第九章 稳恒磁场
稳恒磁场
方向满足右手定则
（3）运动电荷的磁场 的
二、磁通量：通过磁场中某一个面场的强弱（通过磁场 中某一个面的磁力线数）叫做通过这个面的磁感强度的 通量。
0 qv r B 4 r 3
m B ds
S
磁场的高斯定理：通过任意闭合曲面 的磁通量必等于零（故磁场是无源的）
1 Bo 2 0 i 1 cos 0 i 2
2、一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为 σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转。试求圆筒内部的 磁感应强度。 62.
解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的 面电流密度i，
i 2Rw /(2) Rw
w
B B1 B2 Bacb Bab
由毕奥－萨伐尔定律，有 B1 4π(Oe) (cos0 cos60)
0 I
Oe 3l / 6
B3 3)
方向垂直纸面向外． 对O点导线2为半无限长直载流导线，
B2
0 I
4(Ob)
二、磁场对载流导线的作用 1、载流导体在磁场中所受的力， 安培力：
dF Idl B
2、载流线圈在匀强磁场中所受的磁力矩： M pm B 其中 pm NIS 3、带电粒子在磁场中所受的力： 回转半径：
mv R qB
f qv B
解：在扇形上选择一个距O点为r，宽度为dr的面积元， 其面积为
带有电荷
d S r d r dq dS
它所形成的电流为
1 d I d qw / π 2
dI在O点产生的磁感强度为
dB
0 d I
2r 4
0 d qw
稳恒磁场
磁场 磁感应强度 基本磁现象1、通有电流的导线周围，小磁针会发生偏转。
2、磁铁附近的载流导线及载流线圈会受到力的作用。
3、载流导线之间或载流线圈之间有相互作用力。
4、电子射线束在磁场中路径发生偏转。
一切磁现象的根源是电流。
任何物质的分子中都存在有圆形电流，称为分子电流．分子电流相当于一个基元磁铁。
当物体不显示磁性时，各分子电流作无规则的排列， 它们对外界所产生的磁效应互相抵消。
在外磁场的作用下，与分子电流相当的基元磁铁将趋向于沿外磁场方向取向，从而使整个物体对外显示磁性。
磁感应强度磁现象中，电流与电流之间，电流与磁铁之间以及磁铁与磁铁之间的相互作用是通过一种叫磁场的特殊物质来传递的。
磁场对外的重要表现：1、磁场对进入场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用；2、载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力将对载流导体作功，表明磁场具有能量。
引入磁感应强度矢量B 来描述磁场的强弱和方向。
试验线圈（线度必须小，其引入不影响原有磁场的性质）的面积为 S ∆，线圈中电流为0I ，则定义试验线圈的磁矩为 n S I P m ∆0= 磁矩是矢量，其方向与线圈的法线方向一致，n 表示沿法线方向的单位矢量，法线与电流流向成右螺旋系。
（附图）线圈受到磁场作用的力矩(称为磁力矩)使试验线圈转到一定的位置而稳定平衡。
此时，线圈所受的磁力矩为零，此时线圈正法线所指的方向，定义为线圈所在处的磁场方向。
如果转动试验线圈，只要线圈稍偏离平衡位置，线圈所受磁力矩就不为零。
当试验线圈从平衡位置转过090时，线圈所受磁力矩为最大。
在磁场中给定点处，比值m P M max 仅与试验线圈所在位置有关，即只与试验线圈所在处的磁场性质有关。
规定磁感应强度矢量B 大小为m P M B max =磁场中某点处磁感应强度的方向与该点处试验线圈在稳定平衡位置时的法线方向相同；磁感应强度的量值等于具有单位磁矩的试验线圈所受到的最大磁力矩。
单位：磁感应强度的国际单位为特斯拉，简称特。
第9章稳恒磁场
I
R
O
I
O
B 0I 0I 4R 4R
I
R
o
o
R
B 0I
4R
I
B 0I 0I 4R 2R
B 30 I 0 I 8R 4R
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求如图所示的电流中圆心0的磁感应强度。
a
o
II
R
图（1）
l1
I1
o l2 I2
R
图（2）
（1） 每一边电流产生B1：
B1
0I 4a
sin
例9-2
求氢原子中作轨道运动的电子产生的磁场和电子的轨
道磁矩。 v
解
B
μ0 4π
qv r0
r2
o
·
r
r
q e 1.6 1019 C , r 0.53 1010 m
v 2.2 106 m s
q
B
4
107 1.61019
4 0.531010
2.2 106
2
12.53T
周界所围面积的电流的代数和的0倍 ,即
B dl
