2019届高三文科数学高考模拟卷4含答案

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云南省昆明市2019届高三高考模拟(第四次统测)文科数学试题(解析版)

2019年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |0≤x ≤2}，集合B ={x |x 2≤4}，则A ∩B =（）A. {0,1，2}B. {−2,−1,0，1，2}C. [0,2]D. [0,4] 2. 设复数z 满足（1+i ）z =3-i ，则|z |=（）A. √5B. 2√2C. √10D. 5 3. 已知命题p ：∃x 0＜0，e x 0+e −x 0＜2，则￢p 为（）A. ∃x 0≥0，e x 0+e −x 0≥2B. ∃x 0<0，e x 0+e −x 0≥2C. ∀x ≥0，e x +e −x ≥2D. ∀x <0，e x +e −x ≥2 4. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≤0,x+y−1≥0,则x +2y （）A. 有最小值也有最大值B. 无最小值也无最大值C. 有最小值无最大值D. 有最大值无最小值5. 如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A. 电视机销量最大的是第4季度B. 电冰箱销量最小的是第4季度C. 电视机的全年销量最大D. 电冰箱的全年销量最大6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4+2π3 B. 4+4π3 C. 12+2π3 D. 12+4π37.已知直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为（）A. 1B. ±1C. √3D. ±√38.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为（）A. B. C. D.9.将函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π4个单位，所得图象对应的函数在区间[-m，m]上单调递增，则m的最大值为（）A. π8B. π4C. 3π8D. π210.数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A. S2019=F2021+2B. S2019=F2021−1C. S2019=F2020+2D. S2019=F2020−111.已知函数f（x）=ax2+bx+c ln x（a＞0）在x=1和x=2处取得极值，且极大值为−52，则函数f（x）在区间（0，4]上的最大值为（）A. 0B. −52C. 2ln2−4D. 4ln2−412.三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上．若△PAC是等边三角形，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（）A. 2B. 3C. 2√3D. 3√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗，b⃗ 均为单位向量，若|a⃗-2b⃗ |=√3，则a⃗与b⃗ 的夹角为______．14.已知递增等比数列{a n}满足a2+a3=6a1，则{a n}的前三项依次是______．（填出满足条件的一组即可）15.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x-3y+11=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为______．16.已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）．若a n=A sin（ωn+φ）+c(ω＞0，|φ|＜π2)，则实数A=______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知√3asinB−bcosA=0．（1）求角A；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2DC．（1）若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；的（2）设四棱锥M-ABB1A1与四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求V1V2值．19.某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.9．（1）若引种树苗A、B、C各10棵．①估计自然成活的总棵数；②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A的概率；（2）该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？)．20.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(−√3，0)，且C经过点P(√3，12（1）求C的方程；（2）设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．21. 已知函数f （x ）=a （x -sin x ）（a ∈R 且a ≠0）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设g(x)=e x (14x 2+2x −1)−ax +a ，若对任意x ≥0，都有f （x ）+g （x ）≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosα，y =√3sinα，（α为参数），直线l 的参数方程为{y =tsinβ,x=tcosβ,（t 为参数，0≤β＜π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |-|OB |=2，求β．23. 已知函数f （x ）=|2x -1|．（1）解不等式f （x ）+f （x +1）≥4；（2）当x ≠0，x ∈R 时，证明：f(−x)+f(1x )≥4．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|-2≤x≤2}；∴A∩B=[0，2]．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：由（1+i）z=3-i，得z=，∴|z|=．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∃x0＜0，＜2，则￢p为：∀x＜0，e x+e-x≥2．故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：可知平移直线x+2y=0，经过可行域的A时，x+y取得最小值；没有最大值，故选：C．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断选项即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：由某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，知：在A中，电视机销量所占面百分比最大的是第4季度，故A错误；在B中，电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度，故B错误；在C中，电视机的全年销量最大，故C正确；在D中，电视机的全年销量最大，故D错误．故选：C．电视机销量所占面百分比最大的是第4季度；电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度；电视机的全年销量最大．本题考查命题真假的判断，考查百分比堆积图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数据处理能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正四棱柱，上部为半球体的组合体；且正四棱柱的底面边长为2，高为3，半球体的半径为1；所以，该组合体的体积为V几何体=2×2×3+=12+．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体与半球体的组合体，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．7.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2-6y+6=0即x2+（y-3）2=3，其圆心为（0，3），半径r=，直线y=ax与圆C：x2+y2-6y+6=0相交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得：a=±；故选：D．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合等边三角形的性质分析可得圆心C 到直线y=ax的距离d=，则有=，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意将原问题转化为点到直线的距离，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由于函数y=-ln（x+1）在（-1，0），（0，+∞）单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1-ln2＞0，故排除C，故选：A．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为y=sin（2x+）在区间[-m，m]上单调递增，∴2m+≤，且-2m+≥-，求得m≤，则m的最大值为，故选：A．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得m的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：F n+2=F n+F n+1=F n+F n-1+F n=F n+F n-1+F n-2+F n-1=F n+F n-1+F n-2+F n-3+F n-2=…=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，∴S2019=F2021-1故选：B．利用迭代法可得F n+2=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果．本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．11.【答案】D【解析】解：函数的导数f′（x）=2ax+b+=∵f（x）在x=1和x=2处取得极值，∴f′（1）=2a+b+c=0 ①f′（2）=4a+b+=0 ②，∵f（x）极大值为，∵a＞0，∴由函数性质当x=1时，函数取得极大值为，则f（1）=a+b+cln1=a+b=，③，由①②③得a=，b=-3，c=2，即f（x）=x2-3x+2lnx，f′（x）=x-3+==，由f′（x）＞0得4≥x＞2或0＜x＜1，此时为增函数，由f′（x）＜0得1＜x＜2，此时f（x）为减函数，则当x=1时，f（x）取得极大值，极大值为，又f（4）=8-12+2ln4=4ln2-4＞，即函数在区间（0，4]上的最大值为4ln2-4，故选：D．求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系，建立方程组求出a，b，c的值，结合函数最值性质进行求解即可．本题主要考查函数极值和最值的应用，根据条件求函数的导数，建立方程组求出a，b，c的值是解决本题的关键．难度不大．12.【答案】B【解析】解：设AC的中点为D，连接PD，则PD⊥AC，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴AC为平面ABC所在截面圆的直径，∴球心O在直线PD上，又△PAC是等边三角形，∴△PAC的中心为棱锥外接球的球心，即OP=2，∴OD=1，AC=2，∴B到平面APC的距离的最大值为AC=，∴三棱锥P-ABC体积的最大值为V=×××=3．故选：B．根据三角形的形状判断球心O的位置，得出B到平面APC的最大距离，再计算体积．本题考查棱锥与外接球的位置关系，球的结构特征，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：∵，均为单位向量，设与的夹角为θ，又|-2|=，∴，∴=，则与的夹角cos=，∴，故答案为：．由|-2|=，结合向量数量积的性质可求，然后代入到夹角公式cos即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14.