人教课标版高中数学必修4《单位圆在三角函数中的应用》复习课件
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最新-2021学年人教B版数学必修四 122 单位圆与三角函数线 课件 精品
函数的图象与性质的基础.
如:求函数y=log2(sin x)的定义域.
我们可以通过转化为解不等式sin x>0.解答如下:
要使函数y=log2(sin x)有意义,x的取值必须满足sin x>0.
如图所示,是角 x 的正弦线,
则sin x=MP>0.
∴的方向向上.
∴角x的终边在x轴的上方.
2π
- 3 的终边,与单位圆交于点 P,作 PM⊥x 轴,垂足为 M.由单位圆与 x
2π
轴正方向的交点 A 作 x 轴的垂线,与 OP 的反向延长线交于点 T,则- 3
的正弦线、余弦线和正切线分别为, , .
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
利用三角函数线比较大小
【例 2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
角不等式的步骤:
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 求函数 f(x)= sin + 1-2sin的定义域.
sin ≥ 0,
解:依题意应有
1-2sin ≥ 0,
1
2
1
y= ,交单位圆于 A,B 两点,连接
2
即 0≤sin x≤ .
作直线
OA,OB,则图中阴影部分表示的角即为角 x 的
终边的范围.
B.正弦线,正切线''
C.正弦线,正切线
D.正弦线,正切线
答案:C
1
2
【做一做2-2】
如图,你从图中可得到什么信息?
(1)点P的坐标是
;
(2)若点 Q 的坐标是
坐标为
答案:(1)
1 3
-2, 2
,则∠xOQ=
如:求函数y=log2(sin x)的定义域.
我们可以通过转化为解不等式sin x>0.解答如下:
要使函数y=log2(sin x)有意义,x的取值必须满足sin x>0.
如图所示,是角 x 的正弦线,
则sin x=MP>0.
∴的方向向上.
∴角x的终边在x轴的上方.
2π
- 3 的终边,与单位圆交于点 P,作 PM⊥x 轴,垂足为 M.由单位圆与 x
2π
轴正方向的交点 A 作 x 轴的垂线,与 OP 的反向延长线交于点 T,则- 3
的正弦线、余弦线和正切线分别为, , .
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
利用三角函数线比较大小
【例 2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
角不等式的步骤:
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 求函数 f(x)= sin + 1-2sin的定义域.
sin ≥ 0,
解:依题意应有
1-2sin ≥ 0,
1
2
1
y= ,交单位圆于 A,B 两点,连接
2
即 0≤sin x≤ .
作直线
OA,OB,则图中阴影部分表示的角即为角 x 的
终边的范围.
B.正弦线,正切线''
C.正弦线,正切线
D.正弦线,正切线
答案:C
1
2
【做一做2-2】
如图,你从图中可得到什么信息?
(1)点P的坐标是
;
(2)若点 Q 的坐标是
坐标为
答案:(1)
1 3
-2, 2
,则∠xOQ=
高中数学人教B版必修四122《单位圆与三角函数线》同步PPT课件
中课小堂学讲课练件互动
思考探究 1.怎样认识三角函数线与三角函数值之间的关系？ 提示 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值．方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正 值，反向的为负值．
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2．第二象限或第三象限内的角的正切线怎样作？ 提示 在单位圆中，过(1,0)点作x轴的垂线x＝1与角的终 边的反向延长线交于T，则AT即为角的正切线.
中课小堂学讲课练件互动
自测自评 1.不论角α的终边的位置如何，在单位圆中作三角函数线 时，下列说法正确的是( ) A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．正弦线、余弦线总可以作出 C．正弦线、余弦线、正切线都有可能不存在 D．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但有可能不 止一条
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
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剖析 对于(1)，设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则
sinα＝y，cosα＝x.所以，要作出满足sinα＝
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4．若π4<α<π2，则下列正确的是( ) A．cosα<tanα<sinα B．sinα<cosα<tanα C．tanα<sinα<cosα D．cosα<sinα<tanα
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解析 可在单位圆中作出α的三角函数线，根据图形可知 MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．∵π4<α<π2， ∴OM<MP<AT，∴cosα<sinα<tanα.
思考探究 1.怎样认识三角函数线与三角函数值之间的关系？ 提示 正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切 函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对 值．方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正 值，反向的为负值．
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2．第二象限或第三象限内的角的正切线怎样作？ 提示 在单位圆中，过(1,0)点作x轴的垂线x＝1与角的终 边的反向延长线交于T，则AT即为角的正切线.
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自测自评 1.不论角α的终边的位置如何，在单位圆中作三角函数线 时，下列说法正确的是( ) A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．正弦线、余弦线总可以作出 C．正弦线、余弦线、正切线都有可能不存在 D．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但有可能不 止一条
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sinα＝23； (2)cosα＝－35； (3)tanα＝2.
