切线的判定定理(教案)
《24.2.2切线的判定定理》教案
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数学公开课： 24.2。
2 直线与圆的位置关系(2）——《切线的判定定理》教案【教学目标】:知识与技能：使学生理解切线的判定定理，并学会初步运用．过程与方法：通过复习直线与圆的位置关系，以“d=r 直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理.情感、态度与价值观：经历观察、探究、证明等数学活动过程，培养学生初步的演绎推理能力，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.【教学重点】: 探索圆的切线的判定定理，并能运用【教学难点】： 切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径．【教学过程】：一、知识回顾：复习提问：直线与圆有哪些位置关系？（学生回答,并填表）二、新知探究1、提出问题:怎样判定一条直线是圆的切线?你有几种判定方法?判定方法1：当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；判定方法2：当圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。
注意:实际证明过程中，通常不采用第一种方法；方法2从“数量”的角度说明圆的切线的判定方法.思考：能否从“位置”的角度，来判定直线是圆的切线呢？2、观察：如图，在⊙O 上任意取一点A,连接OA ，过点A 作直线l⊥OA.由圆心到直线的距离等于半径，可以判定直线l 与圆相切。
提问学生：观察直线l 与半径OA 有什么位置关系？3、发现：（1)直线l 经过半径OA 的外端点A ；(2）直线l 垂直于半径0A ．则:直线l 与⊙O 相切.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法-—切线的判定定理．4、切线的判定定理： 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（1）对定理的理解:切线必须同时满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径．（2)定理的几何语言表达：∵ OA是半径，l⊥OA于A∴ l是⊙O的切线5、巩固：判断（1)过半径的外端的直线是圆的切线（）（2)与半径垂直的的直线是圆的切线( ）(3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ )说明：本题目的是加深学生理解好一条直线必须经过半径的外端，并且垂直于这条半径的两大要素缺一不可．6、归纳：判定直线与圆相切有哪些方法？（三种)①直线与圆有唯一公共点；②圆心到直线的距离等于半径；③切线的判定定理．三、新知应用例1.如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB。
九年级数学上册《切线的判定》教案、教学设计
4.设计丰富的例题和练习题，让学生在解答过程中，巩固所学知识，提高学生的解题技巧和应变能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性，使其形成良好的学习习惯。
2.培养学生勇于探索、克服困难的意志品质，增强学生的自信心和自我成就感。
3.引导学生认识到数学知识在实际生活中的应用价值，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
4.培养学生的审美观念，让学生感受几何图形的和谐美，提高学生的审美情趣。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识和逻辑思维能力，能够理解和运用基本的几何概念和定理。在本章节学习之前，学生已经掌握了圆的基本性质、圆的方程以及点与圆的位置关系等基础知识，这为学习切线的判定打下了良好的基础。然而，学生在面对几何问题的解决策略上，可能还存在一定的局限性，需要教师在教学过程中给予适当的引导和启发。此外，学生的空间想象能力和抽象思维能力的发展水平不一，教学中应关注个体差异，因材施教，激发学生的学习潜能。通过本章节的学习，旨在进一步提高学生的几何推理能力，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、归纳，培养学生发现问题和解决问题的能力。
2.采用问题驱动的教学方法，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象地理解切线的判定定理。
3.创设合作学习情境，让学生在小组讨论、交流中共同探究，提高团队协作能力和沟通表达能力。
4.设计丰富的例题和练习题，巩固所学知识，提高解题技巧和应变能力。
4.让学生尝试编写一道关于切线的原创题目，并给出解题过程和答案。此举旨在激发学生的创新思维，提高学生对知识点的深入理解。
圆的切线的判定(教案)