【答案】1，2，4（填首项为正数，公比为2的等比数列均可）【解析】解：因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q＞1，则a1≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．不满足递增．取a1=1，则{a n}的前三项依次是1，2，4．故答案为：1，2，4．因为等比数列的项a n≠0，故由a2+a3=6a1得，q+q2=6，所以q=2或q=-3，若q ＞1，则a≥1时即可满足等比数列{a n}递增，若q＜0，则{a n}为摆动数列．解决本题的关键在于了解等比数列递增，递减时应满足的条件，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，∴过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线，则点到直线的距离为d1+d2最小值，∵F（1，0），直线4x-3y+11=0，∴d1+d2==3，故答案为：3．利用抛物线的定义，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将d1+d2的最小值转化为点到直线的距离是关键．16.【答案】−2√33【解析】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a3=3，a n+3=a n（n∈N*）；且a n=Asin（ωn+φ）+c（ω＞0，|φ|＜），∴=3，解得ω=；∴a n=Asin（n+φ）+c（|φ|＜），∴1=Asin（+φ）+c，2=Asin（+φ）+c，3=Asin（2π+φ）+c；化为：1=Asin（+φ）+c，2=-Asin（+φ）+c，3=Asinφ+c；∴1=Asinφ+Asin（+φ），2=Asinφ-Asin（+φ）；联立方程组，化简得，解得Asinφ=1，Acosφ=-；∴tanφ=-；又|φ|＜，∴φ=-，∴A==-．故答案为：-．根据题意知a n=Asin（ωn+φ）+c的最小正周期为T=3，由此求得ω的值，再令n=1、2、3，联立方程组求出A的值．本题考查了数列递推关系、数列与三角函数的周期性，也考查了推理与计算能力，是中档题．17.【答案】解：（1）由√3asinB−bcosA=0及正弦定理得：√3sinAsinB−sinBcosA=0，因为sin B≠0，所以√3sinA=cosA，即tanA=√33．因为0＜A＜π，所以A=π6．……………………………………（6分）（2）因为a=2，所以4=c2+b2−√3bc≥2bc−√3bc，所以4(2+√3)≥bc，因为S△ABC=12bcsinA=14bc，所以当且仅当b=c=√6+√2时S△ABC最大，所以S△ABC最大值为2+√3．………………………（12分）【解析】（1）通过已知条件，结合正弦定理，转化求解A即可．（2）利用余弦定理以及基本不等式求出bc，说明面积的最大值即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.【答案】（1）证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD=A，所以BA⊥平面AA1D1D，MA1⊂平面AA1D1D，故BA⊥MA1．……………………（2分）因为AD=DM，所以∠AMD=45°，同理∠A1MD1=45°，所以AM⊥MA1，又AM∩BA=A，所以MA1⊥平面AMB，………………（4分）MA1⊂平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1；………………（6分）（2）解：设AD=1，四棱锥M-ABB1A1的底面ABB1A1的面积为S ABB1A1=4，高为AD=1，所以四棱锥M-ABB1A1的体积V1=13S ABB1A1×AD=43，………………（8分）四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的面积为S ABCD =32，高为AA 1=2，所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，………………（10分）即V 1V 2=49．………………………………（12分）【解析】（1）证明AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，推出BA ⊥平面AA 1D 1D ，得到BA ⊥MA 1．证明AM ⊥MA 1，即可证明MA 1⊥平面AMB ，说明平面AMB ⊥平面A 1MB 1．（2）设AD=1，求出四棱锥M-ABB 1A 1的体积，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 2=S ABCD ×AA 1=3，即可得到比值．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 19.【答案】解：（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26，所以自然成活的总棵数为26．②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗，分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，可能的情况有：（a 1，a 2），（a 1，b ），（a 1，c ），（a 2，b ），（a 2，c ），（b ，c ），抽到的两棵都是树苗A 的概率为16．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为0.9n +(1−0.9)n ×34×0.8=0.96n ，未能成活的棵数为n -0.96n =0.04n ，由题意知0.96n ×300-0.04n ×50≥200000，则有n ≥699.3．所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．【解析】（1）①依题意：10×0.8+10×0.9+10×0.9=26，由此能求出自然成活的总棵数． ②没有自然成活的树苗共4棵，其中两棵A 种树苗、一棵B 种树苗、一棵C 种树苗，分别设为a 1，a 2，b ，c ，从中随机抽取两棵，利用列举法能求出抽到的两棵都是树苗A 的概率．（2）设该农户种植B 树苗n 棵，最终成活的棵数为，未能成活的棵数为n-0.96n=0.04n ，由题意知0.96n×300-0.04n×50≥200000，由此能求出该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．本题考查自然成活动总棵数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.【答案】（1）解：由题意，设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，则c =√3，椭圆的另一个焦点为F 2(√3，0)，由椭圆定义得2a =|PF 1|+|PF 2|=72+12=4，则a =2， ∴b =√a 2−c 2=1， ∴C 的方程x 24+y 2=1；（2）证明：由已知得D （0，1），由{y =kx +mx 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-4=0，当△＞0时，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=m 2−4k 21+4k 2，由AD ⊥BD 得，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，即5m 2−2m−31+4k 2=0，∴5m 2-2m -3=0，解得m =1或m =−35， ①当m =1时，直线l 经过点D ，舍去；②当m =−35时，显然有△＞0，直线l 经过定点(0，−35)．【解析】（1）由题意设椭圆，可得，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解a=2，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）由已知得D （0，1），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横纵坐标的和与积，结合AD ⊥BD ，得=x 1x 2+（y 1-1）（y 2-1）=0，由此求解m 值，得到当时，有△＞0，直线l 经过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cos x）．当a＞0时，x∈R，f'（x）≥0，所以f（x）在R上单调递增．当a＜0时，x∈R，f'（x）≤0，所以f（x）在R上单调递减．…………………（4分）（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，则有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有f(x)+g(x)=e x(14x2+2x−1)+a(1−sinx)≥0．由于x∈R时，1-sin x≥0，当a≥1时，则有f(x)+g(x)≥e x(14x2+2x−1)+1−sinx．只需证明对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．………………（6分）证明：由（1）可知f（x）=x-sin x在[0，+∞）上单调递增；所以当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sin x，所以1-x≤1-sin x，则e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥e x(14x2+2x−1)+1−x．……（7分）设F(x)=e x(14x2+2x−1)+1−x，x≥0，则F′(x)=e x(14x2+52x+1)−1．当x≥0时，e x≥1，14x2+52x+1≥1，所以F'（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增；当x≥0时，F（x）≥F（0）=0．所以对任意x≥0，都有e x(14x2+2x−1)+1−sinx≥0．所以，当a≥1时，对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0．………………（12分）【解析】（1）f（x）的定义域为x∈R；由题意，得f'（x）=a（1-cosx）．对a分类讨论即可得出单调性．（2）由题意得，当x=0时，f（0）+g（0）=a-1≥0，有a≥1．下面证当a≥1时，对任意x≥0，都有．只需证明对任意x≥0，都有．由（1）可知f（x）=x-sinx在[0，+∞）上单调递增．当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即x≥sinx，可得1-x≤1-sinx，．设，x≥0，利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程可得普通方程为（x-2）2+y2=3，即x2+y2-4x+1=0，……………………（2分）所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．……………………（5分）（2）由直线l 的参数方程可得直线的极坐标方程为θ=β（ρ∈R ），……………（6分）因为直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，所以设A （ρ1，β），B （ρ2，β），联立{θ=βρ2−4ρcosθ+1=0可得ρ2-4ρcosβ+1=0，…………………（7分）因为△=16cos 2β-4＞0，即cos 2β＞14，…………………（8分）所以|OA |-|OB |=|ρ1-ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2β−4=2，解得cosβ=±√22，所以β=π4或3π4．…………………（10分）【解析】（1）先消去α得普通方程，再通过互化公式化成极坐标方程；（2）利用直线l 和曲线C 的极坐标方程联立，根据极径的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）原不等式f （x ）+f （x +1）≥4等价于|2x -1|+|2x +1|≥4，等价于{x ＜−12−4x ≥4 或{−12≤x ≤122≥4或{x ＞124x ≥4，解得x ≤-1或x ≥1，所以原不等式的解集是（-∞，-1]∪[1，+∞）．（2）当x ≠0，x ∈R 时，f （-x ）+f （1x ）=|-2x -1|+|2x −1|，因为|-2x -1|+|2x −1|≥|-2x -1-（2x -1）|=|2x +2x |=2|x |+2|x|≥4，当且仅当{(2x +1)(2x −1)≥02|x|=2|x|即x =±1时等号成立，所以f(−x)+f(1x )≥4．【解析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值不等式和基本不等式即可证明．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．。

