第8章 图的基本概念
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
测量学8第八章
• 地图以特有的数学基础、图形符号和抽象概括法则表现 地球自然表面的时空现象，反映人类的政治、经济、文 化和历史等人文现象的状态、联系和发展变化。它具有 以下的特性：
• 1.可量测性 • 2.直观性 • 3.一览性
§8－1 地形图的基本知识 （三）地形图
地形图是地图的一种。
它是将地球表面的地物和 地貌，用规定的符号和一 定的比例尺，按垂直（正 射）投影关系，测绘在图 纸上得到的地图。
地球表面的自然地理、行政区域、社会经济状况的图形。同时，地 图也是一个国家领土主权的重要标识。
• 地图与地面写景图或地面照片不同，它具有严格的数学基础，科学 的符号系统，完善的文字注记规则，并采用制图综合原则科学地反 映出自然和社会经济现象的分布特征及其相互联系。
§8－1 地形图的基本知识
• （二）地图的特性
的水流方向等。绘图的比例不同，则符号的大小和详略程 度也有所不同。
地形图的基本知识
数字地形图 digital topographicmap 将地形信息按一定的规则和方法采用计算机生成和计算机数据格式存储的地形图。
它不仅表示地面点的平面 位置，还表示地面点的高 低起伏状态。
1:2000
§8－1 地形图的基本知识
二、地形图比例尺
• 1.比例尺定义 • 地图上某线段的长度d与实地的水平长度D之比称为地图比例尺，即1/M＝D/d • 式中,M是比例尺分母。 • 数字式 • 可以用比的形式，如：1：50 000,1：10万，也可以用分数式，如：1/50
分水线和集水线在山区的工程设计中有重要意义。
山区一系列形成 河流流域的分水岭。例如 秦岭为黄河与长江的分水 岭。
2 8
3.鞍部的等高线
典型的鞍部是在相对的两个山脊和山谷的会聚处，形如马 鞍。它的左、右两侧的等高线是大致相对称的两组山脊线和两 组山谷线。山脉的鞍部称为“岭”。鞍部或岭在山区道路的选 线中是一个关节点，越岭道路常须经过鞍部。
• 1.可量测性 • 2.直观性 • 3.一览性
§8－1 地形图的基本知识 （三）地形图
地形图是地图的一种。
它是将地球表面的地物和 地貌，用规定的符号和一 定的比例尺，按垂直（正 射）投影关系，测绘在图 纸上得到的地图。
地球表面的自然地理、行政区域、社会经济状况的图形。同时，地 图也是一个国家领土主权的重要标识。
• 地图与地面写景图或地面照片不同，它具有严格的数学基础，科学 的符号系统，完善的文字注记规则，并采用制图综合原则科学地反 映出自然和社会经济现象的分布特征及其相互联系。
§8－1 地形图的基本知识
• （二）地图的特性
的水流方向等。绘图的比例不同，则符号的大小和详略程 度也有所不同。
地形图的基本知识
数字地形图 digital topographicmap 将地形信息按一定的规则和方法采用计算机生成和计算机数据格式存储的地形图。
它不仅表示地面点的平面 位置，还表示地面点的高 低起伏状态。
1:2000
§8－1 地形图的基本知识
二、地形图比例尺
• 1.比例尺定义 • 地图上某线段的长度d与实地的水平长度D之比称为地图比例尺，即1/M＝D/d • 式中,M是比例尺分母。 • 数字式 • 可以用比的形式，如：1：50 000,1：10万，也可以用分数式，如：1/50
分水线和集水线在山区的工程设计中有重要意义。
山区一系列形成 河流流域的分水岭。例如 秦岭为黄河与长江的分水 岭。
2 8
3.鞍部的等高线
典型的鞍部是在相对的两个山脊和山谷的会聚处，形如马 鞍。它的左、右两侧的等高线是大致相对称的两组山脊线和两 组山谷线。山脉的鞍部称为“岭”。鞍部或岭在山区道路的选 线中是一个关节点，越岭道路常须经过鞍部。
《机械制图》(张雪梅)教学课件 第八章 零件图
图8-23（a）所示进行标注（图中Fe表示基本材料为钢，Ep表示加工工艺为电镀）。 如图8-23（b）所示，三个连续的加工工序的表面结构、尺寸和表面处理的标注如下。
第一道工序：单向上限值，Rz为1.6 μm，表面纹理没有要求，去除材料的工艺。
