人教版九年级数学下册《相似三角形》同步检测4附答案【最新】
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测4附答案一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD 交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：29．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC 于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= _________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB 的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n 的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD 于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．4387773专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．4387773专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．4387773分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD 交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．4387773专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2 则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4387773分首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求析：出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．4387773专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．4387773专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL 可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．4387773点：专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC 于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．4387773专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．4387773专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．4387773分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．4387773专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．4387773专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．4387773专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB 的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．4387773专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．4387773专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n 分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．4387773 专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A n B n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．4387773。
人教版九年级下册数学《相似三角形》练习题及答案
27.2 相似三角形一、选择题1..下列语句正确的是( )A.△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似;B.在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.根据图中尺寸（AB ∥A 1B 1）,那么物象长（A 1B 1的长）与物长（AB 的长）之间函数关系的图像大致是（ ）3.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（ ）（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD（C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)4．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ）（A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对5.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm6. 已知⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′，且BC ：B ′C ′= AC ：A ′C ′，若AC=3，A ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是（ ）。
A. 2:3B. 3:2C. 5:3D. 3:57.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是 （ ）A 、∠A=∠'C =∠'B B 、''''C A B A AC AB =，且∠A=∠'C C 、''''C A AC B A AB =且∠A=∠'B D 、以上条件都不对8. 已知一次函数y=2x+2与x 轴y 轴交于A 、B 两点，另一直线y=kx+3交x 轴正半轴于E 、交y 轴于F 点，如⊿AOB 与E 、F 、O 三点组成的三角形相似，那么k 值为（ ）A 1.5B 6C 1.5或6D 以上都不对二、填空题9. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形 （填相似或不相似）10. 在1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm ，则福州到北京的实际距离为 km 。
人教版九年级下册数学 27.2相似三角形 同步练习(含解析)
27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》同步练习及答案-人教版
