2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题
-2009年全国初中数学联赛试题(含参考答案)
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
绝对值化简-题库教师版
绝对值化简中考要求內容 基本要求 略咼要求较咼要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的 绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问例题精讲绝对值的几何意义： 一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离•数a 的绝对值记作a绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数： O 的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算 > 运算符号是“，求一个数的绝对值 > 就是根据性质去掉绝对值符号② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.⑷ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号•绝对值是5.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0 •那么这若干个非负数都必为0.例如：若 IalblCO ' WJ a 0 ∙ b 0 > c 0绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数 > 也不小于这个数的相反数 > 即 ⑵若Ia Ib •则a b 或a b ;(3)SbaI b ; b M (b 0);(4)Ia ∣2∣a 2∣a 2 ；(5)IIaIbll ≡b a ∣b,对于Ia b ∣ IaI Ib ，等号当且仅当a ・b 同号或a ・b 中至少有一个0时，等号成立;对于Ia blab •等号当且仅当a 、b 异号或a ・b 中至少有一个0时，等号成:⅛.板块一：绝对值代数意义及化简求字母a 的绝对值：a(a 0) 0(a 0) a(a 0)利用绝对值比较两个负有理数的大小： a(a 0) a(a 0) a(a 0)a(a 0)两个负数，绝对值大的反而小.【例1】(2级)(1)下列各组判断中，正确的是A•若Ia b >则一定有a b B .若I ab >则一定有a【巩固】已知X O 乙Xy O. y ∣Z ∣x ＞那么XZy 【例5] abcde 是一个五位自然数，其中a 、b ・c ・dy 为阿拉伯数码，且abed 侧ab Ib IC d ∣ Ide 的最大值是.【例6】已知yxbx20xb20,其中0b20,b ＜x ＜20.那么y 的最小值为 __________________________________________ 【例71【巩 设a, b, C 为整数，且ab Ca求C ，那么 Ca ∂a b Cb IbC 的值已知a1,b ∣ 2,C3■且 a b【例 (68】级）（1）（第10届希望杯2试）已知X1999.则4x 2 5x94 X 2 2x 23x7(2) （第12届希望 2试）满足(a b)2(b a) a bab ( ab0）有理数 a 、b.疋不满足的矢系疋（A ab 0 B. ab 0 C. a b 0 D a b 0（3）（第7届希望杯2试）已知有理数a ・b 的和a b 及差a b 在数轴上如图所示，化简2a b 2 a b 7 ._ 3∙4∙b ・ θ∙b ・-1 0 1这道題冃体现了一种重要的 先估算+后化简+再代入求值”的思想•（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉＞若 a > b 时，(a b)2 (ba) a b (a b)2 (a b)2 0込 若 a b 时，(a b)2 (b a) a b (a b)2 (b a)2 2(a b)2 ab ,从平方的非负性我们如道abθ，且 ab 0.所以 ab O.则答案A —定不满足 （3）由图可知Oab1, a b1C∙若a b ，则一疋有abD ・b ,则一定有a 22b⑵如果a 2 > b?,则A. a bB. a >C.D a V b（3）下列式子中正确的是 A. a 3 B ."（4｝对于m 1，下列结论正确A. m 1 >∣ m | B . m (5喏 X 21 WImI Cx2 0,求X 的取值范围.【例2】已知：⑴ a5, b2，且 a b ：(2)1 WImI 1• b 的值【例3】已知2x【巩固】 【例 4】 3 3 2x ，求X 的取值范围（4级）若ab 且ab,则下列说法正确的是（A. a 一定：是正数B.a —定是负数C. .b求出所有满足条件非鑿 b ab 1的非负整数对a ,b） 一定是正数D・b 一定是负数n 5 O •所有这样的整数组 m,n 共有【巩 固】如果有理数a 、b y 在数轴上的位老如图所示，求 IabblaClC 的值.ZXy两式相加可得： 2a O ' a O 进而可判断出b O ，此时2a b O ∙ b 7 O •所以 2a b 2a b 7(2a b) 2( a) (b 7)7・【巩固】（8级）（第9届希望杯若m 1998，则m 2 11m 999∏√ 22m 999 20【解 m 2 Ilm999 m(m 11)999 1998 1987 9990 >析】m 22m999 m(m 22)999 1998 1976 9990 >故(m 211m999) (m 2 22m999) 20 20000 .【补V充】 (8 级)若X 0.239,求 X 1x3Lx 1997∣ IX2LX 1996 的值.【解法1： V X 0.239 > 贝 U原式 (XI)(X 3)Li (x 1997)x(x 2) L (X 1996X 1 X 3 X 5L X 1997 xx2 LX 19961 (3 2) (5 4)L(1997 1996)1 1 L 1 999法2 :由 x<ab >可得X bX a b a * 贝 U原式,<x 1 x) (x3x2) L(x 1997X 1996)1 1 L 1 999点评：解法二的这种思维方法叫做构造法・这种方法对于显示题冃中的矢系，简化解题步骤有着重 要作用・5a 1 3a 的值是一个定值，就必须使得 4 5a0.且1 3a < 0， 1 4原式 2a 4 5a (1 3a) 3 ,即.w a < —原式的值永远为3.35【巩固】（8级）若x4x2x3Lx 2008的值为常数•试求X 的取值范围.【解析】要使式子的值为常数，X 得相消完，当1004<x< 1005时 > 满足题意・【例“】（2级）数a,b 在数轴匕对应的点如右图所示•试化简a b b a b a a ∣aOb【解析】abbabaa ∣【例9](40 级)设 AIXb因为ObVXV 20,所以A X 2b > X20∣ IX b 20 ,其中 0 X b > 0, X 20 < 0 ,) 20 •所以A 的最小值为b<x<20.试证明A 必有屐小值b 20 0.进而可以得到： 20【例 （8 ）若2a 10] 级〕5a I 3a 的值是一个定值，求a 的取值范圉•【解析】要想使2aa b b a b 2a b .【巩固】（2级）实数a, be 在数轴上的对应点如图 > 化简【解 析】由题意可如：J a 0, c b O. a b 0, a c 0 ,所以原式 2c a【巩固】 O （级）若b 且・ ,化简abab 0a bab■【解析】若ab 且*b, a 0,b0, a b O,ab 0aba baba b a bab ab2a【例12】（8级）（北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试）设a,b,c 为非零实数，且aaθ t ab ab , CCO 简b a b∣c b a c .【解析】a a 0 ・ a a , a < 0； ab ab , ab > 0 ； CC0, cc, c > 0所以可以得到a 0, bθ. cO ；b a b IC b IababCbaCb .【例13】（6级）如果0 m 10并且mV χ< 10 *化简IX m x 10 x m 10・【巩固】（6级）若a b >求b a 1 ab5的值・ 【解析】ba 1 ab5ba1ab5【巩固】（8级）（第7届希望杯2试）若aθ , ab 0，那么b 5等于【巩固】〈2级）化简：（1）3 x（2）χ ι×23 X X 32x3x2【解析】⑴原式；⑵原式1 2 w X 1x3x>32x 3 X > 1【解析】aθ, ab 0 ,可得：b 0 ■所以b a【巩固】（2级）已知Kx5，化简1 xx5【解析】因为Kx 5，所以1 xwθ,x5 0•原式ICbabaC【解析】XmX10 IX m 10 XmIO XmlO X 20 x.【例14】（8级）已知X 3,化简3 2 1 X.(AftftM【解析】当X 3时，3 2 1 X] 32 1X3【巩固】（8级）（第16届希望杯培训试题）已知IXlXl【解析】由x1 x1 2的几何意义 > 我们容易判断出4 ∣3 43x ∣1【例16】（8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知abed 25，求 b a ∣ ∣d c 的值【解析】因 a b w 9. c d < 16 •故 a bl ∣c d < 925 abed abdcwabd c w 25 •所以 a b x2x9. cd16∙故原式【例 (8级4)若XOHL 简•⑸IX 3 Ixl X 2χX 2x 3x【解析】X 3 X 3 X X3板块二：矢于O 的探讨应用a【例仃】（6级切已如a 是非零有理数，求【解析】那么a2 33 诺 aθ > a a 23a讣11 1那么a; a 2...a 3 r11113 X 3 3 X X X.所以 4 2x1]4∣2 1【巩固】 （8级）（四中）已知2a 4b4 4b 3 2a 3 a 2b2a 4b0,∙∙∙ 2a 4b(2 a 4 b) 2(a2b)..2a 4b (a 2b)22(a 2b) (a 2b)22 ~2b又∙ ∙ ∙ 2b4 a 2b(a 2b)4a2b 〒∙∙ ∙O鲁224b 3― a 34b 3 (2 a 3)2a 4b212a 4b a 2brs —μ2 4 J⅞χΛ a2b a 2bJ 3 a2b a2b点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子 X ,再去绝对值的符号.a t b,cd 是有理数.16 25,又因为5【巩固】（6级）当m3时，化简 【解析】m3，m3 Cb当m3,即m30时.当m3,即m30时，m3m3> 所以一_•1 m 3m 3 (m 3) 所以一」1 m 3【巩（2级）下列可能正确的是（)Aab1 BB b abcab£ A3 .a bC dDabed abed【解 选D.排除法比较好或特殊值法「「「1■【巩固】【解析】(6 级)如果 2ab0 JIJB1 H2 b 写I【例18】（10级）（2006年第二届••华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知 卫£农，且a be 都b C abc不等于0 ■求X 的所有可能值 【解析】4或0或4 【巩 （10级）（北京市迎春杯竞费试題）已知 a∙b,c 是非零整数，且a b固】 的值 因为a. be 是非零有理数，且abc 0 •所以a, b 1 C 中必有一正二负,则原式aA abc abc abc 0，求——C θ⅛c a bC I abC不妨设3【解析】1: Ial1 •重要结论一定要记得•【巩固】（2级）若aθ侧 ________________ ；若80•则Ua lb2a 1 b2 A. 0 B ・ Bb 的值是( a b 1 C ・ 3 ) D ・ 4 【解 ⑴C •特殊值法: 取 a 0.5, b 1.5代入计算即 析】 【例19】（8级）（2009年全国初中数学竞费黄冈市选拔费试题）若 A. 2B . 3 C ・ 4 DOa 1 >2002 2002 2002(AftftM【例 （8级）如果bcθ, abcθ ,贝 U —的值等于（）20】IaA. 1 B •C . 0D • 3200220022∞2【解 易知一 1b1 C1'所以原式1，故选择析】I-b∙ C（8级）a, b. c 为非零有理数，且a be Cb 则理里申的值等于多少？Ialb Ib C Iqa由abc 0可如a . b , c 里存在两正一负或者一正两负：空匹浬 a bb ICC 亘 a b ∣b c ∣c a a b Ib C IC a 若两正一负，那么a B b Ec 旦4 1 11 :Ial b IbI C 忖 aab ac be 的值.abc 0 , •••a ・b ・c 三个数都不为零 a ' b ・ C 三个数都是正数 > 则ab ^aC^bC 也都是正数 ,故原式值为；・ a ' b ・ C 中两正、一负 > 贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为；・ a ' b ・ C 中一正、两负，贝y ab acbc 中一正、两负• 故原式值为中三a b ⅝C 中三负*贝U ab 、 ac 、 bc 正 ' 故原式值为3 ■（6级J若 a , b , C 均不为零，求I Ibl C EC全为正数 > 则原式 一正两负 > 则全为负数，则原式1 ；3. 【例22]（6级）（第13届希望杯1试）如果2ab由2a bθ得b的值.【解 析]2a ，进而有B*b 2a2 Ia2T0 >则石1凶2 b0侧石'冋2 b（6级）若* .A h c ∩C 均不为零，且CaUUu>求专专；•根据条件可得a.C 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为【巩 固】【例23]（8级）已知abcabBC右a >b∙ c 两正一负，则原式若若若若1 2若•正两负，那么:专羔综上所得壬壬辽ab I bCCa【巩固】（8级）（第13届希望杯培训试题）如果abcθ. abcθ＞ abcθ＞求（占严（吕严（占严的值.囘 I b l I C l【解析】由abcθl abcθ. abcO,两两相加可得：a 0, b 0. c 0.所以原式结果为1 •若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c.求b 1等于多少？ 从总体出发：C a ）2008 「所以原式1111 .