第二道工序：镀铬，无其他表面结构要求。
第三道工序：一个单向上限值，仅对长为50 mm的圆柱表面有效，Rz为6.3 μm，表面纹
➢ 4.表面结构要求在图纸中的注法
4.1 表面结构表示法
（1）表面结构要求对每一表面一般只注一次，并尽可能注在相应的尺寸及其公差的同一视图上。 除非另有说明，所标注的表面结构要求是对完工零件表面的要求。
（2）表面结构的注写和读取方向与尺寸的注写和读取方向一致。表面结构要求可标注在轮廓线 上，其符号应从材料外指向并接触表面，如图8-15所示。必要时，表面结构也可用带箭头或黑 点的指引线引出标注，如图8-16所示。
在零件图上标注尺寸时，不仅要考虑设计要求，还应使标注出的尺寸便于测量和校验。 如图8-11（a）所示，尺寸A不便于测量，应按图8-11（b）标注尺寸。
3.3 标注尺寸应注意的问题
图8-9 封闭尺寸链
图8-10 开口尺寸链
3.3 标注尺寸应注意的问题
（a）不正确
（b）正确
图8-11 标注尺寸应便于测量
图8-1 左端盖及其零件工作图
零件图的 内容
（1）一组图形。用一组恰当的图形（如局部视图、剖视图、断
1
面图及其他规定画法等）将零件各组成部分的内外形状和位置关 系正确、完整、清晰地表达出来。如图8-1所示，用一个基本视
图表达泵盖的外形，用A―A全剖视图表达泵盖的内部形状。
2
（2）全部尺寸。在零件图上应正确、完整、清晰、合理地标注零 件在制造和检验时所需要的全部尺寸，以确定其结构大小。
第一道工序：单向上限值，Rz为1.6 μm，表面纹理没有要求，去除材料的工艺。
第二道工序：镀铬，无其他表面结构要求。
第三道工序：一个单向上限值，仅对长为50 mm的圆柱表面有效，Rz为6.3 μm，表面纹
➢ 4.表面结构要求在图纸中的注法
4.1 表面结构表示法
（1）表面结构要求对每一表面一般只注一次，并尽可能注在相应的尺寸及其公差的同一视图上。 除非另有说明，所标注的表面结构要求是对完工零件表面的要求。
（2）表面结构的注写和读取方向与尺寸的注写和读取方向一致。表面结构要求可标注在轮廓线 上，其符号应从材料外指向并接触表面，如图8-15所示。必要时，表面结构也可用带箭头或黑 点的指引线引出标注，如图8-16所示。
在零件图上标注尺寸时，不仅要考虑设计要求，还应使标注出的尺寸便于测量和校验。 如图8-11（a）所示，尺寸A不便于测量，应按图8-11（b）标注尺寸。
3.3 标注尺寸应注意的问题
图8-9 封闭尺寸链
图8-10 开口尺寸链
3.3 标注尺寸应注意的问题
（a）不正确
（b）正确
图8-11 标注尺寸应便于测量
图8-1 左端盖及其零件工作图
零件图的 内容
（1）一组图形。用一组恰当的图形（如局部视图、剖视图、断
1
面图及其他规定画法等）将零件各组成部分的内外形状和位置关 系正确、完整、清晰地表达出来。如图8-1所示，用一个基本视
图表达泵盖的外形，用A―A全剖视图表达泵盖的内部形状。
2
（2）全部尺寸。在零件图上应正确、完整、清晰、合理地标注零 件在制造和检验时所需要的全部尺寸，以确定其结构大小。
(图论)图的基本概念--第一章
证明 设G＝<V，E>为任意一图，令
V1＝{v|v∈V∧d(v)为奇数} V2＝{v|v∈V∧d(v)为偶数} 则V1∪V2＝V，V1∩V2＝ ，由握手定理可知
2m d (v) d (v) d (v)
vV
vV1
vV2
由于2m和 d (v) ，所以 d (v) 为偶数，
举例
NG(v1) ＝ {v2，v5} NG(v1) ＝ {v1，v2，v5} IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
定义1.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则 称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些 边的始点和终点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边 为平行边。 含平行边的图称为多重图。 既不含平行边也不含环的图称为简单图。
