函数的单调性(一)PPT教学课件
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函数的单调性课件1(苏教版必修1)
反函数的单调性判断
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
如果原函数在其定义域内单调递增 （或递减），则其反函数在对应的定 义域内单调递减（或递增）。
反函数的应用举例
利用反函数求值
通过反函数，可以将一个变量的值转换为另一个变量的值。例如，利用反三角函数可以求出角度的值。
利用反函数解决实际问题
在很多实际问题中，可以通过建立反函数来求解问题。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，常常需要利 用反函数来解决实际问题。
函数的单调性课件1(苏教版必修1)
contents
目录
• 函数单调性的定义 • 单调函数的性质 • 单调函数的应用 • 反函数与单调性 • 复合函数的单调性
01 函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则对于该区间内的任意 两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) < f(x_2)$；如果函数在某个区间内单调递减，则对 于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$。
复合函数法
利用复合函数的单调性法则来判断 原Байду номын сангаас数的单调性。
单调函数的反例
反例1
函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是单 调减少的，但在区间(0,+∞)上是单 调增加的，因此f(x)=x^2在整个定 义域上不是单调函数。
反例2
函数f(x)={ x^2 x>0; -x^2 x<0; } 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调 减少的，但在整个定义域上不是单 调函数。
x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则函数在该区间内单调递减。
1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
北师大版高中数学必修 -函数的单调性 PPT教学课件1
例4.（1）已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区 间(-∞,4]上是减函数，求实数a的范围。 （2）已知函数g(x)在R上是单调减函数 且g(t)>g(1-2t)，求实数t的范围。
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 教学课 件1(完 美课件 )
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 教学课 件1(完 美课件 )
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
则△x= x2 -x1>0时
2.作差变形:作差△y=f(x2)-f(x1)
并适当变形；
3.判断差符号:确定△y的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 教学课 件1(完 美课件 )
结
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取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(
x
)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 因为 x1、x2 不具有任意性.
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
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1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
则△x= x2 -x1>0时
2.作差变形:作差△y=f(x2)-f(x1)
并适当变形；
3.判断差符号:确定△y的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
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结
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取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(
x
)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 因为 x1、x2 不具有任意性.
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT 教学课 件1(完 美课件 )
人教A版选择性必修第二册5.3.1函数的单调性(一)课件
所以Δ＝4－4m≤0，解得m≥1，
b
(2)
t∈(a,b)时，h′(t)˂0，函数的图像是“降落”
的，函数 h(t)在(a,b)上单调递减；
这种情况是否具有一般性呢？
y y=x
y y=x2
y y=x3
y
y=
1 x
o
x
o
x
o
x
o
x
（-∞，0） 函数在R上f′(x)=1˃0，f′(x)=2x˂0，
（0，+∞）， f′(x)=2x˃0
函数在R上 f′(x)=3x2≥0，
图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=-9.8t+4.8的
图象.
h
Oa
(1)
思考： 运动员从起跳到最高点，及从最高点到
v
入水这两段时间的运动状态有什么区分？如何
从数学上刻画这种区分？ t
O a b t∈(0,a)时，h′(t)˃0，函数的图像是“上升”
t
的，函数 h(t)在(0,a)上单调递增；
f′(x)＝6x－2＝2（3x2－1）
x
x
＝2（ 3x－1）（ 3x＋1）， x
由 x>0，f′(x)>0，解得 x> 3. 3
由 x>0，f′(x)<0，解得 0<x< 33. ∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为 ( 33,+∞)，单调递减区间为(0, 33).
