第8章稳恒磁场
《大学物理》稳恒磁场
第四节 安培环路定理
Bdl L
0 (I1 I2 )
（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
问（1）B 是否与回路 L 外电流有关？
（2）若
LB d l 0 ,是否回路 L 上各处
B
0
？
是否回路 L 内无电流穿过？
43
第四节 安培环路定理
安培环路定理的应用
例题 无限长载流圆柱体的磁场
33
第三节 磁通量 磁场的高斯定理
例题 如图载流长直导线的电流为 I, 试求通过矩形面积的磁通量.
B
I
l
d1 d2
o
x
解
B 0I
2π x
dΦm
BdS
0I
2πx
ldx
Φm
B dS 0Il
S
2π
d2 dx x d1
Φm
0 Il
2π
ln
d2 d1
34
第三节 磁通量 磁场的高斯定理 磁场的高斯定理
d
I
B1
r1
dl1
B2 dl2
r2
l
B1
0I ，
2 π r1
B2
0 I
2 π r2
B1
dl1
B2
dl2
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
40
第四节 安培环路定理
多电流情况
I1
I2
I3
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0(I2 I3)
推广：
➢ 安培环路定理
第13章
磁场的高斯定理
惟一的一次 从宇宙射线中捕捉到磁单极子的实验记录：
斯坦福大学Cabrera等人的研究组利用超导 线圈中磁通的变化测量来自宇宙的磁单极子。
基本装置:
有磁单极子穿过时，感应电流
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
I 2Φ0 / L
I
8Φ 0 L
t
1982.2.14,13:53
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
y
Idl rˆ
R I
o
Idl r组成的平面
r
dB
x
.d
d BPx
B
yz
x
z
BxIdBsinI 40 πIrd2lR r 4π 0Ir3R Idl
0 IR 2 2r3
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点的 磁场垂直分量相互抵消 所以
y
Idl rˆ
R I
o
Idl r组成的平面
r
dB
x
.d
一、磁场 电流 或运动电荷周围既有电场 又有磁场 磁场的宏观性质： 1）对运动电荷(或电流)有力的作用 2）磁场有能量 二、磁感强度 运动电荷在电磁场中受力：
fqE q B
洛仑兹力公式
§3 磁场的高斯定理 一、磁力线 磁通量 二、 磁通连续原理
§3 磁场的高斯定理 一、磁力线 磁通量
I
1.磁力线的特征 无头无尾 闭合曲线
若考虑方向，则可写成
B
0 pm
2πr3
结论：磁偶极子的场沿磁矩方向
4）电磁学中物质分子的模型
3) 平面载流线圈的磁矩 磁偶极子
定义平面载流线圈的磁矩 Pm IS
如果 场点距平面线圈的距 离很远，这样的平面载流
机械工业出版社大学物理 第08章 稳恒磁场02-安培力、磁力矩
§8.6 磁介质对磁场的影响
能够对磁场有影响的物质称为磁介质。
一、磁导率
vv v B B0 B'
磁介质中的 总磁感强度
真空中的 磁感强度
介质磁化后的 附加磁感强度
实验表明： B r B0
相对磁导率
r
B B0
磁导率 r0
——表示磁介质磁化对磁场的影响
25
磁介质的分类
顺磁质 抗磁质 铁磁质
BIdl sin
因 dl rd
π
F BIr0 sin d
BI 2r
r
y
dF
rC
Idl
r
d
Bo
r
r
r
F BI 2r j BI AB j
B
I
Ax
17
例2 求如图不规则的平面载流导线
在均匀磁场中所受的力。
已知
r B
和
I。
y
dF
r B
r
解：
取一r 段电流r元
r
Idrl
dF Idl B
解 M NBISsin
得
π,
2
M Mmax
M NBIS 50 0.05 2 (0.2)2 N m
M 0.2N m
23
第八章 稳恒磁场
8.1 电流与电动势 8.2 磁场 磁感应强度 8.3 毕奥-萨伐尔定律 8.4 安培环路定理 8.5 磁场载流导体的作用 8.6 磁介质对磁场的影响 8.7 铁磁质
b
B
d vd+
+ +Fm +
+q
- - - - -
霍耳电压 UH
+
I UH
第8章 稳恒磁场
Fmax
q
F 大小: 大小 B = qv sin α 磁场也服从叠加原理
磁场力或磁力（洛伦兹力） 洛伦兹力） r 方向: 方向 q 不受力的方向定义为 B的方向 的方向.