【巩 （8级）有理数a,b, C 均不为零，且abcθ,设X固】【例25】（8 级 ◎有理数a. be 均不为零，且a bcθ 设XIb a Cb a C＞则代数式a b200X 4X 2007的值为多少？【聲 由a b c 0易知a 1b, c 中必有「正两负或两正一负＞ 不妨设a0,b0, Co 或 a 0. b所以Xa b C 1或者X a b C仁所以x 1 ，所以原式2004a b a c a b b c a ca b0,c0当X 1时•原式2098所以X4或者X1.所以当）（1时，原式1902【例（8级）（“祖冲之初中数学邀请费试题）设实数a ,b ・c 满足ab C 0 •及 abc 0 C 八÷τ∙∙a b C XV a(l ±)b (丄 A) c(!1r \ ・ fir? Z zμ*⅛=⅛iV 3xy 的值为Ial Ibl ICl b Ca C ab【解 由 a b c 0 及 abc0.知实数a . b , c 中必有两个负数，一个正数 ＞从而有X 1 .■ K1 1 11 1 1 abc乂 y 3()b (-h rα C C(Ah )=abc3 •贝 U X 2y 3xy1 69 2・的值为多少？由abcθ易知a ,b, C 中必有一正两负或两正一负,,若 i 巩固】 （‘° 级）a b C abIaCL-X lab Cabac bc0，所以原式"…则代数式X 19 99x 2000b c a c a b不妨设 aθ, bθ. Co 或 aθ. bθ, CO（海口市竞费题）三个数B 小， 求 a ×3 bxcx 【解析】a , b , C 中必为• C 的积为负数，和为正数，且xa ： 1的值•负两正，不妨设a OJIJ b 0,c 0 ；［巩固］(8级)已知a 、b ・c 互不相等 > 求们b)(bC) ① C)(C a)(C 岬b)的值. (a b)(b C) (b C)(C a)(C a)(a b)【解析】由题意可得(a b)(b C)(C a) O 且(a b) (b C) (C a) 0,把a b. b c, c a 当成整体分类讨论：①两正一负，原式值为1;②两负一正•原式值为1・(8级)(第18届希望杯2试)若有理数 En 、P 满足1一2 1 ,求加叩的值m n P∣3mnp由匸£1可得：有理数m 5、p 中两正一负，所以mnp 0 >所以讪卩m n P ImnPl2mnp 2 mnp 2 3mnp3 mnp3・【巩固】(6级)已知有理数a, be 满足一,则舐(a b cIabCIA. 1 B ・1 C ・OD •不能确定【解析】提示：其中两个字母为正数 > 一个为负数，即abc 0(8级)有理数a . b , c . d 满足兰巴abed若含有1个负数，贝U ・ 【例271(6 幺 及)已知abθ.求旦 abb的值【解÷C1(谐 a,b 异号，则.ab b(2帘 a, b 都是正数，则 A a b b 2(3帘 a, b 都是负数，则旦 b2b【例26］【巩 固】,abed ,由abed1 知 abed 0 ,所以 a , b ,d 里含有1个负数或3个负数:【巩固】 (6级) 已知abθ.求1 *a •的值・b【解分类讨论:当aθ,b 0时•a b 1 1 0.ab< 4 ta当a 0 ,b0时•1■ Il! a ∣ ∣b 1 12a b综上所述,1a b I的值为20 t 2当 a O. b 当 aθ.b1 a 0时» a1 11 B 0时，a b1(1)2 b1 1b1 ( 11Ωb(AftftM【例（6级切若a,b,c 均为非零的有理数'a b C 的值 — 28】 （1）当a ，b C 都是正数时，原式a b C b £3 【解析】 ⑵当a, b, C 都是负数时，原式' a b c 3⑶当a ，b, c 有两个正数一个负数时， 原式 1 （4）当a ，b, c 有两个负数一个正数时， 原式 1（6级）（第16届希望杯培训试题）若abcO,求abc 的值.冋坷ICl 由abcθ可得，a ・b ・c 中有3个负数或1个负数>［巩 当sb 、C 中有3个负数时，原式11 （1） 1 ; 当a 、b 中有1个是负数时，原式1 1 1 1;当C 是负数时，原式 Il （I ） 3・ 板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】（4级）（2005年云南省中考试題）阅读下列材料并解决相笑问題:xxθ我们知道X 0x0 •现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式•如化简代数式x1 X2时，可令x1 0和x2 0,分别求得×1,x2 （称4,2分别为x 1与x 1和x 2可将全 零点值），在有理数范围内'零点值X 情况：体有理数分成不重复且不易遗漏的如下■⑴当X 1时•原式Xl X2 2x1⑵当1 <x2时，原式 （3）当 x> 2 时，原式 X 1 X 2 2x 12x 1 X 1综上讨论，原式 3 1< x22x 1 X > 2通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1吩别求出X 2和X 4的零点值 ⑵化简代数式x2x42x2x2所以综上讨论 ' 原式6 2 Wx4 【解析】 （1另别令x2 0和X 4 0，分别求得X 2和x4>所以X 2和X 4的零点值分别为X2 和x4 ⑵当X 2时，原式x2 X4 X 2 X 4 2x 2 ； 当2Wx 4时，原式x2 x4 6 ；当x>4时，原式X 2 X 4 2x 2。
湖北省黄冈市2009年九年级数学初中毕业生升学考试试题人教版
黄冈市2009年初中毕业生升学考试数 学 试 题（考试时间120分钟 满分120分）_______________________________________________________________________________ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卷上，并将某某号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案号涂黑。
如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3．非选择题用黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上。
答在试题卷上无效。
4．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卷一并收回。
一、选择题（A ，B ，C ，D 四个答案中，有且只有一个是正确的，每小题3分，满分18分）1．8的立方根为（ ）A ．2B ．±2C ．4D ．±42．下列运算正确的是（ ）A ．336a a a +=B ．2()2a b a b +=+C ．22()ab ab --=D ．624a a a ÷=3．如图，△ABC 与△A`B`C`关于直线l 对称，且∠A =78°，∠C`=48°，则∠B 的度数为（ ）A ．48°B ．54°C ．74°D ．78°4．化简24()22a a a a a a ---+的结果是（ ）A ．－4B ．4C ．2aD ．－2a5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟二、填空题（每空3分，满分36分）7．13-=___________；0(5)-=___________；14-的相反数是____________． 8．计算：tan 60°=________；3213()9x x -=________；24(2)a --=________． 9．分解因式：3654a a -=________;66°角的余角是_________；当x =________时，二次根式4x -有意义．10．已知点(3,3)-是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是____________________________．11．在△A BC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．12．矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．三、解答题（共8道大题，满分66分）13．（满分5分）解不等式组3(2)8,1.23x x x x ++⎧⎪-⎨⎪⎩＜≤14．（满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF =CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．15．（满分7分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G．求证：2BC BG BF16．（满分6分）某商场在今年“六·一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．17．（满分7分）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位：秒）：一二三四五六七八九十编号类型甲种电子钟 1 －3 －4 4 2 －2 2 －1 －1 2乙种电子钟 4 －3 －1 2 －2 1 －2 2 －2 1 （1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？18．（满分10分）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？19．（满分11分）新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y （万元）与销售时间第x （月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA 、曲线AB 和曲线BC ，其中曲线AB 为抛物线的一部分，点A 为该抛物线的顶点，曲线BC 为另一抛物线252051230y x x =-+-的一部分，且点A ，B ，C 的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y （万元）与时间第x （月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x 个月所获得S （万元）与时间x （月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？20．(满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒)(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程．黄冈市2009年初中毕业升学考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题1～6：ADBACB二、填空题7.11;1;34 8.813;;163x a -- 9.6(3)(3);a a a +-≤4 10.3y x=-0°或20°π（11题答对一种情形得2分）三、解答题13.解：由①得368x x +<+，即22x <，∴1x <…………2′由②得322x x -≤∴2x -≤……………4′∴不等式的解集为2x -≤………………5′14.证明：∵∠ACB=90°，AE=EB ，∴CB=AE=EB ，又∵AF=CE ，∴AF=CE=AE=EB ，又E D ⊥BC ，ED=EC ，∴∠1=∠2，………3′又∠2=∠3由AE=AF ，∠1=∠F ，C E ∥AF ，∴四边形ACEF 是平行四边形……………6′15.证明：∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，又C D ⊥AB 于D ，∴∠BCD =∠A ，又∠A =∠F ，∴∠F =∠BCD =∠BCG ，在△BCG 和△BFC 中，BCG F GBC CBF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△BCG ∽△BF C …………6′ ∴BC BG BF BC= 即2BC BG BF =…………7′16.解：画出如图的树状图……3′6=2+4=3+3=4+2，8=4+4∴小彦中奖的概率311444P +==⨯。
新人教版初一数学尖子班提高试题汇编
第一讲有理数之基础过关无理数：无限不循环小数有理数：1．除了无限不循环小数以外其他所有的数。
2．能够表示成分数m n(0n ≠，m 、n 均为整数且互质)形式的数。
有理数——整数和分数统称为有理数⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数正分数分数有限小数和无限循环小数负分数 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数数轴: 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数。
注意：求一个数或式子的相反数，只要在数和式子的前面加负号。
绝对值：点到原点距离。
注意：正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
倒数： 乘积为1的两个数互为倒数。
负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。
【例1】某公车原先有 22人，经过 4个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：(+4，-8)，(-5，+6)，(-3，+2)，(+1，-7)，则①“+4”、“-5”分别表示什么意义？②这4个站点总共新上了多少人？③经过 4个站点后，车上还有多少人？【例2】-a 的相反数为 5，b 的倒数是c ，c 的负倒数是2，d 在数轴的左边且与原点的距离为3，求32()a b d c ---的值。
【例3】已知a ，b 互为相反数，x 的绝对值为2，c 、d 互为倒数，试求219971998()()()x a b cd x a b cd ++++++-的值。
【例4】若有 x ，y 满足22002(1)1210x x y -+-+=，则22x y +的值为多少？【例5】式子212x ++的最小值是 ，这时x = 。
【例6】已知()22560x y y +++-=，则22315y xy x x -++= 。
【例7】改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。