无向图和有向图
定义1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记作G，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E称为边集，它是无序积V&V的多重子集，其元素称为无向 边，简称边。
定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点或结点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其元素称为有向 边，简称边。
vV2
vV1
但因V1中顶点度数为奇数， 所以|V1|必为偶数。
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能每 个人恰好与其他5个人意见一致？
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
图论-图的基本概念
若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈； 若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。 例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。 证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三 数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
工程制图技术基础第8章 零件图
法获得的同一表面，当
需要明确每种工艺方法
9
的表面结构要求时，可
按左图进行标注。图中：
Fe—基本材料为钢；
EP—加工工艺为电镀
8.3.3 极限、公差、偏差
1．尺寸公差
在生产过程中，受各种因素的影响，例如：刀具磨损、 机床振动及工人技术水平等，所加工出的零件尺寸必然存 在一定的误差，为了确保产品加工的经济性，实现零件的 互换，零件的每个尺寸必须规定一个允许的变动范围，这 种允许尺寸的变动量称为尺寸公差。以下是有关尺寸公差 的名词解释。
工程制图技术基础第8章 零件图
表达单个零件的结构形状、尺寸大小及技术要求等内 容的图样，称为零件图。它是设计部门提交给生产部门的 重要技术文件。它要反映出设计者的意图，表达出机器 （或部件）对零件的要求，同时要考虑到结构和制造的可 能性与合理性，是制造和检验零件的依据。如下图所示的 齿轮油泵，主要由泵体、泵盖、齿轮、泵轴、螺钉、垫片、 堵头螺栓和销等零件组成。这些零件中，如螺钉、销和弹 簧属于标准件，故通常不画其零件图。齿轮属于常用件, 其部分结构标准化，并有规定的画法，所也要画出其零件 图,它属于通用件。其余零件的结构尺寸都是专门为该机 器设计的，这样的零件通常被称为一般零件。一般零件必 须画出零件图以供制造、维护等。
(a) 按设计要求选择尺寸基准
(c) 按设计基准标注长度方向尺寸
（d）按工艺基准标注长度尺寸
（b）按加工要求选择尺寸基准
（e）综合考虑标注长度方向尺寸
（a） 封闭尺寸链
（b）开口环
（c）参考尺寸
2) 考虑工艺要求 (1) 尽量符合加工顺序 按加工顺序标注尺寸，符合 加工过程，便于加工和测量。 (2) 应考虑测量方便 标注尺寸时，有些尺寸的标注 对设计要求影响不大时，应考虑测量方便。
第八章轴测图讲解
教案首页教案首页第八章轴测图本章重点1）掌握轴测图的形成和基本作图原理。
2）掌握正等测的作图原理和作图方法3）掌握斜二测的作图原理和作图方法4）用CAD绘制轴测图本章难点1）掌握正等测和斜二测的作图方法2）掌握CAD绘制轴测图的方法本章要求1）已知物体的三视图，作其正等测立体图。
2）已知物体的三视图，作其斜二测立体图。
3）CAD绘制轴测图四、本章内容：§ 8-1轴测图的基本知识一、轴测图的形成及投影特性用平行投影法将物体连同确定物体空间位置的直角坐标系一起投射到单一投影面，所得的投影图称为轴测图。
