解三角形的知识总结和题型归纳
解三角形知识点
《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美 （一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1： 利用正弦定理公式原型解三角形题型2： 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3： 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题： 例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
解三角形基础知识与题型归纳
解三角形基础知识与题型归纳一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。
1．正弦定理：C c Bb Aasin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。
推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。
先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]=21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。
2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bcac b A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp q c p b -++ （1）【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp q c p b -++注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222ac b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2 (1-cos 2A)= 41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。
三角函数解三角形题型归类
三⾓函数解三⾓形题型归类三⾓函数解三⾓形题型归类⼀知识归纳：（⼀）任意⾓、弧度制及任意⾓的三⾓函数 1．⾓的概念(1)任意⾓：①定义：⾓可以看成平⾯内绕着端点从⼀个位置旋转到另⼀个位置所成的；②分类：⾓按旋转⽅向分为、和．(2)所有与⾓α终边相同的⾓，连同⾓α在内，构成的⾓的集合是S ＝．(3)象限⾓：使⾓的顶点与重合，⾓的始边与，那么，⾓的终边在第⼏象限，就说这个⾓是第⼏象限⾓；如果⾓的终边在坐标轴上，就认为这个⾓不属于任何⼀个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓，⽤符号rad 表⽰，读作弧度．正⾓的弧度数是⼀个，负⾓的弧度数是⼀个负数，零⾓的弧度数是 .(2)⾓度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝? ????180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的⾯积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意⾓的三⾓函数（1）定义：设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝．（2）任意⾓α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0) 4.三⾓函数值在各象限的符号规律：⼀全正、⼆正弦、三正切、四余弦．（⼆）公式概念1．三⾓函数诱导公式? ??k 2π＋α(k ∈Z)的本质奇变偶不变(对k ⽽⾔，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐⾓)．2．两⾓和与差的三⾓函数公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β.3．⼆倍⾓公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A＝＝c sin C＝2R (其中R 是外接圆的半径)；a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.b 2＝； cos B ＝；c 2＝ . cos C ＝ .3.三⾓形⾯积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R是三⾓形外接圆半径，r 是三⾓形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中⼼)时，将ωx ＋φ看作⼀个整体，利⽤正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三⾓函数的值域时，有时将sin x (或cos x )看作⼀个整体，换元后转化为⼆次函数来解决．4．公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最⼩正周期为2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最⼩正周期为π|ω|.(2016年全国卷1)4.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知5a =，2c =，2cos 3，则b =（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 6.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（A ）2sin(2)4y x π=+ （B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限⾓，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年全国卷1)8. 函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所⽰，则()f x 的单调递减区间为（）（A ）13 (,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本⼩题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?内⾓,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ?的⾯积.(2014年全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最⼩正周期为π的所有函数为 A .①②③ B. ①③④ C . ②④D. ①③16.如图，为测量⼭⾼MN ，选择A 和另⼀座⼭的⼭顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰⾓60MAN ∠=?，C 点的仰⾓45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测学科⽹得60MCA ∠=?.已知⼭⾼100BC m =，则⼭⾼MN =________m .(2013年全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像⼤致为（）10．已知锐⾓ABC ?的内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b = （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）516．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最⼤值，则cos θ=______.(2012年全国卷1)9.已知ω>0，0?π<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ω?=+图像的两条相邻的对称轴，则?=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本⼩题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ?三个内⾓A ,B ,C 的对边，3sin sin c a C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ?3b ，c .三、题型归纳题型⼀、三⾓函数定义的应⽤1.若点P 在－10π3⾓的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33C.－ 3变式1．已知⾓α的终边经过点(3，－1)，则⾓α的最⼩正值是( )题型⼆、三⾓函数值的符号2．已知⾓α的终边经过点(3，－1)，则⾓α的最⼩正值是( )变式2.设α是第⼆象限⾓，P (x,4)为其终边上的⼀点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )C ．－34D ．－43题型三、同⾓三⾓函数关系式的应⽤3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 C ．－344.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 C ．－34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22D ．1 题型四诱导公式的应⽤5．(1)已知sin π3－α＝12，则cosπ6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知⾓α终边上⼀点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为题型五、三⾓函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin 4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学⽤“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2在某⼀个周期内的图象时，列表并填⼊部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中⼼．变式5.已知函数y ＝2sin 2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin 2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换⽽得到．题型六、三⾓函数的性质问题7.（1）函数y ＝2sinπ3－2x 的单调增区间为________. （2）已知函数f (x )＝cos ωx ＋φ－π2ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所⽰，则y ＝f x ＋π6取得最⼩值时x 的集合为( )（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最⼩正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点π2，0对称B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最⼩值，则函数y ＝f 3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点π2，0对称变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f 5π4的值；(2)求函数f (x )的最⼩正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
