2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。
正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2AD=，求AG．【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10==，并且P点到CD边的距离也PA PB等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB⊥于F交DC于E．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ． ∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(共14张PPT)
间的数量关系是否仍然成立,请证明。
A
D
F
画板
顺 变式２
B
E
C
A
E′
D
结论：
F
EF= BE+DF
B
E
C
画板 变式２
A
D
结论：
F
E′
EF =BE+DF
B
E
C
画板 逆 变式２
Байду номын сангаас
（2）如图，在四边形ABCD中， AB＝AD， ———————— ∠B+∠D＝ 180°，E、F分别是BC、CD上的点， —————————— ——————————————— 1 且 EAF BAD ， BE、DF、EF三条线段之间 2 —————————— 的数量关系是否仍然成立？
A
D B E C F
画板
变式3
A
E′
D
结论：
B
F
EF= BE+DF
E C
画板 变式3
(3)如图，在四边形ABCD中， AB＝AD， ———————— ∠B＋∠D＝180°，E、F分别是BC、CD延长线上 —————————— ———————————————————— 1 的点，且 EAF 2 BAD BE、DF、EF三条线段 —————————— 之间的数量关系是否仍然成立，若不成立，请 写出它们之间的数量关系，并证明.
A
E
B C F
D
画板
一、知识与技能：
1、“半角模型” 特征：
①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； ③等线段的相邻对角互补； 2、强化关于利用旋转变换解决问题： ①旋转的目的： 将分散的条件集中，隐蔽的关系显现； ②旋转的条件：具有公共端点的等线段； ③旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案、
例2.如图，分别以 的 和 为一边,在 的外侧作正方形 和正方形 ，点 是 的中点．
求证：点 到边 的距离等于 的一半.
例4．如图,四边形 为正方形， ， ， 与 相交于 .
求证： ．
例6.设 是正方形 一边 上的任一点， ， 平分 ．
求证: ．
例７.已知： 是边长为1的正方形 内的一点，求 的最小值.
(1)求证: ;
(２）求证： ．
【纵向应用】
6. 在正方形 中， ．求证:
7． 在正方形 中， . ，求证：
8. 如图1３,点 为正方形 对角线 上一点, ,
求证：
９.已知:点 、 分别正方形 中 和 的中点,连接 和 相交于点 ，
于点 .
（1）求证： ；
(2）如果 ,求 的长;
（3）求证：
例1.已知：如图, 是正方形 内点， .
3.如图９，已知正方形 的面积为35平方厘米, 、 分别为边 、 上的点. 、 相交于 ,并且 的面积为14平方厘米, 的面积为5平方厘米， 那么四边形 的面积是____＿＿__．
4．如图， 、 、 三点在同一条直线上, 。分别以
、 为边作正方形 和正方形 ,连接 ,
。
求证： 。
5.如图 ， 是正方形. 是 上的一点, 于 , 于 .
年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(、)
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正方形角含半角模型升
例1．如图,折叠正方形纸片 ，先折出折痕 ,再折叠使 边与对角线 重合,得折痕 ，使 ，求 .
