高三数学 数列求和专题复习课件
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高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)
数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋ ＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋ ＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和 裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比 数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位 相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项 和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩 下首尾若干项． 5．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．
高考数学一轮总复习第六章数列专题突破11数列求和课件
（1）求{ }的公比；
（2）若1 = 1，求数列{ }的前项和.
解：（1）设{ }的公比为.由题意,得21 = 2 + 3 ，1 ≠ 0,所以 2 + − 2 = 0.因
为 ≠ 1,所以 = −2.
（2）设{ }的前项和为 ，1 = 1， = −2
+1
=
20
,求.
41
解：（1）设等差数列{ }的公差为 > 0 .
2 3 = 15,
由题意,得ቊ 2
4 = 1 25 ,
1 + 1 + 2 = 15,
1 = 1,
即൝
解得ቊ
1 + 3 2 = 1 1 + 24 ,
= 2.
所以 = 1 + 2 − 1 = 2 − 1.
3 1−31 012
1−3
= 2 × 31 012 − 2.故选A.
1−31 012
1−3
+
4.设{ }为等差数列，其前项和记为 ，已知3 = 7，7 = 70.
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）记 =
1
，求数列{ }的前项和 .
+1
解：（1）由7 = 70，得74 = 70，所以4 = 10.
公差 = 4 − 3 = 3，首项1 = 3 − 2 = 1.
所以 = 1 + 3 − 1 = 3 − 2.
1
1
1
−
3−2 3+1
3 3−2
3+1
1
1
1
1
1
1
[ 1− + − + −
3
4
4
7
（2）若1 = 1，求数列{ }的前项和.
解：（1）设{ }的公比为.由题意,得21 = 2 + 3 ，1 ≠ 0,所以 2 + − 2 = 0.因
为 ≠ 1,所以 = −2.
（2）设{ }的前项和为 ，1 = 1， = −2
+1
=
20
,求.
41
解：（1）设等差数列{ }的公差为 > 0 .
2 3 = 15,
由题意,得ቊ 2
4 = 1 25 ,
1 + 1 + 2 = 15,
1 = 1,
即൝
解得ቊ
1 + 3 2 = 1 1 + 24 ,
= 2.
所以 = 1 + 2 − 1 = 2 − 1.
3 1−31 012
1−3
= 2 × 31 012 − 2.故选A.
1−31 012
1−3
+
4.设{ }为等差数列，其前项和记为 ，已知3 = 7，7 = 70.
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）记 =
1
，求数列{ }的前项和 .
+1
解：（1）由7 = 70，得74 = 70，所以4 = 10.
公差 = 4 − 3 = 3，首项1 = 3 − 2 = 1.
所以 = 1 + 3 − 1 = 3 − 2.
1
1
1
−
3−2 3+1
3 3−2
3+1
1
1
1
1
1
1
[ 1− + − + −
3
4
4
7
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt
跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章 数 列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
数列求和课件-2025届高三数学一轮复习
（2）设 =
,数列{ }的前项和为 ,若 = ,求的值.
+
【解】 由（1）知， =
=
=
−
,
+
− +
−
+
所以 = − + − + ⋯ +
−
−
+
= −
=
.
+
×[− ]
−
−×
错位相减法求和的注意事项
（1）掌握解题的“3个步骤”
（2）注意解题的“3个关键”
①要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.
②在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一
步准确写出“ − ”的表达式.
③在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比 = 和
− = − = .故
2.在数列{ }中， =
2 023
_______.
解析：由题意得 =
所以 =
= .
−
+ −
+
，若数列{ }的前项和为
，则
= −
，
+
+
+ ⋯+ −
=
或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.
2024届高考数学专题复习-数列求和课件
解
析
：
∵an
＝
1 4n2－1
＝
1 2
2n1－1－2n1＋1
，
∴
Sn
＝
1 2
[
11－13
＋
13－15
＋
…
＋
2n1－1－2n1＋1]＝121－2n1＋1＝2nn＋1.