九年级数学下册《第二十七章相似三角形》同步练习及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图DE∥BC,AD：DB=2：3,EC=6，则AE的长是（）A．3 B．4 C．6 D．102．如图，下列不能判定△ABD与△ACB相似的是（）A．BDBC =ABACB．ADAB=ABACC．∠ABD=∠ACB D．∠ADB=∠ABC3．如图，已知△ABC，点D是BC边中点，且∠ADC=∠BAC若BC=6，则AC=( )A．3 B．4 C．4√2D．3√24．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝( )A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m6．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为( )A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm7．如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝√10，AC=3√5，BC＝7，则⊙O的半径是（）A．5√22B．2√105C．2√55D．3√1028．如图，路灯距地面8m，身高 1.6m的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（）A．变长 3.5m B．变长 2.5m C．变短 3.5m D．变短 2.5m 二、填空题9．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，则DFEF的值为.10．如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上DE⊥AC,BC⊥AC垂足分别为E，C．若测得AE=1m,DE=1.5m,CE=5m则楼高BC=m．BC=2,D在AC上，且∠APD=∠B，则11．如图，在等腰△ABC中AB=AC=9,BP=13CD=．12．如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18米的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到点C ，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC 是1.6米，则高楼MN的高度是.13．如图，BC是⊙O的切线，D是切点.连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C.若BD＝8，BE＝4，则AC＝.三、解答题14．已知如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边上的高，求证：CD 2＝AD •BD.15．如图，已知 △ABC ∽△ADE ，求证： △ABD ∽△ACE .16．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，CD ⊥AB ，垂足为P ，求证：PC 2＝PA ·PB17．如图，D ，E ，F 是△ABC 边上的点ED ∥BC,∠ABC =∠EDF .（1）求证：∠A =∠CDF ；（2）若D 是AC 的中点.直接写出S △CDFS △ABC 的值.18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB⌢的中点，过点C 作弦BD 的垂线，垂足为E.（1）求证：CE =DE ；（2）若AD=DE=1，求AB的长.参考答案1．B2．A3．D4．A5．A6．C7．A8．C9．8510．911．8912．19.2米13．9.614．证明：∵CD是斜边AB上的高. ∴∠ADC＝∠CDB＝90°又∵在Rt△ABC中∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCD＝90°∴∠A+∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCD∴△ACD∽△CBD∴ADCD =CDBD∴CD2＝AD•BD.15．证明：∵△ABC∽△ADE∴ABAD =ACAE∠BAC=∠DAE∴ABAC =ADAE∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC∴∠BAD=∠CAE∴△ABD∽△ACE .16．证明：连接AC，BD∵∠A=∠D，∠C=∠B∴△APC∽△DPB.∴CPBP =APDP∴CP•DP=AP•BP.∵AB是直径，CD⊥AB∴CP=PD.∴PC2=PA•PB.17．（1）证明：∵ED∥BC∴∠AED=∠ABC∵∠ABC=∠EDF∴∠AED=∠EDF∴DF∥AB∴∠A=∠CDF（2）解：∵DF∥AB，且D为AC中点∴∠A=∠CDF，∠CFD=∠B∴△CDF∽△CAB∴CDAC =CFCB=DFAB∵D为AC中点∴S△CDFS△CAB =(CDAC)2=(12)2=1418．（1）证明：连接OD、DC、OC，OC交BD于点F，如图所示∵CE⊥BD，C是AB⌢的中点∴∠CEF=90°，∠COB=90°∵∠4=∠5∴∠3=∠2；由题意知OD=OB=OC∴∠1=∠2，∠ODC=∠OCD ∴∠1=∠3∴∠EDC=∠ECD∴CE=DE.（2）解：由（1）知CE=DE∵AD=DE=1∴AD=DE=CE=1过点O作OG∥AD，如图所示∴△OGB∼△ADB∴BOBA =OGAD=BGBD=12解得OG=12∵AB是圆的直径∴AD⊥BD∴OG⊥BD∵CE⊥BD∴OG ∥CE∴△OGF ∼△CEF∴GF EF =OG CE =121=12设FG =x ，EF =2x 则BG =GD =3x +1 由（1）知∠ECF =∠OBG ，且∠CEF =∠BGO =90° ∴△CEF ∽△BGO∴BG CE =OG EF ，即3x+11=122x解得x =16或x =−12（舍去）∴BD =2(3x +1)=3在Rt △ADB 中根据勾股定理： AB =√AD 2+BD 2=√12+32=√10.。
人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试(含答案及解析)
人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）1 / 17相似三角形的判定测试时间：100分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 如图，在 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：：；；； ，能满足 与 相似的条件是A. B.C. D.2. 下列 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与 相似的是A. B. C. D.3. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A 、B 、C 、D 四个图中的三角形 阴影部分 与 相似的是A. B. C. D.4. 如图，在 中， ， ，点D 在AC 上，且，如果要在AB 上找一点E ，使 与 相似，则AE 的长为A. B. C.3D.或5. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，且 ，将 绕点A 顺时针旋转 ，使点E落在点处，则下列判断不正确的是A. 是等腰直角三角形B. AF 垂直平分C. ∽D. 是等腰三角形6.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断 ∽ 的是A.B.C.D.7.如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：，，，，，使与一定相似的有A. B. C. D.8.如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是A. 4或B. 3或C. 2或4D. 1或69.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A. B.C. D.10.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且于点F，则下列结论中错误的是A.B.C. 图中与相似的三角形共有4个D.人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）3 / 17二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 如图，已知 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，， ， ，当AP 的长度为______ 时，和 相似．12. 如图，在 中， 、E 分别为边AB 、AC 上的点 ， ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：______，可以使得 与 相似 只需写出一个13. 在 中， ， ，点D 在边AB 上，且 ，点E 在边AC 上，当______时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 相似．14. 如图， ， ， ， ， ，点p 在BD 上移动，当 ______ 时， 和 相似．15. 如图，在 中，点E ，F 分别在AB ，AC 上，若∽ ，则需要增加的一个条件是______ 写出一个即可16. 如图， 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上一点，连接 请你添加一个条件，使 ∽ ，则你添加的这一个条件可以是______ 写出一个即可 ．