(经典整理)函数的图像变换与抽象函数问题
函数图象变换及应用抽象函数汇总
函数图象变换及应用一个函数到另一个函数的变换，（两个函数的对称关系）1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（实际上y = f (|x|)是偶函数）(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
思考：函数y = f (4+2x)与y = f (2+2x)的图象关系?✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m1倍得到。
（如果0<m<1，实际上是将f (x)的图象伸展） (2) 函数y = mf (x) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的m 1倍得到。
用十张动态图片总结高中数学函数图像变换问题，拿给学生看看
用十张动态图片总结高中数学函数图像变换问题，拿给学生看看“风雨送春归，飞雪迎春到。
已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏。
”高中数学的函数本身很抽象，函数的图像也是重中之重，而函数图像变换令很多人苦不堪言，本文对所有函数图像变换进行总结归纳，用动态的形式展现函数图像变换之奥妙，看到以下函数图像动态变换过程，有助于学生理解图像变换之精髓！一、平移变换上+下-将函数y=f（x）的图像向上平移a个单位，即可得到y=f（x）+a 的图像。
将函数y=f（x）的图像向下平移a个单位，即可得到y=f（x）-a 的图像。
左+右-将函数y=f（x）的图像向左平移a个单位，即可得到y=f（x+a）的图像。
将函数y=f（x）的图像向右平移a个单位，即可得到y=f（x-a）的图像。
二、伸缩变换横坐标伸缩将函数y=f（x）的图像上各点横坐标变来原来的1/a，纵坐标不变，即可得到y=f（ax）的图像。
（a>1时缩短，0<a<1时伸长）纵坐标伸缩将函数y=f（x）的图像上各点纵坐标变来原来的A倍，横坐标不变，即可得到y=Af（x）的图像。
（A>1时伸长，0<A<1时缩短）三、对称变换将函数y=f（x）的图像关于x轴对称，得到y=-f（x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于y轴对称，得到y=f（-x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于原点对称，得到y=-f（-x）的图像。
四、翻折变换下翻上：要得到函数y=|f（x）|的图象，可将函数y=f（x）的图象位于x 轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方，其余部分不变（不保留x轴下方的部分）去左翻右：要得到函数y=f（|x|）的图象，可先做出y=f（x）的图象，去掉y轴左侧部分，再根据y=f（|x|）是偶函数的特点，将y轴右侧的部分关于y轴对称翻折到y轴左侧（保留y轴右侧的部分）。
五、反函数变换y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像关于y=x对称。
函数的图像及其变换(完整版)
函数的图像及其变换(完整版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ）A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域；（2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x=，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y；③21xy =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI常规函数图像有：指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数的图像及其变换归纳总结
函数的图像及其变换归纳总结一、课标要求：函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。
函数是贯穿高中数学课程的主线。
1．函数概念与性质本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
（1）函数概念①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。
了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
（2）函数性质①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。
②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。
③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。
2．幂函数、指数函数、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。
本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。
（1）幂函数（2）指数函数（3)对数函数二、知识梳理1.图像的变换（1）两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】平移变换：（2）翻折变换：（3）伸缩变换：（4）(对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】2.函数图像的应用（1）.利用函数图像确定函数解析式利用函数图像确定函数解析式时,要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系.（2）利用函数图像研究两函数图像交点的个数利用函数图像研究两函数图像交点的个数时,常将两函数图像在同一坐标系内作出,利用数形结合求解参数的取值范围.（3）利用函数图像研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.（4）利用函数图像研究方程根的个数【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线．【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与y轴的交点、对称中心等），关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．三、查缺补漏1.识图，辩图（1）从函数的定义域,判断图像左右的位置；（2）从函数的值域,判断图像的上下位置；（3）从函数的单调性,判断图像的变化趋势；（4）从函数的奇偶性,判断图像的对称性；（5）从函数的周期性,判断图像的循环往复.2.图像的变换3.图像的应用四、常用二级结论：1.函数图像对称性2. 二次函数3.经典不等式．三年真题：。
高中数学-函数图象变换及经典例题练习
高中数学-函数图象变换1、平移变换（左加右减上加下减）：y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h.2、对称变换：y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x)轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点→y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x);3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4、伸缩变换：y=f(x)ω⨯→x y=f(ωx ); y=f(x)ω⨯→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用例1．函数111--=x y 的图象是（ ） 答案B例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A例7．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2，观察各选项可知B 正确． 例8.函数cos622x xx y -=-的图象大致为（ ）例9．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如右图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.例10.函数21log 1x y x+=-的图象（ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称解析 设21()log 1x f x x +=-，则21()log 1x f x x --=+=()f x -，所以函数21log 1x y x+=-是奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例11. 若方程2a ＝|a x －1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．解：当a >1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适； 当0<a <1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图②所示，要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1，即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为(0，12)．函数图像及图像变换练习（带答案）1. 函数)1(||>⋅=a a x x y x 的图象的基本形状是 （ ） 答案A2.方程lg x =sin x 解的个数为（ ）。
