初二物理用图象法解“相遇”问题学法指导
追及、相遇问题和运动图象
( 2) 乙车追上甲车所用的时间。
=20 s, 思路引导: ①分析甲、乙两车的运动情况 , 明确两个问题: a
v
甲
a.两车相距最大距离时速度满足的条件是什么 ? v 甲 10 tb. : s = t = ×20 m=100 m, 1 时间内 甲 1 求乙车追上甲车所用时间的方法是什么 ? 2 2
s 乙 =v 乙 t1=4×20 m=80 m, s -s 甲 乙 20 此后乙车运动时间:t2= = s=5 s, v 4 乙
的加速度刹车 , 从甲车刹车开始计时, 求: 解得:t=12 s, 1 2 1 2 此时甲、乙间的距离为 Δs=v 甲 t- at -v 乙 t=10×12 m- ×0.5×12 m- 4×12 m=36 m 。 ( 1) 乙车在追上甲车前 , 两车相距的最大距离。 2 2
( 2) 设甲车减速到零所需时间为 t1,则有:t1=
最近。
-8一 二
3.相遇问题的常见情况 ( 1) 同向运动的两物体追及即相遇。 ( 2) 相向运动的物体, 当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的 距离时即相遇。
基础自测
1
2
3
4
1. 请判断下列表述是否正确, 对不正确的表述, 请说明原因。 ( 1) s t图像是物体的运动轨迹。( ) ( 2) s t图像是一条直线, 说明物体一定做匀速直线运动。( ) ( 3) v t图像是一条平行于 t轴的直线, 说明物体做匀速直线运动。( ) ( 4) s t图像与时间轴围成的面积表示物体运动的路程。( ) ( 5) 两条 v t图像的交点表示两个物体相遇。( ) ( 6) 两条 s t图像的交点表示两个物体相遇。( ) ( 7) 相向运动的物体各自发生的位移大小之和等于开始时二者之距时即相 遇。( )
追及、相遇问题——方法指导
从常见的三种追及、相遇问题看一个条件——两者速度相等 (1)初速度为零(或较小)的匀加速直线运动的物体追匀速运动 的物体，在速度相等时二者间距最大； (2)匀减速直线运动的物体追匀速运动的物体，若在速度相等 之前未追上，则在速度相等时二者间距最小； (3)匀速运动的物体追匀加速直线运动的物体，若在速度相等 之前未追上，则在速度相等时二者间距最小．
相对运动法 巧妙选取参考系，然后找两物体的运动关系．
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一
数学分析法
元二次方程，用判别式讨论，若Δ>0，即有两个解， 表明相遇两次；若Δ＝0，表明刚好追上或相遇；若
Δ<0，表明追不上或不能相碰.
图象法
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然 后利用图象求解．
(1)抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体的速度满足的 临界条件(速度相等是两物体相距最近、最远，恰好追上、恰 好追不上的临界条件)；两个关系是时间关系和位移关系,画好 运动示意图,找到两物体位移间的数量关系是解题的突破口. (2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体 是否已停止运动. (3)仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件,题中的关键字眼如 “刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个 临界状态，满足相应的临界条件．
3.解决追及问题的思路： (1)在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图、三式”， 即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式， 最后还要注意对结果的讨论分析. (2)解决追及问题的思路：
分析 两物体的 运动过程
画出 过程示意图
抓住 两者间 速度关系
由时间和 位移关系 列方程
规律方法 解追及、相遇问题必备的方法与技巧
第一单元第三节、追及和相遇、图像法专题
