不等式的解集1
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不等式的解集(1)
（1）x=5，6，8 能使不等式x＞5成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
x
5
6
8
x>5 不成立成立 成立
请随机填空 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的 解.例如，6是不等式x＞5的一个解，7，8，9，…… 也是不等式x>5的解.
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
不等式x-5≤-1的解集x ≤4可以用数轴上表 示4的点及其左边部分来表示（如下图）， 在数轴上表示4的点的位置上画实心点，表 示4在这个解集内.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1.判断正误：
(1)不等式x-1＞0有无数个解； √
的一个解.
的解集.
联系 某个解定是解集中的一员 解集一定包括了某个解
（4）什么是解不等式？ 求不等式解集的过程叫做解不等式.
请你用自已的方式将不等式x＞5的 解集和不等式x-5≤-1的解集分别表示在 数轴上，并与同伴交流.
不等式x＞5的解集可以用数轴上表 示5的点的右边部分来表示（如下图）， 在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈， 表示5不在这个解集内.
(1)不等式x-1＞0有无数个解； √
（2）不等式2x 3 0的解集为x 2． ×
2.在0,4,3,3, 1 ,5,4,10中. 3 5
_____4_________是方程x+4＝0的解．
0,___4__,3__,___3_,__15_ ,4 是不等式x+4≥0的解． ______5_,___1_0___是不等式x+4＜0的解．
等式的解集（solution set）例如，不等式x-5≤-1的解
不等式的解集 一元二次不等式的解法
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元 素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
11
7．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
有两个不相等 有两个相等的
解不等式 y＞0 求方程 y＝0 的
7
4.一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 的不等式称为一元二次不等式，其 中 a，b，c 是常数，而且 a≠0. 5．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
18
3．不等式|x|－3＜0 的解集为________． {x|－3＜x＜3} [不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]
19
4．不等式－3x2＋5x－4>0 的解集为________． ∅ [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－ 23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解． 由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]
38
[解]
(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－
1 2
，x2＝2，∴
不等式2x2－3x－2>0的解集为
xx<－12或x>2
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为x|x≠2.
11
7．三个“二次”的关系
设 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
有两个不相等 有两个相等的
解不等式 y＞0 求方程 y＝0 的
7
4.一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 的不等式称为一元二次不等式，其 中 a，b，c 是常数，而且 a≠0. 5．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
18
3．不等式|x|－3＜0 的解集为________． {x|－3＜x＜3} [不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]
19
4．不等式－3x2＋5x－4>0 的解集为________． ∅ [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－ 23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解． 由函数y＝3x2－5x＋4的图像可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]
38
[解]
(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－
1 2
，x2＝2，∴
不等式2x2－3x－2>0的解集为
xx<－12或x>2
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为x|x≠2.
人教版七年级数学下册_9.1.1不等式及其解集
A.5
B.4
C.3
D.2
感悟新知
知识点 3 不等式的解集的表示方法
在数轴上表示不等式的解集：
特别提醒 在数轴上表示不等式的解集时，
大于向右画， 小于向左画；界点处 用空心圆圈圈住该点.
知3－讲
感悟新知
知3－讲
不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等
式的解集可以在数轴上直观地表示出来. 一般地，利用数
C. 3
D. 2
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的一半与3 的和大于5； (2)x 的3 倍与1 的差小于2； (3)a 的 1 与1 的差是正数；
2
(4)m 与2 的差是负数.
知1－练
解题秘方：紧扣不等关系中的关键词语列出不等式.
感悟新知
解：(1) 1 a+3>5.
2
(2)3x－1<2.
第9章 不等式与不等式组
9.1 不等式
9.1.1 不等式及其解集
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
不等式 不等式的解与解集 不等式的解集的表示方法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 不等式
知1－讲
1. 定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等
式. 用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
轴表示不等式的解集通常有以下四种情况(设a>0)：
不等式的解集 x>a
x>－4a
x<a
x<－a
数轴表示
感悟新知
知3－练
例4 在数轴上表示下列不等式的解集： (1)x>2 (2)x<－2 解题秘方：紧扣不等式解集在数轴上的表示方法， 看清不等号和端点值是解决问题的关键.