高考数学函数图像变换与技巧全解析
高考数学函数图像变换与技巧全解析在高考数学中，函数图像的变换与相关技巧是一个重要且具有一定难度的知识点。
掌握这部分内容，对于理解函数的性质、解决函数相关的问题以及提高数学综合解题能力都具有至关重要的意义。
一、函数图像的平移变换函数图像的平移是指将函数的图像在平面直角坐标系中沿着坐标轴进行移动。
对于形如 y ＝ f(x) 的函数，向左平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x ＋ a)；向右平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x a)。
向上平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) ＋ b；向下平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) b。
例如，对于函数 y ＝ x²，将其向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x ＋2)²的图像；将其向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 的图像。
在进行平移变换时，需要注意“左加右减，上加下减”的规律。
这个规律简单易记，但在实际应用中，同学们要理解其本质，即函数自变量 x 的变化和函数值 y 的变化。
二、函数图像的伸缩变换函数图像的伸缩变换包括沿 x 轴和 y 轴的伸缩。
沿 x 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其横坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ f(1/k x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 x 轴缩短；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 x 轴伸长）。
例如，函数 y ＝ sin x 的图像，将其横坐标缩短为原来的 1/2，得到y ＝ sin 2x 的图像。
沿 y 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其纵坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ kf(x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 y 轴伸长；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 y 轴缩短）。
比如，函数 y ＝ x 的图像，将其纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝ 2x 的图像。
第01讲 抽象函数的图像和性质问题的处理-高考数学热点
高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【例2】已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域. 【解析】∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x =+， x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]∴f （x)的定义域为[4,6].【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.例2就是典型的例子.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域. 【例3】已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()+(y)f x y f x f +=，且当0x >时，()0f x <，又1=2f -（）.(1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证：()f x 是R 上的减函数；(3)求()f x 在区间[－3,3]上的值域；(4)若x R ∀∈，不等式2()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围．(2)证明： 任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，2121()()()0f x f x f x x +-=-<，∴21()()f x f x <--，又()f x 为奇函数，∴12()()f x f x >．∴()f x 是R 上的减函数．(3)由(2)知()f x 在R 上为减函数，∴对任意[3,3]x ∈-，恒有(3)()(3)f f x f ≤≤-，∵(3)(2)(1)(1)(1)(1)236f f f f f f =+=++=-⨯=-，∴(3)(3)6f f -=-=，()f x 在[3,3]-上的值域为[6,6]-．(4) ()f x 为奇函数，整理原式得2()(2)()(2)f ax f x f x f +-<+-，则2(2)(2)f ax x f x -<-，∵()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，∴222ax x x ->-，当0a =时，22x x ->-在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当0a >时，2220ax x x --+>，要使不等式恒成立，则980a ∆=-<，即98a >； 当0a <时，2320ax x -+>在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为9+8∞（，）． 【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设1212,,x x D x x ∈<且，再利用已知条件判断12()()f x f x -的符号，如果12()()0f x f x ->，则函数是减函数；如果12()()0f x f x -<，则函数是增函数. （2）求抽象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例4】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有12()f x x ⋅12()()f x f x =+，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到()f x -和()f x 的关系，多用赋值法（特殊值）.【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例5】)(x f 定义在实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，对于任意实数,x y ，有()f x y +()()f x f y =⋅，求证：)(x f 在R 上为增函数.【解析】证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f =若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾, 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)(1)(>-=x f x f【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【例6】设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，且(2)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞ C ．()(),22,0-∞-- D ．()()0,22,+∞ 【解析】设2()'()()()'()0,(0)()f x xf x f x g x g x x g x x x -=⇒=<>⇒在(0,)+∞上是减函数，又()f x （x R ∈）是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(x)()()()f f x f x g x x x x ---===--()g x ⇒是偶函数，(2)0(2)(2)022f g g -=-===-- 作出图象如下图，由00()()0()0()0x x f x xg x g x g x <>⎧⎧=>⇒⎨⎨<>⎩⎩或⇒()(),20,2x ∈-∞-，故选A.【点评】（1）这个抽象函数的单调性，不能通过单调性的定义来推导，只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件'()()0xf x f x -<联想到商的导数，还原公式，再构造函数，得到新函数的单调性、奇偶性和特殊点，再作草图分析.【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B. c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【例7】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称.