相关性判定定理4与5的证明
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第二节 向量组的线性相关性
9 6
,
有 3 = 21 - 2 , 4 = 1 + 22 , 所以向量组 1,
2 , 3 , 4 线性相关, 其几何意义为: 该向量组所
对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的
四个平面交于同一条直线. 如图 4.3 .
2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6
x
O M1
图 4.2
M3 a3 RM3 (0,2,2) ,
3y
向量组 a1 , a2 , a3
线性相关,因为
2a1 - a2 - a3 = 0.
(3) 4 维向量组线性相关的几何意义 设有 4 维向量组
2
1
3
4
1T
3
1 4
, 2T
2
45
,
T 3
8
132
, 4T
1
在直线 y =2x 上取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量:
6y
5
M3(3,6)
4 3
M2(2,4)
2 1
M1(1,2)
O 123456 x
图 4.1
a1 OM1 (1,2) ,
a2 OM2 (2,4) ,
a3 OM3 (3,6) ,
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
证明 向量证组明A 线向性量相组关A, 线等性价相于关齐,次等线价性于齐次线
方程组 方程组 x1a1 + x2a2 x+1a··1·+ x2maa2m+=··0·,+即xmAaxm = 0, 即 Ax = 0
第05讲(向量组的线性相关性的判定、向量组的秩)
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
注：向量组 1,2 ,,r (其中1 0) 线性相关
的充要条件是至少有一个向量 i (1 i r) 可由
1 ,2 ,,i 1
线性表示。---P44-45
性质
性质1 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
性质2 两个向量相关的充要条件是 它们的
两个向量组的线性表示、等价关系 设有两个n维向量组
A : 1 , 2 ,, r ; B : 1 , 2 , , s .
若向量组A中的每个向量都可由向量组 B 中的向量线性表示，则称向量组 A 可由 向量组B线性表示。 若向量组A可由向量组B线性表示，向 量组B也可由向量组A线性表示，则称向量 组A与向量组B等价。
故 1 , 2 , , m 线性相关.
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m 0.
因k1 , k 2 , , k m 中至少有一个不为0， 不妨设k1 0, 则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
主要 线性相关性的判定、 内容： 线性相关性的性质
定理1:向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1 个向量线性表示．
证明： 充分性 设
1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 m ）
向量组与向量组之间的线性表示关系， 具有传递性。
例如 ：向量组A可由向量组B线性表示； 向量组B可由向量组C线性表示； 则向量组A可由向量组C线性表示。
向量组的线性相关性
研究下列向量组的线性相关性
1 0 1 1 2 , 2 2 , 3 0 . 3 5 2 解一 令 k 1 1 k 2 2 k 3 3 0,即
归纳：判定向量组相关与无关的常用方法
1）如果向量组的各个分量已给出 方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定 给出一组n维向量 1 , 2 ,, m , 就得到一个
相应的矩阵A ( 1 , 2 ,, m ), 首先求出R( A). 若R( A) m , 则 1 , 2 ,, m 线性无关, 若R( A) m , 则 1 , 2 ,, m 线性相关.
即
x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有
x1 x3 0 x1 x2 0 x2 x3 0
例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
2）如果向量组的各个分量未给出，则一般用定义或 有关定理来证明。
向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 例1 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为 E(e1 e2 en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所 以此向量组是线性无关的
向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关
等价定义：向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向
线性相关性的判定
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例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E ( e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数x , y , 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
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定理 5 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 , , m 线性相关, 则 向量组 B : 1 , , m , m 1 也线性相关.反言之, 若向
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
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证明 （1） A (a1 , , am ), B (a1 , , am , am 1 )，有 记
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量b能由向量 组A线性表示，且表示式唯一.
3.2线性相关性
a11 a21 A 1 , 2 , , s a n1 a12 a22 an 2 a1 s x1 a2 s x2 ,x ans xs
• 证明：设x1a1+x2a2 +…+xsas=0（3.2），即
第二节 向量组的线性相关性
一、向量组线性相关性的概念 二、向量组线性相关性的判定 三、向量组线性相关性的性质
• 一、向量组线性相关性的概念
• 定义4 给定向量组A: 1, 2,…, s, 如果存在不全 为零的数k1, k2,…, ks, 使 k11+k22 +…+kss=0 • 称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关。
• • • •
引理 设有列向量组a1, a2 , …, as, 其中 a1=(a11, a21, …, an1)T， a2 =(a12, a22, …, an2)T, …, as=(a1s, a2s, …, ans)T（s个n维列向量） 则向量组a1, a2 , …, as线性相关齐次线性方程组 Ax=0 (3.1) • 有非零解, 其中
