2 解二元一次方程组
解二元一次方程组常用的“消元”方法
数学篇解题指南将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.一、代入消元法代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值；第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来；第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.例1解下列方程组：（1）ìíîx -2y =4①，2x +3y =1②；（2）ìíîïï3(x +y )-2(2x -y )=3，2(x -y )3-x +y4=-112.分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x 的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解；方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.解：（1）由方程①移项可得x =2y +4，把x =2y +4代入方程②中，可得2(2y +4)+3y =1，解得y =-1，把y =-1代入①中可得x =2，所以有{x =2,y =-1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =-1.解二元一次方程组常用的“消元”方法19数学篇解题指南（2）通过整理，原方程组可以转化为ìíî5x -11y =-1③,-x +5y =3④,由方程④可知x =5y -3.把x =5y -3代入方程③中，可得5（5y -3）-11y =-1，即14y =14，解得y =1.把y =1代入x =5y -3中，可得x =2，所以有{x =2,y =1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =1.评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.二、加减消元法加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解；若发现系数相同，则利用相减消元法求解；若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.例2（1）ìíî3x -2y =9①,5x -2y =11②;（2）ìí4x +3y =3①,程中未知数y 的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x 、y 的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.解：（1）由方程②-①可得2x =2，解得x =1.把x =1代入①中可得y =-3，所以有{x =1，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =1，y =-3.（2）方程①×2可得8x +6y =6③；方程②×3可得9x -6y =45④，③+④可得17x =51，解得x =3.把x =3代入方程①中，可得y =-3，所以有{x =3，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =3，y =-3.评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各。
求解二元一次方程组公式
求解二元一次方程组公式二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这样的方程组需要使用一些基本的数学公式。
以下是一些公式和步骤，帮助你解决二元一次方程组。
1. 用消元法解决二元一次方程组消元法是解决二元一次方程组的最常用方法。
通过消去一个未知数，将两个方程转化为只包含一个未知数的方程，然后解决这个方程，最终得到两个未知数的解。
例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1首先，将第一个方程乘以2，得到：4x + 6y = 14然后将其与第二个方程相减，得到：11y = 13因此，y = 13/11。
将y的值代入第一个方程，得到：2x + 3(13/11) = 7解决这个方程得到x的值，最终解为：x = 17/11，y = 13/112. 用克莱姆法解决二元一次方程组克莱姆法是另一种解决二元一次方程组的方法，它使用行列式来计算未知数的值。
对于以下方程组：ax + by = ecx + dy = f计算行列式D和Dx，Dy如下：D = |a b||c d|Dx = |e b||f d|Dy = |a e||c f|然后，通过以下公式计算x和y的值： x = Dx/Dy = Dy/D例如，考虑以下方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1计算行列式D和Dx，Dy如下：D = |2 3||4 -5| = -22Dx = |7 3||1 -5| = -26Dy = |2 7||4 1| = -5通过公式计算x和y的值，得到：x = Dx/D = (-26)/(-22) = 13/11y = Dy/D = (-5)/(-22) = 1/11最终解为：x = 13/11，y = 1/11以上是求解二元一次方程组的公式和步骤。
通过这些方法，你可以解决任何二元一次方程组，并找到它们的解。
解二元一次方程组(2)
例1：解下面的二元一次方程组
3x+5y =21
①
2x–5y = –11
②
把②变形得：
5y－11
x=
代入①，Байду номын сангаас去
x
了！2
标准的 代入消
元法
3x +5y =21 2x –5y = –11
认真观察此方程组中各个未知数的系数有什么特点，并思考还 有没有其它的解法。
我们发现 y 的系数互为相反数 根据等式的性质我们可以将方程的左右两边 分别相加以达到消元的目的！
把y ＝－1代入①，得： 2x－5×（－1）＝7
解得:x＝1
所以原方程组的解是
x＝1 y＝－1
感悟规律 揭示本质
两个二元一次方程中同一未知数的系数相 反或相等时，将两个方程的两边分别相加或 相减，就能消去这个未知数，转化为一个一 元一次方程，达到消元的目的，相对于代入 消元法，有一定的优越性。
例3：解方程组
解二元一次方程组（2）
苏科版七年级下册 数学
1、用含x的代数式表示y ：
(1) x + y = 22 (2) 5x =2 y (3) 2x － y =5
y= 22－x
y = 25x
y = 2 x－5
2、用含y 的代数式表示 x ：2x － 7y = 8
7y+8 x= 2
代入法解二元一次方程组的步骤；
变为同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
3x+4y = 17 ②
解： ①×3得 6x+9y=36 ③ ②×2得 6x+8y=34 ④ ③－④得: y=2 把y ＝2代入①，
人教版七年级数学下册8.2 消元——代入法解二元一次方程组(课件20张PPT 教案)
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （500g）和小瓶装（250g）两种产品的销 售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产 这种消毒液 22.5吨，这些消毒液应该分装大、 小瓶两种产品各多少瓶？
问题中的条件 大瓶数：小瓶数=2:5 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生 产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶. ① 5 x 2 y 由题意得 ② 500 x 250 y 22500000
x y 3 的解是（ 2x 4
x 5
D ）
x 3 A. y 0
x 1 B. y 2
x 2 C. y 2 D. y1
作业布置
