大数运算及排列组合
大数的四则运算
进位规则：当两个数的和超过10时，需要进位 进位方法：将超过10的部分加到下一位
进位示例：12+34=46，其中2+4=6，超过10，需要将6的个位加到下一位
进位注意事项：进位时，需要注意位数的变化，避免错误
减法运算的基本原理 减法运算的注意事项
位数不同时的减法方法 减法运算的应用实例
相同位数的大 数减法，首先 将两个数对齐， 从低位开始相
余数定义：在除法运算中，被除数不能被除数整除的部分
余数性质：余数小于除数
余数应用：在计算中，余数可以用来判断除法运算的结果是否正确
余数处理方法：在计算中，可以通过余数来判断是否需要进行下一次除法运算， 或者进行其他处理。
仔细阅读题目，理解题意
认真检查计算过程，避免 漏算、错算
使用计算器或计算机进行 辅助计算，提高准确性
科学计数法：用E或e表示乘以10的幂次 指数表示法：用指数表示大数的大小 符号表示法：用符号表示大数的正负 组合表示法：用组合表示大数的位数和位数之间的关系
大数是指位数较多的数，通常超过计算机能够直接表示的范围
大数的位数通常用科学计数法表示，如10^100
大数的位数可以通过计算得到，例如10^100的位数为101 大数的位数也可以根据实际情况进行估计，例如10^100的位数大约为 100
加法原理：将两个数的每一位 相加，得到新的数
进位处理：当某一位相加结果 大于10时，需要进位
结果表示：将每一位相加的结 果和进位结果组合成新的数
示例：*** + *** = ***
加法法则：相同位数相加，从低位到高位依次相加 进位处理：当低位相加结果大于等于10时，需要进位 结果表示：将进位结果加到高位，得到最终结果 示例：*** + *** = ***
高考数学总复习计数原理、排列组合知识讲解
高考数学总复习计数原理、排列组合知识讲解高考总复习：计数原理、排列组合【考纲要求】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。
2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
要点诠释：如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。
解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。
3．两个计数原理的综合应用（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。
另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。
解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则是指通过计算排列或组合的计算公式和规则来求解问题。
其中，排列是指从一组元素中，选取出若干个元素按照一定的顺序排列，而组合是指从一组元素中，选取出若干个元素不考虑顺序。
以下是常见的排列组合运算法则：
1. 排列：
- 有放回排列：如果元素可重复使用，且每个元素在每个位
置上都有可能出现，那么排列数为元素个数的指数幂，即An
= n^r。
- 无放回排列：如果元素不可重复使用，那么排列数为元素
个数的阶乘除以剩余位置数的阶乘，即An = n!/(n-r)!。
2. 组合：
- 有放回组合：如果元素可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的组合数，即C(n+r-1, r)。
- 无放回组合：如果元素不可重复使用，且不考虑元素的顺序，那么组合数为元素个数的阶乘除以选取的元素的阶乘乘以剩余位置的阶乘，即C(n, r) = n!/r!(n-r)!。
通过排列组合的运算法则，可以求解各种问题，如排列组合问题、概率问题、形成小组等问题。
数学运算之排列组合专题
但此类题型还是可以用挡板法，只需做一些小变化，可以假想从每个盒子中借一个球，
这样共有 11 个球，然后用挡板法进行计算考虑，故有 C120 = 45 种分法。
（二）9 个完全相同的球全部放入 3 个相同的盒子中，每个盒子要求至少有一个，
有
种不同的分法。
【解析】本题跟上面两题又有所差别，放入三个相同的盒子，就要考虑排除盒子排列产生的
多余次数，即除以 A33 。但是直接拿 C82 来除显然有问题，因为比如像（1，1，7）（2，2， 5）（4，4，1）这样的情况只有 3 种排列可能，并不是 A33 种排序，所以要在除以 A33 之前补 足，同样 3，3，3 也是一种特殊情况，要补足 5 种，这样就有了答案共[ C82 +3*3+5]/ A33 =7
【例九】六人站成一排，求： ①甲不在排头，乙不在排尾的排列数； ②甲在乙的前面的排列数； ③甲乙丙按从左到右依次排列的排列数。
【解析】特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
5
①方法一：上图，A 为甲在排头的情况种数，B 为乙在排尾的情况种数，T 为符合两种情况 的种数，M 为 6 人排列种数。根据题目要求可知蓝色区域种数=M-A-B+T=6！-5！-5！ +4！=504 种。 方法二：可以判断出先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类（甲、乙 均可）。
6
【例十】对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试，至区分出所 有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有 多少种可能?