2019年高三文科数学高考仿真模拟卷4含答案

2019年高三文科数学高考仿真模拟卷文科数学（4）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（）A ．3B ．4C ．5D ．62．复数2=（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元4．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点与右顶点的直线方程为240x y +-=，则椭圆C的标准方程为（）A ．221164x y +=B ．221204x y +=C ．221248x y +=D ．221328x y +=5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（） A ．2-B ．2C ．e -D ．e7．函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin 3g x A x =的图象，只需将()f x 的图象（）A ．右平移π4个单位长度 B ．左平移π4个单位长度 C ．右平移π12个单位长度 D ．左平移π12个单位长度 8．如图，在ABC △中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（）A ．23B ．25C ．16D ．349．如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）A ．4πB ．2πC ．4π3D ．π10．在四面体ABCD 中，1AB =，BC CD ==AC ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（） A ．2πB ．3πC ．6πD ．8π11已知函数()sin f x x x =-，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（） A ．π3B ．π2C ．2π3D ．3π412．]定义在R 上的函数()f x 满足：()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，()()22f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋯+=（）A ．336B ．337C ．338D ．339第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．14．设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y +---=与x 轴交于A ，B 两点，若动直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且CMN △的面积为4，若P 为MN 的中点，则PAB △的面积最大值为_______．16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C是锐角，且a =1cos 3A =，则ABC △的面积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()()2121232n n n a n a n n ++=+-++，设1nn a b n =+．（1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等差数到，并说明理由；（3）求数列{}n a 的通项公式．18．（12分）为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中0a >）．（1）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（2）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[]40,45的产品的概率；（3）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．19．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，14CC =，2AB BC ==，AC =M 是棱1AA ，上不同于A ，1A 的动点．（1）证明：1BC B M ⊥；（2）若190CMB ∠=︒，判断点M 的位置并求出此时平面1MB C 把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．20．（12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()1,0B ，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．21．（12分）已知函数()()1e 1ln x f x a x x -=--+（a ∈R ，e 是自然对数的底数）．（1）设()()g x f x '=（其中()f x '是()f x 的导数），求()g x 的极小值；（2）若对[)1,x ∈+∞，都有()1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2f x x a x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集；（2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t ．若33t b +=，求12a b+的最小值．文科数学答案（4）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2．【答案】D【解析=，∴22i22⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭．故选D ． 3．【答案】D【解析】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：600015%10%100x ⨯-⨯=．解得8000x =．故选D ． 4．【答案】A【解析】直线方程为240x y +-=，令0x =，则2y =，得到椭圆的上顶点坐标为()0,2，即2b =，令0y =，则4x =，得到椭圆的右顶点坐标为()4,0，即4a =，从而得到椭圆方程为：221164x y +=．故选A ．5．【答案】B【解析】在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线有：1AD ，AC ，11D B ，1B C ，共4条．故选B ． 6．【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的导数为()ln 1f x x '=+，设切点为(),m n ，则ln n m m =，可得切线的斜率为1ln k m =+， ∴e ln e1ln n m m m m m+++==，解得e m =，1lne 2k =+=，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故3ω=，又函数的图象的第二个点是π,04⎛⎫⎪⎝⎭，∴π3π4ϕ∴⨯+=，∴π4ϕ=，∴()πsin 34f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()ππsin 3sin 3124g x A x A x ⎡⎤⎛⎫==-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴只需将函数()f x 的图形要向右平移π12个单位，即可得到()g x 的图象，故选C ． 8．【答案】C【解析】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-，又23AN NC =，∴25AN AC =，∴()215AP mAC m AB =+-，又13AP t AB AC =+，∴12153m tm -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，故选C ．9．【答案】B【解析】应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体积为：211π42π2⨯⨯=．故选B ．10．【答案】C【解析】∵1AB =，BCAC 222AB AC BC +=， ∴ABC △是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC = 当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R =因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为()224ππ26πR R =⨯=．故选C ． 11．【答案】C【解析】∵()1πsin 2sin 2sin 23f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=-，即12ππ2sin 2sin 433x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12ππ2sin sin 233x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12ππsin sin 133x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1πsin 13x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且2πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或2πsin 13x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且1πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴11ππ2π32x k -=+，22ππ2π32x k -=-，或21ππ2π32x k -=+，12ππ2π32x k -=-，k ∈Z ． ∴()()12122π2π3x x k k k +=++∈Z ，显然，当120k k +=时，12x x +的最小值为2π3，故选C ． 12．【答案】C【解析】∵()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，()()22f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =， ∴()11f =，()22f =，()()331f f =-=-，()()420f f =-=，()()511f f =-=-，()()600f f ==，∴()()()()()()6123451f f f f f f +++++=， ∵()()6f x f x +=，∴()f x 的周期为6，∴()()()()()()()1232019336123338f f f f f f f +++⋯+=+++=．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,0A ，函数2z x y =-为22x z y =-，由图可知，当直线22x zy =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为1．故答案为1．14．【答案】()(),0e,-∞+∞【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞，可得答案()(),0e,-∞+∞．15．【答案】8【解析】当0y =时，2230x x --=解得1x =-或3x =，即()1,0A -，()3,0B ，圆的标准方程：()()22128x y -+-=圆心()1,2C ，半径r =，CMN △的面积为4，即142S MCN =⨯∠=，则sin 1MCN ∠=，即90MCN ∠=︒，4MN ==，122CP MN ==，要使PAB △的面积最大，则CP AB ⊥，此时三角形的高224PD =+=，()314AB =--=，则PAB △的面积14482S =⨯⨯=．故答案为8．16．[2019·河南联考]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c o s 1c o s 2c o s 1c o s 2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且a =，1cos 3A =，则ABC △的面积为__________．【答案】【解析】由正弦定理可得cos sin cos cos sin cos b C B Cc B C B=，又由余弦的倍角公式可得221cos 22cos 1cos 22cos C C B B +=+， ∴sin cos sin cos B C C B =，即sin2sin2B C =，∴B C =或π2B C +=，又1cos 3A =，∴π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴B C =，∴2222cos a b c bc A =+-，整理得2222283b b -=，解得b c ==∴1sin 2S bc A ==三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）11b =，23b =，35b =；（2）是，见解析；（3）221n a n n =+-．【解析】（1）将1n =代入得123212a a =-，又12a =，∴29a =，将2n =代入得234324a a =-，∴320a =；从而11b =，23b =，35b =．（2）数列{}n b 是以1为首项，公差为2的等差数列．由条件，将()()()2121232n n n a n a n n ++=+-++两边同时除以()()12n n ++得：()()()()()()()21123221212n nn a n n n a n n n n ++-+++=++++，化简得1221n n a an n +-=++，即12n n b b +-=， ∴数列{}n b 是以1为首项，公差为2的等差数列．（3）由（2）可得()12121n b n n =+-=-， ()()()2112121n n a n b n n n n =+=+-=+-．18．【答案】（1）0.14；（2）23；（3）乙．【解析】（1）由频率分布直方图得()0.0200.0220.0280.0420.08051a +++++⨯=，解得0.008a =，∴甲企业的样本中次品的频率为()0.02050.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为0.14．（2）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于[]40,45的产品”为事件M ，记质量指标值在[]15,20内的2件产品的样本分别为1A ，2A ，质量指标值在[]40,45内的确件产品样本分别为1B ，2B ，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有6种，分别为：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()12,B B ，而事件M 包含的结果有4种，分别为：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ， ∴这两件次品中恰有一件指标值属于[]40,45的产品的概率4263P ==．（3）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， ∴认为乙企业产品的食品生产质量更高． 19．【答案】（1）见证明；（2）1:1．【解析】（1）在ABC △中，∵2228AB BC AC +==，∴90ABC ∠=︒，∴BC AB ⊥，又∵1BC BB ⊥，1BB AB B =，∴BC ⊥平面11ABB A ，又1B M ⊂面11ABB A ，∴1BC B M ⊥．（2）当190CMB ∠=︒时，设()04AM t t =<<，∴14A M t =-，则在Rt MAC △中，228CM t =+，同理：()22144B M t =-+，2116420B C =+=，据22211B C MB MC =+，∴()2284420t t ++-+=，整理得2440t t -+=， ∴2t =，故M 为1AA 的中点，此时平面1MB C 把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥1C ABB M -和四棱锥111B A MCC -，由（1）知四棱锥1C ABB M -的高为2BC =，124262ABB M S +=⨯=梯形，∴116243C ABB M V -=⨯⨯=锥，又248V =⨯=柱，∴111844B A MCC V -=-=锥，故两部分几何体的体积之比为1:1． 20．【答案】（1）()240y x x =≠；（2）2π3．【解析】（1）设点C 的坐标为(),x y ，则BC 的中点D 的坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，点A 的坐标为0,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．1,2y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2y AC x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由AB AC ⊥，得204y AB AC x ⋅=-=，即24y x =，经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去． ∴轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．（2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+，点C 、E 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，圆心P 的坐标为()00,x y ．由241y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-． ∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +==+． ∴圆P 的半径()()221211124422222r CE x x m m ==++=+=+．过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2MPQ α∠=．在Rt PQM △中，2022211cos 122222PQx m r r m m α+====-++，当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos 2α取得最小值为12，2α取得最大值为π3，∴α的最大值为2π3． 21．【答案】（1）2a -；（2）(],2-∞．【解析】（1）()()()11e 0x g xf x a x x -=+-'=>，()121e x g x x--'=．令()()()121e 0x x g x x x ϕ-=-'=>，∴()132e 0x x xϕ-'=+>，∴()g x '在()0,+∞上为增函数，()10g '=．∵当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，∴()g x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，∴()()12g x g a ==-极小．（2）由（1）知，()f x '在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，∴()()12f x f a ''≥=-．当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1,+∞上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件；当2a >时，()120f a ='-<．又∵()ln 11ln 1e 0ln 1ln 1a f a a a a +=-+=>++'，∴()01,ln 1x a ∃∈+，使得()00f x '=，此时，()01,x x ∈，()0f x '<；()0ln 1,x x a ∈+，()0f x '>，∴()f x 在()01,x 上单调递减，()01,x x ∈，都有()()11f x f <=，不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(],2-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）224x y +=，20x +=；（2）2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）由2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，即曲线1C 的普通方程为224x y +=，又由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 166ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为20x -+=，即曲线2C的平面直角坐标方程为20x +=．（2）∵圆心O 到曲线2C：20x +=的距离112d r ===，如图所示，∴直线40x +=与圆的切点A 以及直线0x =与圆的两个交点B ，C 即为所求．∵OA BC ⊥，则OA k =OA l 的倾斜角为2π3，即A 点的极角为2π3，∴B 点的极角为2πππ326-=，C 点的极角为2ππ7π326+=， ∴三个点的极坐标为2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫⎪⎝⎭．23．【答案】（1）[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦（2）3+【解析】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，① 当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73x ≤-；当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<；当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13x ≥，此时1x ≥，综上，原不等式的解集为[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦．（2）由题意得，()()()223f x x a x a x a x a a =++-≥+--=， ∵()f x 的最小值为t ，∴3t a =，由333a b +=，得1a b +=，∴()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =时，12a b+的最小值为3+。