(完整版)解三角形题型总结(最新整理)
解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥，则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ，则B 有两解； 如果1sin =B ，则B 有唯一解；如果1sin >B ，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC 中，π=++C B A ，所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.（4）2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+. 二、典型例题题型1、计算问题（边角互换）例1、在ABC ∆中，若7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则角C 的度数为 答案：=C 23π 例2、已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++=．答案：2例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．求角A 的大小； 答案：π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中，已知b=40,c=20,C=60。
解三角形题型总结
解三角形题型总结解三角形题目是高中数学中的常见题型，主要涉及到三角函数、三角公式、特殊三角形等概念和性质。
在解题时，需要掌握相应的知识和技巧，并且要善于分析题目，灵活运用所学的知识。
下面对解三角形题目的常见类型进行总结。
第一类：已知两边和夹角，求第三边或第三角在这类题目中，一般可以利用余弦定理或正弦定理来解答。
余弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下：c² = a² + b² - 2ab*cosC正弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理或正弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
第二类：已知三边，求夹角或面积在这类题目中，一般可以利用余弦定理、正弦定理或面积公式来解答。
面积公式适用于已知三边、求面积的情况，公式如下：S = (a*b*sinC)/2根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理、正弦定理或面积公式列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
其中，求夹角时，如果已知三边可以利用余弦定理求出对应的夹角。
第三类：已知两角和一边，求另一边在这类题目中，一般可以利用正弦定理或余弦定理来解答。
根据题目给出的已知条件，可以根据正弦定理或余弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
第四类：特殊三角形特殊三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
对于等边三角形，三个内角均为60°，三边相等；对于等腰三角形，两个内角相等，两边相等；对于直角三角形，一个内角为90°，另两个内角之和为90°，一边为直角边。
对于特殊三角形的解题思路如下：- 等边三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。
- 等腰三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。
- 直角三角形：根据已知条件可利用勾股定理和三角函数求解。
在解特殊三角形题目时，需要注意特殊性质的应用，如等边三角形中的三个角均为60°，等腰三角形中的两个角相等等。
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解三角形的知识总结和题型归纳一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
二、典例解析 题型1：正、余弦定理例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B△当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A△当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+οοΘA A A A又0180οο<<A , 4560,105.A A ∴-==o o otan tan(4560)2A ∴=+=-o o .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==οοοοοοοA S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
Θsin cos A A +=22△ 21(sin cos )212sin cos 20180,sin 0,cos 0.1(sin 2)2A A A A A A A A ∴+=∴=-<<∴><=-o o Q 另解23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, ∴-=sin cos A A 62△ △+△得sin A =+264。
△－△得cos A =-264。
从而sin tan 2cos 4A A A ===-以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？题型3：三角形中的三角恒等变换问题例3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是△A 、△B 、△C 的对边长，已知a 、b 、c成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求△A 的大小及cBb sin 的值。
分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求△A ，需找△A 与三边的关系，故可用余弦定理。
由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值。
解法一：△a 、b 、c 成等比数列，△b 2=ac 。
又a 2－c 2=ac －bc ，△b 2+c 2－a 2=bc 。
在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，△△A =60°。
在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aAb sin ，△b 2=ac ，△A =60°， △acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23。
解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B 。
△b 2=ac ，△A =60°，△bc sin A =b 2sin B ，△cB b sin =sin A =23。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sin A cos B ＝sin C =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB △sin （A －B ）＝0，△A ＝B 另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 题型5：三角形中求值问题例5．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A2。
cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32；当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。
题型6：正余弦定理的实际应用例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为，，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为，AC=0.1km 。
试探究图中B ，D 间075030060距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，1.414，2.449）解:在△ABC 中，△DAC=30°, △ADC=60°－△DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又△BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，即AB= 因此，BD= 故B ，D 的距离约为0.33km 。
点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。
三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。
2≈6≈,ABC sin CBCA sin ∠=∠A AB ,2062315sin ACsin60+=οο。
km 33.020623≈+2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，… 4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。