非参数统计 秩相关分析和秩回归
非参数统计方法介绍
非参数统计方法介绍非参数统计方法是一种不依赖于总体分布形态的统计方法，它不对总体分布做出任何假设，而是直接利用样本数据进行统计推断。
非参数统计方法的优势在于适用范围广，可以处理各种类型的数据，不受总体分布形态的限制。
本文将介绍非参数统计方法的基本原理和常用的方法。
一、非参数统计方法的基本原理非参数统计方法是基于样本数据进行统计推断的方法，不对总体分布形态做出任何假设。
其基本原理是通过对样本数据的排序、排名或计数等操作，来获得总体的统计特征。
非参数统计方法主要包括秩和检验、分布自由度检验和重抽样方法等。
二、秩和检验秩和检验是一种常用的非参数统计方法，它主要用于比较两个独立样本的差异。
秩和检验的基本思想是将两个样本合并后，对样本数据进行排序，然后根据排序结果计算秩和统计量，再通过对比临界值来判断两个样本是否存在显著差异。
三、分布自由度检验分布自由度检验是一种用于检验总体分布是否符合某种特定分布的非参数统计方法。
它不依赖于总体分布形态的假设，而是通过对样本数据的排序、排名或计数等操作，来获得总体的统计特征。
常见的分布自由度检验方法包括Kolmogorov-Smirnov检验、Anderson-Darling检验和Cramér-von Mises检验等。
四、重抽样方法重抽样方法是一种通过对样本数据进行有放回抽样来获得总体统计特征的非参数统计方法。
重抽样方法的基本思想是通过对样本数据的重复抽样，来模拟总体分布，并通过对模拟样本数据的分析，得到总体的统计特征。
常见的重抽样方法包括自助法、Jackknife法和Bootstrap法等。
五、非参数统计方法的应用领域非参数统计方法广泛应用于各个领域的数据分析中。
在生物医学领域，非参数统计方法常用于比较不同治疗方法的疗效、评估药物的副作用等。
在金融领域，非参数统计方法常用于风险评估、投资组合优化等。
在环境科学领域，非参数统计方法常用于分析环境污染物的浓度分布、评估环境质量等。
非参数统计学讲义(第五章)相关与回归
非参数统计学讲义主讲：统计系 袁靖第五章 相关和回归§1 引言所谓相关，是指两组或两组以上观察结果之间的连带性或联系。
换句话说，也就是各组观察结果所反映的特性之间有关系。
如几个亲生兄弟间的智商与出生顺序有关系，受教育程度与性别有关系，出生率X 和文盲率Y 之间的关系等等。
在实际问题的研究中，人们常常想知道两组或两组以上的观察结果是否有联系，同时也想知道联系的程度如何。
前面的统计检验能够在一定的显著性水平上，确定各组观察值的关系是否存在。
相关方法被用来度量两个或更多变量之间的线性关系的强度，是回归分析的基础。
在数理统计学中，我们使用相关系数定义变量X 和变量Y 之间的相关性。
)var()var(),cov(),(Y X Y X Y X corr ==ρ1(0.1)对于样本),(11Y X ，),(22Y X ，……，),(n n Y X 来说，Pearson 相关系数为∑∑∑∑∑∑----=----=222211)()())(()()())((Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X r i i i i i i ni i n (0.2)如果在这个样本中的n 个观察值独立，则r 是ρ的渐近无偏估计；如果它又是二元正态分布，则r 是ρ的ML 估计。
为了检验0:0=ρH ，0:1≠ρH ，可以选取统计量)2(~122---=n t r n rt结论：Pearson 相关系数度量的是一种线性关系，而我们所要介绍的非参数的Spearman 秩相关系数s r 和Kendall τ相关系数实际上度量的是一种形式的相依联系，或是更广义的单调关系。
因此相关的概念被推广，不仅指线性相关，而泛指相依或联系。
§2 两个样本的相关分析一、等级相关等级相关(Rank Correlation)也称作级序相关，用于两个至少是定序尺度测量的样本问相关程度的测定研究背景1ρ度量了总体样本点在标准差线周围的聚集程度，详见笔记P38。
非参数统计分析方法总结
