三次函数PPT学习课件
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应用导数研究三次函数课件
3a 3a
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
第三讲三次样条函数
给定区间[0, 上 例1 给定区间 3]上 3 个点的函数 值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 试求数 a, b, c, d, 使函数 S(x)为给定点上的三次样条插值 为给定点上的三次样条插值 函数. 函数 其中 x2 + x + d , 0≤ x ≤1 S( x) = 3 . 2 ax + bx + cx + 1, 1 ≤ x ≤ 3
答案: 答案 a = −1, b = 4, c = −2, d = 0.
给定n+1个样点 i, yi )(i=0, 1, …, n), 个样点(x 给定 个样点 确定一个三次样条插值函数需要4n个独 确定一个三次样条插值函数需要 个独 立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件 即 个条件, 立条件 在定义中 已指定了 个条件
yi Mi yi +1 Mi +1 + − hi ( xi +1 − x ) + − hi ( x − xi ) 6 6 hi hi
x ∈ [ x i , x i +1 ]
( xi +1 − x )2 ( x − xi )2 S ′( x ) = − Mi + Mi +1 2hi 2hi yi +1 − yi Mi +1 − Mi hi + − hi 6
M 0 d0 M d 1 1 M 2 d2 = M M λ n −1 M n −1 d n −1 2 M n dn
对于第1型插值问题 对于第 型插值问题: 型插值问题 λ 0 = 1, d 0 = 6 ( y1 − y 0 ) h0 − y 0′ h0 , µ n = 1, d n = 6 y n′ − ( y n − y n − 1 ) hn − 1 hn − 1 . 对于第2型插值问题 型插值问题: 对于第 型插值问题 λ 0 = 0, d 0 = 2 y 0′′ , µ n = 0, d n = 2 y n′′ . 对于第3型插值问题 对于第 型插值问题: 型插值问题
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
11三次函数的性质及其简单应用
所以 1 2 c 3c 或 1 2 c 3c 解之得 0 c 7 4 3或c 7 4 3 7 4 3 ） 故所求c的范围是（0， （ 7 4 3， ）
例5 设
a为实数，函数 f ( ) 的极值； 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x)与 x 轴仅有一个交点 （2）当 2 解：(1) f ( x ) 3 x 2 x 1 1 5 f ( x ) f ( ) a ， 极小值是 f (1) a 1 ∴ 的极大值是 3 27 (2)函数
南京一中
孔凡海
由二次函数类比三次函数的图象和性质
二次函数
y ax2 bx c
三次函数
y ax3 bx2 cx d
图象特征 单调性 对称性
a 0 开口向上 a 0 开口向下
单调区间2个 对称轴 x
b 2a
a 0 朝向右上 a 0 朝向右下
单调区间1个或3个
所以
y ax3 bx2 cx d (a ≠0)，函数的对称中心是（
b b ，f ( ) ）。 3a 3a
3 2 f ( x ) ax bx cx d (a ≠0是中心对 ) 性质3：函数 b b ， f ( ) ）。 称图形，其对称中心是（ 3a 3a
尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数 的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线 方程等性质的研究，这也有助于提高知识的系统 性以及对三次函数的理解水平，拓宽解题思路。
解：（I）(b 1) 4c 3 2 2 （II）因为 F ( x) f ( x) g( x) x 2bx (b c) x bc ，2 3 x 4bx b 2 c 0 所以F（x）的导方程为：
人教A版高中数学选修3-1-7.1-三次、四次方程求根公式的发现-课件(共27张PPT)
当塔尔塔利亚获悉菲
奥尔确实身怀绝技的时候， 心里产生了极大的忧虑， 因为他深知自己的方法没 有普遍性，要想赢得比赛 的胜利，必须掌握更完善 的解法。为此，塔尔塔利 亚废寝忘食，夜以继日的 冥思苦想，终于在比赛前 夕得到了x3+px=q(p,q为正 数）这一类方程的解法， 从而在世界上最早的数学 竞赛中大获全胜。
2、数学上最早的数学竞赛