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0， 由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
b
(2)
t∈(a,b)时，h′(t)˂0，函数的图像是“降落”
的，函数 h(t)在(a,b)上单调递减；
这种情况是否具有一般性呢？
y y=x
y y=x2
y y=x3
y
y=
1 x
o
x
o
x
o
x
o
x
（-∞，0） 函数在R上f′(x)=1˃0，f′(x)=2x˂0，
（0，+∞）， f′(x)=2x˃0
函数在R上 f′(x)=3x2≥0，
图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)=-9.8t+4.8的
图象.
h
Oa
(1)
思考： 运动员从起跳到最高点，及从最高点到
v
入水这两段时间的运动状态有什么区分？如何
从数学上刻画这种区分？ t
O a b t∈(0,a)时，h′(t)˃0，函数的图像是“上升”
t
的，函数 h(t)在(0,a)上单调递增；
f′(x)＝6x－2＝2（3x2－1）
x
x
＝2（ 3x－1）（ 3x＋1）， x
由 x>0，f′(x)>0，解得 x> 3. 3
由 x>0，f′(x)<0，解得 0<x< 33. ∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为 ( 33,+∞)，单调递减区间为(0, 33).
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)． ∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0， 由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
高一数学函数的单调性 PPT课件 图文
(2)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (3)单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
； https:/// 好系统重装助手 重装助手
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在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
例题讲解
注意： (1)可以根据函数的图象写出函数的单调
区间； (2)写单调区间时，注意区间的端点； (3)将y＝f(x)的图象上下平移时，单调区
间不发生改变； (4)单调区间不能随便求并集．
例题讲解
例2
求证：函数 f(x)＝－
1 x
－1在区间(－∞，0)
上是单调增函数．
证明：任取x1＜x2＜0，则
f(x2)－f(x1)＝＝(－1 －x12
－1)－(－ 1 ＝ x2－x1
1 －1)
x1
．
x1 x2
x1x2
因为x1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所
以
x2－x1 x1x2
＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，
3.下列函数在区间(0,2)上是递增函数的是（ ）
1
A.y=
B.y=2x-1
x
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数， x∈(-∞，2]时是减函数，则f(1)的值（ ）
A.1
B.y=-1
C.y=3
D.-3
5.已知函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,1]上是减 函数,则a 的范围是（ ）
2.1.3 函数的简单性质
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在你们眼里就是这样的人？”韩哲轩满头黑线但还是坚持很勉强的笑，他把匕首从自己那边推到了桌子的另一边，“这是你 的。”“诶？”张祁潭警惕的看看韩哲轩，又看看桌子上的匕首，小心翼翼的将它拿了起来。“确实……是我的。当时找玉玺 时丢在了郭扬家……”“你想怎样！”韩哲轩归还了匕首，慕容凌娢感觉心里有底，气势就又回来了。“要不是我冒着生命危 险把匕首给找回来，以郭扬的能力，天亮之前就能找出这柄匕首的出处。”韩哲轩看向张祁潭，眼神中竟闪着凄冷的寒光， “你觉得他会饶过谁？”“哎~苍天饶过谁！”张祁潭颤抖着收起匕首，沉寂片刻，说道，“我签。”“这就签？”慕容凌娢 一脸懵逼，不过既然张祁潭要签，她也不好意思再说什么。“看在你后续工作干的不错的份上，我也签吧……”“非常感谢。” 韩哲轩心满意足的收起本子。“哦对了，你刚才说的福利……我还真是不太懂。”慕容凌娢笑容变猥琐了。“别想多。晴穿会 鱼龙混杂，干什么的都有。大多数成员在晴穿会帮助下达到自己目的后，会反馈一些东西给晴穿会以表自己的忠诚，而晴穿会 则把这些东西收集起来，作为奖励让业绩好的成员自己挑选……这样一说倒有点像绩效工资了。”韩哲轩吐槽。“你有什么想 要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来换……“你 猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看啊。”