l
0
Ii
s
B的环流不为零，说明磁场是非保守场，是有旋场。
33
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２，在无限长直线电流磁场情况下验证安培环路定理 在垂直于导线的平面上任取一包围电流的闭合曲线 l
I
B
俯视放大图
l
B
I • d r
q dl
l
B dl B dl cosq Bds Br d
第9章 稳恒磁场
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-6
磁场 磁感应强度 安培环路定理 磁场对载流导线的作用 磁场对运动电荷的作用 磁介质
华侨大学大学物理作业本(下)答案
大学物理作业本（下）姓名班级学号江西财经大学电子学院2005年10月第九章 稳恒磁场练 习 一1． 已知磁感应强度为20.2-⋅=m Wb B 的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如图所示。
求：（1） 通过图中abcd 面的磁通量；（2） 通过图中befc 面的磁通量；（3） 通过图中aefd 面的磁通量。
2． 如图所示，在被折成钝角的长直导线通中有20安培的电流。
求A 点的磁感应强度。
设a=2.0cm ，ο120=α。
3．有一宽为a的无限长薄金属片，自下而上通有电流I，如图所示，求图中P点处的磁感应强度B。
4．半径为R的圆环，均匀带电，单位长度所带的电量为 ，以每秒n转绕通过环心并与环面垂直的轴作等速转动。
求：（１）环心的磁感应强度；（２）在轴线上距环心为x处的任一点P的磁感应强度。
练习二１．一载有电流I的圆线圈，半径为R，匝数为N。
求轴线上离圆心x处的磁感应强度B，取R=12cm，I=15A，N=50，计算x=0cm，x=5.0cm, x=15cm各点处的B值；２．在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下通有电流I=5.0A，如图所示。
求圆柱轴线上任一点P处的磁感应强度。
３．如图所示，两无限大平行平面上都有均匀分布的电流，设其单位宽度上的电流分别为1i 和2i ，且方向相同。
求：（１） 两平面之间任一点的磁感应强度；（２） 两平面之外任一点的磁感应强度；（３） i i i ==21时，结果又如何４．10A 的电流均匀地流过一根长直铜导线。
在导线内部做一平面S ，一边为轴线，另一边在导线外壁上，长度为1m ，如图所示。
计算通过此平面的磁通量。
（铜材料本身对磁场分布无影响）。
练习三１．半径为R 的薄圆盘上均匀带电，总电量为q ，令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线匀速转动，角速度为ω，求轴线上距盘心x 处的磁感应强度。
２．矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示。
（１） 求环内磁感应强度的分布；（２） 证明通过螺绕环截面（图中阴影区）的磁通量，210ln 2D D NIh πμ=Φ 式中N 为螺绕环总匝数，I 为其中电流强度。
稳恒磁场
安培定律
一、安培力
安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 一个自由电子受的洛仑兹力为: 一个自由电子受的洛仑兹力为
f 洛 = qv × B = −ev × B
电流元所受磁力: 电流元所受磁力
方向： 方向：×
v
dl
B
I
设截面积为S,单位体积电子数为 设截面积为 单位体积电子数为n 单位体积电子数为
1 2 m = NISn = NI πR n 2
方向:与 B 成600夹角. 夹角. 方向: (2)此时线圈所受力矩的大小为: )此时线圈所受力矩的大小为:
)60
0
B
3 2 πR M = mB sin60 = NIB 4 方向: m× B 方向: ×
0
n
即垂直于 B向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。 向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。
1T = 1N ⋅ S ⋅ m−1 ⋅ C−1
磁通量
一、磁力(感)线 磁力( 直线电流的磁力线
磁场的高斯定理
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I
I
I
I
通量(通过一定面积的磁力线数目) 二、磁通量(通过一定面积的磁力线数目)
v v dΦ = B ⋅ dS
v v Φ = ∫s B ⋅ dS
单位
1Wb= 1T ⋅ m
I
该式对任意形状的线圈都适用. 该式对任意形状的线圈都适用.
