高二数学选修 导数的计算

导数的计算

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 一、 用定义计算导数

问题1：如何求函数()y f x c ==的导数？ 2．求函数()y f x x ==的导数 3．函数2

()y f x x ==的导数 4．函数1

()y f x x

==的导数 5

．函数y =

二

1.基本初等函数的导数公式表

分

几类 1、幂函数

2.三角函数 3指数函数 4.对数函数

补

充

1()f x x

=

'2

1()f x x =-

2公式的应用

典型题一、求导数

A x

y x y x

y x

y y x y cos )6(log )

5(ln )4(1

)3(5)2()1(125

====

==、求下列函数的导数

例 思考 求()f x '的方法有哪些？

3.导数的四则运算法则： 问题 x ⋅

推论：[]'

'()()cf x cf x = 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加

号, 商法则中间是减号.。

常见错误：[]'

''()()()()f x g x f x g x ⋅=

典型题二、导数的四则运算法则

例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）3

23y x x =-+ （2）sin y x x =⋅；

（3）2

(251)x

y x x e =-+⋅； （4）cos x

y x lnx =

-

A 变式练习1

cos x

y x

= +lnx 2

sin y x x = A 变式2.求下列函数的导数

（1）y=23x +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y=sin x x (4)y=

2

ln 1

x x + A 变式3．已知f （x ）=xcosx ﹣sinx ，则f′（x ）=（ ） 解：∵f （x ）=xcosx ﹣sinx ，

∴f ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ，

已知函数f （x ）=2x lnx ，则f′（x ）等于（ ）

函数y=e x sinx 的导数等于（ ） A ． e x cosx B ． e x sinx

C ． ﹣e x cosx

D ． e x （sinx+cosx ）

分利用导数乘法法则进行计算，其中（e x ）′=e x ，sin ′x=cosx ．

析：

解答： 解：∵y=e x sinx ，

∴y ′=（e x ）′sinx+（e x ）?（sinx ）′

=e x sinx+e x cosx =e x （sinx+cosx ）． 故选D ．

4.函数的导数值为0时，x 等于（ ） 解：∵

=

，∴

令y ′=0，即，解得x=±a ．

A 变式练习4

若函数y=f （x ）的导数f ′（x ）=6x 2+5，则f （x ）可以是（ ） A ． 3x 2+5x B ． 2x 3+5x+6 C ． 2x 3+5 D ． 6x 2+5x+6 解答： 解：∵f'（x ）=6x 2+5

∴f （x ）=2x 3+5x+c （c 为常数）

故选B ．

函数f （x ）=xsinx+cosx 的导数是（ ） 解：∵f （x ）=xsinx+cosx

∴f ′（x ）=（xsinx+cosx ）′=（xsinx ）′+（cosx ）′ =x ′sinx+x （sinx ）′﹣sinx =sinx+xcosx ﹣sinx=xcosx

若f ′（x ）=2e x +xe x （其中e 为自然对数的底数），则f （x ）可以是（ ） A ． x e x +x B ． （x+1）e x +1 C ． x e x D ． （x+1）e x +x 分析：

利用导数的运算法则即可得出． 解答： 解：利用导数的运算法则可得：A ．（xe x +x ）′=e x +xe x +1， B ．[（x+1）e x +1]=e x +（x+1）e x =（x+2）e x ，

C ．（xe x ）′=e x +xe x ，

D ．[（x+1）e x +x ]′=e x +（x+1）e x +1=（x+2）e x +1． 故选B ．

请默写出常见函数的导数 4、复合函数

问题 2

(21)y x =+求导是多少？

如果展开后求导，结果是 为什么会不同？

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦

上例中函数2

(21)y x =+可以看作函数2

y u =和21u x =+的复合函数。 x u x y y u '''=⋅=()2'

'

()(21)221.284

u x x x +=+=+

典型题三、复合函数求导

例题4 求下列函数的导数：

（1）0.051

x y e

-+=；

（2）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数） （3） y ＝sin 4x ＋cos 4x (4)1

22sin -=

x x

y A 变式练习1 求下列函数导数

（1）

ln 2sin cos 22

x x

y x =-

（2）

bx

ax e

y +-=2

3函数的导函数是

解：对于函数

，

对其求导可得：f ′（x ）=

==；

A 变式2

1函数f （x ）=cos 2x 的导数f′（x ）=（ ） 2函数y=sin （2x 2+x ）导数是（ ）

3.求y =x

x sin 2

的导数. y ′=＿＿＿＿

B.变式1求下列函数的导数 （1）y=

x 21-cos x

423325x x y x -+-=

y=ln (x +2

1x

+) B 变式2函数

的导数为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点：

简单复合函数的导数．