将300670亿元用科学记数法表示应为元，保留两个有效数字结果为元，精确到万亿元结果为元。
黄冈市初中数学竞赛试题真题及答案
全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形第三个千米)、∠ACB=90°、的位置，使它到四个工厂的距离和HA+HB+HC+HD为12．我们用字母来表示工序：S －抛光；P －喷涂保护层；A －组装；N －贴厂名标签． 按工艺流程的要求，S 、P 、N 三个工序，只能有顺序S→P→N，而A 可以在这三者前后的任意位置上，于是就得到所有可能的生产流程：A→S→P→NS→A→P→NS→P→A→NS→P→N→A计算各流程所用时间，得出最优流程．元，如果他多工、b、p、q表示中，至少有两个方程有两个不相等的实数根．12．(15分)有麦田5块，如图中的每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这打场．问建在哪块麦田上(湖北省黄冈市初中数学竞赛答案考查A点方案，BA的麦量为15，超过了总麦量然没有设在B点好，因为从B点运到A点的运输量是去AB线段以外，其他线段上的运输方向和运输量都不变的话，那么从输量就是(3+7) a=(M-15)a，因15超过了不变时，只改变A、B两点的运向，就已经优于设在量改到B点，还可能有更短的运输路线，因此，设在，则代数式的值等于而不超过40g付邮100g以内)．如果的最小值是 ( )14．(14分)如图所示，在平面直角坐标系中，以为圆心的OP与x轴交于B两点，与y轴交于(1)若点E在AB城去沿途可能经过的城市的示意图，通过两，若这几个人租用一辆小汽车出行，千米需要的费用为1．2元．要有推理过程)，并求出所需最少湖北省黄冈市初中数学竞赛15．最短线路的走法为A→C2→O2→E1→B．应采取“倒过来求’前一点的最短路线，可从E1→B或E2→B，在→E1或O2→E1，应选10，即O2→El，此时，可从O2与A→C2→O2的时间和，在14+13=27和15+11=26为A→C2→O2→E1→B最少时间为(15+11+10+12)=48(80=4608(元)．湖北省黄冈市初中数学竞赛试题销售件数比一月份增加80％．那的中点的距离为．+(6-a)x+7-b=O．有两的根为正数?13．(10分)已知：如图，OC的延长线交⊙O于点14．(11分)如图，四边形过点B，N为BC边上任意一点交DC边于点M，设15．(13分)为进一步丰富市民的文化生活，某市文化局计划把该市“长虹造．把原来的1000个座位改为现在的从第二排起后排都比前一排多一个座位，黄冈市语数外三科联赛预选赛数学试题一、选择题(每题6分，共3 O分)1．如图，一个立方体的六面上标着连续的整数，若相对两个面上所标之数的和相等?则这六个数的和为 ( )A．75 B．76 C．78 D．812．小李在一个水果店买了3千克苹果．单价为a元／千克．又另一家套．乙种设备至少买两套．则不同的，则称这个数为．从小到大的第五个“近13．下表显示了去年夏天钓鱼比赛的部分结果。
历年初中希望杯数学竞赛试题大全
历年初中希望杯数学竞赛试题大全 ][真诚为您服务试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第2· 2009年第20届“次· 161· [4-30]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题届“希望杯”全国数学邀请赛初一第年第· 200920 次· 153· [4-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛数学大赛初赛试卷（扫描版）届5“希望杯”年湖北省黄冈市第· 2009 · 76次· [4-17]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1· 2009年第20届“希望杯次· 133· [4-7]对不起，尚无简介☆]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第1届“希望杯”20· 2009年第· 122次· [4-7]详细简介请参考下载页★]· [竞赛全国数学邀请赛初二训练题”第十四届“希望杯·次· 44· [9-9]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初一第19· 2008年第届次· 203· [9-4]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“19· 2008年第届希望杯全国数学邀请赛初一第试试题次· 169· [9-4]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第219年第届“希望杯”· 2008 次· 156· [9-2]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 2008年第19届· 146次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第18· 2007年第· 101次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“18· 2007年第届希望杯次· 95· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题”全国数学邀请赛初二第2· 2006年第17届“希望杯次· 76· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2006年第17 · 76次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第2希望杯· 2005年第16届“”次· 65· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题全国数学邀请赛初二第届· 2005年第16“希望杯”次· 52· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题全国数学邀请赛初二第希望杯”2· 2004年第15届“次· 47· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第115届“希望杯”年第· 2004 次· 38· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2003年第14“次· 30· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题希望杯届“”全国数学邀请赛初二第年第· 200314 · 26次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初二第希望杯届年第· 200213“”· 31次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第1”年第13届“希望杯· 2002 次· 23· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第· 2001年第12届· 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第112年第届“希望杯”· 2001 · 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题2“届希望杯”全国数学邀请赛初二第11· 2000年第次· 15· [9-1]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1“· 2000年第11届希望杯次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第210届“希望杯”· 1999年第次· 13· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题1希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1999年第10届“次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第9· 1998年第届次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“9· 1998年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第28年第届“希望杯”· 1997 次· 13· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 1997年第8届· 10次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第7· 1996年第· 11次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“7· 1996年第届希望杯次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初二第2· 1995年第6届“次· 14· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第16届“希望杯”· 1995年第次· 14· [8-29]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第5· 1994年第届“次· 12· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“届希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1994年第5 · 12次· [8-29]（每一、选择题 :年第五届希望杯全国数学邀请赛1994 初中二年级第一试试题 [] Ax 1.303小题分，共分）使等式成立的的值是．是]· [竞赛试试题初二第2”年第4届“希望杯全国数学邀请赛· 1993 次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第14届“希望杯”· 1993年第次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题2希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1992年第3届“次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第3· 1992年第届次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2”“2· 1991年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题· 14次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1年第· 19912届“希望杯次· 12· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第21届“希望杯”· 1990年第· 13次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1希望杯· 1990年第1届“次· 11· [8-28]分，（每题1 ”全国数学邀请赛初二第一试一、选择题:“1990年第一届希望杯() 倍，那么这个角是 1．一个角等于它的余角的5分）共10]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初一第希望杯届年第· 200718“”· 94次· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第118届“希望杯”· 2007年第次· 42· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初一第2· 2006年第17届“次· 41· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题1希望杯”全国数学邀请赛初一第“· 2006年第17届次· 43· [8-28]试第1全国数学邀请赛初一希望杯年第十七届2006“”……中考资源网，竞赛试题任你选！更多数学竞赛试题请点击。
2009年全国初中数学竞赛江西赛区预赛试题及答案
2009年全国初中数学江西赛区预赛试题（九年级）（2009年3月22日上午9：30~11：30）喻老师整理一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分）1、已知非零实数a 、b 满足|2a －4|+|b+2|+(a-3)b 2 +4=2a ，则a+b 等于（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、22、如图所示，菱形ABCD 边长为a ，点O 在对角线AC 上一点，且OA=a ，OB=OC=OD=1,则a 等于（ ）A 、5+12B 、5-12C 、1D 、2 3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2y 2x 3by ax 只有正数解的概率为（ ） A 、112 B 、29 C 、518 D 、13364、如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A 、10B 、16C 、18D 、325、关于x 、y 的方程x 2+xy+y 2=29的整数解（x 、y ）的组数为（ ）A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。