１. 必做题：97页1.（2）（4）2.（3）（4 ２. 选做题：98页7.8
“即使能力有限，也要全力以赴，即使输了， 也要比从前更强，我一直都在与自己比，我要 把最美好的自己，留在这终于相逢的决赛赛 场。”
再见
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
解2元一次方程组的方法
对于二元一次方程组的解法，我们用的方法是消元思想。
也就是把两个未知数转换为一个未知数，这也是我们初中数学中重要的思想。
知识点将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种基本解法，它们都是通过消元将方程组转化为一元一次方程，再求解.代入消元法1. 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y=mx+n的形式；②代入消元：把y=mx+n代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x的值；④回代求解: 把求得的x的值代入y=mx+n中求出y的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成{x=ay=b的形式.例: 解方程组①②{x−y=2 ① 2x+3y=9 ②解: 由①得y=x−2③把③代入②得2x+3(x−2)=9解得x=3把x=3代入③得y=1所以方程组的解是{x=3y=1总结：在使用代入消元法时，我们需要把握的一点就是当未知数的系数出现±1时，用代入消元法。
加减消元法1. 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.2. 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:①变换系数: 把一个方程或者两个方程的两边都乘适当的数, 使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元: 把两个方程的两边分别相加或相减, 消去一个未知数, 得到一个一元一次方程③解这个一元一次方程, 求得一个未知数的值；④回代求解: 将求出的未知数的值代入原方程组的任一方程中, 求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成{x=ay=b的形式.例:解方程组①②{3x−2y=1 ① 2x+y=3 ②解:②×2 得4x+2y=6③①+③得7x=7解得x=1把x=1代入①得3−2y=1即y=1所以方程组的解是{x=1y=1总结：（1）加减消元法是万能的，所有二元一次方程组都可以使用加减消元法。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，通常形式为：ax + by = c。
dx + ey = f。
要解这样的方程组，我们可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。
方法一，代入法。
代入法是解二元一次方程组常用的一种方法。
我们可以通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的形式，然后代入到另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。
举个例子，对于方程组：2x + 3y = 8。
x y = 1。
我们可以将第二个方程中的x表示成x = 1 + y，然后代入到第一个方程中，得到：2(1 + y) + 3y = 8。
2 + 2y + 3y = 8。
5y = 6。
y = 6/5。
将y的值代入到x y = 1中，得到：x 6/5 = 1。
x = 11/5。
因此，方程组的解为x = 11/5，y = 6/5。
方法二，消元法。
消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
通过将两个方程相减或相加，消去一个未知数，然后解得另一个未知数的值。
以方程组。
2x + 3y = 8。
x y = 1。
为例，我们可以将两个方程相加，得到：3x + 2y = 9。
然后将这个新得到的方程与原来的其中一个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的值。
方法三，克莱姆法则。
克莱姆法则是一种利用行列式来解二元一次方程组的方法。
对于方程组。
ax + by = e。
cx + dy = f。
如果ad bc ≠ 0，那么方程组有唯一解，且解为：x = (ed bf) / (ad bc)。
y = (af ec) / (ad bc)。
方法四，图解法。
图解法是通过在坐标系中画出两个方程的图像，从而找到它们的交点来求解方程组的方法。
通过观察图像的交点坐标，我们可以得到方程组的解。
总结。
解二元一次方程组的方法有很多种，上面介绍的只是其中的几种常用方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解方程组，以便高效地求得未知数的值。
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法一、图形法解二元一次方程组可以使用图形法来进行求解。
图形法的基本思想是将方程组表示在坐标系中，通过观察图像的交点确定方程组的解。
具体步骤如下：1. 将两个方程分别表示在坐标系中，作出对应的直线。
2. 观察两条直线的交点，如果两条直线相交于一个点，则该点为方程组的解。
3. 如果两条直线平行，即不相交，则方程组无解。
4. 如果两条直线重合，即完全重合在一起，则方程组有无限多解。
二、代入法代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
代入法的基本思想是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的变量，然后代入到另一个方程中进行求解。
具体步骤如下：1. 选取其中一个方程，将其中一个变量表示为另一个方程的变量。
2. 将表示后的变量代入到另一个方程中，得到一个一元一次方程。
3. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
4. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
三、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法之一。
消元法的基本思想是通过消去一个变量，将方程组化简为只包含一个变量的方程，然后进行求解。
具体步骤如下：1. 确定一个目标，选择其中一个方程，通过变换使得其中一个方程的一个变量的系数和另一个方程的对应变量的系数相等或相反数。
2. 将选择的方程两边同乘以适当的数使得系数相等或相反数。
3. 将上述变换后的方程两方程对应的相应项相减，得到一个只包含一个变量的方程。
4. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
5. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
四、等价变形法等价变形法是解二元一次方程组常用的方法之一。
等价变形法的基本思想是通过对方程进行等价变形，将方程组化简成更容易求解的形式。
具体步骤如下：1. 对方程组的两个方程进行等式变形，使得方程组的形式更加简化。
2. 对方程组进行加减运算，使得一个未知数的系数相等或相反数。
3. 利用一次方程的等价性，解得一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入到方程组中，求得另一个未知数的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解二元一次方程组
教学目标:
会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组
教学重点:
用代入法和加减消元法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元.