答案：2nn＋1
分组转化法求和
[例 1] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，n∈N *. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和． [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－（n－1）2＋2 （n－1）＝n. 又 a1＝1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n.
(2021·全国乙卷)设{an}是首项为 1 的等比数列，数列{bn}满足 bn＝n3an.已知 a1，3a2，9a3 成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记 Sn 和 Tn 分别为{an}和{bn}的前 n 项和．证明：Tn＜S2n. 解：(1)设{an}的公比为 q，则 an＝qn－1. 因为 a1，3a2，9a3 成等差数列，所以 1＋9q2＝2×3q，解得 q＝13， 故 an＝3n1－1，bn＝3nn.
[逐点清]
1．(必修 5 第 61 页 A 组 4 题改编)数列{1＋2n－1}的前 n 项和为
A．1＋2n
B．2＋2n
C．n＋2n－1
D．n＋2＋2n
解析：由题意得 an＝1＋2n－1，所以 Sn＝n＋11－－22n＝n＋2n－1.
答案：C
()
2．(易错题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝________．
高三总复习数学课件 数列求和
数列求和
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和 法；(2)掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
重点一 公式法 1．等差数列{an}的前n项和Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d． 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， 2．等比数列{an}的前n项和Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法．
[逐点清]
1．(选择性必修第二册24页习题1题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4
＝1，则S4＝
()
A．12
B．1
C．2
D．3
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4＝1，∴aa11＋ ＋d3＝d＝0，1，
∴an＝2n－1，n∈N *． (2)由[a1]＝1，[a2]＝2，[a3]＝4，[a4]＝8，[a5]＝6，[a6]＝2，[a7]＝4，…，易知，从 第二项起是周期为 4 的周期数列，∴S100＝1＋24×(2＋4＋8＋6)＋2＋4＋8＝495．
答案：A
3．(易错题)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋fn1＋…＋fn－n 1＋f(1)(n∈N *)，则数列
{an}的通项公式为________．
解析：由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f
1 n
＋f
n－1 n
＝4，所以2an
＝(f(0)＋f(1))＋fn1＋fn－n 1＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1)．
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和 法；(2)掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
重点一 公式法 1．等差数列{an}的前n项和Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d． 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， 2．等比数列{an}的前n项和Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法．
[逐点清]
1．(选择性必修第二册24页习题1题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4
＝1，则S4＝
()
A．12
B．1
C．2
D．3
解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝0，a4＝1，∴aa11＋ ＋d3＝d＝0，1，
∴an＝2n－1，n∈N *． (2)由[a1]＝1，[a2]＝2，[a3]＝4，[a4]＝8，[a5]＝6，[a6]＝2，[a7]＝4，…，易知，从 第二项起是周期为 4 的周期数列，∴S100＝1＋24×(2＋4＋8＋6)＋2＋4＋8＝495．
答案：A
3．(易错题)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋fn1＋…＋fn－n 1＋f(1)(n∈N *)，则数列
{an}的通项公式为________．
解析：由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f
1 n
＋f
n－1 n
＝4，所以2an
＝(f(0)＋f(1))＋fn1＋fn－n 1＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1)．
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
高考数列总复习数列求和省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
高考总复习
数列求和
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法 2.错位相减法 3.裂项抵消法 4.倒序相加法
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法： （1）直接法：直接由等差、等比数列旳求和公式求和，等
1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
6
2
1 n(n 1)(2n 1 9) 6
1 n(n 1)(n 5) 3
（公式求和法）
数列求和
例5.求 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn 旳值 解：设 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
(n 1)Cnn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
两式相加得：
（倒序相加法）
练 习：
1.