例1如图，求圆心O点的 B . 如图，求圆心 点的 I O
• × R
B=
µ0 I
4R
I
O• •
R
B=
µ0 I
8R
R
• •O
大学物理稳恒磁场课件
流,也可引起空间电 荷从S面流入和流出时，则S面内
荷分布的变化
的电荷相应发生变化。
由电荷守恒定律,单位时间内由S 流出的净电量应等 于S 内电量的减少
电流连续性方程 恒定（稳恒）电流条件
SdS
dq内 dt
d q内 0 dt
SdS0
大学物理
5.欧姆定律的微分形式
dU—小柱体两端的电压 dI —小柱体中的电流强度
dq dt
方向:正电荷运动的方向 单位：安培(A)
大学物理
几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀的 金属导线
半球形接地电极 附近的电流
电阻法勘探矿藏 时的电流
同轴电缆中的 漏电流
大学物理
电流强度对电流的描述比较粗糙: 如对横截面不等的导体,I 不能反映不同截面处 及同一截面不同位置处电流流动的情况。
静电场的电力线发自正电荷止于负电荷,
有头有尾，不闭合。
磁场的高斯定理 SBdS0
在恒定电流的磁场中,磁感应强
度 B 矢量沿任一闭合路径 L的线积
分（即环路积分）,等于什么?
Bdl ?
L
大学物理
1. 长直电流的磁场
1.1 环路包围电流
B
在垂直于导线的平面内任作的环 路上取一点P,到电流的距离为r，
B0nI
若在长螺线管的端口处
B 0nI
2
本次课作业:
大学物理
1. 预习§14.5, §14.6 2. 思考题14.5-14.7 3. 习题14.5,14.7,14.8,14.9,14.10,14.11 作业提交日期: 10月12日
§3 安培环路定理
大学物理
静电场:
高斯定理： sD dSq
9 稳恒磁场(1)
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例1.载流直导线的磁场。
解: 取电流元 Id l ，位置表征
A2
I
2
l ~l+dl，产生元磁感：
大小： dB
0 Idl sin
4 r
2
dl
方向如图，且所有元磁感 方向均一致.
B 4 1 l r cos
1
r
l
o
A
A2
dB
磁场
电流乙
归纳为：运动电荷(电流) 之间的相互作用. 本章要点： 1.电流产生的磁场 2.磁场对电流的作用
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安培定律（1820年）
从力的角度-----定义场强E 和磁感B
两带电体之间的静电力------ 将导体分割，再积分.
两载流线圈之间的作用力-----同理分割法.
电流元 Id l ------I 为电流， l 为导线中沿电 d
0 dB 4 ຫໍສະໝຸດ Id l r r3I
0
Idl
故在导线延长线上，B=0
P
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例2.载流圆线圈轴线上的磁场。
解:
取电流元 Id l
产生元磁感：
大小： dB
0 Idl sin 90
4 r
2
方向如图.