v v B = ∑ Bi
i
v v
+
v B
单位: 单位 特斯拉 T ( 1 T = 10 4 G )
6
8.2 磁场 磁感应强度
8.2.3 磁通量 磁场的高斯定理
v 也可以引入磁感线(磁力线或 来形象的描述磁场。 也可以引入磁感线 磁力线或 B线)来形象的描述磁场。 来形象的描述磁场
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 切线方向 的方向，曲线的疏密程度 疏密程度表示该点的磁感强度 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小。 的大小。 I S N S I I N
+
v v F 定义非静电场强： 定义非静电场强： E = k k q + r v 方向： 电动势 ε = ∫ Ene ⋅ dl ε 方向：电源内部负极
−
A 即 ε = ne q
=
v v F ⋅ dr ∫ k
−
+
−
q
正极
(电 内 源 )
普遍表达式
ε = ∫L
v v Ek ⋅ dl
3
8.2 磁场 磁感应强度
磁介质中的 总磁感强度
v v 实验表明： B = µr B 相对磁导率 µr 磁导率 µ = µrµ0 实验表明： 0
顺磁质 抗磁质 铁磁质
v v B > B0 v v B < B0
（铝、氧、锰等） 锰等） （铜、铋、氢等） 氢等） （铁、钴、镍等） 镍等）
第08章稳恒磁场00-电流与电动 比奥萨伐尔定律
cos sin R
dBx 4π r
3
o
r
2 2
x
0 IRdl
r R x
2
2
0 IR 2 π R Bx dl 3 0 4πr
0 I R 2 3 2 r
0 I R Bx 3 2 2 （x2 R2）
B Bxi
18
B Bxi
讨论:
（1）若
I
o
R
2
0 nI L B 0 nI cos 2 1/ 2 2 2 2 L / 4 R
（2）无限长的螺线管
L R
则：
即：1 π, 2 0
B 0nI
24
π （3）半无限长螺线管 1 , 2 0 2
1 B 0 nI 2
（4）磁感应强度的小的分布
dB
I
r r0 / sin y r0 ct g 2 dy r0d / sin 0 I dB sin d
4 π r0
o r0
y
*
dB
z
Id y
1
r
P
x
C
14
B dB
C
D
0 I
4 π r0
2
1
sin d
B 的方向沿 z 轴的负方向。
I
（2 ）
R B x 0 I 0 o B0 2R
I
（4） I R
o
（5）
0 I B0 2 R 2
R1
R2
R
o
（ 3）
B0
0 I
4R
I
I
稳恒磁场
安培定律
一、安培力
安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 安培力:电流元在磁场中受到的磁力. 一个自由电子受的洛仑兹力为: 一个自由电子受的洛仑兹力为
f 洛 = qv × B = −ev × B
电流元所受磁力: 电流元所受磁力
方向： 方向：×
v
dl
B
I
设截面积为S,单位体积电子数为 设截面积为 单位体积电子数为n 单位体积电子数为
1 2 m = NISn = NI πR n 2
方向:与 B 成600夹角. 夹角. 方向: (2)此时线圈所受力矩的大小为: )此时线圈所受力矩的大小为:
)60
0
B
3 2 πR M = mB sin60 = NIB 4 方向: m× B 方向: ×
0
n
即垂直于 B向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。 向上,从上往下俯视，线圈是逆时针转动。
1T = 1N ⋅ S ⋅ m−1 ⋅ C−1
磁通量
一、磁力(感)线 磁力( 直线电流的磁力线
磁场的高斯定理
圆电流的磁力线
通电螺线管的磁力线
I
I
I
I
通量(通过一定面积的磁力线数目) 二、磁通量(通过一定面积的磁力线数目)
v v dΦ = B ⋅ dS
v v Φ = ∫s B ⋅ dS
单位
1Wb= 1T ⋅ m
I
该式对任意形状的线圈都适用. 该式对任意形状的线圈都适用.