非参数统计分析方法一单样本问题1，二项式检验：检验样本参数是否与整体参数有什么关系。
样本量为n，给定一个实数M0（代表题目给出的分位点数），和分位点∏（0.25,0.5,0.75）。
用S-记做样本中比M0小的数的个数，S+记做样本中比M0大的数的个数。
如果原假设H0成立那么S-与n的比之应为∏。
H0：M=M0H1：M≠MO或者M>M0或者M<M0.Spss步骤：分析—非参数检验—二项式检验。
可以得出统计量为K=min（S-,S+）和统计量Z和p值当p值小于0.05时拒绝原假设，没有充足理由证明M=M0.,2，Wilcoxon符号秩序检验Wilcoxon检验的目的和二项式检验是一样的，Spss步骤：分析—非参数检验—两个相关样本得出统计量Z和p值当p值小于0.05时拒绝原假设，没有充足理由证明M=M03，随机性游程检验给出一组数据看次数据出现的情况是不是随机的。
列如：00011011110001110100001110H0：是随机的H1：不是随机的（混合倾向，游程多，长度短）（成群倾向，游程少，长度长）Spss步骤：分析—非参数检验—游程得出统计量R和p值当p值小于0.05时拒绝原假设，没有充足理由证明该数据出现是随机的二，两个样本位置问题1，Brown—Mood中位数检验给出两个样本比较两个样本的中位数或者四分位数等是否相等或者有一定关系，设一个中值为M1，一个为M2H0：M1=M2.H1：M1≠M2或者M1>M2或者M1<M2Spss步骤：分析—非参数检验—k个独立样本得出统计量Z和p值当p值小于0.05时拒绝原假设，没有充足理由证明M1=M2.2，Wilcoxon(Mann—Whitniey)秩和检验该检验和Brown—Mood检验的原理是一样的，但是该检验利用了更多的样本信息，从而比Brown—Mood检验更有说服力。
Spss步骤：分析—非参数检验—2个独立样本得到Z统计量和p值，当p值小于0.05时拒绝原假设，没有充足理由证明M1=M2.3，成对样本Wilcoxon秩和检验用M1代表开始时的数据某一特征值，用M2代表结束后的数据某一特征值，比较前后关系。
非参数统计中的秩和检验方法详解(Ⅱ)
非参数统计是一种不依赖总体分布形态的统计方法，它不涉及总体参数的估计，而是基于数据本身的秩次进行推断。
秩和检验是非参数统计中一种常用的假设检验方法，本文将详细介绍秩和检验的原理、应用和相关注意事项。
一、秩和检验的原理秩和检验是一种基于数据的秩次进行推断的假设检验方法。
它的基本原理是将样本数据进行排序，然后利用秩次的差异来进行假设检验。
秩和检验常用于两组样本的均值比较、相关性分析以及非参数方差分析等问题。
二、秩和检验的应用1. 两组样本均值比较秩和检验常用于比较两组样本的均值是否有显著差异。
当两组样本不满足正态分布的假设，且总体方差未知时，秩和检验是一种有效的假设检验方法。
通过对两组样本的数据进行秩次排序，可以得到秩和统计量，然后利用秩和统计量进行假设检验。
2. 相关性分析在非参数相关性分析中，秩和检验也是一种常用的方法。
通过将两组变量的数据进行秩次排序，可以计算秩和相关系数，从而判断两组变量之间是否存在显著的相关性。
秩和检验在样本数据不满足正态分布假设、或者存在异常值时，仍然能够有效地进行相关性分析。
3. 非参数方差分析秩和检验还常用于非参数方差分析。
在样本数据不满足方差齐性和正态分布假设时，传统的方差分析方法不再适用。
此时可以利用秩和检验对样本数据进行分析，得出不同组之间是否存在显著的差异。
三、秩和检验的注意事项在使用秩和检验时，需要注意以下几点：1. 样本数据需要满足独立同分布的假设，否则秩和检验的结果可能不可靠。
2. 样本数据的大小对秩和检验的结果有一定影响，通常情况下样本数据越大，秩和检验的效果越好。
3. 对于重复测量数据，需要使用特定的秩和检验方法，以避免数据重复性对检验结果的影响。
4. 在进行秩和检验时，需要对样本数据进行排序，并计算秩和统计量。
这一过程需要较多的计算工作，因此需要注意计算的准确性。
