浅谈数形结合的思想
浅谈小学数学教学数形结合思想的运用
浅谈小学数学教学数形结合思想的运用数学是一门抽象的学科，常常给学生们带来困惑和挫败感。
为了帮助学生更好地理解和掌握数学知识，教师们在教学过程中不断探索各种有效的方法。
在小学数学教学中，数形结合思想是一种非常重要的教学策略。
本文将浅谈小学数学教学中数形结合思想的运用，以期帮助教师们更好地教学。
一、数形结合思想的概念数形结合思想是指在教学中将抽象的数学概念与具体的几何图形相结合，通过观察和分析图形，帮助学生理解和记忆数学知识。
数学不再是一堆数字和公式的抽象符号，而是通过图形展示出来，使学生更容易理解和接受。
二、数形结合思想的优势1.提高学生的学习兴趣数学常常给学生们带来乏味和枯燥的感觉，而数形结合思想使学习数学变得有趣。
通过观察和分析图形，学生们可以直观地理解数学概念，从而产生兴趣和愿望去学习。
2.培养学生的数学思维数形结合思想需要学生通过观察和分析图形，寻找其中的规律和关系。
这种过程培养了学生的观察力和思维能力，使他们能够独立思考和解决问题。
3.促进学生的空间想象力数形结合思想要求学生根据图形进行数学思考和推理。
这种过程促使学生形成良好的空间想象力，使他们能够在空间中运用几何概念解决问题。
4.提高学生的记忆效果数学知识常常是抽象的，给学生们带来记忆困难。
而通过图形的形象展示，学生们可以更轻松地记忆和理解数学知识。
三、数形结合思想的教学方法1.引导学生观察和发现在教学中，教师应该引导学生观察图形，发现其中的规律和关系。
可以通过提问的方式激发学生的思考和探索，帮助他们理解数学概念。
2.创设情境，提供问题教师可以通过创设情境和提供问题的方式激发学生的学习兴趣。
例如，可以通过游戏、故事等方式让学生参与进来，从而更好地理解和掌握数学知识。
3.结合实际生活教师可以将数学概念与学生实际生活相结合，通过实际例子使学生更好地理解和记忆数学知识。
例如，可以在教学中引入学生熟悉的事物，让他们通过观察并分析图形，找出其中的规律和关系。
浅析初中数学教学中的数形结合思想
浅析初中数学教学中的数形结合思想数形结合思想是指数学教学中将数学概念与几何图形相结合，通过几何图形来帮助学生理解和掌握数学知识的一种教学方法和思维方式。
在初中数学教学中，数形结合思想具有重要的教学意义和价值。
本文将从三个方面对初中数学教学中的数形结合思想进行浅析。
数形结合思想能够帮助学生理解抽象的数学概念。
在初中数学教学中，有很多抽象的数学概念，如平方根、立方根、比例、相似等。
对于一些抽象概念，学生很难通过单纯的文字和符号来理解和把握。
而通过几何图形的形象展示，可以将抽象的数学概念具象化，使学生能够直观感受到数学概念的内涵和意义。
在解决关于比例的问题时，可以通过绘制一个矩形和一个倾斜的直线图形，让学生感受到直线与矩形两边的比例关系，从而加深对比例概念的理解。
数形结合思想能够帮助学生发现和探索数学规律。
数学是一门有着严密逻辑和规律的科学，但是这些规律往往是隐藏在数学问题中的，需要学生通过发现和探索来揭示。
而几何图形作为数学问题的具体呈现形式，能够帮助学生更加直观地观察和分析问题，从中找出规律和套路。
在学习线段比例的问题时，可以通过绘制几个不同长度的线段，并将它们用三角形相连，让学生通过观察图形来发现线段比例的规律。
这样既调动了学生的观察力和想象力，又提高了他们的数学思维能力。
数形结合思想能够帮助学生解决实际问题。
数学是一门应用学科，学生学习数学的目的之一就是为了解决实际问题。
而实际问题往往是复杂多变的，不仅涉及到数学知识，还需要学生能够将数学知识应用到实际情境中去解决。
通过数形结合思想，可以将实际问题转化为几何图形，让学生通过观察图形和利用数学知识来解决问题。
在解决两条直线的交点问题时，可以通过绘制两条直线的图像，并用代数方法求解交点的坐标，从而将抽象的数学问题转化为具体的几何图形问题。
数形结合思想在初中数学教学中具有重要的作用。
通过数形结合思想，可以帮助学生理解抽象的数学概念，发现和探索数学规律，以及解决实际问题。
浅析初中数学教学中的数形结合思想
浅析初中数学教学中的数形结合思想数学教学中的数形结合思想是指将数学与几何图形相结合，通过对几何图形的研究和探索来加深对数学概念和知识的理解和应用。
数形结合思想不仅可以提高学生的数学思维能力，还可以激发学生的学习兴趣和创造力。
本文将从初中数学教学中的数形结合思想的重要性、实施方法以及存在的问题与解决方案三个方面来进行浅析。
数形结合思想在初中数学教学中的重要性不言而喻。
数学是一门抽象的学科，很多数学概念和知识对学生来说比较抽象难懂，而几何图形则是具有形象直观性的。
通过对几何图形的研究和探索，可以帮助学生形成空间观念，加深对数学概念的理解。
数形结合思想的实施方法主要包括：一是通过图形展示和分析来引入数学知识，如通过图形让学生研究和探索数学中的比例、相似形等概念；二是通过数学公式和计算方法对几何图形进行描述和分析，如利用代数式和坐标系等数学工具对几何图形进行研究和证明；三是通过几何图形的实际应用来引导学生学习数学知识，如通过实际问题来引导学生学习线性函数、图形的面积和体积等。