圆的切线的判定(教案)章节一：圆的切线的定义与性质1.1 教学目标让学生了解圆的切线的定义。
让学生掌握圆的切线的性质。
1.2 教学内容圆的切线的定义。
圆的切线的性质。
1.3 教学步骤1.3.1 引入利用实物或图片展示圆和切线，引导学生思考圆的切线的定义。
1.3.2 讲解讲解圆的切线的定义，强调圆的切线与圆的接触点是切点。
讲解圆的切线的性质，如切线与半径垂直，切线与圆的切点处的切线斜率为0等。
1.3.3 练习提供一些图形，让学生判断哪些是圆的切线，并解释原因。
1.4 教学评价通过学生的练习和提问，评估学生对圆的切线的定义和性质的理解程度。
章节二：圆的切线的判定定理2.1 教学目标让学生了解圆的切线的判定定理。
让学生能够运用判定定理判断一条直线是否为圆的切线。
2.2 教学内容圆的切线的判定定理。
判定定理的应用。
2.3 教学步骤2.3.1 引入回顾上一章节的圆的切线的性质，引导学生思考如何判断一条直线是否为圆的切线。
2.3.2 讲解讲解圆的切线的判定定理，包括定理的表述和证明过程。
讲解判定定理的应用，如何通过已知条件判断一条直线是否为圆的切线。
2.3.3 练习提供一些题目，让学生运用判定定理判断直线是否为圆的切线，并提供解题思路和步骤。
2.4 教学评价通过学生的练习和提问，评估学生对圆的切线的判定定理的理解程度和应用能力。
章节三：圆的切线方程的求法3.1 教学目标让学生了解圆的切线方程的求法。
让学生能够运用求法求出圆的切线方程。
3.2 教学内容圆的切线方程的求法。
切线方程的求法应用。
3.3 教学步骤3.3.1 引入回顾上一章节的内容，引导学生思考如何求出圆的切线方程。
3.3.2 讲解讲解圆的切线方程的求法，包括切线方程的一般形式和求法步骤。
讲解切线方程的求法应用，如何根据已知条件求出圆的切线方程。
3.3.3 练习提供一些题目，让学生运用求法求出圆的切线方程，并提供解题思路和步骤。
3.4 教学评价通过学生的练习和提问，评估学生对圆的切线方程的求法的理解程度和应用能力。
切线的判定定理教案
1.使学生掌握切线的判定定理，并能初步使用它解决相关问题；2.通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的水平；3.通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性.教学重点和难点切线的判定定理是重点；定理的使用中，辅助线的添加方法是难点.教学过程设计一、从学生已有的知识结构提出问题1.投影打出直线与圆的三种位置关系.(图7-102)根据图7-102，请学生回答以下问题(1)在图7-102中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l分别和⊙O是什么关系?学生：分别相交、相切、相离.(2)在上边三个图中，哪个图中的直线l是圆的切线?你是怎样判定的?学生：图(2)中直线l是⊙O的切线.根据切线的定义判定.教师指出：根据切线的定义能够判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定定理.(板书课题)二、师生共同探讨、发现定理1.让学生在纸上、教师在黑板上画⊙O，在⊙O上任取一点A，连结OA，过A点作直线l⊥OA，作完后，提问：直线l是否与⊙O相切呢?启发学生得出结论：因为圆心O到直线l的距离等于半径，即d＝r，所以直线l 一定与圆相切.请学生回顾作图过程，切线l是如何作出来的?它满足哪些条件?引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径.从而得到切线的判定定理.(板书定理)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?学生回答后，教师指出：定理中的两个条件缺一不可.(投影打出两个反例图7-103)图(1)中直线l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线l与半径垂直，但不经过半径外端.从以上两个反例能够看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.最后引导学生分析，定理实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，仅仅为了便于应用把它改写成“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式.所以，定理不必另加证明.三、应用定理，强化训练例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.(图7-104)求证：直线AB是⊙O的切线.分析：欲证AB是⊙O的切线.因为AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端.所以只需证明OC⊥AB，因OA＝OB，CA＝CB，易证OC⊥AB.证明：(学生口述，教师板演)例2 如图7-105，已知OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径为6厘米.