四、总结秩和检验是非参数统计中的一种重要方法，它不依赖于总体分布形态，适用于各种类型的数据分析。
非参数统计方法的介绍
非参数统计方法的介绍统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，为了更好地理解和解释数据，统计学家们发展了各种各样的统计方法。
其中一类重要的方法就是非参数统计方法。
与参数统计方法相对，非参数统计方法不依赖于对总体分布的假设，更加灵活和广泛适用于各种情况。
一、非参数统计方法的概述非参数统计方法是基于数据的排序和秩次的分析方法，不需要对总体参数进行假设。
它的主要特点是：不依赖于总体的分布形式，适用于任意类型的数据；不需要对总体参数进行估计，不需要检验参数值；能够处理非连续型变量和偏态数据。
二、秩次统计法秩次统计法是非参数统计方法中的一种重要方法，主要用于比较两组数据的差异或相关性检验。
这种方法将原始数据转化成秩次或秩次差来进行统计分析，具有较好的稳健性和非正态分布数据的适应性。
三、Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是秩次统计法的一种常见应用，常用于比较两个相关样本或配对样本的差异。
它主要通过将配对观测值的差异转化为秩次，来判断两个总体是否存在差异。
四、Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是另一种常见的秩次统计方法，主要用于比较两个独立样本的差异。
该方法不依赖于总体分布的假设，适用于非正态分布和偏态数据。
它通过比较两个样本的秩次和来判断两个总体是否存在差异。
五、Kruskal-Wallis检验Kruskal-Wallis检验是一种非参数多样本比较方法，适用于三个以上独立样本的差异性检验。
该方法通过将原始数据转化为秩次和来判断不同样本组之间是否存在显著差异。
六、Friedman检验Friedman检验是非参数的配对多样本差异比较方法，用于比较同一组样本在不同条件下的差异。
该方法是将样本各组的观测值转化为秩次，再计算秩次和进行统计推断。
七、Bootstrap法Bootstrap法是一种利用从原始数据中随机抽样的方差估计方法，适用于样本较小或者未知分布的情况。
它通过有放回的抽样来生成多个样本，从而对样本的分布进行估计，并得出对总体参数的估计值。
统计学中的非参数检验方法介绍
统计学中的非参数检验方法介绍统计学是一门研究收集、分析和解释数据的科学。
在统计学中，我们经常需要进行假设检验，以确定样本数据是否代表了总体特征。
非参数检验方法是一种不依赖于总体分布假设的统计方法，它在现实世界中的应用非常广泛。
本文将介绍一些常见的非参数检验方法。
一、Wilcoxon符号秩检验（Wilcoxon Signed-Rank Test）Wilcoxon符号秩检验是一种用于比较两个相关样本的非参数检验方法。
它的原理是将两个相关样本的差值按绝对值大小进行排序，并为每个差值分配一个秩次。
然后，通过比较秩次总和与期望总和的差异来判断两个样本是否具有统计学上的显著差异。
二、Mann-Whitney U检验（Mann-Whitney U Test）Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本的非参数检验方法。
它的原理是将两个样本的所有观测值按大小进行排序，并为每个观测值分配一个秩次。
然后，通过比较两个样本的秩次总和来判断它们是否具有统计学上的显著差异。
三、Kruskal-Wallis检验（Kruskal-Wallis Test）Kruskal-Wallis检验是一种用于比较三个或更多独立样本的非参数检验方法。
它的原理是将所有样本的观测值按大小进行排序，并为每个观测值分配一个秩次。
然后，通过比较各组样本的秩次总和来判断它们是否具有统计学上的显著差异。
四、Friedman检验（Friedman Test）Friedman检验是一种用于比较三个或更多相关样本的非参数检验方法。
它的原理类似于Kruskal-Wallis检验，但是对于相关样本，它将每个样本的观测值按照相对大小进行排序，并为每个观测值分配一个秩次。