在初中数学教学中存在一些问题需要解决。
由于教育资源的不均衡分配，一些学校和地区的教师和学生缺乏几何图形的教学和学习材料，导致数形结合思想无法有效实施。
一些教师对于数形结合思想的理解和应用还存在一定的困惑，导致无法将其融入到教学中。
一些学生对几何图形缺乏兴趣和理解，导致无法主动参与到数形结合思想的学习和研究中。
解决以上问题的关键在于改善教育资源的分配，为学校和教师提供更多的几何图形的教学材料和培训机会，提高教师的数形结合思想的理解和应用能力，激发学生对几何图形的兴趣和学习动力。
教师还可以采用互动式教学方法，通过讨论和演示等方式来激发学生的学习兴趣和主动性。
学校可以组织一些几何图形的研究活动，让学生亲自参与实践和探索数形结合思想。
浅析初中数学教学中的数形结合思想
浅析初中数学教学中的数形结合思想数学教学作为中学教育中不可或缺的一部分，一直以来都备受关注。
而数形结合思想作为数学教学中的一种重要思想，受到很多初中数学教师的重视和应用。
本文将对初中数学教学中的数形结合思想进行浅析，探讨其在数学教学中的作用与意义。
初中数学教学中的数形结合思想具体指的是将数学中的抽象概念与形象概念相结合，通过图形、图像等形象化方式来解释和表达数学概念，从而增强学生对数学知识的理解和记忆。
数形结合思想体现了数学的抽象性和形象性相结合的教学特点，有助于激发学生对数学的兴趣，增强学生的数学直观性和形象思维能力。
在初中数学教学中，数形结合思想的应用具体体现在不同的数学知识内容中。
以代数表达式为例，结合图形可以帮助学生理解代数表达式的含义和性质，将代数表达式与实际生活中的问题相联系，使学生更容易理解和掌握代数表达式的应用。
在几何学习中，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和应用几何知识，比如通过绘制图形来解决几何问题，从而加深学生对几何知识的理解和记忆。
在概率、统计等数学知识的教学中，数形结合思想也发挥着重要的作用，帮助学生更好地理解和应用这些知识。
数形结合思想在初中数学教学中的具体应用还包括使用数学软件进行模拟实验与探索。
借助数学软件，教师可以利用图形、动画等形象化的方式，直观地向学生展示数学问题的解决过程和结果，从而激发学生的学习兴趣，提高学习效果。
数学软件还可以提供大量的可视化工具，如动态几何软件、数学绘图软件等，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
通过利用数学软件进行模拟实验与探索，可以加深学生对数学知识的理解，促进学生的主动学习和探究精神。
数形结合思想在初中数学教学中的应用对学生的数学学习具有积极的促进作用。
数形结合思想有助于激发学生对数学的兴趣，使学生更加喜爱数学学习。
通过形象化的方式教学，可以使数学知识更加生动有趣，增加学生的学习动力。
数形结合思想有助于提高学生的数学学习效果。
通过形象化的方式教学，可以加深学生对数学知识的理解，提高学生的数学运算能力和问题解决能力。
浅析小学数学教学中的数形结合思想
浅析小学数学教学中的数形结合思想数学教学的目的之一就是帮助学生培养数学思维，提高数学素养。
而数形结合思想则是指在数学教学中，将数学与几何图形、实物相结合，通过对形状和数量的相互关系进行分析和推理，帮助学生全面理解和掌握数学知识。
在小学数学教学中，数形结合思想具有重要的意义和价值，下面我们就来浅析一下小学数学教学中的数形结合思想。
一、数形结合思想的重要性1. 帮助学生理解抽象概念数学是一门抽象的学科，其中的一些概念对于小学生来说可能是比较抽象的。
数学中的各种图形，以及面积、体积等概念，对于学生来说可能是比较难以理解的。
而通过数形结合的教学方法，可以让学生通过观察实物和图形，直观地感受到这些抽象概念，从而更容易理解和掌握。
2. 培养学生的空间想象力数学教育不仅仅是教会学生计算技巧，更重要的是培养学生的数学思维和空间想象力。
数形结合思想可以帮助学生在学习中培养空间想象力，通过观察实物和图形的关系，使学生能够更清晰地理解几何图形和空间关系，从而更好地理解数学知识。
3. 增强学生的学习兴趣对于小学生来说，抽象的数学知识可能会让他们感到枯燥乏味。
而数形结合教学方法可以通过生动有趣的实物和图形，使学生更容易产生兴趣，从而更愿意投入到数学学习中去。
数形结合的教学方法要求学生通过观察实物和图形，并进行实际操作，这样可以更好地培养学生的动手能力。
在学生自己动手操作的过程中，他们会更深刻地理解数学知识，提高解决问题的能力。
二、数形结合思想在小学数学教学中的具体应用1. 利用实物教学在教学实践中，可以通过教学实物来帮助学生理解一些抽象的数学概念。
在教学长度单位时，可以使用尺子、米尺等实物，让学生亲自测量一些实物的长度，从而更好地理解长度的概念。
在教学体积单位时，可以给学生准备一些立体图形或者模型，让学生亲自操作，感受立体图形的体积，从而更加直观地理解体积的概念。
在教学过程中，可以通过图形来帮助学生理解数学概念。