(1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.【解析】(1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】（1）对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明.（2）如果函数()f x 满足()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期T 为||a b -，如果函数()f x 满足()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期T 为2||a .【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==（II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测3详细解析】（1）由已知对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立. 令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，∴(0)0f =令x y =-，得()()()0f x x f x f x -=+-=∴对于任意x ，都有()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数.（2）设任意12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，由已知21()0f x x -<（1）又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-（2）由（1）（2）得12()()f x f x >,根据函数单调性的定义知)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数. ∴)(x f 在[3,3)-上的最大值为(3f -）.要使)6f x ≤（恒成立，当且仅当(3f -≤）6，又∵(3)(3)(21)[(2)(1)][(1)(1)(1)]3(1)f f f f f f f f f -=-=-+=-+=-++-,(1)2f ∴≥-【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测4详细解析】(1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=∙∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x > 时,0()1f x << ∴当0x <时, 0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-∙⇒==>--【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）0,x x x <<≠≠. 【反馈检测5详细解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令 121[(1)]()(1)()()()x x x f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数 111212222222(2)0()()()()()()()x x x x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+-设 1111212222()011()0()0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴>>>∴>∴->时， 0+∴∞函数在（，）上是增函数12(3)2(22)(2)(2)2(4)2x xf f f f ==∴⨯=+=∴=令2(21)2(4)()+f x f f x -<=∞是偶函数在（0，）上时增函数22x 02100,|21|<4x x x x x ≠⎧⎪∴-≠<<≠≠⎨⎪-⎩. 【反馈检测6答案】C【反馈检测6详细解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， ()()()()g x xf x x f x xf x g -=--=-⋅-==（x)，所以()()g x xf x =是R 上的偶函数. 当0x >时，()()()()()g x x f x xf x f x xf x ''''=+=+ 因为()00()0f x x f x '>>> 所以()()0g (x)0f x xf x ''+>∴> 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，所以0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<， 所以b a c <<，故选C ．【反馈检测7答案】2005(2005)2003f =-∴()f x 是以4为周期的周期函数 又∵(2)2004f = ∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003 ∴(2005)f =-20052003。
微专题抽象函数题型归纳总结
抽象函数常见题型归纳总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。
解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。
解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。
解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。
例题3：函数定义域是，则的定义域是_______解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四) 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题4： 函数的定义域是，求的定义域。
解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】 已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域。
解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］ 【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。
解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 一、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
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函数的图象
〖考纲要求〗能利用函数的性质与图象的对称性描绘简单函数的图象
〖复习要求〗掌握用描点法和图象变换法描绘函数的草图，能利用函数图象解决有关问题. 〖复习建议〗记住基本初等函数的图象特征，能利用函数图象研究函数的定义域、值域、单
调性、奇偶性、周期性、对称性以及一些特殊函数值等，掌握函数图象的三种基本变换：平移变换、对称变换、伸缩变换，要能运用数形结合的思想方法解决有关问题（讨论函数的性质、确定方程解的个数、解不等式……）
〖双基回顾〗
1、将函数)(x f y =的图象平移a 个单位，求所得的函数解析式： ⑴向右平移 ⑵向左平移 ⑶向上平移 ⑷向下平移
2、函数)(x f y =的图象关于下列元素对称的图象对应函数解析式： ⑴x 轴 ⑵y 轴 ⑶原点 ⑷()y f x = ⑸()y f x = .
一、基础知识训练
1、 函数y =)(x f 的图象如下，那么下列对应错误的是………………………（ ）
2
3、函数1
12-+=
x x y 图象的对称中心为
.
4、函数)(x f =log 2|ax －1|的图象关于直线x =2对称，那么实数a = .
|
x x )(x
二、典型例题分析：
1、函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于……………………（ ）对称 (A )x 轴 (B )y 轴 (C )直线x =a (D )直线y =a .
2、方程2x +x 3=0的实数解的个数为………………………………………（ ） (A )0 (B )1 (C )2 (D )3
3、作下列函数的图象，并且根据图象说出其单调区间
⑴1
+=x x y ⑵y =x (|x |-2) ⑶y =|x -1|+|2x +3|
4、讨论方程kx x =-|1|的实数根的个数.
5、方程sinx=lgx 的实根个数是 .
6、（二次函数问题）关于x 的方程：3x 2－5x ＋a =0的一根在(－2，0)内，另一根在(1，3)内，求实数a 的取值范围.
7、（二次函数问题）函数)(x f =x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式及其最值.
抽象函数综合问题
〖考纲要求〗理解函数及其有关概念.
〖复习要求〗掌握函数的有关概念，会求简单函数的解析式，掌握函数解析式的一些形式变
换，理解抽象函数的关系式的意义.
〖复习建议〗掌握一次、二次函数解析式，会用待定系数法求之，会用适当的方法研究抽象
函数.