然后，通过比较各组样本的秩次总和来判断它们是否具有统计学上的显著差异。
五、秩相关系数检验（Rank Correlation Test）秩相关系数检验是一种用于检验两个变量之间相关性的非参数检验方法。
非参数统计中的秩和检验方法详解(Ⅰ)
非参数统计中的秩和检验方法详解统计学是一门研究数据收集、分析、解释和展示的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在统计学中，参数统计和非参数统计是两种常见的方法。
参数统计是根据总体的参数进行推断，而非参数统计则是不对总体参数做出假设的一种统计方法。
在非参数统计中，秩和检验方法是一种常用且重要的方法。
本文将详细介绍非参数统计中的秩和检验方法。
一、秩和检验简介秩和检验是一种基于秩次的非参数检验方法，它主要用于对两个独立样本或多个相关样本的总体分布进行比较。
这种方法的优势在于对数据的分布形状没有要求，适用于各种类型的数据。
在进行秩和检验时，首先需要将样本数据进行排序，然后根据排序后的秩次进行计算。
接下来，通过比较秩和的大小来进行假设检验，从而得出结论。
二、秩和检验的应用场景秩和检验方法可以应用于诸多实际场景中。
比如，在医学研究中，可以用秩和检验方法来比较两种不同治疗方法的疗效；在工程领域，可以用秩和检验方法来比较不同生产工艺的产品质量；在市场营销中，可以用秩和检验方法来比较不同促销策略的效果等等。
总之，秩和检验方法在实际问题的解决中有着广泛的应用。
三、秩和检验的类型秩和检验包括了许多不同类型，其中最常见的包括Mann-Whitney U检验、Wilcoxon秩和检验和Kruskal-Wallis H检验。
下面将分别对这些检验进行详细介绍。
1. Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本的非参数检验方法。
它基于两组数据的秩次进行比较，通过计算秩和来判断两组数据是否来自同一总体分布。
Mann-Whitney U检验的原假设是两组样本来自同一总体分布，备择假设是两组样本来自不同总体分布。
通过计算U统计量和p值来进行假设检验，从而得出结论。
2. Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是一种用于比较两个相关样本的非参数检验方法。
它与Mann-Whitney U检验类似，同样是基于秩次进行比较。
非参数统计方法
非参数统计方法非参数统计方法是一种统计学中的重要概念，它不依赖于总体的具体分布形式，而是利用样本数据进行推断和分析。
与参数统计方法相比，非参数统计方法更加灵活和广泛适用，并且不需要对总体进行特定的假设。
本文将介绍非参数统计方法的原理、常用的方法和应用领域。
一、非参数统计方法的原理非参数统计方法的核心思想是基于样本数据来进行推断，而不需要对总体的分布形式做出先验假设。
非参数统计方法主要利用统计排序和秩次来进行推断分析，因此非参数统计方法也常被称为秩次统计方法或分布自由方法。
非参数统计方法的基本原理包括以下几个方面：1. 统计排序：对样本数据进行排序，将每个观测值按照大小进行排列，得到一系列秩次。
2. 秩次：将每个观测值与排序后的位置相对应，得到每个观测值的秩次。
3. 检验统计量：通过计算秩次之间的差异来判断总体分布是否存在差异。
4. 非参数假设检验：通过计算检验统计量的概率分布，判断总体分布是否符合我们的假设。
二、常用的非参数统计方法1. 秩和检验（Mann-Whitney U检验）：用于比较两个独立样本是否来自同一总体。
2. 秩和差检验（Wilcoxon符号秩检验）：用于比较两个相关样本是否来自同一总体。
3. 克鲁斯卡尔-瓦里斯检验：用于比较三个或更多独立样本是否来自同一总体。
4. 费希尔精确检验：用于比较两个分类变量之间的关联性。
5. 秩和相关检验（Spearman等级相关系数）：用于比较两个变量之间的相关性。