初二数学不等式的解集知识点总结
初二数学不等式的解集知识点总结初二数学不等式的解集知识点总结漫长的学习生涯中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺精心整理的初二数学不等式的解集知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
初二数学不等式的解集知识点总结1不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
相信上面的知识同学们已经能很好的掌握了，希望同学们在平时认真学习，很好的把每一个知识点掌握。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
1.3 不等式的解集 课件1(北师大版八年级下)
x 5
阅读教材p10—11页“想一想”内容， 回答下列问题：
1、x＝5，6，8能使不等式x＞5成立吗﹖
2、你还能找出一些使不等式x＞5成立的值
吗？ 3、什么叫做不等式的解？ 4、什么叫做不等式的解集？ 5、什么叫做解不等式？ 时间：2分钟
自学检测：
Ⅰ、当x取下列值时，不等式x>5成立吗？
(2)x≤4在数轴上表示如下：
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
自学检测
3、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1) x 4; (3) x 2; (2) x 1; (4) x 6.
自学检测
4、将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1) x 0;
2 (3) x ; 3
Ⅲ、写出下列不等式的解集：
(1) x 1 4; (2) 2 x 6;
x3
x (3) 2; 3
x3
(4) x 2 0.
x6
x0
自学检测 解不等式的定义：
求不等式解集的过程叫做解不等式。
合作交流
ⅱ、某弹簧秤的称量范围是0~50N，小明未注意 弹簧秤的称量范围，用弹簧秤称量了一个物体， 取下后，发现弹簧没有恢复原状。你知道这个物 体的重力在什么范围吗？
Ⅱ、当x取下列值时，不等式x–5≤–1成立吗？
(1) x 2; (3) x 4; (2) x 3; (4) x 5.
你能表示出不等式x–5≤–1所有的解吗？
x4
对比“不等式的解的定义”，你有什么想法？
自学检测 不等式的解集的定义：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这 个不等式的解集。
北师大版八年级(下)
1.3 不等式的解集
人教B版数学必修第一册课件不等式的解集
所以该不等式组的解集是{x|2<x≤4}．
1.把各不等式的解集表示在数轴上，再找出这些解集的公共 部分是解决问题的关键.
2.借助数轴确定不等式组的解集，既形象直观，又不容易漏 解.这体现了数学中的一种重要思想方法——数形结合法.
[变式训练 1]
解不等式组73xx－－21<5>8x0.，
① ②
解：解不等式①，得 x>5. 解不等式②，得 x>－2. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下图所示．
3．|x－a|＋|x－b|≥c 和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 解法 1：可以利用绝对值不等式的_几__何__意__义__． 解法 2：利用分类讨论的思想，以绝对值的“零点”为分界 点，将数轴分成几个区间，然后确定各个绝对值中的多项式的 ___符__号___，进而去掉__绝__对__值__符__号_____．
4．解不等式|x＋3|－|x－3|>3.
解：当 x<－3 时，－(x＋3)＋(x－3)>3，
即－6>Βιβλιοθήκη ，无解．当－3≤x≤3 时，x＋3＋x－3>3，
即 x>32，故32<x≤3. 当 x>3 时，x＋3－(x－3)>3，即 6>3，故 x>3.
综上所述，所求的解集为xx>32
.
[解]
解法 1：如图，设数轴上与－1，1 对应的点分别为 A，B， 那么 A，B 两点的距离和为 2，因此区间[－1,1]上的数都不是不 等式的解．设在 A 点左侧有一点 A1 到 A、B 两点的距离和为 3， A1 对应数轴上的 x.
由－1－x＋1－x＝3，得 x＝－32. 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A、B 两点距离和为 3，B1 对应 数轴上的 x，由 x－1＋x－(－1)＝3，得 x＝32. 从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之和都 小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的距离之 和都大于 3.