在教学平行四边形的概念时，可以通过图形让学生观察并发现四条边分别对应的关系，从而更好地理解平行四边形的性质。
浅谈“数形结合”思想在小学数学教学中的应用
浅谈“数形结合”思想在小学数学教学中的应用数学教育是培养学生分析和解决问题能力的重要一环。
而“数形结合”思想作为数学教学中的一种重要方法，已经被越来越多的小学老师所重视和应用。
本文将从“数形结合”思想的概念、在小学数学教学中的意义以及具体应用方法等方面展开论述，旨在探讨“数形结合”思想在小学数学教学中的应用。
一、“数形结合”的概念“数形结合”即数学与几何形式结合，是指在数字概念与几何形式之间建立联系，使两者相辅相成，相互促进。
通过把数与图形相结合，使学生对数学的抽象和形象表现形式进行转换，更好地理解和掌握数学知识。
数学教学中，利用图形来表达数学概念，更容易引起学生的兴趣和好奇心，提高他们的学习积极性，有利于培养学生的数学思维能力和创新能力，提高他们的应用能力和推理能力。
在小学教学中，可以通过几何图形来让学生观察和理解数学知识，如通过观察正方形、长方形、三角形等图形来引导学生学习图形的面积、周长等概念；通过拼图游戏来对学生进行数学启蒙教育，让学生通过观察形状的变化来感知数学规律等等。
二、“数形结合”在小学数学教学中的意义1.培养学生的数学兴趣“数形结合”让学生通过观察和操作几何图形，更容易引起学生的兴趣和好奇心，激发他们学习数学的兴趣，从而主动地去探究和发现数学知识。
2.提高学生的数学思维能力将数学与几何图形相结合，能够让学生更加直观和形象地理解数学知识，培养他们的数学思维能力，提高他们的数学抽象思维能力，让他们更好地理解和掌握数学知识。
3.增强学生的数学应用能力通过“数形结合”的教学方法，能够让学生更多地接触到数学知识的具体应用场景，培养他们将数学知识应用于实际问题解决的能力，提高他们的数学应用能力。
4.促进学生的创新思维“数形结合”能够培养学生的创新能力，提高他们对数学问题进行发散性思考和创造性解决问题的能力，激发他们的创新潜能。
5.提高学生的综合能力“数形结合”教学法能够让学生在观察、比较、推理等方面得到锻炼，培养学生的综合分析和综合推理能力，进而提高他们的综合应用能力。
浅谈小学数学教学数形结合思想的运用
浅谈小学数学教学数形结合思想的运用近年来，数学教学已经逐渐从单纯的计算和公式推导方面转向了更加多元化的教学方法，其中数形结合教学法已经成为了越来越流行的方法之一。
小学数学作为基础学科之一，也不例外。
在今天这篇文章中，我们将深入探讨一下小学数学教学中数形结合思想的运用，以及其优劣势和应用价值。
一、数形结合教学法的内涵所谓数形结合教学法，指的是将数学知识与图形、图像等直观的形象语言相结合，通过视觉感受的方式来加深对学科知识的理解。
在教学实践中，数形结合教学法通常有以下几种表现形式：（一）图形展示表达法：通过展示图形、图像等形式，将对应的数学概念直观地表现出来，让学生可以更容易地理解和记忆。
（二）用图解方法进行说明：通过画图或利用图示展示来说明某些概念或方法。
（三）推理归纳法：在课堂上，老师使用丰富的例子，让学生通过观察类比、归纳得出通用的规律并加深记忆。
二、数形结合教学法的优势1. 易于理解和记忆数形结合教学法利用视觉感受的方式来呈现概念，使得抽象的数学概念变得更加直观可见。
这种教学方法让学生能够更快速地理解和记忆学科知识，并且在脑海中留下更为深刻的印象。
2. 能够提高学生的学习兴趣数形结合教学法通过图形的展示使得课堂上的教学内容更加生动有趣，从而提高了学生的学习兴趣。
当学生对所学的知识感到兴趣的时候，情绪会更加稳定，同时学习效果也会更好。
3. 促进学生的思维发展数形结合教学法的使用不仅帮助学生掌握数学知识，还有助于激发学生的思维能力。
这种方法可以让学生更好地理解和解决问题，并且对于提高学生的思维能力和创造力有很大的帮助。
4. 保持课堂气氛活泼数形结合教学法的应用还有一个优点，即能够使得课堂气氛更加有趣和活泼。
学生们通常都非常喜欢看有趣的图片或者与之相关的游戏，而数形结合教学法正好以此为基础，从而使得学生更愿意参与到教学过程当中并且保持持续集中精力的状态。
三、数形结合教学法的应用场景数形结合教学法是一种非常灵活的教学方法，可以广泛应用于小学数学的各个领域，不同的学习内容可以采用不同的数形结合教学法。
浅谈数形结合思想在小学数学教学中的应用
浅谈数形结合思想在小学数学教学中的应用一、数形结合思想的概念及意义数形结合思想是指将数和形结合起来，通过形状和图形来帮助学生理解数学概念、解决问题。
数和形是两种不同的思维方式，数是抽象的符号，形是具体的图像，两者的结合可以促进学生数学思维的发展，激发学生对数学的兴趣。
数形结合思想的应用使得抽象的数学概念变得直观、形象，有助于学生的理解和记忆。
1. 培养学生的空间想象力数形结合思想在几何学习中具有重要意义。
通过观察、操作图形，让学生对几何图形有直观的感受，从而培养学生的空间想象力。
在学习平行四边形时，可以让学生用纸板剪切成平行四边形的形状，让他们亲自动手操作，感受平行四边形的性质和规律。
