反常积分法
反常积分法的收敛判别法
而在第二项中，由于 g(x) 单调，因此 g′(x) 保持定号，由积分第一中值
定理，存在 ξ ∈[a, b] ，使得
于是
∫ ∫ ∫ b
F
( x) g ′( x)dx
=
F
(ξ
)
bg ′(x)dx = [g(b) − g(a)]
ξ f (x)dx ，
a
a
a
∫ ∫ b a
f
( x ) g( x )dx
=
g(b)
也发散。
例 8.2.1
讨论
+∞
∫1
cos 2 x3
x sin + a2
x
dx
的敛散性（
a
是常数）。
解 因为当 x ≥ 1时有
cos 2x sin x ≤ 1 ，
x3 + a2 x x
在例
8.1.2
中，已知
∫ +∞ 1
x
1 x
dx
收敛，由比较判别法，∫1+∞
cos 2x sin x x3 + a2
dx
dx 发散。
因此，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
条件收敛。
例 8.2.5
讨论
+∞
∫1
sin
x
arc x
tan
x
dx
的敛散性。
解
由例
8.2.4，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
收敛，而
arc
tan
x
在
[1,+∞)
上单调有界，
由 Abel
| dx
收敛，则称
7反常积分——反常积分的概念和计算
7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。
与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。
本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。
一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。
在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。
具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。
设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。
2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。
需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。
如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。
二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。
然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。
2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
浆 § Ｔ 鼍 ｚＨ Ａ Ｉ Ｙ
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ห้องสมุดไป่ตู้
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
反常积分的计算方法
反常积分的计算方法反常积分是求解某些积分时需要采用的一种特殊方法，它是指被积函数在某一区间上无法定义的积分。
在反常积分的求解过程中，一些数学定理和技巧被广泛应用。
下面，我们将介绍一些反常积分的常见计算方法。
方法一：分部积分法对于一些形如$∫u(x)v'(x)dx$ 的积分，我们可以采用分部积分法进行求解。
此时，我们需要对被积函数做出适当的分解，使得积分表达式易于计算。
例：$∫lnx dx= xlnx - x + C$此式中，我们采用分部积分法，将 $lnx$ 分解为 $u(x)$，$1$ 分解为 $v'(x)$。
然后，我们可以用求导法和幂函数积分法求解出 $u(x)$ 和 $v(x)$。
方法二：换元法在某些情况下，我们可以使用换元法来简化被积函数的形式，进而使计算更为简便。
换元法的核心思想是将被积函数转化为形式更简单的函数。
例：$∫\frac{1}{1 + x^2}dx$此时，我们可以采用$x = tanθ$ 来进行换元。
这样，我们可以将 $\frac{1}{1 + x^2}$ 转化为 $\frac{cosθ}{sin^2θ +cos^2θ}$ 的形式，然后用三角函数的积分公式进行计算。
方法三：极限求解法对于一些反常积分，我们采用传统的解析方法难以求解。
此时，我们可以使用极限求解法。
基本思路是将被积函数化为某个函数在某一点附近的收敛级数，进而推导出反常积分的值。
例：$∫_0^1\frac{1}{lnx}dx$此式中，我们采用极限求解法，将被积函数变形成为$\lim_{n→0+}∫_n^1\frac{1}{lnx}dx$。
然后，我们对被积函数积分，得到其收敛级数为$∑_{k=2}^∞(-1)^{k+1}\frac{(ln(1/n))^k}{k!}$，然后推导极限值为 $-γ$，其中$γ$ 是欧拉常数。
总之，反常积分的计算方法有多种，采用不同的方法可以经过简单变形，使得积分表达式变得更加容易计算，求解过程也更为快捷高效。
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法反常积分极限审敛法（IntegralLimitComparisonTest）是一种常用的数学分析方法，可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何。
它是一种非常重要的定理，有助于我们解决无穷级数的问题。
反常积分极限审敛法（Integral Limit Comparison Test）是一种在数学分析中有着重要应用的定理，它可以根据一般情况下的某个无穷级数的收敛性质，对比另一个无穷级数，从而实现对两个无穷级数的收敛性质的比较。
其基本原理是，如果一个无穷级数的某项分母大于另一无穷级数的某项分母，且比值的反常积分不等于零，则该级数收敛。
反常积分极限审敛法的具体步骤是使用经典反常积分技术，先将待证明的无穷级数和另一个已知收敛的无穷级数，比如收敛正项级数，列出来，然后将它们做出比较，比较的结果若为恒等式，则证明无穷级数收敛；若为大于等于式，则证明无穷级数收敛；若为小于等于式，则证明无穷级数可能收敛，但不一定收敛；最后，通过对比反常积分的值，可以得出有关无穷级数收敛性质的最终结论。
反常积分极限审敛法具有很多优势，其中最主要的优势就是可以用来判断一个无穷级数的收敛性质及其如何收敛，只要满足其在无穷级数上的充要条件，就可以得出有关的结论。
另外，由于反常积分的某一项收敛性质被推广到一般情况，因此可以比较一般情况下的无穷级数的收敛性质，而不是只比较其特殊情况下的收敛情况。
最后，通过反常积分极限审敛法，可以有效解决无穷级数的问题，从而提高研究的效率。
综上所述，反常积分极限审敛法是一种非常重要的定理，在数学分析中有着十分重要的应用，它可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何，并可以有效的解决无穷级数的问题，提高研究的效率。
然而，同时也要根据实际情况，审慎选择反常积分极限审敛法，以期获得比较准确的研究结果。
反常积分
2. 若 f (x) ≥ 0, 可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断 ∫ 3. 若 f (x) ≥ 0, 可考查
a A
f (x)dx 是否有界
4. 以上 f (x) ≥ 0的条件，只要对于充分大的x(x ≥ a)保持成立即可 ∫ 5. 因
a +∞
∫ f (x)dx 与
a
+∞
− f (x)dx 同时收敛，对于 f (x) ≤ 0 有类似的方法
6.