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剖析 对于(1)，设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则
sinα＝y，cosα＝x.所以，要作出满足sinα＝
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4．若π4<α<π2，则下列正确的是( ) A．cosα<tanα<sinα B．sinα<cosα<tanα C．tanα<sinα<cosα D．cosα<sinα<tanα
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解析 可在单位圆中作出α的三角函数线，根据图形可知 MP是正弦线，OM是余弦线，AT是正切线．∵π4<α<π2， ∴OM<MP<AT，∴cosα<sinα<tanα.
人教A版高中数学必修四必修4三角函数复习课件
则同时具有以下两个性质的函数是( A )
①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对 称.
2. 关 于 函 数 f(x)= ２ sin(3x-3π/4 ） ， 有 下 列
命题： ①其最小正周期是2π/3； ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位 得到； ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4)； ④在x∈[π/12，5π/12]上为增函数.
成立的 x 取值范围是（C）
(
A)(
4
,
2
)
(
,
5
4
)(
B)(
4
,
)
2、（(C00)(年4 ）, 54函)(数D)y(
4
,x c)os x(的54部, 3分2 )图
象是（ D ）
y
y
y
y
0x
( A)
0x
(B)
0x
(C )
0x
(D)
例9、(98年)关于函数 f (x) 4sin(2x )(x R)有
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
方法指导：此类例题的结果可分为以下二种情况. (1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有 一解. (2)已知一个角的某三角函数值，但不知角所在象限， 有两解.
一、诱导公式
sin( k 2 ) sin
诱导公式一 cos( k 2 ) cos
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt
π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
cos OM tan AT
O P
A(1,0)
α的终边
终边落在第四象限
y
α
sin MP
M A(1,0)
O
P
T
x
cos OM tan AT
α的终边
α的终边 y P α
M
三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α
O y
O
M A(1,0)
x
sin MP cos OM
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
用 途
三角函数线的具体作用 :
1.比较两个三角函数值的大小
实例
剖析
3π 例1、作出 2π 的正弦线、余弦线和正切线.. 4 3
解：在直角坐标系中作单位圆如图示 2
y y
以x轴的正半轴为始边作出 的角， 3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴，垂足
为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作 x轴的垂线, 与OP的反向延长线交于T点，
P
高中数学人教B版必修4 1.2 教学课件 《单位圆与三角函数线》(人教)
人民教育出版社 高中必修4
我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心
与坐标原点重合，如图所示，设任意角α 与单位圆
交于点 P(x , y)，则r = |OP| = 1。
sinα =
y 1
=y
cosα =
x 1
=x
y α终边 P(x , y)
O
x
探究点2：正弦线、余弦线
人民教育出版社 高中必修4
人民教育出版社 高中必修4
(2)三角函数线的方向： 正弦线由垂足指向α 的终边与单位圆的交点， 余弦线由原点指向垂足； 正切线由切点A指向与α 终边或者终边延长线的交点。
人民教育出版社 高中必修4
例题精讲
类型一 作任意角的三角函数线
例1.分别作出2π 和- 3π的正弦线、余弦线和正切线.
3
4
人民教育出版社 高中必修4
oM
x
人民教育出版社 高中必修4
问题3：当终边在第一象限时，角α 的正、余弦与Ｐ
点的纵、横坐标y，x之间有何关系？ y
sin y y
1
cos
=
x 1
x
P N
o
M
x
【思考1】随着α 在第一象限内转动，MP是否也跟着
变化？而它的数量值是否永远等于sinα ？OM是否也
跟着变化？而它的数量值是否永远等于cosα ？
人民教育出版社 高中必修4
四个象限角的正切线
人民教育出版社 高中必修4
人民教育出版社 高中必修4
问题6: α 终边在x轴、y轴上时，三角函数线有何特点？ 数量值是多少？ 答：角α 的终边在x轴上时，点P与点M 重合，点 T 与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点， 它们的数量为0，而余弦线OM=1或-1。
【2019-2020高一数学课件】人教A版数学必修4第一章三角函数《单位圆与三角函数线》 复习课件
MP.
2．三角函数线：如图为角 α 的三种三角函数线，则：sinα ＝ MP ；cosα＝ OM ；tanα＝ AT .
[答一答] 1．当角 α 的终边与 x 轴、y 轴重合时，正弦线、余弦线、 正切线如何？
提示：当角 α 的终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线分别变 成一个点，余弦线不变；
当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不 存在，正弦线不变．
2．如图为角 α，β 的三角函数线，请根据图中的三角函数线， 完成下列填空：(用“>”或“<”填空)
(1)sinβ > sinα.(2)cosα > cosβ. (3)tanβ > tanα.
