圆的切线的判定定理
2.3圆的切线的性质及判定定理课件人教新课标3
【变式1】 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，且 AD＋BC＝AB，AB为⊙O的直径． 求证：⊙O与CD相切．
证明 过 O 作 OE⊥CD，垂足为 E. 因为 AD∥BC，∠C＝90°，所以 AD∥OE∥BC. 因为 O 为 AB 的中点，所以 E 为 CD 的中点． 所以 OE＝12(AD＋BC)． 又因为 AD＋BC＝AB， 所以 OE＝12AB， 且等于⊙O 的半径． 所以⊙O 与 CD 相切．
⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部， 点M是BC的中点．
(1)证明：A、P、O、M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
(1)证明 连接OP，OM，
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°， 由圆心O在∠PAC的内部， 可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆．
又∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA. ∴CABA＝PPAC＝1200＝12. ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝90°. ∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6 5，AB＝3 5. 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB， ∴△ACE∽△ADB，∴AABE＝AADC. ∴AD·AE＝AB·AC＝3 5×6 5＝90.
自学导引
1．圆的切线的性质定理及推论 (1)定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 ． (2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 ． (3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 ．
斟酌引申：(1)本定理及其两个推 论可以用一个定理叙述出来，即： 如果圆的一条直线满足以下三个 条件中的任意两条，那么就一定 满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心． (2)本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直 线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线l′经过点 O、A，则直线l′⊥l.
专题复习与圆的切线有关的证明
是圆的切线
5、常用的添加辅助线的方法
（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的 半径，再证半径垂直于该直线。 有切点，连半径，证垂直 （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线 的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径 无切点，作垂直，证半径
切线的性质
如图，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点， 若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， 为半径作圆。
求证：AC 是⊙ O 的切线。
E
数学解答题P7 数学解答题P9
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
P9《数学解答题》
切线的性质
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
作业：《数学解答题》 P7-10第一问
专题复习 与圆的切线有关的证明
1、圆的切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
2、辅助线： 连接圆心与切点
连半径，得垂直
半径与切线垂直
3、切线判定
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
圆的切线的判定定理
证明
连接OC.
∵OA=OB ， CA=CB.
∴OC是等腰△OAB的中线.
∴ OC⊥AB.
∴AB是⊙O的切线.
有公共点，连圆心，证垂直
练习：
1、已知：如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E. 求证：DE是的切线；
无公共点，作垂线，证相等
2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
圆切线的判定
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直线与圆的位置关系
图 形
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线距离d与半径r的关系（数量）
2个
交点
割线
1个
切点
切线
d < r
d = r
d > r
没有
相交
相切
相离
直线和圆有哪几种位置关系（以交点个数从多到少说）
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；（定义）
③经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。(切线的判定定理)
2、证明切线时常用辅助线：
卡通圣诞
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当堂测评：
1、全效80页：第9题（2组做） 2、全效81页：第10题（1组做）
1、如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA． （1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．
相切
圆的切线的性质及判定定理 课件
【名师点评】 (1)圆的圆心；②经过切点；③垂直于切 线．用其中的某两点作条件，便能推出第三点．
(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得 垂直关系．
【名师点评】 (1)判断圆的切线的常用方法： ①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过圆的半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线． (2)判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法： ①如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共 点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连 半径，证垂直”； ②若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直
考点突破
考点一 圆的切线的判定 例1 如图所示，在△ABC 中，已知 AB＝AC，以 AB 为直径 的⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E. 求证：DE 是⊙O 的切线．
【证明】 连接 OD 和 AD，如图所示． ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC，∴BD＝CD. ∵AO＝OB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴DE 是⊙O 的切线．
线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简
记“作垂直，证半径”．
考点二 圆的切线的性质 例2 如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C，AC 经过圆 心 O，且 BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
【证明】 连接 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以OBCD＝AACD. 又 BC＝2OC＝2OD，
圆的切线的性质及判定定理
1．直线与圆的位置关系
直线与圆有两___个_公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有一__个__
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
圆切线判定定理的证明
圆切线判定定理的证明引言：圆是几何学中常见的基本图形之一，研究圆的性质和定理对于解决几何问题非常重要。
本文将探讨圆切线判定定理的证明过程。
一、圆切线的定义在几何学中，圆切线是指与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
圆切线与圆的切点只有一个，这是圆切线与其他直线的区别之一。
二、圆切线判定定理的描述圆切线判定定理可以描述为：如果一条直线与圆相交于圆上的一点，并且直线通过该点的切线，那么这条直线就是圆的切线。
三、证明过程为了证明圆切线判定定理，我们需要使用一些基本的几何定理和性质。
1. 定理一：半径垂直于切线根据圆的性质，半径与圆上任意一点的连线垂直于圆的切线。
这一定理是我们证明圆切线判定定理的关键。
2. 定理二：圆心角的性质圆心角的度数是圆上两条弧所对的角的度数。
根据圆心角的性质，圆心角的度数是其所对的弧所占整个圆的度数的一半。
3. 定理三：切线与半径的夹角由于切线与半径垂直，所以切线与半径的夹角为90度。
基于以上几个定理，我们可以开始证明圆切线判定定理。
证明：设圆C的圆心为O，半径为r。
直线l与圆C相交于点A，并且直线l通过点A的切线。
1. 连接OA，得到AO为半径r。
2. 由定理一可知，直线l与半径OA垂直。
3. 由定理三可知，直线l与半径OA的夹角为90度。
4. 假设直线l不是圆C的切线，即直线l与圆C有第二个交点B。
5. 连接OB，并作OB的垂直平分线，交圆C于点M。
6. 由于OM为半径，所以OM=r。
7. 由定理二可知，∠OMB是圆心角，所以∠OMB的度数是弧AB 的度数的一半。
8. 由于直线l与圆C相交于点A和B，所以弧AB的度数小于360度。
9. 由于∠OMB的度数是弧AB的度数的一半，所以∠OMB的度数也小于180度。
10. 由于直线l与圆C的交点B在弧AB的内部，所以∠OMB是一个锐角。
11. 由于直线l与圆C的交点B在弧AB的内部，所以直线l与圆C 的交点B的连线OB不是半径。
12. 由于OB不是半径，所以直线l不是圆C的切线。
圆的切线判定与性质
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
A
C
B
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC， OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习3
如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切线,E是切 点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗?