这样的教学方式既能让学生理解平行四边形的定义，又能培养学生的动手能力和空间想象力。
2. 提高学生的问题解决能力数形结合思想在解决实际问题时具有重要作用。
在学习数学问题时，通过图形的方式呈现问题，可以帮助学生更好地理解问题，找到解决问题的方法。
在解决关于长方体体积的问题时，可以通过绘制长方体的图形，让学生通过观察图形来理解和计算长方体的体积，而不是单纯地进行数字计算。
这样不仅能让学生更深入地理解问题，还能培养学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 激发学生对数学的兴趣通过数形结合思想，可以将抽象的数学概念转化为生动的图形，激发学生对数学的兴趣。
在学习平面图形的性质时，可以通过绘制图形、拼图等方式，让学生从中找到规律，体会数学的乐趣。
这样的教学方式不仅能增强学生的学习兴趣，还能启发学生对数学的热爱。
4. 培养学生的创新思维数形结合思想在小学数学教学中还能培养学生的创新思维。
通过观察、操作图形，学生能够发现其中的规律和特点，从而培养自己的观察力、分析力和创造力。
在解决利用平面图形制作各种图案的问题时，可以引导学生自行设计并制作，让他们通过实际操作发现规律，培养他们的创新思维能力。
如何有效地运用数形结合思想进行教学1. 合理安排教学内容在教学中，教师需要根据学生的认知能力和学习能力，合理安排教学内容。
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浅谈数形结合的思想摘要"数形结合百般好,隔离分家万事非"——这是我国著名数学家华罗庚在谈到数形结合时的精辟论断.数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位.从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力. 数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段,数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的.关键词数形结合数学思想以形助数以数辅形一、引言数形结合思想占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.我从以下几方面学习研究一下应用数形结合来提高学生的解题能力.1.数形结合的概念.2.数形结合的原则3.数形结合思想及其内涵.3.数形结合在数学中的应用由来已久.4、数形结合的途径5.数形结合在数学中的应用.“数”与“形”是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线,是数学教学的两个基本概念,两块基石.可以说大多数数学知识基本上都是围绕这两个基本概念提炼、演变.采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点.如果能将数与形巧妙地结合起来,有效地相互转化,一些看似无法入手的问题就会迎刃而解,产生事半功倍的效果.二、数形结合的概念数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合，通径的目的.一般地说，“形”具有形象、直观的特点，易于整体上定性地分析问题.“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端.恰当地应用数形结合是提高解题素的、优化解题过程的一种重要方法数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.三、数形结合的原则数形结合一般遵循以下三个原则：1、等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性.例题方程132sinX x=的实数根的个数为（）A、3个B、5个C、7个D、9个错解图象法，作函数13y x=与2siny x=的草图.由于两个函数均为奇函数，故只需要作0x≥的部分，又因为x>8时，13x>22sin x≥.故图形只需取[0,3π]就行了（如图1）.除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C.x x 图1 图2分析当18x=时，13111122sin8288⎛⎫=>⨯>⎪⎝⎭.因此在(0,)2π内还有一个交点，所以正确的答案为D，如图2所示.2、双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索.3、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了.四、数形结合思想及其内涵“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释.具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想.