求证：AB与⊙O相切.分析：因为已知条件没给出AB和⊙O有公共点，所以可过圆心O作OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等于⊙O的半径3厘米即可.证明：过O作OC⊥AB，垂足为C.因为OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，所以AC＝BC＝4厘米.所以在RtAOC中，OC＝＝3(厘米).又因为⊙O的直径长为6厘米，故OC的长等于⊙O的半径3厘米.所以AB与⊙O相切.完成以上两个例题后，让学生思考：以上两例辅助线的作法是否相同?有什么规律吗?在学生回答的基础上，师生一起归纳出以下规律：(1)若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直.(2)当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径.练习1 判断以下命题是否准确.(投影打出)(1)经过半径外端的直线是圆的切线.(2)垂直于半径的直线是圆的切线.(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.采取学生抢答的形式实行，并要求说明理由，教师给予即时肯定或纠正.练习2 如图7-106，⊙O的半径为8厘米，圆内弦AB＝83厘米，以O为圆心，4厘米为半径作小圆，求证：小圆与直线AB相切.练习3 如图7-107，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.求证：DC是⊙O的切线.练习2和练习3请两名学生上黑板板演，教师巡视，个别辅导.四、小结提问：这节课主要学习了哪些内容?需要注意什么问题?在学生回答的基础上，教师总结：主要学习了切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件，在应用定理时，注重两个条件缺一不可.判定一条直线是圆的切线，有三种方法：(1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(3)根据切线的判定定理来判定，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同.解题时，灵活选用其中之一.证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线.如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径(如例1)；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径(如例2).五、布置作业。
切线的判定定理教案
切线的判定定理教案教案题目：切线的判定定理教学目标：1.理解什么是切线，了解切线与曲线的几何性质；2.掌握直线与曲线相切的条件；3.能够应用切线的判定定理解决相关的几何问题。
教学重点：1.掌握切线的几何性质；2.理解切线的判定定理。
教学难点：1.理解切线与曲线的相切关系；2.掌握切线的判定条件。
教学准备：1.教师准备：黑板、彩色粉笔、直尺、圆规；2.学生准备：课本、练习册。
教学过程：Step 1：引入新知（15分钟）1.教师首先通过黑板上画出一个曲线图形，引导学生观察图形，思考下列问题：-通过直线与曲线的位置关系，你能得出什么结论？-直线和曲线有什么共同点和不同点？2.让学生回答问题并做思考。
3.引导学生认识切线的概念：当一条直线通过曲线上的一个点且同时与曲线相交于该点时，这条直线称为曲线在该点处的切线。
4.引导学生观察切线与曲线在相切点附近的几何性质，帮助学生理解切线的定义和切线的判定定理。
Step 2：切线的判定定理（20分钟）1.引导学生思考并完成以下问题：假设曲线上有一点P，过点P作曲线的切线l。
如果点P的切线l与直线g相交于点Q，那么点Q是否在曲线上？分析为什么？2.学生回答问题并讨论。
3.教师引导学生得出结论：如果直线g与曲线相交于点Q，且点Q在曲线上，则直线g是曲线在点Q处的切线。
4.教师通过示例或者具体的图形让学生理解切线的判定定理。
Step 3：切线与曲线的应用（25分钟）1.教师给出几个具体的实例，让学生应用切线与曲线的判定定理解决相关的几何问题。
如：-已知曲线y=x^2与直线y=2x相切于点P，求曲线在点P处的切线方程。
-求椭圆x^2/4+y^2=1上与直线y=2x+1相切的点。
Step 4：练习与反馈（20分钟）1.学生在课本或练习册上完成相关练习题，加深对切线判定定理的理解。
2.教师批改学生的练习，并对答错的题目进行讲解和解释。
Step 5：课堂总结（15分钟）1.教师对本节课的内容进行小结。
切线的判定定理教案
切线的判定定理教案证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。
最常用的是利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。
本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。