直到1500年左右，意大利波伦亚大学教授费 罗发现了x3+px=q(p,q为正数）类型的三次方程的 解法，但他没有发表自己的方法。因为十六七世纪 的人们，常把所获得的发现保密，然后向对手们提 出挑战，要他们解出同样的问题，费罗在1510年 左右将其传授给自己的学生菲奥尔等人。由于受当 时欧洲保密风气的影响，他们也未将其公布于世。
直到1828年在挪威军事科学院当上了代课教 师前，他一直没有固定的工作，只能以私人授课维 持生计，用他的话说“穷得就像教堂里的老鼠”。 然而，他并没有在逆境中倒下去，仍在坚持研究， 并取得了许多重大的成果。他写下了一系列关于椭 圆函数的文章，发现椭圆函数的加法定理，双周期 性，并引进了椭圆函数的反演，正是这些重大发现 才使欧洲数学家们认识到他的价值。1828年9月， 四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位 天才安排一个合适的职位。
宋元时期的秦九韶、李冶以及朱世杰等
人都三次、四次方程的求解方面作出过突出 贡献。但中国古代的努力方向主要是放在求 方程的数值解上，尽管能够求得三次、四次 甚至更高次的代数方程任意精度的数值解， 但始终未能获得求解三次、四次方程的一般 公式。总而言之，在16世纪之前，数学家们 对三次、四次方程的求根公式的研究都以失 败告终。
受拉格朗日的影响，鲁菲妮在1799年到1813 年之间做过好几种尝试，要证明四次以上方程不 能用代数方法解出，但他的努力也20多年，高次方程公式求解问题 仍然悬未决，困扰着众多的数学家。这时，一位来 自北欧挪威的小青年阿贝尔勇敢地站出来迎接挑战， 严格证明了如下事实：如果方程的次数n≥5，并且 系数a1,a2,...an看成字母，那么任何一个由这些字母 组成的公式都不可能是方程的根。
第三次解析函数
2
2 2
z平面上的每一点都是函 数z Re z， 2 z Re z , z 的奇点。
1 函数 是解析函数，点 z 0与点z 1是函数的 z ( z 1) 两个奇点。
2. 函数解析的条件
（1） 必要条件
若f ( z ) u( x, y) iv( x, y)在点z0 x0 iy0 处解析，则u( x, y)与 v( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内可偏导，且 满足柯西- 黎曼方程。
(1) 若f ( z)在点z0处可导，则必在 z0处连续，反之不然。
证明： 按定义证明，见P20.
u v u v , 为f ( z ) u iv的柯西 - 黎曼 注： 称关系式 x y y x (Cauchy Riem ann )方程.
4. 函数可导的充分条件
3. 解析函数的运算法则
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
e e cos z 2 eiz e iz sin z. 2i
iz iz
iz iz e e ieiz ie iz 2 2
例5
1 已 知 f ( z ) ( z 5z ) ， 求f ' ( z ) z 1
例2 解：
讨论函数f ( z) 2 z Re z的可导性 .
2 2
z平面上的每一点都是函 数z Re z， 2 z Re z , z 的奇点。
1 函数 是解析函数，点 z 0与点z 1是函数的 z ( z 1) 两个奇点。
2. 函数解析的条件
（1） 必要条件
若f ( z ) u( x, y) iv( x, y)在点z0 x0 iy0 处解析，则u( x, y)与 v( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内可偏导，且 满足柯西- 黎曼方程。
(1) 若f ( z)在点z0处可导，则必在 z0处连续，反之不然。
证明： 按定义证明，见P20.
u v u v , 为f ( z ) u iv的柯西 - 黎曼 注： 称关系式 x y y x (Cauchy Riem ann )方程.
4. 函数可导的充分条件
3. 解析函数的运算法则
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
e e cos z 2 eiz e iz sin z. 2i
iz iz
iz iz e e ieiz ie iz 2 2
例5
1 已 知 f ( z ) ( z 5z ) ， 求f ' ( z ) z 1
例2 解：
讨论函数f ( z) 2 z Re z的可导性 .
完整版函数的概念及表示法职高 ppt课件
用区间表示为 ,1 1, ．
巩 固 知 识 典 型 例 题 完整版函数的概念及表示法职高
函数定义域
若f (x)是整式，则函数的定义域是实数集R. 若f (x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集. 若f (x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于 或等于0的实数集.