如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 ；7、已知线段AB 的中点为C ，以点C 为圆心，AB 长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD=AC ；再以点D 为圆心，DA 的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F 、G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为 ；8、已知a 1，a 2、a 3、a 4、a 5满足条件a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=9的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程（x －a 1）（x －a 2）（x －a 3）（x －a 4）（x －a 5）=2009的整数根，则b 的值为 ；9、如图所示，在△ABC 中，CD 是高，CE 为∠ACB 的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE 的长等于10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ；三、解答题（共4小题，每题20分，共80分）11、函数y=x 2+（2k －1）x+k 2的图像与x 轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k 的取值范围？12、在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x－90）2－4907的图像上的所有“好点”的坐标.13、如图，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？14、n个正整数a1，a2，……a n满足如下条件：1=a1＜a2＜a3＜……＜a n=2009，且a1，a2，……a n中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n的最大值。
绝对值化简-题库教师版
内容 基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果假设干个非负数的和为0，那么这假设干个非负数都必为0.例如：假设0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：〔1〕任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； 〔2〕假设a b =，则a b =或a b =-； 〔3〕ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； 〔4〕222||||a a a ==；〔5〕a b a b a b -≤+≤+，对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．中考要求例题精讲绝 对 值 化 简板块一：绝对值代数意义及化简【例1】 〔2级〕⑴ 以下各组判断中，正确的选项是( )A ．假设a b =，则一定有a b =B ．假设a b >，则一定有a b >C. 假设a b >，则一定有a b > D ．假设a b =，则一定有()22a b =-⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b⑶ 以下式子中正确的选项是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-⑷ 对于1m -，以下结论正确的选项是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸假设220x x -+-=，求x 的取值范围．【例2】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【例3】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围【巩固】 〔4级〕假设a b >且a b <，则以下说法正确的选项是〔 〕A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例4】 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，求11a b b a c c +------的值.【巩固】 已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【例5】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【例6】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【例7】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【巩固】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-= 【例8】 〔6级〕〔1〕〔第10届希望杯2试〕已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．〔2〕〔第12届希望杯2试〕满足2()()a b b a a b ab -+--=〔0ab ≠〕有理数a 、b ，一定不满足的关系是〔 〕A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +< 〔3〕〔第7届希望杯2试〕已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如下图，化简227a b a b +---．a-ba+b这道题目表达了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． 〔2〕为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，假设a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 假设a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． 〔3〕由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【巩固】 〔8级〕〔第9届希望杯1试〕假设1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->， 222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【补充】〔8级〕假设0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++- 135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++- 111999=+++= 法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则 原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++--- 111999=+++=点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例9】 〔10级〕设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值 【解析】 因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-【例10】 〔8级〕假设24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【巩固】 〔8级〕假设1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．【解析】 要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意．【例11】 〔2级〕数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．【巩固】 〔2级〕实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【解析】 由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-【巩固】 〔2级〕假设a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【解析】 假设a b <-且0ab>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>2a b a b ab a b a b ab ab a -+++=-+--+=-【例12】 〔8级〕(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【例13】 〔6级〕如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--. 【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-.【巩固】 〔2级〕化简：⑴3x -； ⑵12x x +++【解析】 ⑴原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥【巩固】 〔6级〕假设a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.【巩固】 〔8级〕〔第7届希望杯2试〕假设0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-．【巩固】 〔2级〕已知15x <≤，化简15x x -+-【解析】 因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-=【例14】 〔8级〕已知3x <-，化简321x +-+.【解析】 当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-.【巩固】 〔8级〕〔第16届希望杯培训试题〕已知112x x ++-=，化简421x -+-． 【解析】 由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．【例15】 〔8级〕假设0x <，化简23x x x x---．【解析】 223333x x x x xx x xx x----===----+．【巩固】 〔8级〕〔四中〕已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++--∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例16】 〔8级〕〔第14届希望杯邀请赛试题〕已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值【解析】 因916a b c d --≤，≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为 ()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-板块二：关于a a的探讨应用【例17】 〔6级〕已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 假设0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；假设0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例18】 〔10级〕〔2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题〕已知a b c abc x abcabc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【解析】 4或0或4-【巩固】 〔10级〕〔北京市迎春杯竞赛试题〕已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=--【巩固】 〔2级〕假设0a >，则_____aa =；假设0a <，则_____a a=. 【解析】 1；1-.重要结论一定要记得.【巩固】 〔6级〕当3m ≠-时，化简33m m ++【解析】 3m ≠-，30m +≠，当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以313m m +=+；当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以313m m +=-+.【例19】 〔8级〕〔2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题〕假设01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是〔 〕 A ．0 B ．1- C ．3- D ．4- 【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可．【巩固】 〔2级〕以下可能正确的选项是〔 〕A ．1a b a b +=B ．2a b ca b c++=C ．3c d a b a b c d +++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd+++++++= 【解析】 选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-．【巩固】 〔6级〕如果20a b +=，则12a ab b-+-等于〔 〕 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 B【例20】 〔8级〕如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于〔 〕A ．1B ．1-C ．0D ．3 【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例21】 〔8级〕已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值． 【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．