普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(4)(文科数学含答案详解)PDF.pdf

地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有
4．已知变量 x ， y 之间满足线性相关关系 yˆ =1.3x −1，且 x ， y 之间的相关数据如下表
（） A． 58
1
B． 59
C． 60
D． 61
【答案】C 【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是 1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选 C． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
= 15a1 3a1
= 5 ，选
C．
7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四
日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女
儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿
从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当
y = b ，即有 M (a，b) ，又 A(−a，0) ， MAB = 30 ，则直线 AM 的斜率 k = 3 ，又
3
( ) k = b ，则 3b2 = 4a2 = 3 c2 − a2 ，即有 3c2 = 7a2 ，则离心率 e = c = 21 ，故选 B．
2a
a3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13 ． △ABC 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2c cos B = 2a + b ，则 C = _________．【答案】120 【解析】∵ 2c cos B = 2a + b ，∴ 2c a2 + c2 − b2 = 2a + b ，即 a2 + b2 − c2 = −ab ，

2019年人教版高考数学仿真模拟文科试卷(四)(含答案)

2019年高考数学仿真模拟卷四文科数学（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|1}B x x =>，则A B =（）A. {}B. {}1,1-C. {}2,2-D. {}2,1,1,2--2. 已知2iz =，且z 的共轭复数为z ，则z z +=（） A. 2-B. 1-C. i -D. 2i -3. 某校高三年级共有1200名学生，且各班学生的整体水平基本一样。

下图是该校高三年级的某个班级在一次月考中，全部学生的数学分数在各个分数段的人数的统计图。

则下列说法中一定正确的是（）。

A. 该班级在这次月考中，及格（分数大于等于90分）的人数为48人B. 该校高三年级在这次月考中，有720人的数学分数不低于115分C. 该班级这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内D. 该校高三年级在这次月考中，数学分数的中位数在[115，125）内4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，312S =，则6a =（） A. 8 B. 10 C. 12 D. 145. 已知函数()()2sin 210,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若()()()1212=1f x f x x x =≠，且12x x -的最小值为2π，312f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A. 15,212πωϕ==B.1,212πωϕ==-C.1,6πωϕ==-D. 1,3πωϕ==6. 已知圆C ：()2224x y -+=与直线:10l kx y k --+=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围是（）A. (0,22B. (]0,4C. 2,4⎡⎤⎣⎦D. 22,4⎡⎤⎣⎦7. 执行如图所示的程序框图，若输入的1x =时，则输出的y =（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 20218. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为。

2019届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(四)