第一章、直线运动第三节、追及和相遇、图像法专题【知识要点回顾】一、直线运动的图像描述及图像法解题思路1、对于运动图像，需要了解哪些物理意义？2、如何利用运动图像解决实际问题？二、常见的追及和相遇模型及解题思路1、追及和相遇问题的常见模型有哪些？从时间和空间的角度来讲，追及和相遇问题的特点是什么？2、关于能否追上、是否碰撞及两者间距的极值问题的临界条件是什么？解题思路如何？【典型例题分析】一、用运动图像分析解决匀变速直线运动实际问题 例题1 一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB AC 。
已知AB 和AC 的长度相同。
两个小球p 、q 同时从A 点分别沿静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间 A 、p 小球先到 B 、q 小球先到 C 、两小球同时到 D 、无法确定解析：例题2 两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小球a 和a / 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)解析：v v 2例题3 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。
已知两车在t=3s时并排行驶，则（）A、在t=1s时，甲车在乙车后B、在t=0s时，甲车在乙车前7.5mC、两车另一次并排行驶的时刻是t=2sD、甲、乙两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为10m解析：例题4 一物体做加速直线运动，依次通过A、B、C三点，AB=BC。
物体在AB段加速度为a1，在BC段加速度为a2，且物体在B点的速度为2CA B vv v +=，则a1> a2 B．a1= a2 C ．a1< a2 D．不能确定解析：例题5 如图，A球做自由落体运动，B球沿光滑斜面下滑，则能正确表示两球运动到地面的速率-时间图像是（）解析：例题6 蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1m的A点处时，速度是v1=2cm/s。
试问蚂蚁从A点爬到距巢中心的距离L2=2m 的B点所需的时间为多少？解析：二、追及、避撞与距离极值问题例题7 甲乙两质点同时开始在同一水平面上同方向运动，甲在前，乙在后，相距s。
【一张图学物理】运动图像和追及与相遇问题
【一张图学物理】运动图像和追及与相遇问题高考对本章内容的考查重点有匀变速直线运动的规律及应用、x－t图象、v－t图象的理解及应用，涉及“研究匀变速直线运动”的实验中，测定速度和加速度的方法是整个力学实验的核心，也是进行实验设计的基础，在很多实验中都有应用。
今天来讲运动图像追及与相遇问题01直线运动的x—t图象1．图象的意义反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。
2．两种特殊的x－t图象(1)x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。
(2)x－t图象是一条倾斜直线，说明物体处于匀速直线运动状态。
3．x－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义(1)点：两图线交点，说明两物体相遇。
(2)线：表示研究对象的变化过程和规律。
(3)斜率：x－t图象的斜率表示速度的大小及方向。
(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位移，横轴截距表示位移为零的时刻。
02直线运动的v－t图象1．图象的意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。
2．两种特殊的v－t图象(1)若v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。
(2)若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。
3．v－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义(1)点：两图线交点，说明两物体在该时刻的速度相等。
(2)线：表示速度的变化过程和规律。