三、非参数统计方法的应用领域非参数统计方法在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 医学研究：非参数统计方法可以用于比较两种治疗方法的效果，判断是否存在显著差异。
2. 经济学研究：非参数统计方法可以用于分析收入差距、失业率等经济指标的差异。
3. 生态学研究：非参数统计方法可以用于比较不同区域的生物多样性指标，评估生态系统的稳定性。
4. 社会科学研究：非参数统计方法可以用于分析社会调查数据，比较不同群体的行为差异。
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H0 : k个变量不相关 H1 : k个变量相关
每列的秩和为:
第七章 秩相关分析和秩回归
相关系数的度量
常用的相关系数有三种:
1. Pearson相关系数
r
( x x )( y y )
i 1 i i
n
( xi x )
i 1
n
2
( yi y ) 2
i 1
n
2. Spearman秩相关系数
rs
( R R )(Q Q)
练习: 双胞胎儿童间的智力相关程度分析。 某幼儿园对9对双胞胎的智力进行测验，并按百分制 打分。现将资料列示如表 ：
双胞胎的对数编号 （i） 先出生的儿童（xi） 后出生的儿童（yi） 1 86 88 2 77 76 3 68 64 4 91 96 5 70 65 6 71 80 7 85 81 8 87 72 9 63
多元线性回归系数估计
例
X1=c(-0.05, 0.25,0.60,0, 0.25,0.20, 0.15,0.05,-0.15, 0.15, 0.20, 0.10,0.40,0.45,0.35,0.30, 0.50,0.50, 0.40,-0.05, -0.05,-0.10,0.20,0.10,0.50,0.60,-0.05,0, 0.05, 0.55) X2=c( 5.50,6.75,7.25,5.50,7.00,6.50,6.75,5.25,5.25,6.00, 6.50,6.25,7.00,6.90,6.80,6.80,7.10,7.00,6.80,6.50, 6.25,6.00,6.50,7.00,6.80,6.80,6.50,5.75,5.80,6.80) Y=c( 7.38,8.51,9.52,7.50,9.33,8.28,8.75,7.87,7.10,8.00, 7.89,8.15,9.10,8.86,8.90,8.87,9.26,9.00,8.75,7.95, 7.65,7.27,8.00,8.50,8.75,9.21,8.27,7.67,7.93,9.26) lm.sol<-lm(Y~X1+X2) summary(lm.sol)
第二节 Kendall相关检验
计算Kendall秩相关系数
31 5 0.722 9 *8 / 2
即双胞胎儿童间的智力相关程度为0.722
多变量Kendall协同系数检验
Kendall协同相关系数用于考察多个变量之间的相关性。 例如，歌手大赛中，评委对歌手的评分是否一致？变量 之间的协同系数检验也是以多变量的秩检验为基础的。
i
i 1
n
之间具有协和一致性, 会出现某行的行 和Ri.较大或较小。因此各行的秩和可能相差很大。
1 Ri. Ri. , n i 1 i 1
n n 2
1 n kn( n 1) 其中R.. Ri. n i 1 2
当
n
在出现打结的时候，需要使用修正公式计算。
例7.1
解答
t 0.01 (10) 3.169
c0.01 (12) 0.727
t 0.01/2 (10) 3.169
Kendall 相关系数及检验
Kendall(1938)提出一种类似于Spearman秩相关的检验方法， (x j , y j ) 从两变量 是否协同(concordant)来检验变量之间的相关性。 首先引入协同的概念： 若 (x j x i )(y j yi ) 0 ， j i 则称数对 (xi , yi ) 和(x j , y j ) 协同。
从而Kendall协同相关系数W可以表示为：
1 n Ri. n Ri. i 1 W i 1 SST
n 2
R
i 1
n
2 i.