由于轴测图是用平行投影法得到的，因此具有以下投影特性：1、空间相互平行的直线，它们的轴测投影互相平行。
2、立体上凡是与坐标轴平行的直线，在其轴测图中也必与轴测轴互相平行。
3、立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变。
二、轴向伸缩系数和轴间角投影面称为轴测投影面。
确定空间物体的坐标轴OXOYOZ在P面上的投影01X101Y1 01Z1称为轴测投影轴，简称轴测轴。
轴测轴之间的夹角/ X101Y1 / Y101Z1 / Z101X1称为轴间角。
由于形体上三个坐标轴对轴测投影面的倾斜角度不同，所以在轴测图上各条轴线长度数。
三、轴测图的分类轴测图分为正轴测图和斜轴测图两大类。
当投影方向垂直于轴测投影面时，称为正轴测图；当投影方向倾于轴测投影面时，称为斜轴测图。
由些可见：正轴测图是由正投影法得来的，而斜轴测图则是用斜投影法得来的。
正轴测图按三个轴向伸缩系数是否相等而分为三种：1、正等测图简称正等测：三个轴向伸缩系数都相等；2、正二测图简称正二测：只有两个轴向伸缩系数相等；3、正三测图简称正三测：三个轴向伸缩系数各不相等。
同样，斜轴测图也相应地分为三种：1、斜等测图简称斜等测：三个轴向伸缩系数都相等；2、斜二测图简称斜二测：只有两个轴向伸缩系数相等；3、斜三测图简称斜三测：三个轴向伸缩系数各不相等。
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2
3.5
7.8
• 给每条边赋与权的图G=<V,E>称为加权图， • 记为G=<V,E,W>,其中W表示各边权的集合。
• 设ek＝(vi,vj)为无向图G＝<V,E>中的一条边, 称vi,vj为ek的端点, ek与vi(或vj)是彼此关联 的.
• 若ek＝<vi, vj>,除称vi, vj是ek的端点外, 还称vi是ek的起点, vj是ek的终点.
无向图
一个无向图G是一个二元组<V,E>,即 G＝<V,E>,其中,
(1)V是一个非空的集合,称为G的 顶点集,V中元素称为顶点或结点；
(2)E是无序积V＆V的一个多重子 集,称E为G的边集,E中元素称为无向 边或简称边.
有向图
一个有向图D是一个二元组<V,E>,即D＝ <V,E>,其中, (1)V同无向图中的顶点集； (2)E是卡氏积的多重子图,其元素 称为有向边,也简称边.
例2 证明在n（n 2）个人的团体中，总有 两个人在此团体中恰好有相同个数的朋友。
分析：建立数学模型。以顶点代表人，二人如果是朋 友，则在代表他们的顶点间连上一条边，这样可得无 向简单图G，每个人的朋友数即图中代表他的顶点的度 数，于是问题转化为图中的命题：n阶无向简单图G中 必有两个顶点的度数相同。
平行边、重数、多重图、简单图
平行边 关联一对顶点的m条边（m 2， 称重数，注意：有向平行边必须方向相 同）。 多重图 含有平行边（无环）的图。 简单图 不含平行边和环的图。 K-正则图 每个顶点的度数均为k的无向图
例
Hale Waihona Puke 顶点的度 出度 入度• 顶点的度数
顶点所关联的边数。顶
点 的度数记作： d（）
• 在有向图中，以顶点为起点的边数称顶 点 的出度，记作：d+（）
• 以顶点为终点的边数称顶点 的入度， 记作：d（）
称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对应的 边为悬挂边.
•d (v1)＝3，d+(v1)＝2，d-(v1)＝1； •d (v2)＝3，d+(v2)＝2，d-(v2)＝1； •d (v3)＝5，d+(v3)＝2，d-(v3)＝3； •d (v4)＝d+(v4)＝d-(v4)＝0； •d (v5)＝1，d+(v5)＝0，d-(v5)＝1； •其中，v5是悬挂结点，<v1，v5>为悬挂边。
• 设D=<V,E>为n阶有向简单图,若对于任 意的顶点u,v∈V(u≠v),既有有向边 <u,v>,又有<v,u>,则称D是n阶有向完全 图. •Kn均指无向完全图.