2019届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（四）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i+的虚部是（）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】21i 1i=-+，故虚部为1-．2．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（）．A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．3．已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=（）．A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C【解析】222222cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+221tan 1tan θθ-=+35=-．4．阅读如图的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为（）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】第1步：16n =，2k =；第2步：49n =，3k =；第3步：148n =，4k =；退出循环，4k =．5．已知函数122,0,()1log ,0,x x f x x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩≤则((3))f f =（）．A ．43B ．23C ．43-D ．3-【答案】A【解析】2(3)1log 3f =-，2222log 3log 324((3))223f f -===，选A ．6．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF 等于（）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】依题意，有：223a=，所以，3a =，因为1||2PF =．所以，点P 在双曲线的左支，故有21||||2PF PF a -=，解得：2||8PF =．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）．A ．14B ．716C ．12D ．916【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正，只有1人站起来的可能有4种，没有人站起来的可能有1种，所以所求概率为：24171616P ++==． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如下图所示，该几何体的俯视图为C ．C BAD P9．设函数32()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为0x y +=，则点P 的坐标为（）．A ．(0,0)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-或(1,1)-【答案】D 【解析】2()32f x x ax '=+，依题意，有：20000320003210x ax x y y x ax ⎧+=-⎪+=⎨⎪=+⎩，解得：0011x y =⎧⎨=-⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA PB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）．A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【答案】C【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P ABC -，如下图所示，其外接球的直径为对角线PC，PCR =为：20π．P ABC11．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（）．A ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】π()4f x x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数为奇函数且0πϕ<<，所以，ππ4ϕ+=，即3π4ϕ=，所以，())f x x ω=，又2ππ2ω=，所以，4ω=，()f x x =，其一个单调增区间为π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知函数π1()cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（）．A ．2016B ．1008C ．504D ．0【答案】B【解析】函数化为：1()sin 212x f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭， 11(1)sin 122x f x x x -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，有：()(1)1f x f x +-=，所以，201612016100820172k k f =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-，若()a a b -∥，则a b ⋅=__________．【答案】52-【解析】(1,3)a b x -=-，因为()a a b -∥，所以，32(1)0x +-=，解得：52x =，所以，55222a b ⋅=-=-．14．若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】22(1)2x y +-=【解析】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)，圆的半径为R 22(1)2x y +-=．15．满足不等式组(1)(3)0,0x y x y x a-++-⎧⎨⎩≥≤≤的点(,)x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值为__________．【答案】3【解析】不等式组化为：(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤≤或(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≤≤，画出平面区域如下图所示，平面区域为三角形ABC 、ADE ，(1,2)A ，(,1)B a a +，(3)C a -，面积为：11(22)(1)21522S a a =--+⨯⨯=，解得：3a =．16．在ABC △中，60ACB ∠=︒，1BC >，12AC AB =+，当ABC △的周长最短时，BC 的长是__________．【答案】1+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12160b c a C ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=︒⎪⎩，由余弦定理，得：2222cos c a b ab C =+-，即2221122c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a a c a -+=-，ABC △的周长：122a b c a c ++=++2121212a a a a -+=++- 2632(1)a aa -=-．令1t a =-，则三角形周长为：26(1)3(1)39932222t t t t t +-+=++≥，当332t t =，即t =1a =时ABC △的周长最短．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n =-∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T ．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =．当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．所以1*222()n n n a n -=⨯=∈N ．（Ⅱ）因为12222n n n S a +=-=-，所以12n n T S S S =+++2312222n n +=+++-4(12)212n n ⨯-=-- 2242n n +=--．18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本频率分布直方图频率质量指标（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．（Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++样本容量）【解析】（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为0.48(0.0120.0320.052)50.5(0.0120.0320.0520.076)50.86=++⨯<<+++⨯=，则(0.0120.0320.052)50.076(205)0.5x ++⨯+⨯-=，解得390019x =．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲，【注意有文字】乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1(0.0120.028)55P =+⨯=乙，【注意有文字】于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲乙两条流水线生产的不合格品件数分别为35000150010⨯=，1500010005⨯=．（Ⅲ）22⨯列联表：则22100(350600)4 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3 2.072<，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．图1图2E CBAD（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）若1AD =，AC 与其在平面ABD B到平面ADE 的距离．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ．因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥，又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D =，所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影AD ，即CAD ∠为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角．依题意tan CD CAD AD∠=，因为1AD =，所以CD =设(0)AB x x =>，则BD =因为ABD BDC △∽△，所以AB DC ADBD=，即1x解得x，故ABBD 3BC =．DABCE由于AB ⊥平面ADC ，AB AC ⊥，E 为BC 的中点，由平面几何知识得322BC AE ==，同理322BC DE ==，所以112ADES =⨯△．因为DC ⊥平面ABD，所以13A BCD ABD V CD S -=⋅△设点B 到平面ADE 的距离为d ，则1132ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====，所以d =，即点B 到平面ADE20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(2,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若P ，Q 是椭圆C 上两个不同的动点，且使PAQ ∠的角平分线垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为椭圆C，且过点(2,1)A ，所以22411a b +=，c a = 因为222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=．（Ⅱ）法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，直线AQ 的方程为1(2)y k x -=-．设点(,)p P P x y ，(,)Q Q Q x y ，由221(2),1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(14)(168)161640k x k k x k k +--+--=．① 因为点(2,1)A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k--=+，所以2288214P k k x k --=+．同理2288214Q k k x k +-=+．所以21614P Q k x x k -=-+．又28(4)14P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+．所以直线PQ 的斜率为12P QPQ P Qy y k x x -==-．所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．法2：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即121211022y y x x --+=--，① 因为点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在椭圆C 上，所以2211182x y +=，② 2222182x y +=．③ 由②得2211(4)4(1)0x y -+-=，得11111224(1)y x x y -+=--+，④ 同理由③得22221224(1)y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得12122204(1)4(1)x x y y +++=++，化简得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑥由①得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑦⑥-⑦得12122()x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得1212121214()2y y x x x x y y -+=-=-+．所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值．法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11y kx b =+，22y kx b =+，直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即12121122y y x x --=---，化简得12211212()2()40x y x y x x y y +-+-++=．把11y kx b =+，22y kx b =+代入上式，并化简得12122(12)()440kx x b k x x b +--+-+=．（*）由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8480k x kbx b +++-=，（**）则122841kb x x k +=-+，21224841b x x k -=+，代入（*）得2222(48)8(12)4404141k b kb b k b k k -----+=++，整理得(21)(21)0k b k -+-=，所以12k =或12b k =-．若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．若12k =时，合题意．所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．21．（本小题满分12分）已知函数()ln (0)a f x x a x=+>．（Ⅰ）若函数()f x 有零点，其实数a 的取值范围．（Ⅱ）证明：当2ea ≥时，()e x f x ->．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）法1：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞．由()ln a f x x x =+，得221()a x a f x x x x-'=-=．因为0a >，则(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．当x a =时，[]min ()ln 1f x a =+．当ln 10a +≤，即10ea <≤时，又(1)ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点．所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．法2：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞．由()ln 0a f x x x=+=，得ln a x x =-．令()ln g x x x =-，则()(ln 1)g x x '=-+．当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<．所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．故1e x =时，函数()g x 取得最大值1111ln e e e eg ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10ea <≤．所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦．（Ⅱ）要证明当2ea ≥时，()e x f x -=，即证明当0x >，2e a ≥时，ln e x a x x-+>，即ln e x x x a x -+>．令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+．当10e x <<时，()0f x '<时；当1ex >时，()0f x '>．所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．当1e x =时，[]min 1()eh x a =-+．于是，当2e a ≥时，11()e eh x a -+≥≥．① 令()e x x x ϕ-=，则()e e e (1)x x x x x x ϕ--'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减．当1x =时，[]min 1()ex ϕ=．于是，当0x >时，1()ex ϕ≤．② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当2ea ≥时，()e x f x ->．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线π:4C ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44θθ⎫=+⎪⎭ 2cos 2sin θθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=．（Ⅱ）设曲线C上的点为(1,1)P αα，则点P 到直线l的距离为d =当πsin 14α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若(1)3f <，求实数a 的取值范围．（Ⅱ）若1a ≥，x ∈R ，求证：()2f x ≥．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为(1)3f <，所以|||12|3a a +-<． ①当0a ≤时，得(12)3a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤． ②当102a <<时，得(12)3a a +-<，解得2a >-，所以102a <<． ③当12a ≥时，得(12)3a a --<，解得43a <，所以1423a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）因为1a ≥，x ∈R ．所以()|1||2||(1)(2)|f x x a x a x a x a =+-+-+---≥|31|=-a=-≥．312a。