若 x → +∞ 时 (x) 无 穷 次 变 号 ， 上 述 判 别 法 失 效 ， 可 考 查Abel判 别 法 或 ∫ +f ∞ 者Dirichlet判别法( f (x) g(x)dx)
a
∫
+∞
7. 用Abel、Dirichlet 判别法判定为收敛，只是 f (x)dx本身收敛。至于是绝对收敛 a ∫ +∞ | f (x)|dx的敛散性 还是条件收敛，还有依赖于进一步考虑
反常积分
一、反常积分的计算： 三大基本方法 (1). Newton-Leibniz 公式 (2). 换元法 (3). 分部积分方法 ∫ 二、反常积分敛散性判定: 以
a +∞
f (x)dx 为例
1. 若 f (x) ≥ 0, 且 lim f (x) = 0, 可考查x → +∞时无穷小量 f (x)的阶.若阶数 λ > 1, 则反 x→+∞ ∫ +∞ f (x)dx 收敛； λ ≤ 1 时发散。（例13.2.1） 常积分
f (x)dx 与 lim f (x) = 0的关系
x→+∞a源自8. 以上方法无效，可以考虑用Cauchy 准则来判断 ∫ 9. 用定义,看极限 lim
分析方法 第十一章 反常积分
b
c
b
当且仅当 f ( x)dx与 f ( x)dx同时收敛时, 称 f ( x)dx收敛, 且其值
a c a
c
a
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
若a, b都是f的瑕点, 并且f在任何u, v a, b上可积, 可任取c a, b,
u
f ( x)dx I , 则称极限值I为函数f ( x)在[a,)上的无
a
u
u
f ( x)dx lim f ( x)dx I .
a u a
也称无穷积分 f ( x)dx收敛.
a
u
反之, 若 lim
u
f ( x)dx不存在, 称无穷积分 f ( x)dx发散.
1 a
, 并且它们收敛时, 有 与 f ( x)dx 同敛态即同时收敛或发散
a, u 上可积, 则对b : a b, f ( x)dx 性质2 若函数f ( x)在任何有限区间
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a a b
0 0
dx dx dx ，积分收敛 . 2 2 2 1 x 1 x 1 x 0
0
定义2 设函数f ( x)定义在区间 (a, b]上, 且在点a的任意右邻域无界 ,
u, b (a, b], f ( x)在u, b上可积, 若存在极限 称a为函数f ( x)的瑕点, 并对任何
u
由例3知,当p 1时无穷积分收敛 ,当p 1时发散.
dx dx (2) lim lim arctan u , 2 2 u u 1 x 1 x 2 0 0 dx dx lim lim arctan u . 2 2 u u 1 x 1 x 2 u
反常积分的概念与计算
反常积分的概念与计算反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。
本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。
1. 反常积分的概念反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。
它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。
1.1 第一类反常积分第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。
这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第一类反常积分。
为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
1.2 第二类反常积分第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。
这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第二类反常积分。
同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
2. 反常积分的计算方法反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。
2.1 换元法换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。
换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。
通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。
具体步骤如下：1.选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。
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例1
计算反常积分
1
dx x
2
.
解
dx
0 dx
dx
1 x2 1 x2 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
a
x0a
lim arctan
b
x
b
0
lim arctana a
lim arctanb b
2
上述两反常积分之和为函数 f (x)在无穷区间
(,)上的反常积分，记作
f
(
x)dx
.