(3)斜率：表示加速度的大小及方向。
(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初速度，横轴截距表示速度为零的时刻。
(5)面积：数值上表示某段时间内的位移。
03追及与相遇问题1．追及与相遇问题当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者速度相等时，两者相距最近。
初二物理巧解“追及和相遇”学法指导
初二物理巧解“追及和相遇”河南 任付中追及和相遇问题是运动学中较为综合且与日常生活相关的问题，它一般涉及两个物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。
对此类问题的求解，除了要透彻理解基本概念，准确把握物理规律，熟练运用运动学基本公式外，有时还应变换思考角度，灵活选取方法，从而会使解题过程简洁明快，达到事半功倍的效果。
现将总结例析如下。
1. 巧选参考系速解追及和相遇例1. 一游艇在河中沿直线逆水航行，在某处丢失了一个救生圈，丢失后经10分钟才发现，于是游艇立即返航去追赶，结果在丢失点下游距丢失点3600米处追上，设水流速度恒定，游艇往返的划行速率不变，求水流的速度多大？解析：以河水为参考系，救生圈随水漂流，和水具有相同的速度，所以游艇相对于救生圈的速率也是不变的；又因为游艇相对于救生圈往返距离相等，所以游艇从丢失点逆水而上的时间与它顺水而下追救生圈的时间相等，也为10分钟。
在20分钟内，救生圈顺水漂流的位移为3600米，所以水流的速度大小应为：s /m 360203600v =⨯=。
点评：本题若以河岸为参考系，按照常规方法求解，需要大量的分析和烦琐的计算，但由于巧妙的选取参考系使解题过程大为简捷。
选择不同的参考系来观察同—个运动，观察的结果会有不同，即运动具有相对性。
描述一个物体的运动时，参考系是可以任意选取的，但是，在不同的参考系中描述物体的运动，繁简程度并不一样。
具体选取时应使对物体运动的描述尽量简洁、方便为宜。
2. 巧用判别式速解追及和相遇例2. 甲、乙两物体相距s ，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度为a 1的匀加速直线运动，乙在后做初速度为v 0、加速度为a 2的匀加速直线运动，则（ ）A ．若a l =a 2，则两物体只能相遇一次B ．若a 1>a 2，则两物体可能相遇两次C ．若a 1<a 2，则两物体可能相遇两次D ．若a 1>a 2，则两物体可能相遇一次或不相遇解析：本题可采用判别式法，甲、乙运动过程示意图如图l 所示。
用v-t图象分析追及相遇问题
3．汽车正以 10 m/s 的速度在平直公路上匀速直线运动，突然发现正前方有一辆自行车以 4 m/s 的速度同方向做匀速直线运动， 汽车立即关闭油门， 做加速度为 6 m/s2 的匀减速运动， 求汽车开始减速时，他们间距离为多大时恰好不相撞？ 答案：3m。
4． 气球以������������������/������的速度匀速上升， 某时刻在气球正正下方距气球 4m 处有一石子以������������������/������的 速度竖起上抛，不计阻力，g 取������������������/������������，则石子（） A．一定能击中气球 B．一定不能击中气球 C．若气球速度变小时，一定还能击中气球 D．若气球速度为������������������/������，一定不能击中气球 答案：ACD
υ/(m· 绿灯亮起时起动， 以������. ������������/������������的加速度做匀加速运动， 经过 30s 后以该时刻的速度做匀速直线运动。设在绿灯亮的同时，汽车 B 以������������/������的速度从 A 车旁边 经过， 且一直以相同的速度做匀速直线运动， 运动方向与 A 车相同， 则从绿灯亮时开始 （ C ） A．A 车在加速过程中与 B 车相遇 B．A、B 相遇时速度相同 C．相遇时 A 车做匀速运动 D．两车不可能再次相遇 分析：画 v-t 图用直观的面积大小关系可得结果，强调不用进行具体的运算去比较两个三角 形面积的大小，而用直观的感觉，而这种感觉是可靠的。当然也可以进行简单的大小的比 较。但不益进行繁琐的运算。
第二课时匀减速追匀速