17. 如图所示，中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且满足 ，则 与的面积比是______ ．18. 已知在 中， ， ，E 是边AB 上一点，且 ，若F 是AC 边上的点，且以A 、E 、F 为顶点的三角形与 相似，则AF 的长为______．19. 如图，在 中， ， ， ，点M 在AB 边上，且 ，过点M 作直线MN 与AC 边交于点N ，使截得的三角形与原三角形相似，则______ ．20.如图，在正方形网格上有6个三角形：，，，，，．在 ～ 中，与相似的三角形的个数是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．求证： ≌ ；求证： ∽ ．22.如图，在中，D、E分别是AB、AC上的点，，，AD：：3，的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．请你直接写出图中所有的相似三角形；求AG与GF的比．23.如图，已知，，垂足分别为B、D，AD与BC相交于点E，，垂足为F，试回答人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）5 / 17图中， ∽ ______ ， ∽ ______ ， ∽ ______ ．24. 在图中， 的内部任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并在AO 、BO 、CO 这三条线段的延长线上分别取点D 、E 、F ，使 ，画出 你认为与 相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25. 如图所示， ， ， ，点P从点B 出发，沿BC 向点C 以 的速度移动，点Q从点C 出发沿CA 向点A 以 的速度移动，如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发，过多少时，以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与 相似？26. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分 ， ， ，E 为AB的中点．求证： ∽ ；与AD 有怎样的位置关系？试说明理由；若 ， ，求 的值．人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）7 / 17答案和解析【答案】1. D2. B3. B4. D5. D6. A7. A8. B 9. C 10. C11. 4或912. ，或 13. 或14. 或12cm 或2cm15.16.17. 1：918. 或19. 4或620. 321. 证明： 正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ，， ， ，，，在 和 中，，≌ ；延长BA 到M ，交ED 于点M ，≌ ，，即 ，，，，，，∽ ．22. 解： ∽ ， ∽ ， ∽ ；， ， ，又 ，∽ ，，为角平分线，∽ ，，．23. DAB；BCD；DCE24. 解：相似如图，，，∽ ，，同理，∽ ，它们也具有位似形的特征．25. 解：设经过y秒后， ∽ ，此时，．，，，． ∽ ，，设经过y秒后， ∽ ，此时，．．∽ ，所以，经过秒或者经过后两个三角形都相似26. 解：平分，，又，：：AB，∽ ；，理由： ∽ ，，又为AB的中点，，，，，；，，，人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析），，，∽ ，，．【解析】1. 解：当，，所以 ∽ ；当，，所以 ∽ ；当，即AC：：AC，所以 ∽ ；当，即PC：：AB，而，所以不能判断和相似．故选D．根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．2. 解：根据勾股定理，，，所以，夹直角的两边的比为，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：B．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．3. 解：小正方形的边长为1，在中，，，，A中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故A错误；B中，一边，一边，一边，有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似故B正确；C中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故C错误；D中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故D错误．故选：B．根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．本题考查了相似三角形的判定识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角9 / 17的度数、对应边的比本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．4. 解：是公共角，当，即时， ∽ ，解得：；当，即时， ∽ ，解得：，的长为：或．故选D．由是公共角，分别从当，即时， ∽ 与当，即时，∽ ，去分析求解即可求得答案．此题考查了相似三角形的判定注意分类讨论思想的应用．5. 解：将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，，，是等腰直角三角形，故A正确；将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，，四边形ABCD是正方形，，，，，，，垂直平分，故B正确；，，，，∽ ，故C正确；，但不一定等于，不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．由旋转的性质得到，，于是得到是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，推出，于是得到AF垂直平分，故B正确；根据余角的性质得到，于是得到 ∽ ，故C正确；由于，但不一定等于，于是得到不一定是等腰三角形，故D错误．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．6. 解：，当或时， ∽ ；人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）11 / 17 当 即 时， ∽ ．故选：A ．根据相似三角形的判定定理进行判定即可．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．7. 解： ， ，∽ ， 正确；， ，∽ ， 正确；， ，∽ ， 正确；由 ，或 不能证明 与 相似．故选：A ．由两角相等的两个三角形相似得出 正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出 正确；即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8. 解：根据题意得：设当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是x 秒，若 ∽ ，则AD ： ：AC ，即x ： ：12，解得： ；若 ∽ ，则AD ： ：AB ，即x ： ：6，解得： ；所以当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与 相似时，运动的时间是3秒或 秒． 故选B ．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，∽ 和 ∽ ，可求运动的时间是3秒或 秒．此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．9. 解：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C ．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 10. 解：A 、 ，∽ ，，，，故A正确，不符合题意；B、过D作交AC于N，，，四边形BMDE是平行四边形，，，，于点F，，，，，故B正确，不符合题意；C、图中与相似的三角形有，，，，共有5个，故C错误．