假设a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3． 假设a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 假设a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 假设 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．【巩固】 〔6级〕假设a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c++. 【解析】 假设a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；假设a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；假设a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；假设a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.【例22】 〔6级〕〔第13届希望杯1试〕如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a a b a a a ===⋅--⋅，122a a ab a a==-⋅- 假设0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 假设0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【巩固】 〔6级〕假设a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b ca b c++. 【解析】 根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1-【例23】 〔8级〕a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c aa b b c c a ++的值等于多少？ 【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 假设两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 假设一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a ⋅+⋅+⋅=--=-． 综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【巩固】 〔10级〕〔海口市竞赛题〕三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【巩固】 (8级)〔第13届希望杯培训试题〕如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值．【解析】 由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果为1．假设将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？ 从总体出发：2008()1a a=，所以原式1111=-+=．【例24】 〔8级〕〔“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题〕设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，假设||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b =+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______． 【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b c a b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例25】 〔8级〕有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【巩固】 〔8级〕有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【巩固】 〔8级〕已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例26】 〔8级〕〔第18届希望杯2试〕假设有理数m 、n 、p 满足1m n p mnp++=，求23mnpmnp的值． 【解析】 由1m n p m n p++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-，222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【巩固】 〔6级〕已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=〔 〕 A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc <【巩固】 〔8级〕有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd=-，求a b c d a b c d+++的值．【解析】由1abcd abcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数：假设含有1个负数，则2a b c d a b c d+++=；假设含有3个负数，则2a b c d a b c d +++=-．【例27】 〔6级〕已知0ab ≠，求a bab+的值 【解析】 ⑴假设a b ，异号，则0a bab += ⑵假设a b ，都是正数，则2a ba b += ⑶假设a b ，都是负数，则2a ba b+=-【巩固】 〔6级〕已知0ab ≠，求a b a b--的值．【解析】 分类讨论：当0a >，0b >时，110a b a b --=-=．当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=． 当0a <，0b >时，112a b a b--=--=-．当0a <，0b <时，1(1)0a b ab--=---=．综上所述，a b a b --的值为2-，0，2．【例28】 〔6级〕假设a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值 【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++=⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=-⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=-⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-【巩固】 〔6级〕〔第16届希望杯培训试题〕假设0abc <，求a b c a b c+-的值． 【解析】 由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-；当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-；当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．板块三：零点分段讨论法〔中考高端，可选讲〕【例29】 〔4级〕〔2005年云南省中考试题〕阅读以下材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，〔称12-，分别为1x +与2x -的零点值〕，在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决以下的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥【例30】 〔6级〕求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥．当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+；当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+；当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例31】 〔4级〕化简：212x x ---【解析】 由题意可知：零点为102x x ==， 当12x <时，原式1x =-- 当122x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+【巩固】 〔4级〕(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-．【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+； 当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-； 当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【巩固】 〔6级〕(北京市中考模拟题)化简：121x x --++.【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=；⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【例32】 〔6级〕〔选讲〕〔北京市中考题〕已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5；当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【巩固】 〔8级〕〔第10届希望杯2试〕已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ．【解析】 〔法1〕：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论〔先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性〕 〔1〕当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时到达最大值5；〔2〕当23a <≤时，231a a -+-=〔3〕当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，到达最大值3综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5〔法2〕：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当0a =时到达最大值5．【巩固】 〔6级〕如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-【巩固】 〔6级〕〔2001年大同市中考题〕已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值． 【解析】 法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，79x =时两者的距离 差最小为329-，即()min 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即max (13)4x x --+=． 法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．练习 1． 〔2级〕假设ab ab <，则以下结论正确的选项是( )A. 00a b <<，B. 00a b ><，C. 00a b <>，D. 0ab <【解析】 答案BC 不完善，选择D ．练习 2． 〔2级〕(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，求a b a c b c ++--+的值.【解析】 原式()()()0a b a c b c =-++-++=练习 3． 〔6级〕已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值.【解析】 由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<； 原式0x z y z x y =+---+=.练习 4． 〔8级〕〔第13届希望杯培训试题〕假设200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】 因为200122002x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=． 练习 5． 〔6级〕〔2006年七台河市中考题〕设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，则20x =时，y 有最小值为20.练习 6． 〔4级〕假设0a <，化简a a --.【解析】 22a a a a a a --=+==-.练习 7． 〔6级〕假设0a <，试化简233a aa a --．课后练习【解析】 2323553443a a a a a a a a a a-+===-----． 练习 8． 〔6级〕假设245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？【解析】要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，即1435x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=.练习 9． 〔8级〕〔第6届希望杯2试〕 a 、b 、c 的大小关系如下图，求a b b c c a ab ac a b b c c a ab ac-----++----的值．【解析】 从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <， 所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．练习 10． 〔8级〕假设0a b c ++=，0abc >，则b c c a a b a b c+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴1b c c a a b a b c a b c a b c +++---++=++=． 练习 11． 〔6级〕求15y x x =--+的最大值和最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得答案；法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论： 当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=； 当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．练习 12． 〔6级〕〔第2届希望杯2试〕如果12x <<，求代数式2121x x xx x x---+--的值． 【解析】 当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x x x x x--=++=-++=--．。