0
f ( x)dx f ( x)dx 0 f ( x)dx
lim
0 f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
b 0
极限存在称反常积分收敛；否则称反常积分发散.
上述积分统称为无穷限的反常积分 。
lim
ta
arcsin
t a
0
. 2
例5
证明反常积分
1
0
1 xq
dx
当q
1时收敛，当
q 1时发散.
证 (1) q 1,
1
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 xq
dx
1
0
1 dx x
ln
x
1 0
ln1 lim ln x
x0
(2) q 1,
1 1
0 xq
dx
x1q 1 1 q0
, q 1
1
1
q
,
q
1
因此当q 1时反常积分收敛，其值为 1 ； 1q
定义 2 设函数 f ( x)在区间(a,b]上连续，点a为
b
f(x)的瑕点.如果极限
lim
t a
t
f ( x)dx 存在，则称
此极限为函数 f ( x) 在区间(a,b]上的反常积
分，记作
b
a
f
(
x
)dx
.
b f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
ta t
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，称反常积分发散.
当q 1时反常积分发散.
例6
计算反常积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 dx
1 x ln x
lim t 1
2 t
dx x ln x
lim 2 d(ln x) lim ln(ln x) 2
t1 t ln x
t 1
t
limln(ln 2) ln(ln t) t 1
. 故原反常积分发散.
证
(1)
p 1,
1
1 xp
dx
1 dx 1x
ln
x
1
lim ln x ln1 , x
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时反常积分收敛，其值为 1 ； p1
当 p 1时反常积分发散.
二、无界函数的反常积分(瑕积分)
若 f ( x)在点a的任一邻域内无界，则a称为f (x)的瑕点.
0
2
( x 1)3
3(1 3
2).
3
3 3 2,
三、小结
无穷限的反常积分
f ( x)dx
b
f
( x)dx
a
f
( x)dx
无界函数的反常积分（瑕积分）ab f ( x)dx
（注意：不能忽略内部的瑕点）
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
思考题
积分
1
0
ln x x1
时，称反常积分发散.
设函数 f ( x)在区间[a, b]上除点c (a c b)外连
续，点c为 f ( x)的瑕点. 如果两个反常积分
c
a
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
t
b
lim t c
f ( x)dx lim
限为函数 f ( x) 在无穷区间(,b]上的反常积
分，记作 b
f
( x)dx.
b
f ( x)dx
lim a
b f ( x)dx
a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在 时，习惯上称之为反常积分发散.
设函数 f ( x)在区间(,)上连续,如果
反常积分 0
f
(
x
)dx
和
0
f
( x)dx都收敛，则称
dx
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
ln x x1
dx
可能的瑕点是
x
0,
x1
lim ln x lim 1 1, x 1 不是瑕点, x1 x 1 x1 x
1
0
ln x dx 的瑕点是
x1
x
0.
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
第四节 反常积分
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 三、小结 思考题
一、无穷限的反常积分
定义 1 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷区间[a,) 上的反常积
分，记作 a
f
( x)dx.
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
3
例7 计算反常积分
dx 2.
0 ( x 1)3
x 1瑕点
解
3 dx
0
2
( x 1)3
1
3
( )
dx
2
0 1 ( x 1)3
1 dx
t dx
0
2
( x 1)3
lim t 1
0
2
( x 1)3
3 dx
1
2
( x 1)3
lim t 1
3 dx
t
2
( x 1)3
3 dx
a
t c
t
f ( x)dx ；
否则，就称反常积分
b
a
f
(
x)dx
发散.
以上积分称为瑕积分.
a dx
例4 计算反常积分 0
a2 x2
解
lim 1 ,
xa a2 x2
x a为瑕点.
(a 0).
a dx
t dx
lim
a x 0
2
2 ta 0 a2 x2
lim
ta
arcsin
x a
t 0
类似地，设函数 f ( x)在区间[a,b)上连续，
t
点b
为
f
(
x)的瑕点.若极限
lim
t b
a f ( x)dx 存在，
则称此极限为函数 f ( x)在区间[a,b)上的反常
积分，记作
b
t
a
f ( x)dx lim t b
a f ( x)dx .
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在
a
b a
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在
时，函数 f ( x)在区间[a,)上的反常积分
a
f
( x)dx就没有意义，习惯上称为反常积分发
散，此时 a
f
( x)dx不再表示数值了.
类似地，设函数 f ( x)在区间(,b]上连续，取
a
b，如果极限 lim a
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极
2
.
例2
计算反常积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
cos
2
1.
例3
证明反常积分 1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.