不等式的解集及区间
分别记做 (a，b] 或 [a，b) 用数轴表示为：
x
a
b
x
a
b
(1)含有两个端点的数轴区域设 设a＜x＜b
a bx a≤x≤b {x| a≤x≤b} [a，b]
a bx
a bx a bx
a＜x＜b
a＜x≤b
a≤x＜b
{x| a＜x＜b} {x| a＜x≤b}
(a，b)
(a，b]
{x| a≤x＜b} [a，b)
• 开区间 满足不等式a＜x＜b 的所有实数的集 合，叫做开区间，记做（a,b)，在数轴上用介 于a,b两点之间而不包括端点的一条线段上所 有的点表示。如图：
x
a
b
• 闭区间 满足不等式a≤x≤b的所有实数的集合， 叫做闭区间，记做[a，b]，用数轴表示为：
x
a
b
半开半闭区间
不等式满足a＜x≤b 或 a≤x＜b
成的一元一次不等式组的解集。
思考：如果各个不等式的解集的交集是空集呢？
求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
例2：解不等式组
{x -5 2 x -4 3 x 1< 9- x
解：由不等式得 x-2x≤5-4， -x≤1， x≥-1. 所以不等式的解集是{x|x≥-1}. 由不等式得 3x+x<9-1， 4x<8， x<2. 所以不等式的解集是{x|x≤2}。 取交集得到元不等式的解集是{x|-1≤x<2}. 请同学们自己在数轴上表示出来.
(－∞ ，a]
a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a}
(－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
x
a
b
x
a
b
(1)含有两个端点的数轴区域设 设a＜x＜b
a bx a≤x≤b {x| a≤x≤b} [a，b]
a bx
a bx a bx
a＜x＜b
a＜x≤b
a≤x＜b
{x| a＜x＜b} {x| a＜x≤b}
(a，b)
(a，b]
{x| a≤x＜b} [a，b)
• 开区间 满足不等式a＜x＜b 的所有实数的集 合，叫做开区间，记做（a,b)，在数轴上用介 于a,b两点之间而不包括端点的一条线段上所 有的点表示。如图：
x
a
b
• 闭区间 满足不等式a≤x≤b的所有实数的集合， 叫做闭区间，记做[a，b]，用数轴表示为：
x
a
b
半开半闭区间
不等式满足a＜x≤b 或 a≤x＜b
成的一元一次不等式组的解集。
思考：如果各个不等式的解集的交集是空集呢？
求解不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
例2：解不等式组
{x -5 2 x -4 3 x 1< 9- x
解：由不等式得 x-2x≤5-4， -x≤1， x≥-1. 所以不等式的解集是{x|x≥-1}. 由不等式得 3x+x<9-1， 4x<8， x<2. 所以不等式的解集是{x|x≤2}。 取交集得到元不等式的解集是{x|-1≤x<2}. 请同学们自己在数轴上表示出来.
(－∞ ，a]
a
x
x＞a
{x| x ＞ a}
(a，＋∞)
ax x＜a {x| x ＜ a}
(－∞，a)
对于实数集 R，也可用区间(－ ∞ ，＋∞) 表示 ．
初中数学苏科版(新版)七年级下册1不等式的解集教学课件
3、注意数形结合思想的应用.
拓展延伸
1、根据“当x为任何正数时，都能使不等式x+2＞1成立”，能不能说“不等式x＋2＞1的 解集为x＞0”？
2、在数轴上表示不等式x＋4≥0的解集，并写出这个不等式的非正整数解．
2 .
（2）
-2 -1 0 1 2 3
பைடு நூலகம்
解集可表示为： x≤2
.
（3）
-2 -1 0 1 2 2.5 3
解集可表示为：－1＜x≤2.5
.
练习：写出下列各数轴表示的不等式的解集 （1） （2）
（3） （4）
－2
例3.不等式x≤2的正整数解是( C)
A. 1
B. 0，1
C. 1，2
D. 0，1，2
不等式x＜2的非负整数解是________. 不等式x≥－4的负整数解是________.
4、不等式4x＜9的解集x＜ 9（ √ ） 4
【回顾与反思】必须正确理解不等式的解与不等式的解集的联系与区分.
想一想 不等式 x－3＞0的解集x＞3可以用数轴上表示3的点的___边部分来表示，包不包括3 这个数？
右
－3 －2－1 0 1 2 3 4 5
如何表示不等式的解集为x≤4呢？
－3 －2－1 0 1 2 3 4 5
1.你能求出合适不等式－1≤x＜4的整数 解吗？其中的x的最大整数值是多少呢？
2.若x＜a的解集中最大的整数解为3， 则a的取值范围为 3＜a≤4 .