黄冈市初中数学竞赛试题真题及答案
全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形第三个千米)、∠ACB=90°、的位置，使它到四个工厂的距离和HA+HB+HC+HD为12．我们用字母来表示工序：S －抛光；P －喷涂保护层；A －组装；N －贴厂名标签． 按工艺流程的要求，S 、P 、N 三个工序，只能有顺序S→P→N，而A 可以在这三者前后的任意位置上，于是就得到所有可能的生产流程：A→S→P→NS→A→P→NS→P→A→NS→P→N→A计算各流程所用时间，得出最优流程．元，如果他多工、b、p、q表示中，至少有两个方程有两个不相等的实数根．12．(15分)有麦田5块，如图中的每相邻两块麦田的距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这打场．问建在哪块麦田上(湖北省黄冈市初中数学竞赛答案考查A点方案，BA的麦量为15，超过了总麦量然没有设在B点好，因为从B点运到A点的运输量是去AB线段以外，其他线段上的运输方向和运输量都不变的话，那么从输量就是(3+7) a=(M-15)a，因15超过了不变时，只改变A、B两点的运向，就已经优于设在量改到B点，还可能有更短的运输路线，因此，设在，则代数式的值等于而不超过40g付邮100g以内)．如果的最小值是 ( )14．(14分)如图所示，在平面直角坐标系中，以为圆心的OP与x轴交于B两点，与y轴交于(1)若点E在AB城去沿途可能经过的城市的示意图，通过两，若这几个人租用一辆小汽车出行，千米需要的费用为1．2元．要有推理过程)，并求出所需最少湖北省黄冈市初中数学竞赛15．最短线路的走法为A→C2→O2→E1→B．应采取“倒过来求’前一点的最短路线，可从E1→B或E2→B，在→E1或O2→E1，应选10，即O2→El，此时，可从O2与A→C2→O2的时间和，在14+13=27和15+11=26为A→C2→O2→E1→B最少时间为(15+11+10+12)=48(80=4608(元)．湖北省黄冈市初中数学竞赛试题销售件数比一月份增加80％．那的中点的距离为．+(6-a)x+7-b=O．有两的根为正数?13．(10分)已知：如图，OC的延长线交⊙O于点14．(11分)如图，四边形过点B，N为BC边上任意一点交DC边于点M，设15．(13分)为进一步丰富市民的文化生活，某市文化局计划把该市“长虹造．把原来的1000个座位改为现在的从第二排起后排都比前一排多一个座位，黄冈市语数外三科联赛预选赛数学试题一、选择题(每题6分，共3 O分)1．如图，一个立方体的六面上标着连续的整数，若相对两个面上所标之数的和相等?则这六个数的和为 ( )A．75 B．76 C．78 D．812．小李在一个水果店买了3千克苹果．单价为a元／千克．又另一家套．乙种设备至少买两套．则不同的，则称这个数为．从小到大的第五个“近13．下表显示了去年夏天钓鱼比赛的部分结果。
绝对值化简(哈佛达教师版)
内容基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+，中考要求例题精讲绝 对 值 化 简对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．板块一：绝对值代数意义及化简【例1】 （2级）⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A ．若a b =，则一定有a b =B ．若a b >，则一定有a b >C. 若a b >，则一定有a b > D ．若a b =，则一定有()22a b =-⑵ 如果2a ＞2b ，则 ( ) A ．a b > B ．a ＞b C ．a b < D a ＜b⑶ 下列式子中正确的是 ( ) A ．a a >- B ．a a <- C ．a a ≤- D ．a a ≥-⑷ 对于1m -，下列结论正确的是 ( ) A ．1||m m -≥ B ．1||m m -≤ C ．1||1m m --≥ D ．1||1m m --≤ ⑸若220x x -+-=，求x 的取值范围．【例2】 已知：⑴52a b ==，，且a b <；⑵()2120a b ++-=，分别求a b ，的值 【例3】 已知2332x x -=-，求x 的取值范围【巩固】 （4级）若a b >且a b <，则下列说法正确的是（ ）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数【例4】 求出所有满足条件1a b ab -+=的非负整数对()a b ，【巩固】 非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组()m n ，共有如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【巩固】 已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--= 【例5】 abcde 是一个五位自然数，其中a 、b 、c 、d 、e 为阿拉伯数码，且a b c d <<<，则a b b c c d d e -+-+-+-的最大值是 ． 【例6】 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中02020b b x <<，≤≤，那么y 的最小值为 【例7】 设a b c ，，为整数，且1a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值 【巩固】 已知123a b c ===，，，且a b c >>，那么a b c +-=【例8】 （6级）（1）（第10届希望杯2试）已知1999x =，则2245942237x x x x x -+-++++= ．（2）（第12届希望杯2试）满足2()()a b b a a b ab -+--=（0ab ≠）有理数a 、b ，一定不满足的关系是（ ）A ． 0ab <B ． 0ab >C ． 0a b +>D ． 0a b +<（3）（第7届希望杯2试）已知有理数a 、b 的和a b +及差a b -在数轴上如图所示，化简227a b a b +---．a-ba+b这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想． （2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉， 若a b ≥时，222()()()()0a b b a a b a b a b ab -+--=---=≠， 若a b <时，2222()()()()2()a b b a a b a b b a a b ab -+--=-+-=-=，从平方的非负性我们知道0ab ≥，且0ab ≠，所以0ab >，则答案A 一定不满足． （3）由图可知01a b <-<，1a b +<-，两式相加可得：20a <，0a <进而可判断出0b <，此时20a b +<，70b -<， 所以227a b a b +---(2)2()(7)7a b a b =-+--+-=-．【巩固】 （8级）（第9届希望杯1试）若1998m =-，则22119992299920m m m m +--+++= ．【解析】 211999(11)999199819879990m m m m +-=+-=⨯->，222999(22)999199819769990m m m m ++=+-=⨯+>，故22(11999)(22999)2020000m m m m +--+++=．【补充】（8级）若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++-------的值．【解析】 法1：∵0.239x =-，则原式(1)(3)(1997)(2)(1996)x x x x x x =-------+++++- 135199721996x x x x x x x =-+-+-+--+++-++-1(32)(54)(19971996)=+-+-++- 111999=+++=法2：由x a b <≤，可得x b x a b a ---=-，则原式(1)(32)(19971996)x x x x x x =--+---++---111999=+++=点评：解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重 要作用．【例9】 （10级）设2020A x b x x b =-+----，其中020b x <≤≤，试证明A 必有最小值 【解析】 因为020b x <≤≤，所以0200200x b x x b ----<≥，≤，，进而可以得到： 2220A x b x x x =--=--≥≥，所以A 的最小值为20-【例10】 （8级）若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【解析】 要想使24513a a a +-+-的值是一个定值，就必须使得450a -≥，且130a -≤，原式245(13)3a a a =+---=，即1435a ≤≤时，原式的值永远为3.【巩固】 （8级）若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围． 【解析】 要使式子的值为常数，x 得相消完，当10041005x ≤≤时，满足题意．【例11】 （2级）数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，试化简a b b a b a a ++-+--【解析】 ()()()2a b b a b a a a b b a b a b ++-+--=-++-+--=．【巩固】 （2级）实数a b c ，，在数轴上的对应点如图，化简a c b a b a c +--++-【解析】 由题意可知：0000a c b a b a c <->+<-<，，，，所以原式2c a =-【巩固】 （2级）若a b <-且0ab>，化简a b a b ab -+++.【解析】 若a b <-且0ab>，0,0a b <<，0,0a b ab +<>2a b a b ab a b a b ab ab a -+++=-+--+=-【例12】 （8级）(北大附中2005-2006学年度第一学期期中考试)设,,a b c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-．【解析】 0a a +=，a a =-，0a ≤；ab ab =，0ab ≥；0c c -=，c c =，0c ≥所以可以得到0a <，0b <，0c >；()()()b a b c b a c b a b c b a c b -+--+-=-++----=．【例13】 （6级）如果010m <<并且10m x ≤≤，化简1010x m x x m -+-+--. 【解析】 1010101020x m x x m x m x m x x -+-+--=-+-++-=-.【巩固】 （2级）化简：⑴3x -； ⑵12x x +++【解析】 ⑴原式()()3333x x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩≥；⑵原式()()()232121231x x x x x --<-⎧⎪=-<-⎨⎪+-⎩≤≥【巩固】 （6级）若a b <，求15b a a b -+---的值. 【解析】 15154b a a b b a a b -+---=-++--=-.【巩固】 （8级）（第7届希望杯2试）若0a <，0ab <，那么15b a a b -+---等于 ．【解析】 0a <，0ab <，可得：0b >，所以0b a ->，0a b -<，15154b a a b b a a b -+---=-++--=-．【巩固】 （2级）已知15x <≤，化简15x x -+-【解析】 因为15x <≤，所以1050x x --<≤，，原式154x x =-+-=【例14】 （8级）已知3x <-，化简321x +-+.【解析】 当3x <-时，3213213333x x x x x x +-+=+++=++=--=-=-.【巩固】 （8级）（第16届希望杯培训试题）已知112x x ++-=，化简421x -+-． 【解析】 由112x x ++-=的几何意义，我们容易判断出11x -≤≤．所以421x -+-421434311x x x x x =-+-=--=-+=+=+．【例15】 （8级）若0x <，化简23x x x x---．【解析】 223333x x x x xx x xx x----===----+．【巩固】 （8级）（四中）已知a a =-，0b <，化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--． 