事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决.给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性.五、数形结合的途径数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题.（2）利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质.（3）构造几何模型.通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc.（4d=，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有点到直线的距离关性质.2、由形到数的转换途径（1）解析法建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系.（2）三角法将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径.（3）向量法将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题.把抽象的几何推理化为代数运算.特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循.六、数形结合的应用数形结合思想在课本中，具有突出的地位.“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系.比如：在集合运算中的应用.涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷.又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质.1、利用数形结合思想解决集合的问题（1）利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．例1有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：即所以()1=nCAB即参加数理化小组的有1人．（2）利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．例2 已知集合⑴若，求的范围.⑵若，求的范围．分析 先在数轴上表示出集合A 的范围，要使，由包含于的关系可知集合A 应该覆盖集合A ， 从而有，这时的值不可能存在．要使，当0>a 时集合A 应该覆盖集合B ，应有⎪⎩⎪⎨⎧>≤-≥0331a a a 成立．即 10≤<a当0≤a 时，Φ=B ，显然成立.故 时2、利用数形结合思想解决方程和不等式问题（1）利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题 通过的相互转化，利用函数)(x f y =的图象直观解决问题．例3 如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式．分析 我们可联想对应的二次函数，的草图．这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：())4,(,,2221-+--+--a a a P k a a P ．故 求出与应满足的关系式为．（2）利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集． 例4 解不等式．分析 我们可先联想对应的二次函数的图像．从解得知该抛物线与轴交点横坐标为-2，3，当取交点两侧的值时，即时，．即．故可得不等式的解集为：．（3）利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题通过构造函数，把求方程解的问题，转化为两函数图像的交点问题.例5 解方程分析由方程两边的表达式我们可以联想起函数，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为．例6设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出：①当时，与没有交点，这时原方程无解;②当时，与有两个交点，原方程有两个不同的解;③当时，与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当时，与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个．（4）利用三角函数的图像解不等式．通过构造函数，把不等式问题转化为两个函数图像的关系问题.例7解不等式分析从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数.