程x
2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不
充分、充要”).
解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤1 4.
答案充分不必要
11.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________.
解析已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立.所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案－2
12.下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若ab＝0，则a＝0”的否命题.
其中真命题的序号是________.
解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；③“若ab ＝0，则a ＝0”的逆命题为“若a ＝0，则ab ＝0”，显然为真命题，所以其否命题是真命题.
答案 ②③
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2015·咸阳质量检测)下列结论错误的是( )
A.命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”
B.“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件
C.命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”
解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，
即m ≥－14，不能推出m ＞0.所以不是真命题，故选C.
答案 C
14.(2015·浙江卷)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t ( )
A.若t 确定，则b 2唯一确定
B.若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定
C.若t 确定，则sin b 2唯一确定
D.若t 确定，则a 2＋a 唯一确定
解析 若t 确定，则t 2确定，由|a ＋1|＝t ，得a 2＋2a ＋1＝t 2，所以a 2＋2a ＝t 2－1唯一确定；对于
A ，C ，令t ＝0，则sin b ＝0，即b ＝k π，k ∈Z ，所以b 2，sin b 2都不确定；对于D ，令t ＝1，则|a
＋1|＝1，即a ＝0或a ＝－2，此时a 2＋a ＝0或a 2＋a ＝2，即a 2＋a 的值不唯一确定.故选B. 答案 B
15.设n ∈N +，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.
解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N +，逐个分析，当n ＝1，2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1，3；当n ＝4时，方程有整数根2.
答案 3或4
16.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A ⫋B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.
答案 (2，＋∞)。