二者间有最大距离或最小距离的临界条件是二者速度相等。至于到底是最大还是最小需要 看速度相等之有二者的速度关系：当速度相等之前，处于前面的物体的速度比后面的大而 速度相等之后前面的物体比后面的小时，二者间将出现距离的最小值；当速度相等之前处 于前面的物体的速度比后面的小而速度相等之后前面的物体比后面的大时，二者间将出现 距离的最大值。 例 1：一列火车以������������ 的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为 s 处有另一 辆火车正沿着同一方向以较小速度������������ 做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞， 则������应满足什么条件？ 分析：由题意可得到两列火车运动的 v-t 图象 ������ v1 1 v2 O t1 2 t2
运动图像 相遇和追及问题 1概念解题技巧
1-2-2 运动图像 相遇和追及问题 概念、规律、方法与解题技巧1. x-t 图象的物理意义(1)反映做直线运动物体的位移随时间变化的关系。
(2)图线上任一点的切线斜率值表示该时刻的速度，斜率正负表示速度的方向。
(3)图线与时间轴平行物体处于静止状态。
2. v-t 图像的物理意义(1)v-t 图像反映做直线运动物体的速度随时间变化的关系；(2)图线上任一点的切线斜率值表示该时刻加速度，斜率正负表示加速度的方向。
加速度由图线的切线斜率决定，与速度的大小和方向无关；(3)图线与时间轴间的面积表示位移，位移是矢量，时间轴上方的面积表示正向位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移，绝对值求和表示总路程。
【特别提醒】a. 速度是矢量，v-t 图像在t 轴上方代表的“正方向”，t 轴下方代表的是“负方向”，所以v-t 图像只能描述只有两个方向的“直线运动”情况，如果做曲线运动，则画不出物体的“v-t 图像”；b. v-t 图像没有时间t 的“负轴”，因时间没有负值，画图要注意这一点； 3. 追及和相遇问题(1)讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。
(2)两个物体运动，各物体可列各自的运动方程，将两物体运动的时间关系，空间关系在方程中体现出来，问题基本能解决。
有的题目，两物体的速度也有关系，例如：两物体距离最大或最小时，适好追上或适好追不上，适好不相撞等，这时再加上速度关系方程，问题就迎刃而解了。
(3)常见的情况有：a. 物体A 追上物体B ：开始时，两个物体相距0x ，则A 追上B 时，必有0A B x x x -=，且A B v v ≥b. 物体A 追赶物体B ：开始时，两个物体相距0x ，要使两物体恰好不相撞，则A 追上B 时，必有0A B x x x -=，且A B v v =(4)追及问题的解题步骤a. 根据对两物体运动过程的分析，画出物体运动的示意图。
图像追击相遇.ppt
即学即练2 如图3所示，A、B两棒长均为L＝1 m，A的下 端和B的上端相距s＝20 m，若A、B同时运动，A做自由 落体运动，B做竖直上抛运动，初速度v0＝40 m/s.求： (1)A、B两棒何时相遇； (2)从相遇开始到分离所需的时间
答案 0.5 s 0.05 s
随堂巩固训练
1．以 35 m/s 的初速度竖直向上抛出一个小球．不计空气阻力，
四个选项中正确的是 ( )
图4
解析 由图可知前两秒物体做初速度为零的匀加速直 线运动，所以前 2 s 受力恒定，2 s～4 s 做正方向匀减速 直线运动，所以受力为负，且恒定，4 s～6 s 做负方向 匀加速直线运动，所以受力为负，且恒定，6 s～8 s 做 负方向匀减速直线运动，所以受力为正，且恒定，综上 分析 B 正确．
B．两个质点一定同时由静止开始运动
图5
C．t2秒末两质点相遇 D．0～t1秒的时间内B质点可能在A质点的后面 解析 从v－t图象中是无法看出质点的出发位置的，不知
道初始位置，则以后之间相距多少也不能确定，A错，D
对；由题图可知t＝0时刻，A、B的初速度均为零，两质
点一定同时由静止开始运动，B对；t2时刻两质点速度相 等，并不能确定两质点是否相遇，C错．
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移 方向为 正 ；若此面积在时间轴的下方，表示这段时 间内的位移方向为 负 ．