张祁 渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。“话说签简 体字还是繁体字？草书还是楷书？”（古风一言）柔情绕指尖，谁的琴弦，在谁的袅娜中化作悲言，指尖弦断。第116章 超自 然协会“你有想要的东西？”慕容凌娢很奇怪，韩哲轩穿越后背景这么好，什么东西弄不到？居然要死皮赖脸靠业绩来 换……“你猜。”“嗯……”慕容凌娢装模作样的沉思片刻，“一定是很稀有的东西。祁潭，你怎么看？”“废话。拿近点看 啊。”张祁渊熟练的翻了一个白眼，只是不知道，这个白眼是送给慕容凌娢还是送给韩哲轩的。也许，是同时给她们两个的。 “话说签简体字还是繁体字？草书还是楷书？”“繁体字吧。”韩哲轩把毛笔递了上去，“毕竟穿越过来之前所在时空不同， 还是统一用这个时代的繁体字比较整齐。”“呵，原来夏桦有这样的强迫症……”慕容凌娢也在本子上签下了龙飞凤舞一笔写 成的四个字。“多谢，我先走了。”韩哲轩跳到了窗台上，“明天这屋子就又归我了，你有什么东西赶快拿走。” “知道知 道，慢走不送。”慕容凌娢敷衍的挥挥手。“我也走了，拜
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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感谢您的观看
单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
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y
o
K>0时，函数在R上单调递增
x
y
K<0时，函数在R上单调递减
o
x
2021/01/21
10
练习 试一试 判断函数 f(x) = x2 （x ∈R）的单调性，并加以证明
y
0x
想一想 画出 y = 1/x 图象，回答下列两个问题
1）能不能说 f(x) = 1/x 在（- ∞，+∞）是单调递减 不能（x≠0）
T
25 20 15 10
5 o 4 8 12 16 20 24 t
2021/01/21
1
某地区24小时内的温度变化曲线如图：
T
25 20 15 10
5 o 4 8 12 16 20 24 t
2021/01/21
2
y 图象特点？
（y随x的变化趋势） f(x2)
f(x1)
o
6 x1
x2 14 x
2021/01/21
3、 多个单调增（减）区间用逗号分隔，而不用 “∪”
2021/01/21
12
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/01/21
13
2）能否说f(x)=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）是单调递减的
y
x1= -1, x2 =1
x1 〈 x2
0x
f（x1)〈 f (x2)
2021/01/21
11
注：
1、函数的单调性也叫函数的增减性。 2、 函数的单调性是区间性概念
1) 所研究的单调区间应为函数的定义域或其子区间 2) 函数可能在整个定义域内没有单调性, 而只在其 子区间内有单调性 3）不能在一点处说函数的单调性
2021/01/21
9
一. 定义法判定函数单调性的步骤：
1. 设x1、x2 ∈给定区间,且 x1 < x2 2. 计算f(x1)-f(x2)至最简(因式分解、配方) 3. 判断上述差的符号 4. 下结论(若差<0，则为增函数；若差>0，则为减函数)
二 .一般地，一次函数 y=kx+b (k≠0) 的单调性？
3
y y随x的增大而增大
f(x2) f(x1)
你能用数学语言去 描述函数的这个特 点吗？
o
x1 x2
x
2021/01/21
4
y
y
f(x1) O 6 x1
14 x
f(x1) O x1
f(x2) x2 x
如果一个函数在定义域
某个区间上，存在 x1 、x2，
当x1 < x2 时， f（x1) < f (x2)
o
x1 x2
x 的单调增区间
荣辱与共 增函数x,y的关系:
2021/01/21
6
y
如果在给定区间上任取x1 , x2 ，
x1 < x2
f（x1) > f (x2)
f(x1) o x1
f(x2)
那么就说f (x) 在这个区间上是 减 函 数, 给定的区间称为函数
x2 x 的 单 调 减 区 间
此消彼长 减函数x,y的关系:
2021/01/21
7
说出该图像的单调区间
T
单调增区间为
25
[4，14）
20
15
单调减区间为
10
Hale Waihona Puke [0，4），[14，24]
5
o 4 8 12 16 20 24 t
2021/01/21
8
例1. 证明函数 f(x) =3x+2 在R上是增函数
证明: 设x1 ，x2是R上的任意两个实数, 且x1 < x2 . 则f（x1)- f (x2) = (3x1 +2)-(3 x2 +2) (条件) = 3(x1 - x2) 由x1 < x2得x1 - x2 <0 于是f(x1)- f (x2) <0 即f(x1) < f(x2) (论证结果） 所以f(x)=3x+2在R上是增函数。(结论）
能不能说这个函数在这个区间 上满足：y随x的增大而增大。
答：不能 x1 、x2的选取 不具有任意性
2021/01/21
5
如何用x 与f（x）来描述上升的图象？
y 如果对于属于定义域内的某个区
间上的任意两个自变量值x1 , x2
x1 < x2
f (x1) < f (x2)
f(x1) f(x2)