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2。
掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3。
正确运用正方形的性质解题。
4。
通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。
知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全.小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2)正方形的性质:①正方形对边平行.②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ,使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知:GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2—1)， ∴AG=BM=2（2-1)．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得:222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例3。
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)D2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且ABF∆的面积为14平方厘米，BCE∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________．4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，2=。
分别以AB BCAB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。
求证：FN EC=。
AB CDEF12G5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+．【纵向应用】6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 21=A D E F CG B7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21=8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥求证：AE FG ⊥ABCDFOEG H12D GA EBCF13EG B9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE相交于点G ,GH AD⊥于点H .（1）求证：AF DE ⊥ ； （2）如果2AB =,求GH 的长； （3）求证：CG CD =例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒∠=∠=．求证：PBC ∆是正三角形．APCDB例 2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ．求证：CE CF =．AFD E CBP C G FBQ A D E例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE∠．求证：PA PF =．例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．DFEP CB A AC BPD例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．【双基训练】1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．ACBPD2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则EAB∠=________．【纵向应用】3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，90∠=，且EF交正方形外AEF︒角的平分线CF于点F．（1）证明：BAE FEC∠=∠；（2）证明：AGE ECF∆≅∆；（3）求AEF∆的面积．【横向拓展】4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.EA DB CNM。
初中半角模型教案模板
初中半角模型教案模板一、教学目标1. 让学生理解半角模型的概念及应用。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维。
二、教学内容1. 半角模型的定义及性质2. 半角模型的应用3. 相关练习题三、教学重点与难点1. 半角模型的定义和性质2. 半角模型在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究半角模型的性质和应用。
2. 利用几何画板软件，动态展示半角模型的变换过程，增强学生的直观感受。
3. 案例教学法，分析实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
五、教学步骤1. 导入新课1.1 教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。
1.2 学生尝试分析问题，发现问题的解决关键在于理解半角模型。
2. 讲解半角模型2.1 教师给出半角模型的定义，并解释其性质。
2.2 学生通过几何画板软件，动态观察半角模型的变换过程，加深对半角模型的理解。
3. 应用半角模型解决问题3.1 教师展示几个与半角模型相关的实际问题，引导学生运用半角模型解决问题。
3.2 学生独立解决这些问题，并在课堂上分享解题思路和方法。
4. 巩固练习4.1 教师布置一些有关半角模型的练习题，让学生巩固所学知识。
4.2 学生独立完成练习题，教师进行点评和指导。
5. 总结与拓展5.1 教师引导学生总结本节课所学内容，加深对半角模型的理解。
5.2 学生结合自己的生活实际，思考半角模型在生活中的应用。
5.3 教师提出一些拓展问题，激发学生的创新思维。
六、教学评价1. 学生对半角模型的理解和掌握程度。
2. 学生运用半角模型解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与度和合作意识。
七、教学反思教师在课后要对课堂教学进行反思，分析学生的学习情况，针对性地调整教学方法和解题策略，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习兴趣和需求，不断丰富教学内容，提高教学质量。
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1。
掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想.5。
通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点.知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。
小结:（1）正方形与矩形，菱形,平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角.④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD,垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM, 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD —DM=22—2=2（2—1)， ∴AG=BM=2（2—1)．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积？【解析】:过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ,AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】:要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME,△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF,AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,且45EAF ︒∠=,试说明EF BE DF =+. 【解析】：将△ADF 旋转到△ABC ，则△ADF ≌△ABG∴AF=AG ，∠ADF=∠BAG,DF=BG∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°∴△AEF ≌△AEG （SAS ） ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF例5。
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正方形角含半角模型提升
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．
例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？
例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？
例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使
45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =
例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒
∠=. 求证：BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点
O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.
【双基训练】
1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ∆的
面积为________2
cm ．
(6) (7)
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．
4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。
分别以
AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。
求证：FN EC =。
图
2
A
B
C
D
E
F
12G
5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△；
（2）求证：DE EF FB =+．
【纵向应用】
6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2
1
=
7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21
=
8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥
A B
C D
F O E
G
H 12D G
A E
B
C F 13
A D E F
C G
B
E B
9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , GH AD ⊥于点H .
（1）求证：AF DE ⊥ ；
（2）如果2AB =,求GH 的长；
（3）求证：CG CD =
例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒
∠=∠=．
求证：PBC ∆是正三角形．
例2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形
的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．
A P C D
B F
例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE ∠． 求证：PA PF =．
例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．
例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6
，则菱形的面积为________．
2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC •恰是一个菱形，•则EAB ∠=________．
D F
E
P C B
A A C
B
P
D
A
C
B
P
D
【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，90AEF ︒
∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：BAE FEC ∠=∠； （2）证明：AGE ECF ∆≅∆； （3）求AEF ∆的面积．
【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒
得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；
⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；
②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.
E
A D
B C
N
M。