在上作出它们的图像，得到四个不同的交点，横坐标分别为：，而当在区间内时，的图像都在的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：．3、利用函数图像比较函数值的大小一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．例8试判断三个数间的大小顺序．分析这三个数我们可以看成三个函数：在时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论：．4、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像．如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行．例9 解不等式21sin ->x .分析 因为正弦线在单位圆中是用方向平行于轴的有向线段来表示．我们先在轴上取一点P ，使，恰好表示角的正弦线，过点P 作轴的平行线交单位圆于点，在内，分别对应于角，(这时所对应的正弦值恰好为21-)．而要求的解集，只需将弦向上平移，使重合(也即点P 向上平移至与单位圆交点处)．这样所扫过的范围即为所求的角．原不等式的解集为：．5、利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形利用两点间距离公式或斜率公式模型构造辅助图形,找出代数问题的几何背景，简便解答某些代数综合题．例10 求证：（a 与c 、b 与d 不同时相等）分析 考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式．在平面直角坐标系中设),(b a A ，)0,0(),,(o d c B .如图，()22)(AB d b c a -+=-=22b a AO +=，22d c BO +=当A 、B 、O 三点不共线时，BO AO AB +<.当A 、B 、O 三点共线，且A 、B 在O 点同侧时，BO AO AB +>.当A 、B 、O 三点共线，且A 、B 在O 点异侧时，或A 、B 之一与原点O 重合时，BO AO AB +=．综上可证.例11 求函数84122+-++=x x x y 的最小值．分析 考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为＝令A （0，1），B （2，2），P （x ，0），则问题转化为在X 轴上求一点P ，使｜PA ｜+｜PB ｜有最小值.如图，由于AB 在X 轴同侧，故取A 关于X 轴的对称点，故（｜PA ｜+｜PB ｜）min=．例12 已知点P （x ，y ）在线性区域内，求（1）U ＝；（2）V ＝的值域分析 由线性规划可知P （x ，y ）在OAB Rt ∆内（包括边界），Umin 实质上是点M （4，3）到直线AB的距离；V的值域实质上是直线PM 斜率的取值范围.通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了.数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平.在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在渗透数形结合的思想时，应掌握以下几点：1. 善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系.2. 正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难人微.”应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长，避呆板单调解法之短.在解决有关问题时，数形结合思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化是一目了然的，它为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性，创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥.参考文献：[1] 袁桂珍. 数形结合思想方法及其运用[J]. 广西教育, 2004,(15) .[2] 陈喜娥, 尹雪峰. 浅谈数学思想方法的培养[J]. 山西煤炭管理干部学院学报, 2006,(02)[3] 刘焕芬. 巧用数形结合思想解题[J]. 数学通报, 2005,(01) .[4] 施献慧. 数形结合思想在数学解题中的应用[J]. 云南教育, 2003,(35) .[5] 王银篷. 浅谈数形结合的方法[J]. 中学数学, 2004,(12) .[6] 赵玲. 数形结合思想及其应用[J]. 山西煤炭管理干部学院学报, 2004,(03)[7] 吴雅平. 浅谈数形结合的解题思想[J]. 山西煤炭管理干部学院学报, 2004,(01)11。