k 2 n(n 1) 2 / 4
k 2 ( n 3 n) /12
k 实际检验时，可以查零分布表，在n固定， 时：
解答
> Po<-PA[1,1]+PA[2,2]+PA[3,3] > Po [1] 0.5833333 > Pe<-sum(cPA*rPA) > Pe [1] 0.3466435 > K<-(Po-Pe)/(1-Pe) >K [1] 0.3622675 （较低）
一元线性回归
例
多元线性回归
pi I{d j d i }, P pi
j i n i 1 n
q i I{d j d i }, Q q i
j i i 1
PQ n(n 1) / 2
例7.2
d1,d2,……,
d10
Nc=38, Nd=7
tao=2*31/90=0.6889 结论:
(R i Qi ) 2
i 1
n
检验
在零假设成立时，
n2 T rs 1 rs2
服从自由度为 n 2的t分布。 t , 时表示正相关。在 T 存在重复数据的时候，可以采用平均秩，结不多的时候， T仍然可以采用。 在大样本情况下，可以采用正态近似进行检验：
n 1rs N(0,1)
k(n 1)W 2 1 n
拒绝域：{W>c}
当样本中有结点时，采用修正的Kendall协和系数
W
c
R
g
2 i.
k 2 (n 3 n) k T 12
3 i
( R i. ) / n
2
T (
i )
例7.3
> x1<-c(41,43,39.5,38,40.5,41,40,38.5,44,39) > x2<-c(55.7,56.3,54.5,54.2,55.1,55.4,54.5,54.2,56.9,54.5) > x3<-c(8.6,9.2,8,5.6,6.8,8,8.6,7.4,9.8,7.4) > y1<-rank(x1) > y2<-rank(x2) > y3<-rank(x3) > Rh<-y1+y2+y3 > SSR<-sum(Rh*Rh)-(sum(Rh))^2/10 > SSR [1] 657.5 > Wc<-12*SSR/(9*(10^3-10)-3*(5*(2^3-2)+(3^3-3))) > ka<-3*(10-1)*Wc > qchisq(0.95,9) [1] 16.91898 %查表值 > ka [1] 24.35185 %计算值 (拒绝H0, 三个因素一致相关)
1 n 1 n R i )(Qi i1 Qi )] n i 1 n rs n n 1 n 1 n (R i i 1 R i ) 2 i 1 (Qi i 1 Qi ) 2 i1 n n
i1[(R i
n
秩相关系数可简化为： rs 1
6 n(n 2 1)
拒绝H0, 体重与肺活量有关系.
1 0 38 7
x<-c(75,95,85,70,76,68,60,66,80,88) y<-c(2.62,2.91,2.94,2.11,2.17,1.98,2.04,2.2,2.65,2.69) cor.test(x,y,meth="kendall")
第二节 Kendall相关检验
1) K 0.4, 3) K 0.8
较低 较高
2)0.4 K 0.8 中度
Kappa一致性检验
理论上可推导
var( K ) 1 [ Pe Pe2 pi. p.i ( pi. p.i )] n(1 Pe )2 i
则正态近似
Z
K ~ N (0,1) var( K )
i 1 i i
n
( Ri R )
i 1
n
2
(Qi Q ) 2
i 1
n
3. Kendall τ相关系数
Nc Nd N Nd c N c N d n(n 1) / 2 2 n sign(( xi x j )( yi y j )) n(n 1) 1i j
Kappa一致性检验
实际问题:
1) 两家不同医院的专家对同一X光片会诊诊断结果是否 一致?
2) 公司的两个部门领导对一个项目的鉴定意见是否一 致? ……
H0 : 两种方法不一致 H1 : 两种方法一致
Kappa一致性检验
按光洁程度将产品分为三类: 优等品、合格品和不合格
品。两位检验员分别对72件产品进行检验，检验结果如下：
检验员2 检验员1 优等 合格 不合格
优等
17 5 10
合格
4 12 3
不合格
8 0 13
合计 29 17 26
合计
32
19
21
72
问两个检验员检验结果是否一致？
Kappa一致性检验
一般的 r×r联列表： B1 p11 … pr1 p.1 …… … … … Br p1r … prr p.r
列和
p1. … pr. p..
当Z Z0.025 1.96, 则K 0
例
检验员2 检验员1 优等 合格 不合格 合计
优等 合格
不合格 合计
17 5
10 32
4 12
3 19