归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。
理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。
掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。
进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力。
平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。
那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义）⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d二r）除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢？活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L, 使L经过点A且垂直于OA。
这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
活动二：分析定理。
经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？对定理的理解：①经过半径外端.②垂直于这条半径。
定理中的两个条件缺一不可。
例1：如图，直线AB经过。
O上的点^并且0人=08工人二CB,求证：直线AB是。
0的切线。
证明：连结0CV0A=0B, CA=CB,Z.ABXOCo・・,直线AB经过半径0C的外端C,并且垂直于半径0C,・・・AB是。
圆的切线的判定(教案)
圆的切线的判定(教案)第一章：圆的切线定义与性质1.1 圆的切线定义引入圆的切线的概念，给出圆的切线的定义。
通过图形和实例解释圆的切线的性质和特点。
1.2 圆的切线性质探讨圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆只有一个交点等。
通过几何证明和实例来加深对圆的切线性质的理解。
第二章：圆的切线判定定理2.1 切线判定定理的引入引入圆的切线判定定理，并解释其意义和作用。
通过图形和实例来展示切线判定定理的应用。
2.2 切线判定定理的证明几何证明切线判定定理，解释定理的证明过程和逻辑推理。
通过证明过程来加深对切线判定定理的理解和应用。
第三章：圆的切线方程3.1 切线方程的引入引入圆的切线方程，并解释其意义和作用。
通过图形和实例来展示切线方程的应用。
3.2 切线方程的求解学习如何求解圆的切线方程，包括斜率存在和不存在的情况。
通过例题和练习来掌握切线方程的求解方法。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 切线与圆相切探讨切线与圆相切的情况，包括切线与圆的切点和切线与圆的切线。
通过图形和实例来展示切线与圆相切的特点和性质。
4.2 切线与圆相离和相交探讨切线与圆相离和相交的情况，包括切线与圆的交点和切线与圆的内切。
通过图形和实例来展示切线与圆相离和相交的特点和性质。
第五章：圆的切线在实际问题中的应用5.1 切线在几何问题中的应用探讨圆的切线在几何问题中的应用，如求解角度、距离等问题。
通过例题和练习来展示切线在几何问题中的应用方法。
5.2 切线在实际生活中的应用探讨圆的切线在实际生活中的应用，如自行车轮子、圆形操场等。
通过实例来展示切线在日常生活中的重要性和作用。
第六章：圆的切线判定定理的拓展6.1 切线判定定理的推广探讨将切线判定定理应用到更一般的情况下，如非圆形的曲线。
通过图形和实例来展示切线判定定理的推广应用。
6.2 切线判定定理与其他数学概念的联系探讨切线判定定理与其他数学概念的联系，如代数、几何等。
通过例题和练习来展示切线判定定理与其他数学概念的结合应用。
数学教案-切线的判定和性质
数学教案－切线的判定和性质一、教案简介本教案旨在帮助学生掌握切线的判定和性质。
通过本教案的学习，学生将了解如何判断一条直线是否为曲线的切线，并掌握切线的性质，如切点、切线方向等。
本教案适用于高中数学教学中切线相关知识的教学。
二、教学目标1.了解判定一条直线为曲线的切线的几何条件；2.掌握切线的性质，如切点、切线方向等；3.运用所学知识解决相关问题。
三、教学重点1.切线的判定几何条件；2.切线的性质。
四、教学内容和方法1. 切线的判定切线是曲线与该曲线上的某一点之间相切的直线。
切线的判定可以通过以下几何条件来进行判断：•条件1：直线过曲线上的一点；•条件2：直线与曲线相交于该点。
2. 切线的性质性质1：切点切线与曲线相交的点称为切点。
性质2：切线的方向切线上的两点在曲线上对应的两点连线的斜率等于切线的斜率。
性质3：切线的斜率切线的斜率等于曲线在切点处的导数。
3. 相关问题的解决将学生分成小组进行练习，解决如下问题：1.已知函数y=x3−2x2−3x+2，求曲线y=x3−2x2−3x+2上切线方程的斜率和截距；2.已知函数$y = \\sqrt{x}$，求曲线$y = \\sqrt{x}$上切线方程的斜率和截距。