【解析】由题意可得，第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而可按下列
步骤分步完成。
①
Байду номын сангаас
高考数学 计数原理、排列与组合
( )
Ｄ.４２０ 个
解析 依题意ꎬ要使各位数字之和为奇数ꎬ则
可能是 ３ 个 奇 数 １ 个 偶 数 或 ３ 个 偶 数 １ 个
奇数.
若为 ３ 个奇数 １ 个偶数ꎬ则偶数一定排在个位ꎬ
则有 Ｃ１４ Ａ３５ ＝ ２４０ 个ꎻ
若为 ３ 个偶数 １ 个奇数ꎬ则有 Ｃ１５ Ｃ１３ Ａ３４ ＝ ３６０ 个.
种是 Ａ 社区安排了两名志愿者ꎬ所以从剩余 ３
( 多选) (２０２３ 届重庆八中月考一ꎬ９) 将
名志愿者中选择一个ꎬ分到 Ａ 社区ꎬ再把剩余 ２
甲、乙、丙、丁 ４ 名志愿者分别安排到 ＡꎬＢꎬＣ 三
第二种是 Ａ 社区只安排了甲志愿者ꎬ此时剩余
例3
个社区进行暑期社会实践活动ꎬ要求每个社区
至少安排一名志愿者ꎬ则下列选项正确的是
成有多种不同的方法ꎬ则完成这件事的不同
方法种数是各步骤的不同方法数的乘积ꎬ这
就是分步计数原理.
2.排列
１)排列数公式:Ａ ｍｎ ＝ ｎ( ｎ － １) ( ｎ －ｍ ＋ １) .
２)全排列:ｎ 个不同元素全部取出的一个排列ꎬ
叫做 ｎ 个不同元素的一个全排列ꎬＡ ｎｎ ＝ ｎ( ｎ
－ １) ( ｎ － ２) ３２１ ＝ ｎ!. 于是排列
专
题
十
计
数
原
理
３１９
答案 Ａ
例2
综上ꎬ一共有 ２４０ ＋ ３６０ ＝ ６００ 个.故选 Ａ.
(２０１７ 浙江ꎬ１６ꎬ４ 分) 从 ６ 男 ２ 女共 ８ 名
生ꎬ共有 种不同的选法.(用数字作答)
学生中选出队长 １ 人ꎬ副队长 １ 人ꎬ普通队员 ２
人组成 ４ 人服务队ꎬ要求服务队中至少有 １ 名女
大学数学排列组合的7大方法
大学数学排列组合的7大方法
大学数学排列组合的7大方法
导语：数学必背各类公式，尤其是一些常考常用的重点公式，一定要背下来，且能灵活的运用。
下面就由小编为大家带来大学数学排列组合的7大方法，大家一起去看看怎么做吧！
1.元素分析法
【例】求7人站一队，甲必须站在当中的不同站法。
【解析】要求甲必须站在当中，因此只需对其它6人全排列即可，不同的站法共有几种。
2.位置分析法
【例】求7人站一队，甲、乙都不能站在两端的不同站法。
【解析】先站在两端的位置有几种站法，再站其它位置有几种站法，因此所有不同的站法共有几种站法。
3.间接法
【例】求7人站一队，甲、乙不都站两端的不同站法。
【解析】考虑对立事件为甲乙都站在两端，共有几种站法;7人站成一队所有的站法共几种，所以甲乙不都站两端的不同站法共几种。
4.捆绑法
【例】求7人站一队，甲、乙、丙三人都相邻的不同站法。
【解析】先将甲、乙、丙看成一个人，即相当于5个人站成一队，有几种站法，再对这三个人全排列即得所有的.不同站法共几种。
5.插空法
【例】求7人站一队，甲、乙两人不相邻的不同站法。
【解析】先将其它五人全排列，然后将甲、乙两人插入所产生的6个空中即可，共几种不同的站法。
6.留出空位法
【例】求7人站一队，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。
【解析】由于甲、乙、丙三人的顺序一定，因此只要其余4人站好，这7个人就站好了，不同的站法共有几种。
7.单排法
【例】求9个人站三队，每排3人的不同站法。
【解析】由于对人和对位置都无任何的要求，因此，相当于9个人站成一排，不同的站法显然共有几种。
组合与排列的计算方法(知识点总结)
组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。
下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。
1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。
计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。
计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。
例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。
如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。
在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。
例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。
通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。
在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。
例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则排列组合是数学中的一个重要概念，它用于描述一组对象的不同排列或组合方式。
在实际应用中，排列组合常常用于解决问题，例如在概率和统计、组合数学、计算机科学、经济学和工程学等领域。
本文将介绍排列组合的基本概念和运算法则，以及相关的参考内容。
一、基本概念：1. 排列：指从n个不同元素中选取m个元素进行排序。
排列通常用P(n, m)来表示，其中n为总的元素个数，m为选取的元素个数。
排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!2. 组合：指从n个不同元素中选取m个元素，不考虑其排序。
组合通常用C(n, m)来表示，其中n为总的元素个数，m为选取的元素个数。
组合的计算公式为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)3. 阶乘：指从1到某个正整数n的连续整数相乘的结果。