D、设，由 ∽ ，有．，故D正确，不符合题意．故选C．由，又，所以，故A正确，不符合题意；过D作交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由 ∽ ，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求的值，故D错误，符合题意．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．11. 解：当 ∽ 时，，，解得：，当 ∽ 时，，，解得：，当AP的长度为4或9时，和相似．故答案为：4或9．人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）分别根据当 ∽ 时，当 ∽ 时，求出AP的长即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．12. 解：，或．理由：，，∽ ，当时， ∽ ，∽ ．当时，，∽ ．故答案为，或．结论：，或根据相似三角形的判定方法一一证明即可．本题考查相似三角形的判定和性质平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13. 解：当时，，∽ ，此时；当时，，∽ ，此时；故答案为：或．若A，D，E为顶点的三角形与相似时，则或，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论．14. 解：由，，，设，则，若 ∽ ，则，即，变形得：，即，因式分解得：，解得：，，所以或12cm时， ∽ ；若 ∽ ，则，13 / 17即，解得：，，综上，或12cm或时， ∽ ．故答案为：或12cm或2cm．设出，由表示出PD的长，若 ∽ ，根据相似三角形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．15. 解：当时， ∽ ．故答案为．利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．16. 解：，当时， ∽ ．故答案为．利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．17. 解：，，又，∽ ，与的面积比：9，故答案为：1：9．由已知条件易证 ∽ ，根据相似三角形的性质即可求出与的面积比．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键．18. 解：，以A、E、F为顶点的三角形与相似，有 ∽ 和 ∽ 两种情况：如图1：人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）当时， ∽ 时，即，解得：；如图2：当时， ∽ 时，即，解得：．所以或．故答案为或．根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，分情况讨论是解决本题的关键．19. 解：如图1，当时，则 ∽ ，故，则，解得：，如图2所示：当时，又，∽ ，，即，解得：，故答案为：4或6．分别利用当时以及当时，得出相似三角形，再利用相似三角形的15 / 17性质得出答案．此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．20. 解：，，，，，，，，，，，，，，，与不相似；，，，∽ ；，，，∽ ；，，，∽ ；，，，与不相似．故答案为3．先利用勾股定理计算出，，，，，，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断，，，，与是否相似．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似也考查了勾股定理．21. 由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．22. 可得到三组三角形相似；先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明 ∽ ，则，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明 ∽ ，然后利用相似比和比例的性质求的值．本题考查了相似三角形的判断：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．23. 解：，，，，，，，，∽ ；，，∽ ；，，人教版数学九年级下27.2《相似三角形的判定》测试（含答案及解析）∽ ，故答案为：DAB；BCD；DCE．由AB垂直于BD，CD垂直于BD，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，同理EF与AB平行，且与CD平行，根据EF与AB平行，利用两直线平行同位角相等得到两对角相等，确定出三角形DEF与三角形DAB相似；同理得到三角形BEF与三角形BCD相似；由两直线平行得到两对内错角相等，得到三角形ABE与三角形DEC相似．此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24. 由，可得 ∽ ，再由相似得出对应边成比例，即可得出与相似，由于它们有位似中心点O，所以它们也具有位似形的特征．本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的问题，应熟练掌握位似与相似之间的联系及区别．25. 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况： ∽与 ∽本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型．26. 根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；根据，，即可得出，进而得到；先根据，，判定 ∽ ，即可得出，进而得到．本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．17 / 17。
人教版九年级数学下册《相似三角形》同步检测及答案【新材料】
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步检测2附答案一．选择题1．下列图形不一定相似的是（ ）．A ．有一个角是120°的两个等腰三角形;B ．有一个角是60°的两个等腰三角形C ．两个等腰直角三角形;D ．有一个角是45°的两个等腰三角形2．如图1，已知△ABC ，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点．AD=3cm ，AB=8cm ，AC=•10cm ．若△ADE ∽△ABC ，则AE 的值为（ ）．A ．1541215125...41554512cmB cm cmC cm cmD cm 或或(1) (2) (3)3．满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有（ ）．①∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ′=60°，A ′B ′=3cm ，A ′C ′=10cm②∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°，DE=2cm ，DF=3cm③∠C=∠E=30°，AB=8cm ，BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cm④∠A=∠A ′，且AB ·A ′B ′=AC ·A ′B ′4．如图2,点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（ ）．A ．∠ADC=∠ACB B ．∠ACD=∠BC ．.DC AD AD AC D BC AC AC AB== 5.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为 （ -）A.、0.36π米2 B 、0.81π米2 C 、2π米2 D 、3.24π米26．（山东）如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形（阴影部分）•与△ABC 相似的是（ ）．二、填空题7．已知三角形的三条边长分别为1，2，3，请你写出另外三条线段长，•使这三条线段构成的三角形与已知三角形相似：________，________，_______．8．如图3，若AC 2=CD ·CB ，则△_______∽△_______，∠ADC=________．(4) (5) (6) (7)9．