若x≥b的解集中最小的整数解为－3，
则b的取值范围为
.
1、什么是不等式的解？ 什么是不等式的解集？
课堂小结
2、如何用数轴来表示不等式的解集？
规律：小于向左画，大于向右画； 无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点.
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自主学习
• １、什么是不等式的解集？x-3<5的解集是什么？ 的解集是什么？ 什么是不等式的解集？ 的解集是什么 • ２、不等式的解就是不等式的解集吗，为什么？ 不等式的解就是不等式的解集吗，为什么？ 它们有什么关系？ 它们有什么关系？ • ３、不等式的解集有几种表示方法？分别是什 不等式的解集有几种表示方法？ 么？ • ４、两不等式的解集分别为 两不等式的解集分别为x<2和x≤2，它们有 和 ， 什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？ 什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？ • ５、在数轴上表示不等式的解集时，什么时候 在数轴上表示不等式的解集时， 用空心圆圈？什么时候用实心圆点？ 用空心圆圈？什么时候用实心圆点？ • ６、在数轴上表示的不等式的解集是表示大于 线应往哪方画？小于呢？ 时，线应往哪方画？小于呢？
小试牛刀
• １、不等式x-2>１有____个解。它的解集 可以表示为______。在数轴上可以表示为：
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
• ２、请把下列不等式的解集在数轴表示 出来。 出来。 X>0 x≤-2 x≥
3 2
• 将数轴上 的范围用不等式来表示。 将数轴上x的范围用不等式来表示。 的范围用不等式来表示
自主学习
• ４、两不等式的解集分别为x<2和x≤2，它们有 两不等式的解集分别为 和 ， 什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？ 什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？
• ５、、在数轴上表示不等式的解集时，什 、、在数轴上表示不等式的解集时， 在数轴上表示不等式的解集时 么时候用空心圆圈？什么时候用实心圆点？ 么时候用空心圆圈？什么时候用实心圆点？ • 答：若不等号中不含有等号则用空心圆圈； 若不等号中不含有等号则用空心圆圈； 有等号则用实心圆点。 有等号则用实心圆点。 • ６、、在数轴上表示的不等式的解集是表 、、在数轴上表示的不等式的解集是表 示大于时，线应往哪方画？小于呢？ 示大于时，线应往哪方画？小于呢？ • 答：大于时线应往右方画，小于时应往左 大于时线应往右方画， 方画。 方画。
不等式的解集
知识回顾
• 1、什么叫不等式？ 答：用不等号连接起来的式子 • ２、什么叫不等式的解？ 答：使不等式成立的未知数的值 • ３、数轴的三要素是什么？ 答：原点、正方向、单位长度 • ４、请画条数轴，并在数轴上找出表示 -2.5, 3的点
－２.５ ５
●
3 ●
-5
Hale Waihona Puke -4-3-2
-1
0
1
2
3
4
5
自主学习
• １、什么是不等式的解集？x-3<5的解集是什么？ 什么是不等式的解集？ 的解集是什么？ 的解集是什么 • 答：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解 一个不等式的所有解， 所有解 的集合， 的集合，称为这个不等式的解集 。 X-3<5的解 的解 集是x<8. 集是 • ２、不等式的解就是不等式的解集吗，为什么？ 不等式的解就是不等式的解集吗，为什么？ 它们有什么关系？ 它们有什么关系？ • 答：不等式的解是不等式解集的一部分，不等式 不等式的解是不等式解集的一部分， 的解集包括不等式的解 • ３、不等式的解集有几种表示方法？分别是什么？ 不等式的解集有几种表示方法？分别是什么？ • 答：两种：一是表示成形如 两种：一是表示成形如x>a，二种是用数轴 ， 表示。 表示。
不等式2x-6>0的解集在数轴上表示正确的是 （ ）
A B
C
D
小结
１、这节课你学习了什么知识？ 这节课你学习了什么知识？ ２、你认为哪些地方最容易出错？ 你认为哪些地方最容易出错？ 采取什么方法避免出错？ 采取什么方法避免出错？