阶乘通常用n!来表示，其中n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1。
二、运算法则：排列组合的运算法则主要包括加法法则、乘法法则和递推法则。
1. 加法法则：对于排列和组合来说，加法法则指的是将问题分解为多个独立的情况，并将它们的结果相加。
例如，要从10个不同的球中选取3个球，有两种情况：第一种情况是选取了红球，第二种情况是选取了蓝球。
根据加法法则，这两种情况下的选球数相加即为总的结果：C(10,3) =C(5,3) + C(5,3) = 10.2. 乘法法则：对于排列和组合来说，乘法法则指的是将多个步骤的结果相乘。
例如，从4个不同的元素中选取2个进行排列，有两个步骤：第一步是选取第一个元素，有4种情况；第二步是选取第二个元素，有3种情况。
根据乘法法则，这两个步骤的结果相乘即为总的排列数：P(4,2) = 4 * 3 = 12.3. 递推法则：递推法则是一种利用已知结果推导出未知结果的方法。
例如，计算组合数C(n, m)时，可以利用以下递推关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)。
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2. 3 大数乘法
大数乘法运算实现算法如下: (1)通过每一层循环 ,实现乘法的加法化; (2)对结果做进位调整。 思路：乘法比加法稍微复杂一些，进位多， 先计算后统一处理进位的方法比较好.
总结：大数乘法是二重循环，先乘，后统 一进位.
2. 4 大数除法
解题思路 基本的思想是反复做减法，看看从被除数里最多能 减去多少个除数，商就是多少。一个一个减显然太慢， 如何减得更快一些呢？ 以 7546 除以 23 为例来看一下：开始商为 0。先 减去 23 的 100 倍，就是 2300，发现够减 3 次，余下 646。于是商的值就增加 300。然后用 646减去 230， 发现够减 2 次，余下 186，于是商的值增加 20。最后 用 186 减去 23，够减 8 次，因此最终商就是 328。 所以本题的核心是要写一个大整数的减法函数，然 后反复调用该函数进行减法操作。 计算除数的 10 倍、100 倍的时候，不用做乘法，直接 在除数后面补 0 即可。
大整数运算
由于编程语言提供的基本数值数据类型表 示的数值范围有限，不能满足较大规模的 高精度数值计算，因此需要利用其他方法 实现高精度数值的计算，于是产生了大数 运算。
思路： 但凡大数运算思路一致，都是 用数组存，然后处理进位
1.大数存储的实现
作为实现大数存储最常见的一类方法是利 用数组。将一 个有 n 位的大数存入数组 , 每个数组的一个元素表示一位十 进制数 ,若 是 n 没有超过普通 PC 机允许的定义范围 , 这种算 法是简单易行的。 如果出现超大数 , 则可以采用万进制的方法加以存储 ,在 此就 不多做介绍了。
2.大数计算的算法
2. 1 大数加法 大数加法运算实现算法如下: (1)将数组A、 B 按位对齐; （数组一般都是先从低位开始存放） (2)低位开始逐位相加; (3)对结果做进位调整。
2. 2 大数减法
大数减法运算实现算法如下: (1)将 A、 B 按位对齐; (2)低位开始逐位相减; (3)对结果做借位调整。
Байду номын сангаас
基本公式整理
只要记住下面公式，就会计算排列组合：(在列式中n为下标,m为上标) 排列 A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 组合 C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=A(n,m)/m! C(n,m)=C(n,n-m)=n!/m!(n,m)! 例如 A(4,2)=4!/2!=4x3=12 C(4,2)=4!/(2!x2!)=(4x3x2)/(2x2)=6
排列用符号A(n,m)表示，m≦n。 计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)! 此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2)…1
组合的定义及其计算公式
组合的定义有两种。定义的前提条件是m≦n。 ① 从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 ② 从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的组合数。 ③ 用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。 组合用符号C(n,m)表示，m≦n。 公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或 C(n,m)=C(n,n-m)。
2. 5 大数取模
在取模运算中用到了上面的除法运算 ,只需 返回余数即可。
排列组合
排列的定义及其计算公式
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。 定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。 ① 从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。 ② 从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的排列数。 ③ 用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排 列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。