如图4，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AD=8，CD=6，则当BD=______时，△ADC•∽△CDB ，∠ACB=_______°10．如图5，已知AC 与BD 相交于点O ，且AO ：OC=BO ：OD=2：3，AB=5，则CD=______．11．如图6，等腰三角形ABC 中，∠A=36°，若BC 2=CD ·CA ，则∠DBC=•_____•°，•图中有_____个等腰三角形．12．如图7，为测得一养鱼池的两端A ，B 间的距离，可在平地上取一直接到达A 和B•的点O ，连接AO ，BO 并分别延长到C ，D ，使OC=12OA ，OD=12OB ，如果量得CD=30m ，•那么池塘宽AB=________． 三．解答题13．如图，已知△ABC 中，AC=10，AB=16，问在AB 边上是否存在这样的点P ，•使△APC ∽△ACB ，若存在，求AP 的长；若不存在，请说明理由．14．如图，是利用木杆撬石头的示意图．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起12cm ，已知杠杆的动力臂OA 与阻力臂OB 之比为5：1，求要使这块石头滚动，至少要将杠杆A 端下压多少厘米．15．已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．16.如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x.（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当31=∆∆ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；17.在△ABC 中，AE ∶EB=1 ∶2，EF ∥BC ，AD ∥BC 交CE 的延长线于D ，求S △AEF ∶S △BCE 的值.18.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？答案一．选择题1．D 点拨：若45°角在一个三角形中做顶角，在另一个三角形中做底角，则这两个三角形形状不同．2．C 点拨：两个三角形有公共角，只须满足两边对应成比例，则对应边有两种可能．3．A 点拨：（2），（3）不满足位置关系．4．C 点拨：不能满足位置关系．5．B6. B二．填空题7.答案不唯一，略8．△ACD∽△BCA ∠BAC9．9290°10．7.5 点拨：由题意△AOB∽△COD，∴23 ABCD=．11．36° 3个12．60m三．解答题13．存在，若使△APC∽△ACB，则应满足：10025164 AP ACAPAC AB=∴==,．14．15OBOA=，∴12cm×5=60cm，至少要将杠杆A端下压60cm．15.存在，△ACD∽△ECA，设AB=a，则，CE=2a，22.AE CDCE ACAC CDCE AC∴===∴=又∵∠ACE=∠ECA，∴△ACD∽△ECA．16. （1）x=730s (2)92 17.61 18、（1）48 mm （2）宽是7240mm ，长7480mm.。
人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定 同步练习(附答案)
27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。
2021-2022学年人教版九年级数学下册《27-2相似三角形》同步达标测评(附答案)
2021-2022学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步达标测评（附答案）一．选择题（共15小题，满分45分）1．已知△ABC与△DEF相似，又∠A＝40°，∠B＝60°，那么∠D不可能是（）A．40°B．60°C．80°D．100°2．如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．AC2＝AD•AB D．＝3．如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（）A．B．C．或D．无法确定4．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，如果△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，BC＝8cm，那么△ADE的周长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm5．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD6．下列结论中正确的是（）A．有两条边长比值是3：4的两个直角三角形相似B．一个角相等的两个等腰三角形相似C．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似7．下列说法中不正确的是（）A．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似B．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等C．如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似D．如果两个三角形相似，那么它们一定能互相重合8．如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACB＝∠D B．∠ACD＝∠ABC C．D．9．如图△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD•BC＝DE•AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（）A．四边形AECD的周长是20B．△ABC∽△FECC．∠B+∠ACD＝90°D．EF的长为11．如图，F为▱ABCD的边AD上一点，射线BF交CD的延长线于点E，则下列结论正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝12．如图，AD∥CB，E、F分别在AB、CD上，且EF∥CB，若＝，CD＝15，则线段DF的长为（）A．3B．6C．9D．1013．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB及BA延长线上一点，连接CE、DF 相交于点H，CE交AD于点G，下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝14．如图．四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G、H，则下列结论不一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝15．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则＝（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分30分）16．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A′D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝8，则△ABC 与△A'B'C′的周长比等于．17．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为．18．已知△ABC∽△A'B'C'，顶点A、B、C分别与顶点A'、B'、C'对应，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的中线，如果BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，那么A'D'的长是．19．如果两个相似三角形的周长之比为1：4．那么这两个三角形对应边上的高之比为．20．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是．21．如图，已知BD⊥AB于点B，AC⊥AB于点A，且BD＝4，AC＝3，AB＝a，在线段AB 上找一点E，使△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且只有两个，则a的值是．22．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）23．