例1如图，求圆心O点的 B . 如图，求圆心 点的 I O
• × R
B=
µ0 I
4R
I
O• •
R
B=
µ0 I
8R
R
• •O
第八章 恒定电流的磁场(一)
一. 选择题: ［ D ］1. 载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 2 )通有相同电流I ．若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B)π2∶1 (C)π2∶4 (D)π2∶8［B ］2.有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点(如图)的磁感强度B的大小为(A) )(20b a I+πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ．［ D ］3. 如图，两根直导线ab 和cd 沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而从d 端流出，则磁感强度B沿图中闭合路径L 的积分⎰⋅Ll Bd 等于(A) I 0μ． (B) I 031μ．(C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ．提示［ B ］ 4. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？(A) Ⅰ区域． (B) Ⅱ区域．(C) Ⅲ区域．(D) Ⅳ区域．(E) 最大不止一个．提示：加原理判断磁场和磁感应强度的叠根据无限长直导线产生［ C ］5. 在半径为R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a ，如图．今在此导体上通以电流I ，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O ′点的磁感强度的大小为(A) 2202R a a I ⋅πμ (B) 22202R r a a I -⋅πμ (C) 22202r R a a I -⋅πμ (D) )(222220ar R a a I -πμ 二. 填空题1.在匀强磁场B 中，取一半径为R 的圆，圆面的法线n与B成60°角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S 的磁通量==⎰⎰⋅Sm S B d Φ221R B π-提示：2. 一长直载流导线，沿空间直角坐标Oy 轴放置，电流沿y 正向．在原点O 处取一电流元l I d ，则该电流元在(a ，0，0)点处的磁感强度的大小为 204aI d lπμ 方向为Z轴负方向提示：ⅠⅡⅢⅣ aRr O O ′I任意曲面3. 一个密绕的细长螺线管，每厘米长度上绕有10匝细导线，螺线管的横截面积为10cm 2．当在螺线管中通入10 A 的电流时，它的横截面上的磁通量为)(1046W b -⨯π． (真空磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A)提示：为S 1L21提示：根据安培环路定理5. 一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -1在半径为R =6.00×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =__6.67×10-7（T ），该带电质点轨道运动的磁矩p m =_7.2×10-7（Am 2）___．(μ0 =4π×10-7 H ·m -1)提示：6. 如图所示，在宽度为d 的导体薄片上有电流I 沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布．导体外在导体中线附近处P 点的磁感强度B的大小为dI20μ提示7. 在一根通有电流I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为a 和b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b ，如图所示．在此情形中，线框内的磁通量Φ = 2ln 20a Iπμ提示：俯视图三.计算题1．将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B的大小．解：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ=AB 段在D 处的磁感应强度 )221()]4/([02⋅=b I B πμ BC 段在D 处的磁感应强度 )221()]4/([03⋅=b I B πμ1B 2B 3B方向相同，故D 点处总的磁感应强度为)223(40321ba I B B B B +=++=ππμ 2.．已知半径为R 的载流圆线圈与边长为a 的载流正方形线圈的磁矩之比为2∶1，且载流圆线圈在中心O 处产生的磁感应强度为B 0，求在正方形线圈中心O ＇处的磁感强度的大小．解：设圆线圈磁矩为1m P 方线圈磁矩为2m P 则211R I P m π= 222a I P m = 由已知条件得： )2/(2122a I R I π=正方形一边在其中心产生的磁感应强度为 )2/(201a I B πμ=正方形各边在其中心产生的磁感应强度大小相等，方向相同，因此中心/O 处的总的磁感应强度的大小为3120200/222aI R a I Bμπμ== 由 RI B 2100μ=得 012μRB I =所以 03/0)/2(B a R B =3. 如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．解: 圆线圈的总电荷 λπR q 2= ,转动时等效的电流为λωωπλπR R T q I ===/22， 代入环形电流在轴线上产生磁场的公式得2/32230)(2y R R B B y +==ωλμ 方向沿y 轴正向。
习题解答---大学物理第八章习题 2
专业班级_____ 姓名________学号________第八章稳恒电流的磁场一、选择题：1、在磁感应强度为B的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S边线所在平面的法线方向单位矢量n与B的夹角为α，则通过半球面S的磁通量为：[ D ]（A）Br2π（B）Br22π（C）απsin2Br-（D）απcos2Br-。
2、无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感应强度大小等于：[ D ]（A）RIπμ20（B）RI4μ（C）0（D）)11(2πμ-RI（E）)11(4πμ+RI3、电流由长直导线1沿切向经a点流入一个电阻均匀分布的圆环，再由点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源（如图）。