〖双基回顾〗求函数解析式的方法有：直接法、待定系数法、解方程组法、换元法、归纳猜
想法…….
一、知识点训练：
1、f (x ＋1)=2x ＋1,则f (x )= .
2、如果函数f (x )满足：f (x ＋y )=f (x )·f (y )，f (x )恒不为0，那么f (0)= .
3、f (x )=2x ＋3,g (x ＋2)=f (x ),则g (x )=………………………………………………………………（ ）
(A )2x ＋1 (B )2x －1 (C )2x －3 (D )2x ＋7 4、函数y =)(x g 的图象关于直线x =－1对称，且x ∈（0，＋∞）时，)(x g =x
1，那么x
∈（－∞，－2）时)(x g = .
5、如果函数f (x )的定义域为R +且满足：f (xy )=f (x ) ＋f (y )，f (8)=3，那么f (2)= .
6、已知⎪⎩
⎪
⎨⎧<+≥-=6)
2(65)(x x f x x x f ，那么f （3）=……………………………………（ ）
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
二、典型例题分析：
1、 ⑴如果2
2
1
)1
(x x x x f +
=-
，求函数f (x )的表达式.
⑵如果2
1)11(x
x
x f -=+，求函数f (x )的表达式.
2、二次函数y =f (x )满足：f (x )=f (2－x )并且x >1时f (x )为增函数，如果a =f (0)，b =)4
1
(log
2
f ，
c =)(log
3
πf ，试比较a 、b 、c 的大小
3、对一切实数x 、y ，关系式：f (x －y )=f (x )－(2x －y ＋1)y ，且1)0(=f ，求函数f (x )的表达式.
4、定义在（0，+∞）上的增函数f （x ）满足：)()()(y f x f y x
f -=
⑴求证：f （1）=0
⑵求证：f （x n ）=nf （x ）
⑶如果f （3）=1，解不等式：2)5
1(
)(≥--x f x f
4、设函数f （x ）的定义域为R 且满足x 1≠x 2则f （x 1）≠f （x 2），又对任何实数x 、y 总有：f (x ＋y )=f (x ) f (y )，证明：⑴f （0）=1 ⑵f （x ）＞0恒成立.
5、对一切非0实数x 、y 满足：f (xy )=f (x ) ＋f (y ) ⑴求证：f (1)=f (－1)=0 ⑵判断f (x )的奇偶性
⑶如果f (x )在(0,＋∞)上递增，解不等式0)21()(≤-
+x f x f
6、对任意实数x ，若y =f （x ）是y =2－x 2和y =x 这两个函数中的较小者，求函数y =f （x ）的解析式.
函数的图像
1、将x y 2=的图象………………………………………………………… ( )
(A ) 先向上平行移动一个单位 (B ) 先向右平行移动一个单位 (C ) 先向左平行移动一个单位 (D ) 先向下平行移动一个单位 再作关于直线y =x 对称的图象,可得到函数)1(2
log
+=x y 的图象.
2、y =f (x +1)－1的图象可由函数y =f (x )的图象经过下述哪一种变换得到…………… ( )
(A ) 向左再向上各平行移动一个单位式各样 (B ) 向左再向下各平行移动一个单位 (C ) 向右再向上各平行移动一个单位 (D ) 向右再向下各平行移动一个单位 3、函数y =f (x )的图象与一条直线x=a 有交点个数是………………………………… ( ) (A )至少有一个 (B ) 至多有一个 (C ) 必有一个 (D ) 有一个或两个 4、在同一直角坐标系中, 图象是同一条曲线的是…………………………………… ( ) (A ))()(1
x f
y x f y -==与 (B ))()(1
y f
x y f x -==与
(C ) )()(1
y f
x x f y -==与 (D ) )()(y f x x f y ==与
5、方程)10(22
≠<=+a x a x
的解的个数………………………………………（ ） (A )0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 无法确定 6、方程
12
2
=+
y
x
与mx +ny
=1在同一坐标系内的图象为………………………………
（
7、函数y =f (x )与函数y =f (a －x )的定义域都为R ，这两个函数图象之间…………………（ ） (A )关于y 轴对称 (B )关于直线x =a 对称 (C )关于直线x =
2
a 对称 (D ) 关于直线x =2a 对称
8、函数y = f (x )的图象关于直线x =1对称，当x ≤1时，f (x ) =x 2+1，则x ＞1时，f (x )= .
9、y =)(x f 满足)2()2(x f x f +=-，且)(x f =0有且只有17个根，则这些实数根的和为 .
10、定义在R 上的奇函数y =f (x )满足当x <0时，f (x )=x ＋1，解不等式：f (x －1)<0。