如图1，等边△ABC的顶点A在直角△MON的斜边MN上，顶点B与O重合，C在OM上．如图2，从O点出发在线段OM上平移等边△ABC，在开始平移△ABC同时，点P从△ABC的顶点B出发，沿线段BA运动，当点P运动到A时即停止运动，△ABC 也随之停止平移．边AB，AC分别与线段MN交于点E，F，已知∠M＝30°，∠MON＝90°，OM＝6，点P的移动速度是△ABC移动速度的2倍．当△PEF∽△NOM时，则线段OB的长为．24．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，AE：AD＝2：3，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为．25．如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB＝3，CD ＝6，那么EF的长是．三．解答题（共5小题，满分45分）26．已知：如图，Rt△ABC∽Rt△ACD，若AC＝3，BC＝4，求AD．27．两个相似三角形对应边的比是2：3．它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．28．如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB∽△AEC．29．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD ∽△CBA．30．已知，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，，点G是直线BC上一点，（1）如图，若AD＝6，连接BD，AG，且AG⊥BD于点E，①求对角线BD的长；②线段BG的长为；（2）连接AG，作BF⊥AG，交直线AD于点F，当时，请直接写出线段BG的长．参考答案一．选择题（共15小题，满分45分）1．解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠A＝∠D＝40°或∠B＝∠D＝60°或∠C＝∠D＝180°﹣40°﹣60°＝80°，故选：D．2．解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，＝，，∴AC2＝AD•AB，∴A、B、C成立，不符合题意；D错误，符合题意，故选：D．3．解：∵相似三角形的对应边之比为3：7，∴它们的对应中线的比为3：7，∵其中一个三角形的一条中线为2，而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，∴另一个三角形对应的中线可能为，也可能是．故选：C．4．解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，∴其周长比为1：4，∵BC＝8cm，三角形ABC为等边三角形，∴△ABC的周长为24cm，∴△ADE的周长为6cm．故选：C．5．解：∵△ABE∽△CBA，∴AB：BC＝BE：AB，∴AB2＝BE•BC，所以A选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，∴∠ADE＝∠BAC，∵∠ADC＝∠BAC，∴△CAD∽△CBA，∴CD：AC＝AD：AB，即CD•AB＝AD•AC，所以B选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，∴△CAD∽△ABE，∴AD：BE＝CD：AE，即AD•AE＝CD•BE，∵AD＝AE，∴AE2＝CD•BE，所以C选项的结论正确；∵△CBA∽△ABE，∴AC：AE＝CB：AB，∴AB•AC＝AE•CB，∵AE2＝CD•BE，AE≠CB，∴AB•AC≠BE•CD，所以D选项的结论不正确．故选：D．6．解：A、错误．比如，一个直角三角形的直角边为3，4，另一个直角三角形的一条直角边为3，斜边为4，这两个直角三角形不相似；B、错误．当这个角一个是等腰三角形的顶角，一个是等腰三角形的底角，两个等腰三角形不相似；C、错误；边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形不一定相似；D、正确．两个等边三角形相似；故选：D．7．解：A、如果两个三角形全等，则相似比为1，那么这两个三角形相似，故本选项不符合题意．B、如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等，故本选项不符合题意．C、如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似，故本选项不符合题意．D、如果两个三角形相似，它们不一定全等，则它们不一定能互相重合，故本选项符合题意．故选：D．8．解：A、当∠ACB＝∠D时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；D、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；故选：C．9．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，故选：B．10．解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC＝5，∴四边形AECD是菱形，∴菱形AECD的周长是20，故A选项正确，不符合题意；∵四边形AECD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠B+∠ACD＝90°，故C选项正确，不符合题意；如图，过A作AH⊥BC于点H，∵S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，∴AH＝＝，∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH＝．故D选项正确，不符合题意；在Rt△EFC中，EF＝，EC＝5，∴FC＝＝，在Rt△CAB中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∵＝，＝，＝，∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．故选：B．11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，∴，，，故选项A、C、D错误；∵△ABF∽△DEF，△EFD∽△EBC，∴△ABF∽△CEB，∴，故选项B正确；故选：B．12．解：∵AD∥CB，EF∥CB，∴AD∥EF∥CB，∴＝＝，∴＝，即＝，∴DF＝CD＝×15＝6．故选：B．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEG∽△BEC，△EFH∽△CDH，△AEG∽△DCG，∴＝，故A正确，不符合题意；＝，故B错误，符合题意；＝，故C正确，不符合题意；∵＝，∴+＝+，∴＝，∵AD＝BC，∴＝，∴＝，故D正确，不符合题意．综上，只有B符合题意．故选：B．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∴△EAG∽△EBF，△EAG∽△HDG，∴，，故选项A、B成立，∵CH∥BA，∴，∴，故选项C正确，∵AG∥AC，CH∥BA，∴，，而无法证明是否成立，故选项D不一定成立，故选：D．15．解：∵AD＝3，BD＝4，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝．故选：D．二．填空题（共10小题，满分45分）16．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝8，∴ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：8＝5：4．故答案为：5：4．17．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，故答案为：1：3．18．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，∴BC：B′C′＝AD：A′D′，∴2.4：A′D′＝3：2，∴A'D'的长是1.6，故答案为：1.6．19．解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，∴这两个三角形的相似比为1：4，∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；故答案为：1：4．20．解：∵∠C＝∠BCD，∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．