风险资产组合均值_CVaR模型的算法分析

[ 1 ] R Tyrrell Rockafellar and Stanislav U ryasev . Op tim ization of Conditional Value - at - R isk[ J ]. Journal of R isk, 2000, 2: 21 - 24. [ 2 ] R Tyrrell Rockafellar, Stanislav U ryasev . Conditional value - at - risk for general loss distributions [ J ]. Journal of Banking & Finance, 2002, 26: 1443 - 1471. [3] 张卫国 ,王荫清 . 无风险投资或贷款下证券组合优化模型及应用 [ J ]. 预测 , 1996, 15: 65 - 67. [4] 刘小茂 ,李楚霖 ,王建华 . 风险资产组合的均值 —CVaR 有效前沿 ( Ⅰ) [ J ]. 管理工程学报 , 2003, 17: 29 - 33.
∫
f ( X, Y ) p ( Y ) d Y
2 正态情形下风险资产组合均值 - CV aR 模型的算法分析
设投资者已选定 n 种风险证券进行组合投资 , n 种风险证券的投资收益率为随机变量 Y = ( y1 , y2 ,
T T …, yn ) , Y 服从正态分布 N (μ, V ) , 其中 μ = (μ 1 ,μ 2 , …,μ n ) , 是 n 种风险证券的期望收益率向量 , V 为
-
2
当 r = 定理 1
B 1 时 , 风险取得最小值 σ = . C C
[4 ]
组合 X 属于均值 - CV aR 边界 Ζ 组合 X 属于均值 - 方差边界 .
[ ( CV aR +μ) / b2 ]
2
1 /C
-
[μ - B /C ] δ/C2
2
=1
( 7)
β% 下有 定理 2 在风险证券的投资收益率服从正态分布下 ,模型 ( Ⅰ)或模型 ( Ⅱ)在置信水平 100 解 Ζ β > Φ (W ) . 其中
X = A - B r -1 Cr - B -1 F + 2V 2V μ AC - B AC - B
T
-
T -1 T -1 其中 V = (σij ) n × , B = μ V F, C = n 是风险阵 (收益率的协方差阵 ) , 且设 V 是正定的 , A = μ V μ
F V
T
-1
F,δ = AC - B , F = ( 1, 1, …, 1 ) .
σ
2
δ
C
C ) =-
σ2 - 1 C
σ2 σ 2
δ
C
1
C
) =
σ -
1
C
σ -
2
1
C
δ
C
1
C
)
3 2
> 0, Πσ ∈ (
1
C
, + ∞)
β% 下有解 , 当且仅当 b2 (β) > 综上所述 ,模型 ( Ⅰ)或模型 ( Ⅱ)在置信水平 100 结合 ( 2 )式和 ( 3 )式可以推得 Φ - 1 (β) > 2 ・ 令 W = 2・
∫
β
其中
b2 (β) = (
πexp ( erf 2
-1
(2 β - 1 ) ) ( 1 - β) ) X F =1 Xμ = r
T
-
2
-1
( 3)
于是 CVaRβ 证券组合优化模型 ( Ⅰ)等价于下列模型 ( Ⅱ)
T
m in b2 (β)σ ( x ) - μ( x ) , s . t .
. 2 C b2 (β) - δ b2 (β)
2
证明 由定理 2 的证明得 σm in =
B 由上式和 ( 8 ) 式相应可得 r = +
δ
C
C Cb2 β) - δ 2 (
(
b2 (β)
2
-
1
C
) .