图
在图7.2(1)中所示为K4,(2)所示为K5, (3)所示为3阶有向完全图.
• 由完全图的定义易知，无向完全图Kn的 边数 |E（Kn）| = n（n-1）/2
例1：求解下列各题
• 1. 无向完全图Kn有36条边，则它的顶点数n为几？
• 2. 图G的度数列为2，2，3，5，6，则顶点数n =？边 数m = ？
• 3. 图G有12条边，度数为3的顶点有6个，余者度数均 小于3，问G至少有几个顶点？
4. (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？
本篇着重介绍图论的基本概念，图的基本性 质以及在实际问题中的一些应用。
第8章 图的基本概念 8.1 图的定义及相关术语 8.2 通路、回路、图的连通性 8.3 图的矩阵表示
8.1 图的定义及相关术语
设A,B为两集合,称 {{a,b}｜a∈A∧b∈B}
为A与B的无序积,记作A＆B． 将无序对{a,b}记作(a,b).
• 无边关联的顶点称为孤立点.若一条边所关联 的两个顶点重合,则称此边为环.
设G＝<V,E>为一无向图或有向图 (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图． (3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此
时又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.
邻接点 邻接边
邻接点：同一条边的两个端点。 邻接边：关联同一个顶点的两条边。
图的最大度和最小度
对于图G＝<V,E>,记 • Δ(G)＝max{d(v)｜
v∈V}, • (G)＝min{d(v)｜
v∈V},分别称为G的 最大度和最小度.
若D＝〈V,E〉是有向图,除了 Δ(D),(D)外,还有最大出度、最 大入度、最小出度、最小入度,分 别定义为
基本定理(握手定理)
• 设图G＝<V,E>为无向图或有向图,V＝ {v1,v2,...,vn},|E|=m(m为边数),则
推论
• 任何图(无向的或有向的)中,度为奇数的 顶点个数为偶数.
定理
设有向图D＝<V,E>,V＝{v1,v2,...,vn}, ｜E｜＝m,则
度数序列
• 设V＝{v1,v2,...,vn}为图G的顶点集,称 (d(v1),d(v2),...,d(vn))为G的度数序列.
• 有向完全图Dn的边数 |E(Dn)| = n（n-1）
第四篇 图论基础
图论是拓扑学的一个分支，以图作为研究对象。 它最早起源于对一些数学游戏的难题研究，如哥 尼斯堡七桥问题、博弈问题、四色猜想问题等。
关于图论的第一篇论文是瑞士数学家欧拉发表於 1736年。1847年克希霍夫理论图论分析电路中的 电流问题，这是图论在工程的最早应用。近年来 随着科学技术的发展，图论的应用研究越来越广。 已经运用到运筹学、控制学、网络理论、博弈论、 社会学和计算机科学等各个领域。
图论中所讨论的图，是由顶点和带方向或不带方 向的弧线联结而成的线状图。我们在二元关系一 章中已见过，当我们研究的对象能被抽象为离散 的元素的集合和集合上的二元关系时，用关系图 表示和处理是很方便的。由于大量问题的研究需 要，图被作为一个抽象的数学系统加以研究，其 研究方法本身已成为一种新的科学方法，用于具 系统功能的模型的分析与设计中。
解：用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数 列为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与 有n-1度顶点相矛盾（因为是简单图，其中的n-1度顶 点必与其它n-1个顶点均邻接），所以必有两个顶点的 度数相同。
无向完全图、有向完全图
•设G=<V,E>是n阶无向简单图,若G中任何 顶点都与其余的n－1个顶点相邻,则称G 为n阶无向完全图,记作Kn.