教学难点:
用代入法和加减消元法解二元一次方程组
知识点:
1·用代入法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：
①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来
②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组
为一元一次方程式
③解这个一元一次方程
④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。
2·用加减法解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：
观察求未各数的系数的绝对值是否相同，若互为相反数就用加，若相同，就用减，达到消元目的。
例题:
3x+ 2y=8 2x+3y=16
x=
23
y
x+4y=13
3x+5y=21 2x-5y=7 2x+3y=12
2x－5y= -11 2x+3y= -1 3x+4y=17
练习题： 一、选择题
1.四名学生解二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=-325
43y x y x 提出四种不同的解法，其中解法
不正确的是（ ）
A.由①得x =
3
45y +,代入② B.由①得y =
4
53-x ,代入②
C.由②得y =－
2
3-x ,代入① D.由②得x =3+2y ,代入①
2.用代入法解方程组⎩
⎨⎧=-=+522
43y x y x
使得代入后化简比较容易的变形是（ ） A.由①得x =342y - B.由①得y =
4
32x -
C.由②得x =
2
5
+x
D.由②得y =2x －5
3.用加减法解方程组⎩
⎨⎧=-=+8231
32y x y x 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相
反，有以下四种变形的结果：
①⎩⎨
⎧=-=+8
46196y x y x ②⎩⎨
⎧=-=+8
69164y x y x ③⎩⎨
⎧-=+-=+16
46396y x y x ④⎩⎨
⎧=-=+24
69264y x y x
其中变形正确的是（ ）
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
4.如果5x 3m －2n －2y n －m +11=0是二元一次方程，则（ ）
A.m =1,n =2
B.m =2,n =1
C.m =－1,n =2
D.m =3,n =4
5.已知
2
1x b +5y 3a
和－3x 2a y 2－4b 是同类项，那么a ,b 的值是（ ）
A.⎩
⎨⎧=-=21b a
B.⎩⎨
⎧==0
7
b a
C.⎪
⎩
⎪⎨⎧-==53
0b a
D.⎩⎨
⎧-==1
2b a
二、填空题
6.将x =－23
y －1代入4x －9y =8,可得到一元一次方程_______.
7.用代入法解方程组⎩⎨
⎧=-=+1
472y x y x 由②得y =______③,把③代入①，得 ①
② ①
② ①
②
________，解得x =________,再把求得的x 值代入②得，y =________.原方程组的解为_______. 8.关于x ,y 的方程组⎩⎨
⎧=-=+5
24y mx y mx 中，若x 的值为2
3
，则m =________,y =________.
9.若2a 7x －
y b 17与－3
1
a 2
b 2x +3y 是同类项，则x =________,y =________.
10.解关于x 的方程组⎩⎨⎧=-=+m
y x m y x 932得⎩⎨
⎧==.
________,y x 当m 满足方程5x +8y =38时，
m =________. 三、解答题
11.用代入法解下列方程组
（1）⎩⎨⎧=+=-74823x y y x (2)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=
--=-359333
2y y x y
x
12.用加减法解方程组
(1)⎩⎨
⎧-=-=t
s t
s 41835276
(2)⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=+74324
3y x y x
13.在公式S n =na 1+2
)1(-n n d 中，已知S 2=5，S 4=14，求S 6的值.
14.解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+021
4143y x y x
15.解方程组⎪
⎩⎪
⎨⎧+=+=-41
3
2123y x x y
16.已知关于x 、y 的方程组⎩
⎨
⎧=+=+⎩⎨⎧-=+=-33211
2313
32by ax y x by ax y x 和的解相同，求a 、b 的值.
① ②
① ②。