那么就说f (x) 在这个区间上是 增 函 数, 给定的区间称为函数
o
K>0时，函数在R上单调递增
x
y
K<0时，函数在R上单调递减
o
x
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练习 试一试 判断函数 f(x) = x2 （x ∈R）的单调性，并加以证明
y
0x
想一想 画出 y = 1/x 图象，回答下列两个问题
1）能不能说 f(x) = 1/x 在（- ∞，+∞）是单调递减 不能（x≠0）
T
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5 o 4 8 12 16 20 24 t
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某地区24小时内的温度变化曲线如图：
T
25 20 15 10
5 o 4 8 12 16 20 24 t
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y 图象特点？
（y随x的变化趋势） f(x2)
f(x1)
o
6 x1
x2 14 x
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3、 多个单调增（减）区间用逗号分隔，而不用 “∪”
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2）能否说f(x)=1/x在（-∞，0）∪（0，+∞）是单调递减的
y
x1= -1, x2 =1
x1 〈 x2
0x
f（x1)〈 f (x2)
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注：
1、函数的单调性也叫函数的增减性。 2、 函数的单调性是区间性概念
1) 所研究的单调区间应为函数的定义域或其子区间 2) 函数可能在整个定义域内没有单调性, 而只在其 子区间内有单调性 3）不能在一点处说函数的单调性
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一. 定义法判定函数单调性的步骤：
1. 设x1、x2 ∈给定区间,且 x1 < x2 2. 计算f(x1)-f(x2)至最简(因式分解、配方) 3. 判断上述差的符号 4. 下结论(若差<0，则为增函数；若差>0，则为减函数)
二 .一般地，一次函数 y=kx+b (k≠0) 的单调性？
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y y随x的增大而增大
f(x2) f(x1)
你能用数学语言去 描述函数的这个特 点吗？
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x1 x2
x
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y
y
f(x1) O 6 x1
14 x
f(x1) O x1
f(x2) x2 x
如果一个函数在定义域
某个区间上，存在 x1 、x2，
当x1 < x2 时， f（x1) < f (x2)
o
x1 x2
x 的单调增区间
荣辱与共 增函数x,y的关系:
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6
y
如果在给定区间上任取x1 , x2 ，
x1 < x2
f（x1) > f (x2)
f(x1) o x1
f(x2)
那么就说f (x) 在这个区间上是 减 函 数, 给定的区间称为函数
x2 x 的 单 调 减 区 间
此消彼长 减函数x,y的关系:
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说出该图像的单调区间
T
单调增区间为
25
[4，14）
20
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单调减区间为
10
Hale Waihona Puke [0，4），[14，24]
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o 4 8 12 16 20 24 t
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例1. 证明函数 f(x) =3x+2 在R上是增函数
证明: 设x1 ，x2是R上的任意两个实数, 且x1 < x2 . 则f（x1)- f (x2) = (3x1 +2)-(3 x2 +2) (条件) = 3(x1 - x2) 由x1 < x2得x1 - x2 <0 于是f(x1)- f (x2) <0 即f(x1) < f(x2) (论证结果） 所以f(x)=3x+2在R上是增函数。(结论）
能不能说这个函数在这个区间 上满足：y随x的增大而增大。
答：不能 x1 、x2的选取 不具有任意性
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如何用x 与f（x）来描述上升的图象？
y 如果对于属于定义域内的某个区
间上的任意两个自变量值x1 , x2
x1 < x2
f (x1) < f (x2)
f(x1) f(x2)
那么就说f (x) 在这个区间上是 增 函 数, 给定的区间称为函数