【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴22242(2)2(2)(2)2a ba b a b a b a b+-+-==+++又∵20a b +<，∴4442(2)2a b a b a b-=-=+-++ 又∵230a -<，∴2222143(23)242424323b a a b a b a b b a -=-=-==++-++++--∴原式24132222a b a b a b a b=-++=++++ 点评：详细的过程要先判断被绝对值的式子x ，再去绝对值的符号．、【例16】 （8级）（第14届希望杯邀请赛试题）已知a b c d ，，，是有理数，916a b c d --≤，≤，且25a b c d --+=，求b a d c ---的值【解析】 因916a b c d --≤，≤，故91625a b c d -+-+=≤，又因为()()2525a b c d a b d c a b d c =--+=-+--+-≤≤，所以916a b c d -=-=，，故原式7=-板块二：关于a a的探讨应用【例17】 （6级）已知a 是非零有理数，求2323a a a a a a++的值.【解析】 若0a >，那么23231113a a a a a a ++=++=；若0a <，那么23231111a a a a a a++=-+-=-.【例18】 （10级）（2006年第二届“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）已知a b c abc x a b c abc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值 【解析】 4或0或4-【巩固】 （10级）（北京市迎春杯竞赛试题）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc+++的值【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，所以a b c ，，中必有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abca b c abc=+++=+-+-+=--【巩固】 （2级）若0a >，则_____aa=；若0a <，则_____a a =.【解析】 1；1-.重要结论一定要记得.【巩固】 （6级）当3m ≠-时，化简33m m ++【解析】 3m ≠-，30m +≠，当3m >-，即30m +>时，33m m +=+，所以313m m +=+； 当3m <-，即30m +<时，3(3)m m +=-+，所以313m m +=-+.【例19】 （8级）（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若01a <<，21b -<<-，则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．4-【解析】 ⑴ C ．特殊值法：取0.5a =, 1.5b =-代入计算即可．【巩固】 （2级）下列可能正确的是（ ）A ．1a ba b+= B ．2a b c a b c ++=C ．3c da b a b c d+++= D ．4a b c d a b c d a b c d abcd +++++++= 【解析】 选D ．排除法比较好或特殊值法1，1，1，1-．【巩固】 （6级）如果20a b +=，则12a ab b-+-等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 B【例20】 （8级）如果000a b c a b c a b c +->-+>-++>，，，则200220022002a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．3 【解析】 易知200220022002111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以原式1=，故选择A【例21】 （8级）已知0abc ≠，求ab ac bcab ac bc++的值． 【解析】 ∵0abc ≠，∴a 、b 、c 三个数都不为零．若a 、b 、c 三个数都是正数，则ab 、ac 、bc 也都是正数，故原式值为3． 若a 、b 、c 中两正、一负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若a 、b 、c 中一正、两负，则ab 、ac 、bc 中一正、两负，故原式值为1-． 若 a 、b 、c 中三负，则ab 、ac 、bc 中三正，故原式值为3．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，求a b ca b c ++.【解析】 若a ，b ，c ，全为正数，则原式3=；若a ，b ，c ，两正一负，则原式1=；若a ，b ，c ，一正两负，则原式1=-；若a ，b ，c ，全为负数，则原式3=-.【例22】 （6级）（第13届希望杯1试）如果20a b +=，求12a ab b-+-的值． 【解析】 由20a b +=得2b a =-，进而有1222a a a ab a a a===⋅--⋅，122a a a b a a ==-⋅- 若0a >，则111212322a a b b -+-=-+--=， 若0a <，则111212322a ab b -+-=--+-=．【巩固】 （6级）若a ，b ，c 均不为零，且0a b c ++=，求a b cabc++. 【解析】 根据条件可得a ，b ，c 有1个负数或2个负数，所以所求式子的值为1或1-【例23】 （8级）a ，b ，c 为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c aa b b c c a ++的值等于多少？ 【解析】 由0a b c ++=可知a ，b ，c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a b b c c a a b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-．综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．【巩固】 （10级）（海口市竞赛题）三个数a ，b ，c 的积为负数，和为正数，且ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++， 求321ax bx cx +++的值.【解析】 a ，b ，c 中必为一负两正，不妨设0a <，则0,0b c >>； 1111110ab ac bca b c x a b c ab ac bc=+++++=-++--+=，所以原式＝1.【巩固】 (8级)（第13届希望杯培训试题）如果0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，求200220032004()()()a b ca b c-+的值． 【解析】 由0a b c +->，0a b c -+>，0a b c -++>，两两相加可得：0a >，0b >，0c >，所以原式结果为1．若将此题变形为：非零有理数a 、b 、c ，求1b =等于多少？从总体出发：2008()1aa =，所以原式1111=-+=．【例24】 （8级）（“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||a b c x a b c =++，111111()()()y a b c b c a c a b=+++++，那么代数式23x y xy ++的值为______． 【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-．又111111()()()y a b c b c a c a b =+++++=3a b ca b c---++=-，则231692x y xy ++=--+=．【例25】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设a b c x b ca ca b=+++++，则代数式20042007x x -+的值为多少？ 【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b c x b c a c a b=-++=-+++，所以1x =，所以原式2004=【巩固】 （8级）有理数a b c ，，均不为零，且0a b c ++=，设ab cx b c a c a b =+++++，则代数式19992000x x -+的值为多少？【解析】 由0a b c ++=易知a b c ，，中必有一正两负或两正一负，不妨设000a b c ><<，，或000a b c <>>，， 所以1a b c x a b a c a b =--=+++或者1a b cx b c a c a b=-++=-+++，所以当1x =时，原式1902= 当1x =-时，原式2098=【巩固】 （8级）已知a 、b 、c 互不相等，求()()()()()()()()()()()()a b b c b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b ------++------的值．【解析】 由题意可得()()()0a b b c c a ---≠且()()()0a b b c c a -+-+-=，把a b -，b c -，c a -当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为1-；② 两负一正，原式值为1-．【例26】 （8级）（第18届希望杯2试）若有理数m 、n 、p 满足1m n p m n p ++=，求23mnp mnp 的值．【解析】 由1m n p m n p++=可得：有理数m 、n 、p 中两正一负，所以0mnp <，所以1mnpmnp=-， 222333mnp mnp mnp mnp =⋅=-．【巩固】 （6级）已知有理数a b c ，，满足1a b c a b c ++=，则abcabc=（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．不能确定【解析】 提示：其中两个字母为正数，一个为负数，即0abc <【巩固】 （8级）有理数a ，b ，c ，d 满足1abcd abcd =-，求a b c da b c d+++的值． 【解析】由1abcdabcd=-知0abcd <，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数： 若含有1个负数，则2a b c d a b c d +++=；若含有3个负数，则2a b c da b c d+++=-．【例27】 （6级）已知0ab ≠，求a ba b +的值【解析】 ⑴若a b ，异号，则0a bab += ⑵若a b ，都是正数，则2a ba b += ⑶若a b ，都是负数，则2a ba b+=-【巩固】 （6级）已知0ab ≠，求a b ab--的值．【解析】 分类讨论：当0a >，0b >时，110a b ab --=-=．当0a >，0b <时，1(1)2a b a b --=--=．当0a <，0b >时，112abab--=--=-．当0a <，0b <时，1(1)0abab--=---=．综上所述，a b ab--的值为2-，0，2．【例28】 （6级）若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值 【解析】 ⑴当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++= ⑵当a b c ，，都是负数时，原式3=- ⑶当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=- ⑷当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-【巩固】 （6级）（第16届希望杯培训试题）若0abc <，求a b ca b c+-的值． 【解析】 由0abc <可得，a 、b 、c 中有3个负数或1个负数，当a 、b 、c 中有3个负数时，原式11(1)1=----=-；当a 、b 中有1个是负数时，原式1111=-+-=-； 当c 是负数时，原式11(1)3=+--=．板块三：零点分段讨论法（中考高端，可选讲）【例29】 （4级）（2005年云南省中考试题）阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-【解析】 ⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式 ()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥【例30】 （6级）求12m m m +-+-的值．【解析】 先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+；当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．【例31】 （4级）化简：212x x ---【解析】 由题意可知：零点为102x x ==，当12x <时，原式1x =--当122x <≤时，原式33x =- 当2x ≥时，原式1x =+【巩固】 （4级）(2005年淮安市中考题)化简523x x ++-． 【解析】 先找零点.50x +=，5x =- ； 32302x x -==，，零点可以将数轴分成三段． 当32x ≥，50x +>，230x -≥，52332x x x ++-=+；当352x -<≤，50x +≥，230x -<，5238x x x ++-=-；当5x <-，50x +<，230x -<，52332x x x ++-=--．【巩固】 （6级）(北京市中考模拟题)化简：121x x --++.【解析】 先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段． ⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．【例32】 （6级）（选讲）（北京市中考题）已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为3-．