2019年黑龙江省哈尔滨高考数学四模试卷(文科)(解析版)

2019年黑龙江省高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|x（x﹣2）＜0}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}2．复数﹣=（）A．0 B．2 C．﹣2i D．2i3．根据如图所示的程序语句，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．2 B．3 C．6 D．274．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．1235．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．87．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3 C．18 D．12+38．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣ C．3+2 D．3﹣29．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A ．B ．C ．D ．11．函数y=，x ∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A ．B ．C ．D ．12．在▱ABCD 中， •=0，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD ，2||2+||2=4，则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的半径为（）A ．1B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x ，y 满足不等式，则z=2x ﹣y 的最大值为______．14．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于______．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为______．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2，∠C=，且sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．①b=2a；②△ABC的周长为2+2；③△ABC的面积为；④△ABC的外接圆半径为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•3an（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．18．调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．附：=，=﹣．19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，P为A1B1中点．（Ⅰ）求证：CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）求点P到平面ACD1的距离．20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a＞1）的长轴长：y2=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C1的右焦点．为2，抛物线C（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与的交点分别为C，D，若•=2•，求直线l的方程．椭圆C21．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b为实数．（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b+）（a2++）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=ln（1﹣x）}，N={x|x（x﹣2）＜0}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出关于集合M、N的不等式，得到M的补集，从而求出（∁U M）∩N即可．【解答】解：M={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，N={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，∁U M={x|x≥1}，∴（∁U M）∩N={x|1≤x＜2}，故选：B．2．复数﹣=（）A．0 B．2 C．﹣2i D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：﹣=﹣=+=2i，故选：D．3．根据如图所示的程序语句，若输入的x值为3，则输出的y值为（）A．2 B．3 C．6 D．27【考点】伪代码．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由x=3，满足条件1≤x＜4，从而计算可得y的值．【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由于：x=3，满足条件1≤x＜4，可得：y=3﹣1=2．故选：A．4．观察下列各式：m+n=1，m2+n2=3，m3+n3=4，m4+n4=7，m5+n5=11，…，则m9+n9=（）A．29 B．47 C．76 D．123【考点】归纳推理．【分析】由题意可得到可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，问题得以解决．【解答】解：∵1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=47，29+47=76…∴可以发现从第三项开始，右边的数字等于前两项的右边的数字之和，∴m9+n9=76，故选：C．5．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据四种命题之间的关系，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假．【解答】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C6．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=（）A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用已知条件求解即可．【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，则=cosB=|BC|2=8．故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A．B．9+3 C．18 D．12+3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱，由梯形、矩形的面积公式求出各个面的面积求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是直四棱柱，其中底面是等腰梯形，上底、下底分别是1、2，高是1，则梯形的腰是=，侧棱与底面垂直，侧棱长是3，∴该几何体的表面积S=+=12+3，故选：D．8．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣ C．3+2 D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C9．已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x≥0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）＞f（2﹣t），则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，2）D．（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（x）的奇偶性及在x≥0上的单调性，由f（x）的性质可把f（t）＞f（2﹣t），转化为具体不等式，解出即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=log3（x+1），∴函数在x≥0上为增函数，∵函数y=f（x）在R上为偶函数，f（t）＞f（2﹣t），∴|t|＞|2﹣t|，∴t＞1，∴实数t的取值范围是（1，+∞）．故选：B．10．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．11．函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．12．在▱ABCD中，•=0，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的半径为（）A．1 B．C．D．【考点】球内接多面体．【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，由平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径．【解答】解：平行四边形ABCD中，∵•=0，∴AB⊥BD，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∵平面ABD⊥平面BDC三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4∴外接球的半径为1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足不等式，则z=2x﹣y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，通过平移直线结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=2x﹣y得：y=2x﹣z，显然直线过（2，0）时，z最大，z的最大值是4，故答案为：4．14．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先判断出此题是古典概型；利用排列、组合求出随机取出2个球的方法数及取出的2个球颜色不同的方法数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31•C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），则该问题中圆周率π的取值为3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×=，∴∴π=3，R=，故答案为：3．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2，∠C=，且sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，下列命题正确的是②③④（写出所有正确命题的编号）．①b=2a；②△ABC的周长为2+2；③△ABC的面积为；④△ABC的外接圆半径为．【考点】正弦定理．【分析】根据内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简已知的式子，由化简的结果进行分类讨论，由内角的范围、余弦定理分别解三角形，根据结果分别判断①、②；利用三角形的面积公式求出△ABC的面积判断③；根据正弦定理判断④．【解答】解：由C=π﹣A﹣B的，sinC=sin（A+B），∵sinC+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）﹣2sin2A=0，化简得，sinBcosA﹣2sinAcosA=0，则cosA（sinB﹣2sinA）=0，∴cosA=0或sinB﹣2sinA=0，（1）当cosA=0，A=时，由∠C=得B=，∵c=2，∴b=ctanB=，则a=；（2）当sinB﹣2sinA=0时，由正弦定理得，b=2a，∵c=2，∠C=，∴由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，则，解得a=，则b=，此时满足b2=a2+c2，即B=，对于①，当A=时，a=2b，故①错误；对于②，当A=或B=时，△ABC的周长为：a+b+c=2+2，故②正确；对于③，当B=时，△ABC的面积S===，当A=时，=，成立，故③正确；对于④，当A=或B=时，由正弦定理得2R==，得R=，故④正确，综上可得，命题正确的是②③④，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•3an（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的数列{a n}的通项公式代入b n=a n•3an，求出数列{b n}的通项公式，再利用错位相减法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，S n﹣1=，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式．综上，a n=n．（Ⅱ）b n=a n•3a=n•3n（n∈N+），则数列{b n}的前n项和T n，T n=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1，﹣2T n=﹣n•3n+1，∴T n=+（﹣）•3n+1，数列{b n}的前n项和T n，T n=+（﹣）•3n+1．18．调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：（Ⅰ）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（Ⅱ）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额．附：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，画出散点图，利用散点图估计月推销金额y与工作时间x有线性相关关系；（Ⅱ）利用公式求出线性回归方程即可；（Ⅲ）根据线性回归方程计算x=10时y的值，即可得到预报值．【解答】解：（Ⅰ）年推销金额y关于工作年限x的散点图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额之间成正相关，即工作年限越多，年推销金额越大．（Ⅱ）=5，=5，b==，a=5﹣=，∴年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程为y=x+．（Ⅲ）当x=10时，y=×10+=，∴预测工作年限是10年的推销员的年推销金额为万元．19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，P为A1B1中点．（Ⅰ）求证：CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）求点P到平面ACD1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理，证明CP⊥AP，CP⊥D1P，即可证明CP⊥平面AD1P；（Ⅱ）利用等体积求点P到平面ACD1的距离．【解答】证明：（Ⅰ）Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=，C=，AP=同理DA1P中，D1P=，同理，Rt△DP，Rt△CCP中，CC1=1，C1P=D1P=，连接C∴CP=，∴CP2+AP2=AC2，CP2+D1P2=D1C2，即CP⊥AP，CP⊥D1P，又AP∩D1P=P，∴CP⊥平面AD1P．中，AC=D1C=，AD1=，解：（Ⅱ）△ACD∴==．P中，AD1=AP=D1P=，△AD∴=，设点P到平面ACD1的距离为h，由等体积，得，∴h=1，即点P到平面ACD1的距离为1．20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a＞1）的长轴长为2，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F是椭圆C1的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与的交点分别为C，D，若•=2•，求直线l的方程．椭圆C【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解出即可得出椭圆C1的方程．利用=c，解得p，即可得出抛物线C2的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）．直线方程与抛物线方程联立可得：y2﹣my﹣4=0，利用斜率计算公式可得k OA，进而定点直线OA的方程，与椭圆方程联立可得=2，进而得到，，利用向量数量积运算性质可得：，，利用•=2•，及其根与系数的关系解出m，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解得a=，b=c=1．∴椭圆C1的方程为：=1．又F（1，0），∴=1，解得p=2．∴抛物线C2的方程为y2=4x．（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）．联立，化为：y2﹣my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．△=16m2+16＞0，∴k OA==，∴直线OA的方程为：x=y，∴，得=2，=，同理=，∴=×+y1y2=﹣3，=xx4+y3y4=+y3y4=y3y4，y4=﹣，∵•=2•，∴y∴=•===，∴m2=，∴m=，∴直线l的方程为：x=±y+1．21．已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx++1，设g（x）=f′（x），g′（x）=，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，g（x）min=g（1）=2，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．（Ⅱ）设h（x）=（x+1）lnx﹣ax+a，由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx++1﹣a=g（x）﹣a，g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）≥g（1）=2，（1）当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）递增，∴h（x）≥h（1）=0，满足题意．（2）当a＞2时，设ω（x）=h′（x），ω′（x）=，当x≥1时，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）递增，ω（1）=2﹣a＜0，ω（e a）=1+e﹣a＞0，∴∃x0∈（1，e a），使ω（x0）=0，∵ω（x）在[1，+∞）递增，∴x∈（1，x0），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，∴当x∈（1，x0时，h（x）＜h（1）=0，不满足题意．综上，a的取值范围为（﹣∞，2]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，∠ABD=∠CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E．（Ⅰ）证明：AC=CE；（Ⅱ）若DF=2，BF=4，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用等腰三角形的性质，证明∠CAE=∠E，即可证明：AC=CE；（Ⅱ）证明△ADF∽△BDA，即可求AD的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ABC=2∠DBC，∴∠ACB=∠DBC，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=2∠DBC，∵∠ADB=∠DBC+∠E，∴∠DBC=∠E，∵∠DBC=∠CAE，∴∠CAE=∠E，∴AC=CE．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ABD=∠DBC=∠CAD，∠ADF=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴=，∴AD2=DF•BD=12，∴AD=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，代入即可得出曲线C2的参数方程，消去参数可得普通方程．同理可得：将曲线C3的参数方向与普通方程．利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C3的极坐标方程．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），利用两点之间的距离公式可得：|PC|2=+，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，∴，即为曲线C2的参数方程，可得普通方程：=1．同理可得：将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3：，化为普通方程：x2+（y﹣1）2=1．可得曲线C3的极坐标方程为：ρ2﹣2ρsinθ=0，化为ρ=2sinθ．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），则|PC|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=+，∴当sin时，=．∴PQ的最大值为+1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b为实数．（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求证：（a+b+）（a2++）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|．第31页（共31页）【考点】不等式的证明．【分析】（I ）使用基本不等式证明；（II ）使用分析法证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴a +b +≥3，≥3． ∴（a +b +）（a 2++）≥3•3=9．（Ⅱ）欲证|1﹣ab |＞|a ﹣b |，只需证：（1﹣ab ）2＞（a ﹣b ）2，即1+a 2b 2﹣a 2﹣b 2＞0．只需证：（a 2﹣1）（b 2﹣1）＞0．∵|a |＜1，|b |＜1，显然上式成立．∴|1﹣ab |＞|a ﹣b |．。