对函数一致连续性的讨论
对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I " ，0e ">，0d $>，当x I " ： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I " 、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I " 、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $ ：12x x d -<，有()120()f x f x e - ，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。
(完整版)抽象向量组线性相关性的判定与证明
3.抽象向量组线性相关性的判定与证明对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法.方法1 定义法：先设，然后对其作恒等变形，如用某个矩阵同乘该式两边，或对该式拆项重新组合等. 究竟用什么方法应当从已知条件去寻找信息，通过一次或多次恒等变形来分析能够不全为零还是必须全为零，从而得知是线性相关还是线性无关.方法2 求秩法：要论证线性相关或线性无关，可将其构成矩阵，利用或来说明.方法3 利用有关结论，如“等价的向量组有相同的秩”等. 方法4 反证法.例1 已知向量组线性无关. 设，，讨论的线性相关性 .解法1 利用定义. 设，代入的表达式，有整理得由于线性无关，所以有其系数行列式从而方程组有非零解，即不全为零(或求得方程组的通解任意；取得)，故线性相关.法2 利用矩阵的秩. 将看做行向量，令，其中因为线性无关，所以，又可求得，从而. 又知因此，故线性相关.注上题中，如将看做列向量，则有其余证明同法2.例2 已知向量组，令，，证明：(1) 当为偶数时，向量组线性相关；(2) 当为奇数时，向量组与同时线性相关或线性无关.证(1) 法1 当为偶数时，由于所以线性相关.法2 设数组，使得(*)代入的表达式并整理得令，则上式成立. 该齐次方程组的系数行列式(两条线行列式)故有非零解，即存在不全为零的数使(*)式成立，从而线性相关.(2) 当为奇数时，将看做列向量，则有其中由于，所以可逆，从而这表明向量组与可以互相线性表出，即它们等价，从而有相同的秩. 故当向量线性无关，即秩为时，向量组的秩也是，即线性无关；而当线性相关时，也线性相关.注上题中，如将看做行向量，则有例3 向量组线性无关，则下列线性无关的向量组是．(A) ，，，；(B) ，，，；(C) ，，，；(D) ，，，应填:(B)．分析法1．观察可知(A)线性相关；(C)线性相关；(D) 线性相关．由排除法可知应选(B)．法2 ．对(B)，设拆项重组为由线性无关知，系数行列式所以方程组只有零解，，从而(B)线性无关．用此法可知(A)，(C)，(D)均线性相关．法3 ．对(B)，设。
相关性的判定定理
则整个向量组也必定线性相关。
反之不对。
你能举个 反例吗？
1 (1,2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1).
推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。
2.相关性的判定定理
定理4：m个n维向量i (ai1, ai2 , , ain ) (i 1,2, m)线性 相关的充要条件是由i (i 1,2, m)构成的矩阵
构成的矩阵A= Amn的秩r(A)=m。
推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成 的 方 阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.
推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)<n.
定理5：若 m 个 r 维向量
i (ai1, ai2 , , air ) (i 1,2, , m)
证： 向量组 ,1，2， ，m线性相关，则一定存在一组
不 全为零的数k, k1，k2， ，km,使
k k11 k22 kmm 0
这里必有k 0，否则，有
k11 k22 kmm 0
由向量组1，2， ，m线性无关知：
k1 k2 km 0 故 可由1，2， ，m线性表示。
下面证明表示式惟一。
2 7
1
3 ,
0 7 3 0 0 0
r(A) 2 3,
1,2 ,3线性相关。
例3：讨论1 (1,2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1)的相关性。
我们已经用三种方法作过这个题目了，
1.求组合式； 2.定义证明，组合系数不全为零。 3.将向量组排成矩阵，由矩阵的秩确定
A
1 2
a11 a21
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证明：设
1
a 11
a 12
a 1r
A
2
a 21
a 22
a 2r
,
m
a m1
am 2
amr
1 a11 a12 a1r a1,r1
B
2
a21
a22
a2r
a2,r
1
.
m
am1
am2
amr
am,r 1
m r(A) r(B) m, r(B) m.
"": 1,2 ,,m线性相关,
由定理1知，必有某个向量(不妨设m )可由其余m 1个向量
线性表示,即 m k11 km1 m1.
写成分量形式为
amj k1a1 j k2a2 j
k a . m1 m1, j
1 a11
A
2
a 21
a12
a22
a1n
a2n
1, 2 ,, m线性无关。
对A作初等变换
m
am1
am2
amn
A
1
m1
a11
am1,1
m am1
a12
am1,2 am2
a1n
am1,n
a11
am1,1
amn 0
a12
am1,2 0
a1n
am1,n
0
r( A) m.
"": r( A) r m,不妨设r 0, 且A的最左上角的r阶子式Dr 0
Dr 0, 1,2 ,,r 1线性相关,
从而1,2 ,,m线性相关。
定理5：若 m 个 r 维向量
i (ai1, ai2 ,, air ) (i 1,2,, m)
线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量
i (ai1, ai2 ,, air, ai,r 1) (i 1,2,, m)
也线性无关。
考虑A的r+1阶子式
a11 a1r
Dr1 ar1 arr
a1, j
.
ar, j
ar1,1 ar1,r ar1, j
r(A) r Dr1 0.
将D j按最后一列展开，有：
a1 j A1 a2 j A2 arj Ar ar 1, j Dr 0, j 1,2,, n.
a1j A1 a2 j A2 arj Ar ar1, j Dr 0,
a11A1 a21A2 ar1Ar ar D 1,1 r 0,
a12 A1 a22 A2 ar 2 Ar ar D 1,2 r 0, a1n A1 a2n A2 arn Ar ar1,n Dr 0.
j 1,2,, n.
按向量形式写，上式为：
1A12 A2 r Ar r1Dr 0.
相关性判定定理4与5的证明
定理4：m个n维向量i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,m)线性
相关的充要条件是由i (i 1,2,m)构成的矩阵
A
1
2
a11 a21
m am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
的秩r( A) m.
证明定理4.