21．解：∵BD⊥AB于点B，AC⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，当∠ACE＝∠BDE时，△ACE∽△BDE，∴，∴AE＝BE①，当∠ACE＝∠BED时，△ACE∽△BED，∴，即AE•BE＝AC•BD＝3×4＝12②，由①②可得：，解得：BE＝4，∴AE＝3，∴AB＝AE+BE＝7，即a＝7，当AE＝3时，BE＝4时，两个三角形相似，当AE＝4时，BE＝3，两个三角形全等，符合题目要求，设AE＝x，则BE＝a﹣x，∴x：4＝3：（a﹣x），整理得：x2﹣ax+12＝0，方程有唯一解时，△＝a2﹣48＝0，解得：（舍去），∴a＝4，当a＝4时，AE：BE＝3：4，两个三角形相似，AE＝BE＝2时，两个三角形相似，同样是两个点可以满足要求，综上所述，△BDE与△ACE相似，若这样的点E有且仅有两个，则a的值为7或4，故答案为：7或4．22．解：∵∠B＝∠B（公共角），∴可添加：∠C＝∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C＝∠BAD．23．解：如图1中，设AB＝AC＝BC＝a，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACB＝∠M+∠CAM，∠M＝30°，∴∠M＝∠CAM＝30°，∴AC＝CM＝a，∴OM＝2a，即2a＝6，∴a＝3，如图2﹣1中，设OB＝m，则PB＝2m，∵△PEF∽△NOM，∴∠EPF＝∠N＝90°﹣30°＝60°，∴∠APF＝∠ABC＝60°，∴PF∥BC，∴∠AFP＝∠ACP＝60°，∴△APF的等边三角形，∵∠M+∠EBM＝90°，∴∠FEP＝90°，∴FE⊥AP，∴AE＝EP，∴BM＝6﹣m，∴BE＝BM＝（6﹣m），∴AE＝EP＝（6﹣m）﹣2m，∵AP+PB＝3，∴6﹣m﹣4m+2m＝3，解得m＝1，∴OB＝1，当点P与A重合时，△PEF∽△NOM，∵BP＝2OB，∴OB＝，综上所述，满足条件的OB的值为1或．24．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE：AD＝2：3，∴，∴，又∵AC＝20，∴AF＝8，故答案为：8．25．解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝．∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，即＝，∴EF＝2．故答案为：2．三．解答题（共5小题，满分45分）26．解：∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝5，∵Rt△ABC∽Rt△ACD，∴，即：，解得：AD＝，∴AD的长为．27．解：设两个三角形的面积分别为x，y，则有，解得x＝20，y＝45答：较小三角形面积为20．28．证明：∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，∴，∴△ADB∽△AEC．29．证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，∴．∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA．30．解：（1）①如图1，过点D作DH⊥BC交BC延长线于H，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，CD∥AB，∴∠DCH＝∠ABC＝45°，在Rt△CHD中，CH＝DH＝CD＝3，∴BH＝BC+CH＝9，在Rt△BHD中，BD＝＝＝3；②∵AG⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝90°，由①知，BD＝3，设BE＝x，则DE＝BD﹣BE＝3﹣x，在RtAEB中，AE2＝AB2﹣BE2＝（3）2﹣x2＝18﹣x2，在RtAED中，AE2＝AD2﹣DE2＝62﹣（3﹣x）2＝﹣x2+6x﹣54，∴18﹣x2＝﹣x2+6x﹣54，∴x＝，∴BE＝，DE＝3﹣＝，四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△BEG∽△DEA，∴，∴，∴BG＝4，故答案为：4；（2）①当点F在点A左侧时，如图2，过点A作AM⊥BC于M，过点B作BN⊥AD于N，∴∠ANB＝∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∠ABC＝45°，AB＝3，∴BM＝AM＝AB＝3，∵AD∥BC，∴∠MBN+∠ANB＝180°，∴∠MBN＝90°，∴∠FBN+∠MBH＝90°，∠F+∠FBN＝90°，∴∠F＝∠HBG，∵∠HBG+∠H＝∠GAM+∠AMB，∴∠HBG+90°＝∠GAM+90°，∴∠HBG＝∠GAM，∴∠F＝∠GAM，∵∠BNF＝∠GMA，∴△BNF∽△GMA，∴，∴＝，∴GM＝，∴BG＝BM﹣GM＝3﹣＝，②当点F在点A右侧时，如图3，同①的方法得，GM＝，∴BG＝BM+GM＝3+＝，即线段BG的长为或．。
人教版九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质同步测试及答案【新】
相似三角形的性质1. 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( D )A ．4∶3B ．3∶4C ．16∶9D ．9∶162. 如图27－2－41，AB ∥CD ，AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D )图27－2－41A.25B.32C.49D.233．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( A )A ．48 cmB ．54 cmC ．56 cmD ．64 cm4．如图27－2－42，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABCC.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∴AD AE ＝AB AC，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误．5．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．6 3【解析】 作DF ⊥BC 于F ，∵边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，∴DE ＝2，BD ＝2，∠B ＝60°，∴BF ＝1，DF ＝BD 2－BF 2＝22－12＝3，∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE ＋BC )＝12×3×(2＋4)＝3 3.故选B. 6．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为( A )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6【解析】 ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∴AB DE ＝AC DF＝2，又∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC 的周长为16，面积为12，∴△DEF 的周长为16×12＝8，△DEF 的面积为12×14＝3. 7. 如图27－2－44，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )图27－2－44A ．1∶ 3 B. 1∶2C. 1∶3D. 1∶48．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，若△ABC 的周长为6，则△A ′B ′C ′的周长为__8__.【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4，∵△ABC 的周长为6，∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43＝8. 9．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__．【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1，的面积之比为9∶1.10．