2019年高考数学文科(课标版)仿真模拟卷(四)(含新题附答案)

A.[ -2,5]
B.[ - 2,3)
C.[ -3,5)
D.[ -3,5]
9.在直角坐标系 xOy 中,设 F 为双曲线 C: 角形 ,则双曲线 C 的离心率为 ( )
= 1(a> 0,b> 0)的右焦点 ,P 为双曲线 C 的右支上一点 ,且 △OPF 为正三
A. C.1+
B. D.2 +
10.将函数 y= 2sin x+ ()
7.如图 ,网格纸上正方形小格的边长为
()
则 z=x+ 3y 的取值范围是 ( )
C.[7,8]
D.[7, + ∞)
1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图
,则该三棱锥的外接球的表面积为
A. π 8.
B. π
C.3π
D. π
执行右画的程序框图 ,如果输入的 x∈[ -1,4], 则输出的 y 属于 ( )
A.2
B.3
C.- 2
D. -3
4.条件 p:|x+ 1|> 2,条件 q:x≥ 2,则 p 是 q 的 ( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 ,创制了一副 “弦图 ”,后人称其为 “赵爽弦图 ”(如图一 ),图二是在 “赵爽弦图 ”
2019 高考仿真卷 ·文科数学 (四)
(考试时间 :120 分钟试卷满分 :150 分 ) 一、选择题 (本题共 12 个小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )
1.已知集合 M=
,N= { x|x≥ 1,x∈ R}, 则下列结论正确的是 ( )

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【命题说明】命题者是在认真研究近几年新课标全国卷高考试题，命题时严格按照全国Ⅰ卷格式编排，以最新发布的2018年全国卷《考试说明》为依据，内容确保不超纲。

调研卷体现高考“前瞻性”和“预测性”。

试卷力争做到形、神与新课标全国卷风格一致，让学生和教师有“高考卷”的感觉。

试卷中知识点分布、试卷的总字数（包括各科选择题的题干字数、大题材料的长度、信息的有效性）、选项文字的长度、答案的规范、难易度的梯度等，都要符合高考试卷特点。

2019届高三文科数学高考模拟卷4一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|lg(2)0}A x x =-≤，={|13}B x x -≤≤，则A B ⋂= （）A ．[1,3]-B ．[1,2]-C ．(2,3]D ．(1,2]【答案】C【解析】：由lg(2)0x -≤解得：021x <-≤，所以{|23}A x x =<≤，所以{|23}A B x x ⋂=<≤。

故选项C 正确。

2.已知向量(1,3),(3,1),a b m =-= 若a b ⊥ ，则||b =（）A ．﹣1B ．1CD 【答案】C【解析】：因为a b ⊥ ，所以330,1m m -=∴=，所以||b ==C 正确。

3.复数Z 满足(1)|1i Z -=，则Z = （）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1+i -【答案】B【解析】根据已知得：(1)2i Z -=，所以22(1)11(1)(1)i Z i i i i +===+--+，所以1Z i =-，故选项B 正确。

4. “春晚歌舞是抢红包背景乐”成了春晚被转发频次最高的“段子”之一。

抢红包涉及平台有支付宝、微信、QQ 、微博四个；如果夫妻两人参与其中一个抢红包活动，每人参与等可能的，则夫妻二人参与同一个平台的概率是（）。

【答案】B故选项B 正确。

5.已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有一个公共的焦点，两曲线在第一象限的交点连线经过公共焦点，（如图），则双曲线的渐近线方程是（）。

A ．y =B ．(2y x =±C ．(2y x =±D ．y =【答案】D6.函数[]y x =叫做“取整函数”，其中符合[x]表示x 的整数部分，及[x]是不超过x 的最大整数，例如[2]=2;[2.1]=2;[-2.2]=-3,那么[lg1]+[lg2]+[lg3]+…………+[lg2016]=（） A. 2016 B.2015 C.4941 D4940 【答案】C【解析】：[lg1]+[lg2]+[lg3]+…………+[lg2016]= [lg1]+…… +[lg9]+[lg10]+……+[lg99]+[lg100]+…………+[lg999]+[lg1000]+……+[lg2016] =0+1902900310174941⨯+⨯+⨯=.故选项C 正确。