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判断直线和圆属于哪一种位置 O O r 关系，我们有几种方法？ d r l d 图 形
一、公共点的个数
A B
A
直线和圆有哪几种位置关系（以 交点个数从多到少说） 直线与圆的 相交 相离 相切 位置关系
l
O r d l
2个 公共点个数 二、圆心到直线的
1个 交点 距离与半径作比较 切点 公共点名称 （d 割线 切线 直线名称 r法常用）
L A
d= OA =r
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半 径的直线是圆的切线。
定理的符号语言： 这个命题的题设与结论分别是什么？
l
O A
∵ OA是半径， l ⊥OA于A 题设：
①经过半径外端. ∴ l是⊙O的切线 ②垂直于这条半径．
结论：
这条直线是圆的切线
注意:定理中的两个条件缺一不可．
O l O O l l A A
●
r
r
r A
O
┐
A
l
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF， AB⊥EF AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿＿＿.使得EF 是⊙O的切线。
F O A C E
B
3、如图，点A、B、D在⊙O上，∠A=25°， OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB=40°， 直线BC与⊙O的位置关系为 相切
．
25°
50° 40°
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线.
如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,求证 AT 是⊙O的切线.
证明:
∵ ∠1 = 45°，AT=AB ∴ ∠T = ∠1=45 °.
如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C, ∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D。 求证：BD是⊙O的切线
证明：连结OD
D
A
●
∵ OA＝OD ,
∴∠ODA＝∠A＝300 ∠ADB= 120° ∴∠BDO＝90° ∴ OD⊥BD 又∵直线BD 经过⊙O上的D点 ∴直线BD是⊙O的切线
O
C
B
B
∴ ∠TAB = 180°－∠T－∠1 = 90°.
∴ TA⊥OA. ∵ OA是⊙O的半径，
T
1 ·
O
∴ AT是⊙O的切线.
A
1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.
证明： 连接OC.
∵OA=OB ， CA=CB.
∴OC是等腰△OAB的中线. ∴ OC⊥AB.
D
A E O
B
∴OE=OD ∵OE⊥AC ∴AC是⊙O的切线
C
证明切线时常用辅助线：
1、有公共点连圆心，证垂直
2、无公共点做垂线，证相等
D O A B E O C B
A
C
1、切线的判定方法 有三种：
①直线与圆有唯一公共点；（定义） ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； （定义）
③经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线。(切线的判定定理)
∴AB是⊙O的切线.
辅助线：
1、已知：如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC 于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E. 求证：DE是的切线；
2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，
OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
证明：过点O作OE⊥AC于点E ∵AO是∠BAC的角平分线 ∵OD⊥AB，OE⊥AC
2、
证明切线时常用辅助线：
1、有点连圆心，证垂直
2、无点做垂线，证相等
1、全效79页 当堂测评1、4 。 80页8、9、10、11（全体同学） 2、全效79页例1、83页变形4 （1组做）
1、全效80页：第9题（2组做） 2、全效81页：第10题（1组做）
1、如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半 径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O， 连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA． （1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你 的结论； （2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长． 2、如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心 O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°． （1）求证：直线BD与⊙O相切； （2）连接CD，若CD=5，求AB的长．
已知一个圆O和圆上一点，如何过这点 画圆的切线？说说你是怎么画的？依 据是什么？
切线的判定定理
.
o
.
p
只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
1、判断
（1）. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） （2）. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ×） （3）. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
判断直线和圆相切的 方法有两种：
O
一个公共点
d=r
判断直线与圆相切的方法是否仅有此两种呢？本节课 我们将继续探究切线的判定条件！
在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线L⊥OA 1、则圆心O到直线L的距离是多少？
圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径
2、直线L和⊙O有什么位置关系？
.
O
直线l就是圆O的切线
圆心到直线距离d与半径r的 关系（数量）
没有
d<r
d=r
d>r
1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方 向是什么方向？ 2
砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？
均沿着圆的切线的方向飞出．
3、圆的切线
如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么 就说这条直线与这个圆相切，此时这条直线叫做圆 的切线，这个公共点叫做切点．