五、教学步骤1.导入：通过引入一个实际生活中的例子，如汽车与曲线的切线，引起学生的兴趣，并提出问题：“如何判断一条直线是否为曲线的切线？切线有哪些性质？”；2.讲解：通过讲解切线的判定条件和性质，帮助学生理解切线的概念和相关知识；3.实例演示：通过解析具体的数学问题，讲解切线的判定和性质的应用；4.练习：将学生分成小组，进行相关问题的练习；5.总结：对本节课的主要内容进行总结，并强调切线的重要性和应用价值；6.作业布置：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评估1.练习题的完成情况；2.学生对切线的判定和性质的理解情况；3.教学过程中的讨论和思考问题的情况。
七、教学延伸1.利用电子白板或数学软件进行切线的绘制和切线方程的计算，帮助学生更加直观地理解切线的概念和性质；2.结合实际问题，让学生应用切线的知识解决实际问题，提高学生对数学知识的应用能力。
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24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时）
切线的判定定理（教案）
西河中学** 一．教学目标。
知识与技能目标：使学生掌握如何判定某条直线是圆的切线的方法，通过定理提高学生如何判定直线和圆的位置关系。
能力目标：学生经过探究观察分析最后得出判定定理，加深对定理中两个条件的理解，培养学生分析探究问题的能力和对学习的积极性。
情感与态度目标：通过掌握判定某条直线是圆的切线的方法，掌握解决问题要用理论依据说话的道理，培养学生解决问题的能力和勇于发现的探究的创新精神。
二．教学重点和难点：1.重点：理解运用判定定理判定某条直线是圆的切线必须同时满足两条件。
2.难点：借助辅助线判定某条直线是圆的切线。
三．教学过程
活动1 复习引入：直线与圆的三中位置关系中（幻灯片1，2），最重要的是直线与圆相切，本节课重点研究这一种位置关系。
若直线与圆只有一个交点时，直线必然是圆的切线。
那么经过圆上一点（如一条半径的外端）的直线是否一定是否是圆的切线呢？
探讨：过圆上一点的直线，在什么情况下一定是圆的切线？
二、探索新知：
活动2.探究新知:
1). 如图，OA为⊙O半径，直线l经过点A，直线l与OA夹角为∠A,当直线l沿A旋转时，（1）∠A的变化范围是多大？随着∠A度数的增大，点O到直线l的距离大小如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？（2）当∠A为多少度时，点O到直线l的距离刚好等于半径r?此时直线l与⊙O的位置关系如何？说明依据。
（3）在（2）中，直线l满足什么条件？
(幻灯片3)结论：直线l满足条件①：经过半径
OA的外端点A条件②：垂直于半径
A
疑问：是否必须同时满足这两条件，直线l 才是圆O 的切线？
2) 判断下图直线l 满足哪个条件?是否是⊙O 的切线？（幻灯片4）
结论：直线l 必须同时满足这两个条件①②，才能确定直线是圆的切线。
综合以上，可总结为：一条直线若同时满足条件①：经过半径OA 的外端点A 条件②：垂直于半径OA 时，直线是该圆的切线。
（幻灯片5）给出切线的判定定理. 强调定理中的两个条件缺一不可
判定定理几何符号表示
活动3新知应用 判断下列命题的真假（幻灯片6）。
下面我们来用刚探究出的判定定理，解决一些切线的证明问题。
例1（P95例1）直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB,
求证:直线AB 是⊙O 的切线.（幻灯片7）略
（学生思考）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O 的切线，你应该如何证明？
（老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点（即半径的外端），（2）•过这点的半径垂直于直线．证明过程及格式（幻灯片8）
快速检测：1.已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于
点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线. （幻灯片9）
小结：辅助线，有点构造①，即证②
例2.如图，点O 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过0作OD ⊥
OB 于D ，以OD 为半径作⊙O ，判断⊙O 与OA 。
（幻灯片10）
小结：辅助线：无点构造②，即证①
方法总结：比较例1,2中证明切线时不同之处及辅助线的做法。
小结：有点连半径，证垂直
无点做垂线，证半径（相等）
活动4.课堂练习：（幻灯片12）
两学生学生演板，其他学生独立完成。
教师点评，纠错。
活动5课堂小结：1、切线的判定定理；2、证明切线时常作的辅助线3、判定切线的三种
A
方法总结。
布置作业：课后思考题。