7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）。

A. 5.5B. 6.5C. 8.5D.7.5【答案】D8.下图中的三个函数图象可能对应的函数解析式可能分别是（）。

A.① cos ([,])xy xex ππ=∈- ② cos ([,])x y e x ππ=∈- ③sin ([,])x x y e x ππ-=∈- B. ① cos ([,])xy xe x ππ=∈- ②sin ([,])x x y e x ππ-=∈- ③cos ([,])x y e x ππ=∈-C. ① cos ([,])xy ex ππ=∈- ②cos ([,])x y xe x ππ=∈- ③sin ([,])x y e x ππ=∈- D. ① cos ([,])xy xe x ππ=∈- ② cos ([,])x y e x ππ=∈- ③sin ([,])x y e x ππ=∈-【答案】.D9.已知实数,x y 满足约束条件402020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则12.()4y x的最大值是（）A ．2B ．32C ．6D ．64【答案】D【解析】：画出满足条件402020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩的平面区域，如图示：由240y x y =⎧⎨-+=⎩，解得：A （﹣2，2），由设z=y ﹣2x 得；y=2x+z ，由图象得直线y=2x+z 过A （﹣2，2）时取到最大值，z 的最大值是：6，所以212.()24yx y x-=，所以12.()4yx的最大值是6264.=故选项D 正确。

10.正项等比数列 {}n a 中的 2a ，4030a 是函数321()3713f x x x x =-++的极值点，则72016log a = （）。

A ．1-B ．1 CD ．12【答案】D 【解析】321()3713f x x x x =-++的导函数是/2()67f x x x =-+，因为正项等比数列 {}n a 中的 2a ，4030a 函数321()3713f x x x x =-++的极值点，所以2a 4030a =7，再根据等比数列的性质知：22016a =2a 4030a ，所以2016a =7201612log a log ==。

所以D 选项正确。

11.直三棱柱ABC-111A B C 各顶点都在同一个球面上，若090AB AC BAC =∠=,正三棱柱的高是2，若记球O 的体积为V ，球O 的表面积是S ，则VS=（）。

A.13 B. 3C. 14D. 12【答案】B12.已知函数2|ln |,0(),041x x f x x x x >⎧=⎨≤++⎩，若方程()()f x a a R =∈有四个不同实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是（）。

A. 1(2,4]e e -+- B. 1(1,2]e e -+- C. 1(2,4]e e++ D.不确定【答案】A【解析】：不妨设1234x x x x <<<，根据二次函数的对称性知124x x +=-且301x <<，41x >，由ax x ==43ln ln ，知143=x x 且],1(4e e x a∈=，（其中01a <≤） ∴e e x x x x 1,2(14443+∈+=+]，故4321x x x x +++的取值范围是]41,2(-+-ee 。

故A 选项正确。

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.执行如图的程序，若输入x=2016，则输出i=___________。

【答案】714.已知03sin(2)65x π+=，且0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则0cos2_________.x =；【解析】:因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此0cos(2)06x π+<，所以04cos(2)65x π+=-，于是00cos 2cos (2)66x x ππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦ 00cos(2)cos sin(2)sin 6666x x ππππ=+++431552=-⨯=． 15.设定义在R 上的奇函数，满足对任意的t R ∈都有()(1)f t f t =-，且[0,1]x ∈时，()2()ln e f x x =-+，则(2016)________.f =【答案】-1；16.设n S 是等比数列{n a }的前n 项和，n a ＞0，若8426,S S -=则128S S -的最小值为．【答案】24【解析】：因为n a ＞0，前n 项和n S >0，数列是等比数列，所以根据等比数列的性质得：4S 、84S S -、128S S -构成等比数列，所以284()S S -=4S 128()S S ⨯-，所以2841284()S S S S S --=，因为8426,S S =+所以2224444412844444(26)(6)123636121224S S S S S S S S S S S S +-+++-====++≥=当且仅当4436,S S =及4S =6时等号成立。

所以最小值是24. 三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos cos AC =．（1）求角A 的值；cos A B +取得最大值时，试判断△ABC 的形状．【解析】：（1cos cos A C =结合正弦定理得cos cos AC =…………2分化简得：2sin cos cos sin B C A C A C =，移项得：2sin cos cos cos sin )B C A C A C +即：2sin cos )B C A C =+，…………4分所以cos C =，所以6C π=………………6分18. （本小题满分12分）三棱锥D-ABC 中，且平面DAC ⊥平面ACB ，且AD ⊥DC, AC ⊥BC,AD=DC=1,AB=2.(1)求值AD ⊥平面BCD ；（2）在CD 上找一点F ，使AD ∥平面EFB ，并且求出F-BCE 的体积。

【解析】（1）证明：因为平面DAC ⊥平面ACB ，设E 是AC 中点，连接DE ，因为△DAC 是等腰三角形，所以DE ⊥AC,…………3分又因为AC ⊥BC,所以BC ⊥平面DAC ，所以BC ⊥AD ，又因为AD ⊥DC ，且直线DC 与BC 相交，所以AD ⊥平面BCD ；…………6分19. （本小题满分12分）微信是腾讯公司推出的一个为智能终端提供即时通讯服务的免费应用程序，某微商为了调查客户每天微信用户使用微信的时间，使用微信的时间分成5组：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（II ）根据频率直方图估计该调查使用微信的平均时间；（III ）从第3，4，5组中随机抽取10名微商客户做初次调查．问每组抽取多少人？若从10名客户中再次随机抽取2名客户进行再次调查，问这2名客户不在同一组的概率？【解析】（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，第四组的频率是0.100×2=0.2，第五组的频率是0.050×2=0.1．…（4分）（II ）平均使用微信的时间为：0.025⨯2×1+0.175⨯2×3+0.15⨯2×5+0.1⨯2×7+0.05⨯2×9=4.9（小时）（7分）20. （本小题满分12分）已知离心率为12的椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）经过点（1，32）．（I ）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（Ⅱ）若直线L ：y=kx+m 与椭圆C 相切于P 点，且与直线x=﹣4相交于Q 点，求证：直线PF 1垂直于直线QF 1．（其中F 1是左焦点）【解析】（1）由于椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则a=2c ，，又由椭圆C 经过点（1，32），则c 2=1，故a=2，所以椭圆方程为22143x y +=．…………3分 △BFM 与△BFN 的面积比值为2等价于FM 与FN 比值为2当直线l 斜率不存在时，FM 与FN 比值为1，不符合题意，舍去；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x ﹣1），直线l 的方程代入椭圆方程，消x 并整理得（3+4k 2）y 2+6ky ﹣9k 2=0 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=﹣2634k k + ①，y 1y 2=﹣22934k k+② 由FM 与FN 比值为2得y 1=﹣2y 2③由①②③解得因此存在直线l x ﹣1）…………6分∴P 点的坐标为43(,)k m m-． …………8分由4y kx m x =+⎧⎨=-⎩解得y=﹣4k+m ．∴Q 点的坐标为（﹣4，﹣4k+m ）．…………9分由F 1（﹣1，0），求得1303441PF m k k m k m-==--+， 1404413QF k m m k k -+--==-+，∴．………………11分∴直线PF 1垂直于直线QF 1．…………12分21. （本小题满分12分）已知()ln f x x x =。