离散数学中的图的基本概念和算法
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
离散数学中的图论着色算法-教案
离散数学中的图论着色算法-教案一、引言1.1图论的发展历程1.1.118世纪欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，奠定图论基础。
1.1.219世纪图论在数学和物理学领域得到发展。
1.1.320世纪图论在计算机科学中扮演重要角色。
1.1.4当前图论研究涉及网络科学、社会网络等多个领域。
1.2图论的基本概念1.2.1图由节点和边组成，用于表示物件与物件之间的关系。
1.2.2节点代表研究对象，边代表节点间的联系。
1.2.3图分为有向图和无向图，反映关系的方向性。
1.2.4图的度、路径、环等是图论中的基本术语。
1.3图论在现实中的应用1.3.1社交网络分析，如Facebook的社交图谱。
1.3.2电信网络设计，如电话网络的布局。
1.3.3交通运输规划，如航班路线的优化。
1.3.4计算机网络设计，如互联网的结构优化。
二、知识点讲解2.1图的着色问题2.1.1图的着色是将图中的节点用颜色进行标记，满足相邻节点颜色不同。
2.1.2着色问题分为正常着色和特定着色，如双色着色、列表着色等。
2.1.3着色问题在图论中具有重要地位，与图的性质紧密相关。
2.1.4着色问题广泛应用于地图着色、排课表、寄存器分配等领域。
2.2图的着色算法2.2.1Welsh-Powell算法，基于节点度进行着色。
2.2.2DSATUR算法，优先着色度数大且邻接节点着色多的节点。
2.2.3RLF算法，考虑节点邻接矩阵的行、列和节点度。
2.2.4图的着色算法不断发展，如启发式算法、遗传算法等。
2.3图的着色算法的应用2.3.1地图着色，确保相邻区域颜色不同。
2.3.2课程表安排，避免时间冲突。
2.3.3计算机寄存器分配，优化资源利用。
2.3.4光纤通信网络设计，减少信号干扰。
三、教学内容3.1图的着色问题的引入3.1.1通过地图着色实例引入图的着色问题。
3.1.2讲解正常着色和特定着色问题的区别。
3.1.3分析着色问题在现实中的应用场景。
3.1.4引导学生思考着色问题的数学模型。
离散数学7-1图论
图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图 设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若 给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则 称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补 图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概 念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结 点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个 图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨 论图的同构的概念。
表7-1.1
结 点 出 度 入 度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结 点 出 度
入 度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也 分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。 需要指出的是这几个条件不是两个图同构的 充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上 述的三个条件,但此两个图并不同构。
《离散数学》图基本概念
17
无向图的相邻矩阵
说明: 在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度
为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成 长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.
《离散数学》图基本概念
4
通路与回路(续)
定理
在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从 vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
m m
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,..., n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
《离散数学》图基本概念
16
v1 e1
e2
e3
e4 v2
v3
e5
v4
关联次数为可能取值为0，1，2
1 1 1 0 0
M (G ) 0
1
1
1
0
1 0 0 1 2
0
0
0
0
0
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
10
几点说明： Kn无点割集（完全图） n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
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《离散数学》图基本概念
11
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
d(u,v)=d(v,u)（对称性） d(u,v)+d(v,w)d(u,w) （三角不等式)
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
离散数学第8章 图论
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
离散数学微课版第六章课后答案
离散数学微课版第六章课后答案离散数学是一门重要的数学课程，它涉及数学中的许多基本概念，如逻辑、集合、函数和图论。
离散数学微课版第六章的主要内容是图论，图论是离散数学的重要组成部分。
本章主要讨论了图的基本概念、图的结构和图的表示方法。
图的基本概念是指图的元素，它由顶点和边组成。
顶点是图中的一个点，它可以是一个实体或一个抽象的概念，而边是两个顶点之间的关系。
图的结构是指图中顶点和边之间的关系，它可以是连通的、无向的或有向的。
连通的图中，任意两个顶点都有一条路径可以相连；无向图中，边的两个顶点之间没有方向性；有向图中，边的两个顶点之间有方向性。
图的表示方法有多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，它用来表示图中顶点之间的关系，如果顶点u和v之间有边，那么矩阵中的对应元素为1，否则为0；而邻接表则用一维数组来表示图中顶点之间的关系，它将每个顶点与其相邻顶点列出来，以此来表示图中的边。
离散数学微课版第六章课后答案是指离散数学微课版第六章的课后习题答案，其中包括了有关图的基本概念、图的结构和图的表示方法的习题。
答案可以帮助学生更好地理解图论的概念，并能够熟练地使用图的表示方法。
本章的课后习题答案可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
首先，学生需要了解图的基本概念，包括顶点和边，并能够识别连通图、无向图和有向图；其次，学生需要了解图的表示方法，包括邻接矩阵和邻接表，并能够熟练地使用它们。
离散数学微课版第六章课后答案的重要性在于，它可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
此外，它还可以帮助学生更好地学习离散数学，掌握离散数学中的重要概念和方法，从而为今后的学习和应用打下坚实的基础。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
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图论是离散数学的一个分支，研究图的性质和图上的问题。
图是由结点和边组
成的一种抽象数据结构，可以用来描述现实世界中的各种关系和连接。
本文将
介绍一些图的基本概念和算法。
在图中，结点表示实体，边表示结点之间的关系。
一张图可以用G=(V, E)表示，其中V为结点的集合，E为边的集合。
边可以有方向（有向图）或没有方向
（无向图），也可以有权重（带权图）或没有权重（不带权图）。
图的基本概念中，最常见的是路径和回路。
路径是图中的一条边的序列，每个
边连接两个结点。
回路是一条路径，起点和终点相同。
如果一条路径中没有重
复的结点，那么它就是一条简单路径。
连接结点之间的路径可以通过深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）来
寻找。
DFS以栈为数据结构，先找到一个结点，然后再找它的邻居结点，如此
往复，直到找到目标结点或者所有结点都被访问过。
BFS以队列为数据结构，
先找到一个结点，然后找它的所有邻居结点，如此往复，直到找到目标结点或
者所有结点都被访问过。
除了DFS和BFS，图中还有其他一些重要的算法和问题。
最短路径算法是用来
找到两个结点之间最短路径的算法，其中最著名的是狄克斯特拉算法和弗洛伊
德算法。
狄克斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过不断更新起点到每个结
点的最短距离来寻找最短路径。
弗洛伊德算法适用于任意有向图，通过不断更
新任意两个结点之间的最短距离来寻找最短路径。
最小生成树算法是用来找到一个无环且连通的子图，该子图包含所有结点并且
边的权重之和最小的算法。
其中最著名的是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普
里姆算法从一个起始结点出发，每次选择与该结点最近的未访问结点，直到所
有结点都被访问过。
克鲁斯卡尔算法一开始将每个结点都看作一个独立的树，
然后每次选择权重最小的边，如果该边连接的两个结点不在同一棵树中，就将
它们合并为一棵树。
图的基本概念和算法在离散数学中起到了至关重要的作用。
图论不仅仅可以用
于计算机科学领域，还可以应用到物流规划、社交网络分析、电路设计等各个
领域。
同时，图论也是许多其他复杂算法和数据结构的基础，如动态规划和网
络流。
总结起来，离散数学中的图的基本概念包括结点、边、路径和回路，图的算法
包括DFS、BFS、最短路径算法和最小生成树算法。
图论可以用来解决各种各样
的实际问题，并在计算机科学和其他领域中发挥着重要作用。
了解图的基本概
念和算法对于深入理解离散数学和相关应用具有十分重要的意义。