根据定理 1 和 ( 6 )式 ,有
X =
1
δ
( AV
-1

F - BV μ) +
-1
1
δ
1 条件风险价值 CV aR 定义
设 f ( X, Y ) 是损失函数 , 其中 X ∈ R 为风险资产的投资比例 , Y ∈ R 为随机向量 , 代表能影响损失 的市场不确定性 . 当损失为负时 , 意味着有正的收益 . 设 Y 的概率密度为 p ( Y ) , 对任意给定的 X, 损失 f ( X, Y ) 的分布也随之确定 , 若其分布函数 Φ ( X, VaR )在任意一点都连续 ,则 Φ ( X, V aR ) = P{ Y | f ( X, Y ) ≤ V aR } =
X F =1 Xμ = r
T
-
T
( 1)
其中 , r是投资者给定的证券组合期望收益率 . 因为 Y 服从正态分布 ,根据 VaR 的定义 ,由文 [ 1 ]可知 V aRβ ( X ) = - μ( X ) + b1 (β)σ ( X ) 其中
b1 (β) = 2 erf
-1
-
(2 β - 1) =Φ
W = 2・ C
ln
δ
・
1
π ( 1 - β) 2
1
C
证明 根据 ( 5 )式 ,可得
-
r =
B + C
δ
C
(σ -
2
)
( 8)
6
-
安徽大学学报 (自然科学版 )
第 30 卷
又知当 r =
B 1 时 , 风险取得最小值 σ = . C C
σ≥1 / C
( 4 )式和 ( 8 )式 ,可得 m in b2 (β)σ 根据定理 1、
2
( CV μ - BV
-1
-1
F)
B + C
δ
2
C Cb (β) - δ b2 (β) -
(
b2 (β)
2 2
2
-
1
C
)
CV aRm in = b2σ - μ = b2 (β)
b2 (β) C b (β) - δ
2 2
-
B + C
δ
C C b2 β) - δ 2 (
(
1
C
)
证毕 .
参考文献 :
B + C
δ
C
(σ -
2
1
C
)
.
设 Q = b2 (β)σ -
B + C
δ
C
(σ -
2
1
C
) , 对 Q 求 σ的一阶导数
9Q 9 ( (β)σ = b σ σ 2 9 9 σ 因为
σ→1 / C
B + C
δ
C
(σ -
2
1
C
σ
) ) = b2 (β) -
δ
C C
σ2 - 1
δ
C
2
lim ( b2 (β) -
-1
(β)
( 2)
erf ( z) =
) 是标准正态分布的分布函数 . e d t,Φ (・ π∫
- t1
2
z
0
CV aRβ = E [ f ( X, Y ) | f ( X, Y ) ≥ V aRβ ( X ) ] =
- μ( X ) + b2 (β)σ ( X )
1 f ( X, Y ) p ( Y ) d Y = 1 -β f ( X, Y) ≥V aR ( X )
δ
C
, 它是模型 ( Ⅰ ) 或模型 ( Ⅱ ) 在置信水平
β% 下有解的必要条件 . 100 下面证明 b2 (β) > 对 Q 求 σ的二阶导数 δ 9Q 9 ( (β) = b2 σ2 σ2 9 9
1
C (σ 2 2
δ
C
β% 下有解的充分条件 . 是模型 ( Ⅰ)或模型 ( Ⅱ)在置信水平 100
2006 年 11 月 第 30 卷 第 6 期
安徽大学学报 (自然科学版 ) Journal of Anhui University Natural Science Edition
November 2006 Vol . 30 No. 6
风险资产组合均值 - CVaR 模型的算法分析
李 婷 ,张卫国
李 婷 ,等 : 风险资产组合均值 - CVaR 模型的算法分析
5
T 收益率的协方差阵 , X = ( x1 , x2 , …, xn ) 是在风险证券上的投资比例向量 ,且
F X = 1, F = ( 1, 1, …, 1 )
T
T
基于 CVaR 的证券组合优化模型 ( Ⅰ)为
m inCV aRβ ( X ) , s . t .
σ σ
1
C
) = - ∞, 因此 , 当 σ =
1
C
时 , ( 4 ) 式是无解的 .
δ
C C ) = 0, 可得
9Q 取 = 0, 即 b2 (β) σ 9
σ2 - 1
σ =
b2 (β) Cb (β) - δ
2 2
2
( 9)
2 从 ( 9 ) 式可以看出 , C b2 (β) - δ > 0, 即 b2 (β) >
ln
C
δ
C
.
ln
C
δ
・
1
π ( 1 - β) 2 证毕 .
δ
・
1
π ( 1 - β) 2