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A
r
I
o
dB
x
磁力线（磁场中）
规定：1，切线方向为B 的方向。 2，磁力线密度 dN/dS 为B 的大小。
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力线的特点：
电力线： 1，起于正电荷，止于负电荷或无穷远；
稳恒磁场
BQ
0 NIR 2
3/ 2
0 NIR 2
2
3/ 2
在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的场 强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图 中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场 强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲 线。
q qr d r dI 2r d r 2 2 2 R R 0 d I
dB 2r 0q R 0q B dr 2 2R 0 2R
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度： + + + + + + + + +o + + + + +
0 I sin B 2R 2 4r R R 2 2 2 r R x , sin 2 2 12 r (R x ) 0 IR 2 0 IS B 2 2 32 2 2 32 2 ( R x ) 2( R x )
S R 2
0 IS B 2 2 2 2 2 ( R x ) 2( R x )
I dl
R
r
d B
dB
I
O
x
P
d B//
在场点P的磁感强度大小为
0 I d l r dB 4 r3
I dl
R
r
d B
dB
I
O
x
P
d B//
和 //B d，由于圆电流具有对称性，其电流元的 d B
各电流元的磁场方向不相同，可分解为 d B
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dq dS 2 rdr dq O
R
x
转动而产生的电流元为： ω
P dB x
dI dq rdr 2
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第九章 稳恒磁场
电流元它在 P 点的场强磁感强度大小为：
dB
0r 2 dI
2r'3
0 r 3 dr
2( x2 r 2 )3/ 2
方向沿x轴正向。
整个圆盘在 P 点产生的场强磁感强度大小为：
2 B2
“穿入”1 90, dΦm1 0
“穿出”2 90, dΦm2 0
由于磁感应线是闭合的，所以有
Φm B dS 0
S
穿过任意闭合曲面的总磁通量等于零。
——磁场的高斯定理 30
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第九章 稳恒磁场
9.4 安培环路定理
一、安培环路定理
以无限长载流直导线产生 的恒定磁场为例。
载流线圈
2R
的面积
当载矢流x 量>线>形圈R式的，磁BB偶极2矩200IIxxSR33m2en2IS20Iex0Snm3x3 I
S
其方向与电流方向成右手螺旋关系
m
当载流线圈的面积很小，或者场点距线圈很远 时，载流体系称为磁偶极子。
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(118学时)例：写出下列各个 O 点的磁感应强度。
8
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9.2 磁场 磁感应强度
一、基本磁现象
1. 磁性与磁体： 把物体能够吸引铁、钴、镍等物质的性质叫
做磁性。具有磁性的物体叫磁体（磁铁）。
★磁铁总是有两个成对的磁极，N极和S极。 ★磁极之间有相互作用力（磁力），同种磁极
相斥，异种磁极相吸。
★地球是一块巨大的磁铁，其N极在地理南极
一、磁感应线
磁感应线是为了直观形象地描述磁场分布，
在磁场中引入的一些假想的几何曲线。
★磁感应线必须满足：
B
① 磁感应线上每一点的切线方
B
向与该点的磁场方向一致；
dS
② 磁场中每一点的磁感应线密度 表示该点的磁感应强度大小。
B dΦm dS
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B 0I
l
I
B
d
r
dl
2 r
⑴ I 在 l 内，且成右手螺旋关系
2
B dl B cos dl 0 Brd 0I
l
l
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⑵I在 l
内，但不成右手螺旋关系
2
l
B dl 0
Brd 0I
l
d
I
r
⑶I在 l 外
dl
B
B1
dl1
B1
r1 d
0 I 2
d
B2
dl2
B2 r2 d
0 I 2
d
d
I
B dl 0
r2
l
dl2
r1
B2
dl1 B1
l
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在真空中的恒定磁场中，磁感应强度 B 沿
任意闭合路径 l 的积分(即 B 的环流)等于0 乘
以 路该 径l 闭为合边路界径的所任包意围曲的面各的电电流流(即强穿度过)的以代闭数合和。
螺旋关系时，I 取正值，反之 I 取负值；
⑶ 安培环路定理说明了磁场是有旋场、非保守 场。
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第九章 稳恒磁场
二、安培环路定理的应用
用安培环路定理求磁感应强度的一般步骤：
① 分析磁场的分布特性(包括对称性、 均匀性等)；
② 根据分布特性选择适当的环路；
③ 算出磁感应强度的环路积分，即环流；
· 6
× 8
dB1
dB5
0 Idl 4 r 2
7
dB2 dB4 dB6 dB8
20 Idl 8 r 2 15
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四、毕奥―萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
y
在 y 处取 I dy 电流元，其产
生的磁感应强度方向朝内，
大小为
dB
0 4
Idy sin
r2
Idy
y
O
r
r0
dB
Px
其中 y r0 cot
r r0
sin
dy
r0
sin2
d
所以有 dB 0I sin d
4 r0
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第九章 稳恒磁场
载流直导线在其周围产生的
磁感应强度大小为
y
B 2 0I sin d
1 4 r0
B
0 I 4 r0
(cos1
cos2 )
第九章 稳恒磁场
V1 +
+
I
V2
S+ ++
+
dq I
单位：安培 A
dt 1 A = 1 C·s-1
★ I 若不随时间变化，则称为恒定电流。
★ I 是标量。电流的方向是正电荷流动的方向。
★ I 只能描述导体中通过某一截面的电流的整 体特征。
4
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3. 电流密度矢量(current density)
I
B 2 20I
Oa
a
I
B 0I
8R
R O
I
R
B 0I 0I
O
2R 2 R
20
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(118学时)
3.