类型一 任意角的三角函数线
[例 1] (1)作出－π3的正弦线； (2)作出43π的正切线． [分析] 作三角函数线时，应根据三角函数线的定义，先找 到 P，M，T 点，再画出 MP，OM，AT.
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 1首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三 角函数线画出角 x 满足条件的终边范围. 2在应用三角函数线时，可根据这样一句话来理解：角的 终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵 坐标是该角的正弦值，写角的范围时，抓住边界值，然后再注意 角的范围的写法要求.
2．三角函数线的定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、 正切线，还给出了角 α 的三角函数线的画法，体现了数形结合思 想，以“形”说“数”．也就是在“数”的角度认识任意角的三 角函数的基础上，又从图形角度考察任意角的三角函数，即用向 量的长度表示三角函数的数值，这也是三角函数与其他基本初等 函数不同的地方．
A．在 x 轴上
B．在 y 轴上
C．在直线 y＝x 上
高中数学 1.2.2《单位圆与三角函数线》(1) 新人教B版必修4
ppt课件
练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
|cos x |
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(
C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
ppt课件
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( C)
证明：sinα=|ON|=|MP|,
α= AP
tanα=|AT|.
y
N
PT
x
又 S扇形OAPSOAT
O
MA
所以 1OA1OAAT
2
2
即sinα<α<tanα .
ppt课件
小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 A T
ppt课件
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
ppt课件
x
其反向延长线)相交于点
练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
|cos x |
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(
C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
ppt课件
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( C)
证明：sinα=|ON|=|MP|,
α= AP
tanα=|AT|.
y
N
PT
x
又 S扇形OAPSOAT
O
MA
所以 1OA1OAAT
2
2
即sinα<α<tanα .
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小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点
在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 A T
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3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
ppt课件
x
其反向延长线)相交于点
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又当角的终边相同时有
2
2k , k Z
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
一、图像
诱导公式 一般形式 恒等变换
1、通过单位圆和三角函数线以及运动变化来绘制正弦 图像 2、合理运用诱导公式以及平移思想来得出余弦图像
三角定义 函数线
诱导公式
二、y Asin(x ) 图像
一般形式
恒等变换
三角定义 函数线
诱导公式
二、y Asin(x ) 图像变换
一般形式
恒等变换
1.对于函数 y=Asin(x+) (A>0, >0):
A --- 振幅,
T 2 --- 周期,
x+ --- 相位, --- 初相.
f 1 ---Leabharlann 频率,T--- 圆周运动角速度.
2.图象的变换: 周期变换
单位圆定义法：
正弦： 余弦： 正切：
AB
sin b
OA
cos OB a
OA
tan AB b (a 0)
OB a
y
A(a, b)
oB
x
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
1
r
a2 b2 1,sin b,sin
3 2
2 cos a,cos 1
2
3 tan b (a 0),tan 3
(1)伸缩变换 振幅变换
( ----- 形状变换)
左右平移 (2)平移变换 上下平移
( ----- 位置变换)
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
一、恒等变换理论依据以及公式推导
cos( ) cos cos sin sin
OM OB BM OB CP
cos 2 cos2 sin2
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
归纳总结
1、充分挖掘和利用单位圆的相关性质，结合角度的变换， 从而更加形象深刻地理解相关的公式。
2、把单位圆作为联系的桥梁，全面掌握角度的对称变换、 旋转变换和相关的意义。
单位圆在三角函数中的应用
三角定义
函数线 诱导公式
一般形式 恒等变换
三角 定义
函数 线
诱导 公式
一般 形式
恒等 变换
单位圆
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式
单位圆定义
恒等变换
单位圆：平面内到坐标原点的距离为1的所有点的集合 圆心（0,0）半径为1
y
o
x
三角定义 函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
三角函数定义
OAcos AP sin cos cos sin sin
y
P'
A
C P
o BM
x
1、 相当于角 的终边顺时针旋转了 角度。
2、体现了角的旋转变换思想的运用
3、同理可得如果逆时针旋转则为
4、使用诱导公式可以得出sin( ) sin cos cos sin
5、如果 则为倍角公式 sin 2 2sin cos
诱导公式
诱导公式
一般形式
恒等变换
一、角的对称变换
1、关于X轴对称
y
sin( ) sin( )
P(a, b)
cos( ) cos( ) tan( ) tan( ), ( k , k Z )
2
o
x
p/(a, b)
同理可得：关于y轴对称
,
2
关于原点对称 ,
3、数学和物理的有机结合可以方便理解相关概念。
a
突出 重点
函数线
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
三角函数线
函数线：用有向线段表示
y
PT
1、正弦线: MP 2、余弦线: OM 3、正切线: AT
o M A(1,0) x
突破
在其他象限又该如何表示呢？
难点
三角定义
函数线
诱导公式 一般形式 恒等变换
典型例题
思路：利用面积大小比较
三角定义 函数线