高教社
巩 固 知 识 典 型 例 题 完整版函数的概念及表示法职高
1．判定点 M1 1, 2 ， M2 2, 6 是否在函数 y 1 3x 的图像上．
y
y
y
y
Ox
O
x
O
x
（A）
（B）
（C）
任意的x∈A，存在唯一的y与之对应
O
x
（D）
高教社
完整版函数的概念及表示法职高
完整版函数的概念及表示法职高
例7.判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x2
（2）|y|=x （4）y2=x
(1)能
(2)不能 (3)能
(4)不能
例8.已知f(x)=3x－2, x∈{0,1,2,3,5}，
列成下面的表格，即为函数的列表法表示．
.
x（支）
1
2
3
4
5
6
y（元）
高教社
巩 固 知 识 典 型 例 题 完整版函数的概念及表示法职高
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数． 解 :（2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
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若 2 a 0，显然 F ( x )min 4 0 ;若 2 a 0，F ( x) 3 x 2 (4 2a) x 2a 4 令F ( x ) 0， 解 得 x 0，x 3 2a 4 2a 4 当0 x 时, F ( x ) 0; 当 x 时, F ( x ) 0; 3 3
2a 4 2a 4 2a 4 ∴当 x 0， 时, F ( x)min F ≥ 0即 (a 2) 4≥0 3 3 3 解不等式得a ≤ 5， 2 a ≤ 5 当x 0时，F ( x ) 4 满足题意.
a<0
x1
x2
x1
x2
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的单调性与极值
• ①a>0,△≤0时，f(x)在R上是单调递 增的. • ② a<0,△≤0时，f(x)在R上是单调 递减的. • ③a>0,△>0时，f(x)在(∞,x1)↑,(x1,x2)↓(x2,+∞)↑. • ④a<0,△>0时，f(x)在(-∞,x1) ↓,(x1,x2)↑, (x2,+∞) ↓. • ①a>0,△≤0时，f(x)在 R上无极值. • ② a<0,△≤0时，f(x) 在R上无极值. • ③ a>0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极大值，在 x=x2有极小值. • ④ a<0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极小值，在 x=x2有极大值.
△≤0 a>0 a<0 a>0
△>0 a<0
三次方程的根与交点问题
△≤0 △>0
a>0
a<0
a>0
a<0
f(x)=0有且仅有一个实根， f(x)的极大值小于0或极小值大于 y=f(x）与x轴有且仅有一个 0 f(x)=0有且仅有一个实根。 f(x)的极大值等于0或极小值等于 交点。
f(x)的极大值大于0且极小值小于 0 ，f(x)=0有且仅有三个不等实 根。y=f(x）与x轴有且仅有三个 交点。
2
函数， 所以 f ( x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立， 即 x2 ax 2 ≤ 0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1 ≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为 1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f ( x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ( x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
三次函数的图像
例题1、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 时, 有极值10, 那么a,b的值为 . 对吗？
我来画图 看看
a 4 a 3 或 . 例1. 解： b 11 b 3
反思:极值存在的条件是什么呢？
2 3 例题 2 、已知函数 f ( x ) 4 x ax x ( x R ) 在区间 3 1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解： f ( x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间 1,1 上是增
三次函数
---导数应用中一颗璀璨的明珠
复习回顾
例题精讲
课堂小结
课后思考
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
• 其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0) • 导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0 a>0 a<0 a>0 △>0
例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a (1) 求f(x)的极值. (2) 当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅 有一个交点.
(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5, 极小值是 f(1)=a-1. (2)当a (-∞,-5/27)U(1,+∞)时, 曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.
例4. 已知曲线C: y=4ax3+x, 过点Q(0,-1)作C的切线 l, 切点为P. (1) 求gt;0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点). (1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上 (2)|OT|的最小值为2+ 6.
例题 5、已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值；
都有 f ( x) ≥ g( x) ， ⑵若对任意的 x 0， 求实数 a 的取值范围. 1 2 解:⑴ f ( x) 3 x 4 x 1 令f ( x ) 0 解得 x1 1或x2 3 当 x 变化时， f ( x )、f ( x ) 的变化情况如下：
0 f(x)=0有且仅有三个实根， y=f(x）与x轴有且仅有两个交点。
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的切线问题与对称中心
• 过点（m,n)引直线与y=f(x)的图像相切的直 线的条数问题。可转化为关于x1的三次方程 n-f(x1）=f(x1)(m-x1)的不同根的个数问题。 • 三次函数的对称中心为(-b/(3a),f(- b/(3a)) • 过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切 的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对 称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线 有二条.