数列
1
1 2
，3
1 4
，5
1 8
，7 1 16
，，2n
1
1 2n
，
旳前n项之和
为Sn，则Sn旳值得等于( A )
(A)
n2
1
1 2n
(B)
2n2
n
1
1 2n
(C)
n2
1
1 2n-1
Sn
1 1 a
[(1
a)
(a
a3)
Hale Waihona Puke (a n 1a 2 n 1 )]
1 [(1 a an1) (a a3 a2n1)] 1 a
1 1 an [
1a 1a
数列求和
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法 2.错位相减法 3.裂项抵消法 4.倒序相加法
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法： （1）直接法：直接由等差、等比数列旳求和公式求和，等
1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
6
2
1 n(n 1)(2n 1 9) 6
1 n(n 1)(n 5) 3
（公式求和法）
数列求和
例5.求 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn 旳值 解：设 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
(n 1)Cnn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
两式相加得：
（倒序相加法）
练 习：
1.
数列
1
1 2
，3
1 4
，5
1 8
，7 1 16
，，2n
1
1 2n
，
旳前n项之和
为Sn，则Sn旳值得等于( A )
(A)
n2
1
1 2n
(B)
2n2
n
1
1 2n
(C)
n2
1
1 2n-1
Sn
1 1 a
[(1
a)
(a
a3)
Hale Waihona Puke (a n 1a 2 n 1 )]
1 [(1 a an1) (a a3 a2n1)] 1 a
1 1 an [
1a 1a
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(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝ n2＋n .
n(n 1)(2n 1)
(4)12＋22＋32＋42＋…＋n2＝
6；
(5)13＋23＋33＋43＋…＋n3＝
[
n(n 2
1)
]；2
二、并项求和法
[典例分析] 若 Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，
则 S50＝__-_2_5____.
数列求和专题
一、公式法求和
1．等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝ na1＋nn2－1d ；
2．等比数列的前 n 项和公式 Sn＝na1a1－1－，aqnqq＝＝1，a111－－qqn ，q≠1.
3．一些常见数列的前 n 项和公式
nn＋1 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 ；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝ n2 ；
一个数列的前 n 项和，可两两（或若干项）结合求解， 则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用 两项合并求解．
[针对训练]
1、若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n·(3n－2)，
D 则 a1＋a2＋…＋a10＝ ( )
A．15 B．12 C．－12 D．－15
2、Sn 12 22 32 42 (1)n1 n2
(1)求 a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前 n 项和．
[练习] (2013·山东高考) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4＝4S2， a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn }满足ba11＋ba22＋…＋bann ＝1－21n ，n ∈N*， 求{bn}的前 n 项和 Tn.
的等比中项为 16. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝log4an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，是否存在正整
数 k，使得 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 <k 对任意 n∈N*恒成立．若
S1 S2 S3
Sn
存在，求出正整数 k 的最小值；不存在，请说明理由．
四、裂项相消法求和（二）
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝2an＋21an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
四、裂项相消法求和（一）
1、已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足 bn＝
1
n
log3an，则数列 bnbn＋1 的前 n 项和 Sn＝___n_＋__1__.
2、等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且 a3－a2＝8，又 a1、a5
B. 2 013－1
C. 2 014－1
D. 2 014＋1
常用的拆项方法
(1)nn1＋k＝1k1n－n＋1 k
(2)
1 n＋k＋
n＝1k(
n＋k－
ห้องสมุดไป่ตู้
n)
(3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1 (4)nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2
五、错位相减法求和
[典例](2013·湖南高考) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn， n∈N*.
n2 2
n
,n
N *.
(1)求数列an 的通项公式；
（2）设bn 2an (1)n an , 求数列bn的前2n项和。
感悟高考
[典例] (2013·安徽高考)设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝ 8，且对任意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x －an＋2sin x 满足 f′π2＝0.
1、数列{an}的通项公式是 an＝
n
1 ＋
，前 n＋1
n
项和为
9，则
n
B 等于( )
A．9 B．99
C．10 D．100
2．(2014·江南十校联考)已知函数 f(x)＝xa 的图像过点(4,2)，令
an＝fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则
S2 013＝
C( )
A. 2 012－1
3
130
三、分组求和法
[典例分析]
若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋n2－1， 则数列{an}的前 n 项和为_2_n1__n__n_(n_．1)6(2n 1) 2
[针对训练]
求值： (a 1) （a2 2) (an n)
感悟高考
（2014湖南文科16题）
已知数列an 的前n项和S n