如图27－2－45，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为__1∶9__．11．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响，如图27－2－46是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A 看到坑底S (甲同学的视线起点C 与点A 、点S 三点共线)．经测量：AB ＝1.2米，BC ＝1.6米． (圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1米)解：如图，取圆锥底面圆圆心O ，连接OS ，OA ， 则∠O ＝∠ABC ＝90°，OS ∥BC ，∴∠ACB ＝∠ASO ，∴△SOA ∽△CBA ，∴OS BC ＝OA AB ，即OS ＝OA ·BC AB. ∵OA ＝34.542π≈5.5，BC ＝1.6，AB ＝1.2， ∴OS ≈5.5×1.61.2≈7.3， ∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．12. 已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm 2. (1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积．解：(1)∵DE AB ＝23， ∴△DEF 的周长＝12×23＝8(cm)； (2)∵DE AB ＝23， ∴△DEF 的面积＝30×(23)2＝1313(cm 2)．13．如图27－2－47，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于O ，AD ＝1，BC ＝4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于( D )图27－2－47A.12B.14C.18D.11614．如图27－2－48，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积．【解析】 (1)证明EF 为△ABD 的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 解：(1)证明：∵DC ＝AC ，∴△ACD 为等腰三角形．∵CF 平分∠ACD ，∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC .(2)由(1)得EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD . ∵EF BD ＝12，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4， ∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝ 3∶4.∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92. 15．[2013·泰安]如图27－2－49，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．图27－2－49(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)求证：CE ∥AD ； (3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB. ∴AC 2＝AB ·AD .(2)证明：∵E 为AB 的中点， ∴CE ＝12AB ＝AE ， ∠EAC ＝∠ECA .∵AC 平分∠DAB ，∴∠CAD ＝∠CAB .∴∠DAC ＝∠ECA .∴CE ∥AD .(3)∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠CEF ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AF CF.∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×6＝3. 又∵AD ＝4，由AD CE ＝AF CF 得43＝AF CF， ∴AF AC ＝47. ∴AC AF ＝74.16. 已知：如图27－2－50，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F .求证：BP 2＝PE ·PF .图27－2－50证明： 连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴．∴PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP .∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP (两直线平行，内错角相等)，∴∠PCE ＝∠PFC .又∵∠CPE ＝∠EPC ，∴△EPC ∽△CPF . ∴PC PE ＝PF PC(相似三角形的对应边成比例)．∴PC 2＝PE ·PF .∵PC ＝BP ，∴BP 2＝PE ·PF .17. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O 是△ABC 的重心(如图1)，连结AO 并延长交BC 于D ，证明：AO AD ＝23； (2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图2)，O 是AD 上一点，且满足AO AD ＝23，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB ，AC 相交于G ，H (均不与△ABC 的顶点重合)(如图3)，S 四边形BCHG .S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究S 四边形BCHG S △AGH的最大值．图27－2－51解：(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点E ，连接DE ，则DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴△EDO ≌△BAO ，∴DO AO ＝DE AB ＝12，∴AO AD ＝23.(2)是，证明：连接BO 并延长交AC 于点E ，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ，则△AOE ∽△ADF ， ∴AE AF ＝AO AD ＝23，∴AE ＝2EF ，又∵△CDF ∽△CBE ，∴CF CE ＝CD CB ＝12， ∴EF ＝FC ，∴AE ＝CE ，即点E 为AC 中点，∴点O 为△ABC 的重心．(3)54.。
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。
人教版九年级数学下册相似三角形的判定同步练习及答案【新改】
相似三角形的判定
1．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（）
2. 如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若
OA﹕OC＝OB﹕OD＝1﹕2，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（）
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3. 如图，在正方形网格上的三角形①②③中，与△ABC相似的三角形有．(填写序号)
4. 在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D是BA延长线上的一点，且AD＝8．在CA的延长线上取一点E，
要使得以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为．
5. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：△DEF∽△CBA．
参考答案 1．C 2．B 3．①② 4．10或6.4
5． 证明：∵点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∴12DE BC =，12DF AC =，1
2
EF AB =， ∴DE DF EF
BC AC AB
==
，∴△DEF ∽△CBA ．。