载流密绕直螺线管内轴线上的
dx
均磁匀场密绕的直螺线管，单
位长度上线圈匝数为 n 。 R 如图在 x 处取 dx 宽度的线
rOLeabharlann xdB圈，其产生的磁感应强度
er
dB
P
r
Idl
大小：dB 0 4
Idl sin
r2
真空磁导率：0
磁场的叠加原理：
4
B
107
0 4
N A 2 Idl er l r2
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第九章 稳恒磁场
例：判断下列各点磁感应强度的方向和大小。
3
4
2
·
×
dB
0 4
Idl er
r2
5·
Idl × 1 dB3 dB7 0
描述电路中某点电流强弱
和流动方向的物理量。
dS
方向：正电荷的运动方向；
dS
I
jS
大小：通过该点附近垂直于电流方向
的单位面积的电流。
dI
dI
j
dS dS cos
微观解释： j enu
dI j dS
I S j dS
5
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二、电源 电动势
第九章 稳恒磁场
6
大学物理学
第九章 恒定磁场
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第九章 稳恒磁场
9.1 恒定电流 电动势
9.2 磁场 磁感应强度
9.3 磁通量 磁场中的高斯定理
9.4 安培环路定理
9.5 磁场对运动电荷的作用
9.6 磁场对载流导线的作用
9.7 磁介质
2
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第九章 稳恒磁场
9.1 恒定电流 电动势
第九章 稳恒磁场
3. 磁现象的本质 安培的分子电流假说：一切磁现象的根源
都是电流。构成磁体的分子内部存在一种环形 电流，称为分子电流。
现代理论研究表明，分子电流实际上是由 物质原子中核外电子绕核运动和电子自旋所形 成的。因此，无论是磁体还是电流，磁现象的 本质都源于电荷的运动，这就是磁现象的电本 质。
q
小磁针静止时
N极所指方向
单位：特斯拉（T） 1 T = 1 N.A-1.m-1
第九章 稳恒磁场
F
+
0
//
B
+ F Fmax
运动电荷在磁场中 所受的磁场力
F q B
F qB sin
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三电、流毕元奥Id―l在萨空伐间尔任定一律场点 P
处产生的dB磁 感 应4强0 度Id：lr2
第九章 稳恒磁场
★磁感应线的特点：
① 磁感应线的方向与电流的流向构成右手螺旋 关系；
② 任意两条磁感应线绝不相交。
③ 每条磁感应线都是环绕电流的闭合曲线。
④ 匀强磁场中的磁感应线为疏密均匀且相互平 行的直线。
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第九章 稳恒磁场
二、磁通量
穿过磁场中某一个面的磁感应线数目即为
2
Idy
y
r
O 1 r0
方向与电流成右手螺旋关系。
I B
B
Px
对于“无限长”直导线，
1 0 , 2
B
0 I 2 r0
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第九章 稳恒磁场
2. 圆形载流导线轴线上的磁场 如图取 I dl 电流元，其 Idl
B I dB
产生的磁感应强度大小 R
为
dB 0 4
④ 求出磁感应强度。
常见的分布特性有：轴对称分布、匀强磁场。