法2：找到零点3、2-，结合2x ≤可以分为以下两段进行分析：当22x -≤≤时，323212x x x x x --+=---=-，有最值3-和5； 当2x <-时，32325x x x x --+=-++=；综上可得最小值为3-，最大值为5．【巩固】 （8级）（第10届希望杯2试）已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ． 【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当02a ≤≤时，2352a a a -+-=-，当0a =时达到最大值5； （2）当23a <≤时，231a a -+-=（3）当34a <≤时，2325a a a -+-=-，当4a =时，达到最大值3 综合可知，在04a ≤≤上，23a a -+-的最大值为5（法2）：我们可以利用零点，将a 的范围分为3段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很 容易发现答案：当0a =时达到最大值5．【巩固】 （6级）如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值 【解析】 当10x -<≤时，有12223y x x x x =+-+-=+，所以13y <≤；当02x ≤≤时，有12232y x x x x =+-+-=-，所以13y -≤≤ 综上所述，y 的最大值为3，最小值为1-【巩固】 （6级）（2001年大同市中考题）已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．【解析】 法1：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当，79x =时两者的距离 差最小为329-，即()m i n 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即m a x (13)4x x --+=． 法2：分类讨论：先找零点，根据范围分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x --≤≤时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．练习 1． （2级）若ab ab <，则下列结论正确的是 ( ) A. 00a b <<， B. 00a b ><， C. 00a b <>， D. 0ab < 【解析】 答案BC 不完善，选择D ．练习 2． （2级）(人大附期中考试)如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c++--+的值.【解析】 原式()()()0a b a c b c =-++-++=练习 3． （6级）已知0,0,x z xy y z x <<>>>，求x z y z x y +++--的值. 【解析】 由0,0x z xy <<>可得：0y z <<，又y z x >>，可得：y x z <<； 原式0x z y z x y =+---+=.练习 4． （8级）（第13届希望杯培训试题）若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-= ． 【解析】 因为200122002x =，所以23x <<，原式(1)(2)(3)(4)(5)9x x x x x x =+-+-------=．课后练习练习 5． （6级）（2006年七台河市中考题）设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【解析】 2020(20)(20)40y x b x x b x b x x b x =-+-+--=------=-，则20x =时，y 有最小值为20.练习 6． （4级）若0a <，化简a a --. 【解析】 22a a a a a a --=+==-.练习 7． （6级）若0a <，试化简233a a a a--．【解析】 2323553443a a a a a a a a a a-+===-----．练习 8． （6级）若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？ 【解析】 要使245134x x x +-+-+的值恒为常数，那么须使450x ->，130x -<，即1435x <<，原式2451342453147x x x x x x =+-+-+=+-+-+=.练习 9． （8级）（第6届希望杯2试）a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值．【解析】 从图中可知a b c <<且0a <，0b <，0c >，所以0a b -<，0b c -<，0c a ->，0ab >，0ac <， 所以0ab ac ->，原式(1)(1)112=---++=．练习 10． （8级）若0a b c ++=，0abc >，则b c c a a ba b c+++++= ． ∵0a b c ++=，0abc >，∴a 、b 、c 中一正二负，∴1b c c a a b a b ca b c a b c+++---++=++=． 练习 11． （6级）求15y x x =--+的最大值和最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得答案；法2：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x ≤-时，15156y x x x x =--+=-++=； 当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．练习 12． （6级）（第2届希望杯2试）如果12x <<，求代数式2121x x xx x x ---+--的值．【解析】 当12x <<时，0x >，10x ->，20x -<，原式21111121x x xx x x--=++=-++=--．。
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2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题
（满分：120分，时间：120分钟）
考试时间：2008年12月20日 上午：9：00～11：00
（每小题6分，共30分）
1.若01a <<，21b -<<-，则
1212a b a b
a b a b
-++-+-++的值是（ ） A ．0 B ．－1 C ．－3
D ．－4 2.若432
2009m
n x
y
--+=是关于,x y 的二元一次方程，
且0mn <，0
3m n <+≤，
则m n -的值是（
）
A ．－4
B ．2
C ．4
D ．－2
3.如图，△ABC 被DE 、FG 分成面积相等的三部分（即123S S S ==），且D E ∥F G ∥BC ，，F G －DE=（ ）
A 1
B
C
D ．2
4.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，9BOC S =△，25AOD S =△，则四边形
第3题图
S 3
S 2
S 1
G
F
E
D
C B
A
第4题图
O
D
C
B
A
第7题图
P
N
M
D
C
B
A
ABCD 的面积最小值是（ ）
A ．34
B ．64
C ．69
D ．无法求出
5.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需
6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔
1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（ ）元.
A ．2.4
B ．2.1
C ．1.9
D ．1.8
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.设,x y 为实数，代数式2
2
54824x y xy x +-++的最小值为 .
7.如图，在菱形ABCD 中，∠A=100°，M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，M P ⊥CD 于点P.则∠NPC 的度数为 .
8.10-=
.
9.如图，点A 、C 在反比例函数)0y x =
<的图象上，B 、D 在x 轴上，△OAB ，△BCD 均为正三角形，则点C 的坐标是 .
10.如图，在R t △ABC 中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC 上距离B 点6㎝的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个三角形重叠部分
的面积是 ㎝2
.
三、解答题（每小题15分，共60分）
11.已知一次函数y ax b =+的图象经过点)
2A
，
(B -，()2,C c -.求2
2
2
a b c ab bc ca ++---的值.
12.在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ，∠ABC=80°，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、AE ，
若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC 的度数.
E
D A
F
第10题图H
G
P
K
E
D
C
B
A
13.如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，M 是OC 的中点，AM 的延长线交⊙O 于点E ，DE 与BC 交于点N.求证：BN=CN.
14.如图，在直角梯形OABC 中，O A ∥BC ，A 、B 两点的坐标分别为A （13，0），B （11，12），动点P 、Q 从O 、B 两点出发，点P 以每秒
2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每
秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止
运动时，点Q 出同时停止运动.线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作D E ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F.动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）. （1）当t 为何值时，四边形PABQ 是平行四边形，
请写出推理过程；
（2）当t=3秒时，求△PQF 的面积；
（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出
推理过程
.
2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛参考答案与提示
1.C ．取0.5,
2.5a b ==-代入计算即可.
2.A ．提示：4311
213m m n n ⎧-==±⎧⎪∴⎨⎨
-==±⎪⎩⎩
0,031, 3.mn m n m n <<+∴=-=Q ≤ 3. D.提示：由相似三角形的性质
得1DE FG BC =∶∶，
设,,DE x FG BC ===，
则
x =
=2DE FG ∴=
=2FG DE ∴-=4.B ．提示：设
,AOB COD S x S y
==△△，则
925ABCD S x y =+++四边形
；
2
0x y ∴+Q
≥≥
∴34S +最小≥；当且仅当x y =时
，34S +最小=；此时B C ∥AD
，
15x y ===.
故3421564.S +⨯=最小=
5.B ．设铅笔每支x 元，练习本每本y 元，圆珠笔每支z 元，则
37 6.3 2.13 2.132 2.14108.42x y z x y
x y z y y y x y z z y ++==-⎧⎧∴∴++=-++=⎨
⎨++==⎩⎩
6.3．提示：原式=()()2
2
4133x y x -+++≥. 7. 50°.过N 作NG ⊥PM 于G ，可证NG 这MP 的中垂线
8. 4．提示：原式
(2
101010
44
-
+-==.
9. (
1-.提示：作A E ⊥OB
于E ，C F ⊥BD 于F ，易求OE=EB=1，设BF=m ，
则(2,)C m
--，代入y =
得2
210,m m m +-==
0,1m m >
∴=-+Q ，∴(1-.
10.
144
25
.提示：过P 作P M ⊥AC 于M ，P N ⊥DF 于N ，易证四边形PMGN 为正方形，可求
125
PM =
， ∴2
12144.525S ⎛⎫== ⎪⎝⎭
正方形PMGN
重叠=S
11.可求得1,1,1a b c ===∵2,2a b b c c a ∴-=-=-=.
原式=
()()()222
1132a b b c c a ⎡⎤-+-+-=-⎣
⎦
12.连结BD 交AC 于F ，连EF.可证△BCF ，△ADF 均为正三角形.可证CB=CE.E 、F 、B 在以C 为圆心，CE 为半径的圆上，从而可证∠EFD=∠EDF=40°，∵EF=ED ，于是易证△ADE
≌△AFE ，∴∠CAE=∠DAE=
1
2
∠DAC=30°. 13.连结AC ，BD.证△BCD ∽△OCA .CB CD
CO CA
=⇒
证△CDN ∽△CAM 1
.22
CN CD CB CB CN CB CM CA CO CM ====⇒⇒.BN CN ∴=
14.（1）设2,,132,OP t OB t PA t ===-要四边形PABO 为平行四边形，则132t t -=∴
13
3
t =
. （2）当3t =时，OP=6，CQ=11－3=9，BQ=3.1
2
QB OD OD OP DF DF =∴=Q
. 12QE BD QD QB
OB DE PA EF DO DF AF
∴====
Q ∥∥∴AF=6，∴F （19，0）∴1
1278.2
PQF S PF ==g △
（3）①QP=AP ，作O G ⊥x 轴于G ，则112213(11)t t t t --=+--3
2
t ∴=
②PQ=FP ，1322t t =+-1623
t ∴=或
③FQ=FP 1322t t =+-1t ∴=
综上，当316
2123
t =或或或时，△PQF 是等腰三角形.。