∴当 x=-1 时， f ( x ) 取得极大值为 4 ； 1 112 当 x 时， f ( x ) 取得极小值为 . 3 27
已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值； ⑵若对任意的 x 0， 都有 f ( x) ≥ g( x) ，求实数 a 的取值范围. ⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x 3 (2 a) x 2 4 F ( x) ≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，
2a 4 2a 4 2a 4 ∴当 x 0， 时, F ( x)min F ≥ 0即 (a 2) 4≥0 3 3 3 解不等式得a ≤ 5， 2 a ≤ 5 当x 0时，F ( x ) 4 满足题意.
a<0
x1
x2
x1
x2
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的单调性与极值
• ①a>0,△≤0时，f(x)在R上是单调递 增的. • ② a<0,△≤0时，f(x)在R上是单调 递减的. • ③a>0,△>0时，f(x)在(∞,x1)↑,(x1,x2)↓(x2,+∞)↑. • ④a<0,△>0时，f(x)在(-∞,x1) ↓,(x1,x2)↑, (x2,+∞) ↓. • ①a>0,△≤0时，f(x)在 R上无极值. • ② a<0,△≤0时，f(x) 在R上无极值. • ③ a>0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极大值，在 x=x2有极小值. • ④ a<0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极小值，在 x=x2有极大值.
△≤0 a>0 a<0 a>0
△>0 a<0
三次方程的根与交点问题
△≤0 △>0
a>0
a<0
a>0
a<0
f(x)=0有且仅有一个实根， f(x)的极大值小于0或极小值大于 y=f(x）与x轴有且仅有一个 0 f(x)=0有且仅有一个实根。 f(x)的极大值等于0或极小值等于 交点。
f(x)的极大值大于0且极小值小于 0 ，f(x)=0有且仅有三个不等实 根。y=f(x）与x轴有且仅有三个 交点。
2
函数， 所以 f ( x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立， 即 x2 ax 2 ≤ 0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1 ≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为 1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f ( x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ( x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
三次函数的图像
例题1、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 时, 有极值10, 那么a,b的值为 . 对吗？
我来画图 看看
a 4 a 3 或 . 例1. 解： b 11 b 3
反思:极值存在的条件是什么呢？
2 3 例题 2 、已知函数 f ( x ) 4 x ax x ( x R ) 在区间 3 1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解： f ( x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间 1,1 上是增
三次函数
---导数应用中一颗璀璨的明珠
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三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
• 其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0) • 导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0 a>0 a<0 a>0 △>0
例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a (1) 求f(x)的极值. (2) 当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅 有一个交点.
(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5, 极小值是 f(1)=a-1. (2)当a (-∞,-5/27)U(1,+∞)时, 曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.
例4. 已知曲线C: y=4ax3+x, 过点Q(0,-1)作C的切线 l, 切点为P. (1) 求gt;0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点). (1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上 (2)|OT|的最小值为2+ 6.
例题 5、已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值；
都有 f ( x) ≥ g( x) ， ⑵若对任意的 x 0， 求实数 a 的取值范围. 1 2 解:⑴ f ( x) 3 x 4 x 1 令f ( x ) 0 解得 x1 1或x2 3 当 x 变化时， f ( x )、f ( x ) 的变化情况如下：
0 f(x)=0有且仅有三个实根， y=f(x）与x轴有且仅有两个交点。
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的切线问题与对称中心
• 过点（m,n)引直线与y=f(x)的图像相切的直 线的条数问题。可转化为关于x1的三次方程 n-f(x1）=f(x1)(m-x1)的不同根的个数问题。 • 三次函数的对称中心为(-b/(3a),f(- b/(3a)) • 过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切 的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对 称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线 有二条.
∴当 x=-1 时， f ( x ) 取得极大值为 4 ； 1 112 当 x 时， f ( x ) 取得极小值为 . 3 27
已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值； ⑵若对任意的 x 0， 都有 f ( x) ≥ g( x) ，求实数 a 的取值范围. ⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x 3 (2 a) x 2 4 F ( x) ≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，