想一想：图 3 中，图线与横轴和纵轴的截距，各表示什 么物理意义？
图3
例2 (2009·山东理综)某物体做
直线运动的v－t图象如图4所
示，据此判断(F表示物体所受
合力，s表示物体的位移)下列
解析 从图象上可以容易得到物体甲是做匀速直线运动， 物体乙是先做匀加速直线运动，接着是做匀减速直线运 动，直到停止，所以选项A描述的是正确的，选项C描述 的也是正确的．物体乙做匀减速运动直到停止前一直是和 甲的运动方向一致的，所以选项D也是正确的．根据图象 得到甲乙两物体第一次相遇是在2 s末，第2次相遇是在6 s 末，所以选项B是错误的．综上所述，本题错误的选项应 该是B. 答案 B
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用图象法解“相遇”问题
某某 邓有鸿
v-t 图象运用数学的“形”载着物理的“质”，是一种形象直观的“语言”。
利用v-t 图象分析物理问题思路更清晰，可使分析过程更巧妙、更灵活。
但是不少同学在刚开始利用v-t 图象处理问题时，经常看不透图象所表达的物理意义，将图线与物体的运动轨迹相混淆。
以至于不能实现运用图象解题的目的。
下面来看两道例题，请你从中体会图像法的特点和妙用。
例l. 如1图所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s ，同时同向开始运动，甲以初速度v 1，加速度a 1做匀加速运动，乙以初速度为零，加速度a 2做匀加速运动，下述情况可能发生的是（假定甲能从乙旁边通过互不影响）（ ）
A. 若21a a =，则能相遇一次
B. 若21a a >，则能相遇两次
C. 若21a a <，则可能相遇一次
D. 若21a a <，则可能相遇二次 解析：我们画出满足题意的t v -图象。
两物体相遇的条件是在开始运动到某一时刻的时间段内，甲图线与时间轴所夹的面积甲S 和乙图线与时间轴所夹的面积乙S 满足关系s S S +=乙甲。
图A 对应21a a =的情况：两条图线平行，一定存在唯一的1t 时刻，使阴影部分面积为s 。
即在1t t =时相遇一次，A 对。
图B 对应21a a >的情况：甲图线的斜率大于乙图线的斜率，一定存在唯一的2t 时刻，
阴影部分面积为s 。
即两物体仅在2t t =时相遇一次，B 错。
图C 对应a 1<a 2的情况：若在两条图线的交点对应的时刻t 3两物体相遇（速度相等），即图中△AOC 面积为s ，则仅相遇一次。
若△AOC 的面积小于s ，则甲、乙不可能相遇。
若图中阴影部分面积大于s ，则可能相遇两次。
如图C ，图中四边形ABEO 的面积等于S ，在0~t 4时间内，甲在后乙在前，v 甲>v 乙，甲追赶乙，距离逐渐减小，在t 4时刻甲、乙相遇。
在t 4~t 3时间内，甲在前乙在后，二者距离越来越远。
t 3~t 5时间内，仍是甲在前乙在后，但v 甲<v 乙，乙追甲，距离又逐渐减小，到t 5时刻甲、乙再次相遇。
此后，乙在前甲在后，v 甲<v 乙，两者距离一直变大，不可能再相遇。
图中S △BCE 为第一次相遇后到两者速度相等时，甲超过乙的距离，S △FCD 为从t 3起乙追上甲的距离。
显然，S △BCE =S △FCD 。
由上可见A 、C 、D 均正确。
如果物体做折线运动，因其各部分分别也是直线运动，因此在只考虑速率变化的时候我们可以画出速率—时间图象帮助解题，图中每段折线的斜率表示加速度大小，与时间轴所夹面积表示路程。
请看下面的例题。
例2. 如图3所示，在竖直平面内，两个质量完全一样的小球，从A 分别沿光滑的矩形轨道a 管和b 管由静止滑下，设两种方式到达C 点时的速率相同，且四段直线运动的加速度大小满足BC AD DC AB a a a a =<=，若B 、D 两点在同一水平线上，试比较两球用时的长短。
解析：沿a 管滑下的小球，由于a AB <a BC ，则在速率图中AB 段图线的斜率比BC 段图
线斜率小；沿b 管滑下的小球，由于a DC <a AD ，它的速率图线在AD 段斜率（与BC 段相等）比DC 段斜率（与AB 段相等）大。
由于两球滑到底端时速率相同，两球的速率图象如图4所示。
显然两球的路程相等，即在速率—时间图象中两条速率图线与各自相应时间轴所围“面积”应相等，因此必有t a >t b 。