已知直导线上的电流强度为I，圆环的半径为R，且a、b和圆心O在同一直线上。
设长直载流导线1、2和分别在O点产生的磁感应强度为1B、2B、3B，则圆心处磁感应强度的大小[ C ]（A）0=B，因为0321===BBB。
(B)0=B, 因为虽然01≠B,02≠B,但021=+BB，03=B。
（C）0≠B，因为01≠B，02≠B，03≠B。
（D）0≠B，因为虽然03=B，但021≠+BB。
4、磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R，x坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上，图（A ）——（E ）哪一条表示x B -的关系？[ D ] 5、无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（R r <）的磁感应强度为i B ,圆柱体外（r> R ）的磁感应强度为e B 。
则有：[ B ] (A)i B 、e B 均与r 成正比。
(B) i B 、e B 均与r 成反比。
(C)i B 与r 成反比，e B 与r 成正比。
(D) i B 与r 成正比，e B 与r 成反比。
6、如右图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一圆形载流导线，a 、b 、c 是其上三个长度相等的电流元，则它们所受安培力大小的关系为[ B ]（A ）c b a F F F >>。
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2.欧姆定律的微分形式: U I J S R △U
s
E
△l
J
l R S
J
1 U 1 E E l
写作矢量式
J E
内因和外因
上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。
8-2 磁场 磁感应强度 一、磁场 1.磁铁的磁现象 磁极：N，S 相互作用：同性相斥，异性相吸 2.电流的磁场 ①奥斯特实验（1819年）
0 qv er o 由B r 2 4 r dr 0 2 rdr r 得dB 2 4 r 1 0 dr 2 R 0 R B dB 0 2
R
方法二. 分析: 圆盘转动 运动电荷 电流 磁 感应强度
o
R
r
dr
圆中心处的磁场可视为许多半径 不等的圆电流磁场的叠加。
定义：大小
应反映磁场性质 ，
方向：满足关系式 或稳定时，该点处小磁针Ｎ极指向 磁感应强度单位：特斯拉（T）
与运动电荷相似，通过电流元 在磁场 中所受的作用力来定量描述磁场, 即安培力 （1）大小与 和 有关，且与 和 组成的平面垂直 （2） 沿着磁场方向（或相反的方向）时， 不受磁场力 （3）当 与上述磁场方向垂直时，受力最 大 （4）当 在磁场中任一方向，受磁力 大小： 方向：满足关系式
解: 设半径为ｒ的圆形电流为dI， 则在中心的 0 dI
dB
方向：垂直盘面向外 o r 又因 dI dq 2 dr 2 r dr rdr 2 各圆电流在o点的磁场方向相同 0 R 0 0 R B dB dI dr 0
运动电荷
磁场的主要表现
磁场
运动电荷
（1）力的表现：磁场对运动电荷或载流体 或磁铁等有作用力 （2）功的表现：载流体在磁场中移动时， 磁场的作用力会对它作功
①电流与电流之间存在相互作用：
-
-
+
-
I
I
I
I
+
+
-
+
②磁场对运动电荷的作用：
电子束 S +
N
二、磁感应强度: 描述磁场性质 的重要物理量
I
l
d1 d2
2π x 方向：B // S
如图，取一小矩形，磁通量为 0 I dΦ BdS ldx x 2π x
B
0
o
0 Il d2 dx 0 Il d 2 ln Φ B dS S 2π d1 2 π d1 x
I
I
例题．宽度为ｂ的金属薄板，其电流为 Ｉ，求在薄板平面上，距板的一边为ｒ 的Ｐ点的磁感应强度． 解：将薄板视为有许多无限长载流直导 线组成。 取图示坐标ox， 取离o距离x，标宽 为dx的长直载流导 x I 线其电 流为 dI dx b
I
b
dx x
p o
r
由典型载流直导线磁场公式得 0 dI dB 2x
B
dB
r b
r
r b
r
0 I r b ln 2b r
0 I dx 2x b
0 dI 2x
I
dx x
x
p o
b
r
方向：垂直薄板平面向里
8-4
磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁通量 磁场的高斯定理
1.磁感应线：
①磁感应线上任意一点的切线方向与该点的磁场 方向一致；
对一个带电粒子
dB 0 qv r B 3 dN 4 r
r
P
B
v
方向：右螺旋法则
例题． 设带电圆盘半径为Ｒ，电荷 面密度为 以 绕过盘心垂直盘面 的轴转动，求圆心处的磁感应强度．
o
R
r
dr
方法一．解: 由运动电荷的计算
dq 2rdr
v r
B
0 I
4πa
(1
2
l
， 2 ) o
I
a
1
dB
例题2: 载流圆线圈轴线上的磁场
I
解：在载流导线上取一电 流元产生的磁场
R
dBx
dB
0 Idl
2
4π r
由于对称性垂直于轴的分 量相互抵消，磁场沿轴向
dBx
0 Idl R
4 π r2 r
2 R 0
B dBx
0 4
IRdl (R x )
2 3 2 2
0
2
R I (R2 x )
3 2 2
2
讨论： B
0
2
2
R2 I (R x )
3 2 2
①圆心处的磁场 0 I B 2R ②轴线很远处的磁场
B
0 R 2 I
2 x3
定义载流线圈的磁矩 Pm IS ISen 0 I 0 圆心处 B P 3 m 2 R 2 R 0 Pm 0 R 2 I 轴线上 B 3 3 2 2 2 2 2 (R x2 ) 2 2( R x ) 在 称为磁偶极子
Idl
l
r
a
×
0 4
Iadl (a 2 l )
3 2 2
o
1
I
方向垂直直导线与P点所在的平 dB 面，向里（如图） 积分，可得
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4a
讨论： B 0 I (cos cos ) 1 2 4a I 2 无限长载流长直导线的磁场 0 I B (1 0， 2 ) 2πa Idl r 半无限长载流长直导线的磁场
第八章
稳恒磁场
8-1 电流 一、电流和电流密度 1.电流强度： I q t ①定义:单位时间通过单位垂直面积的电量; 单位：1A=1C/s ②标量。规定：正电荷流向为电流的方向；在 导体内沿电势降落的方向。 ③稳恒电流：不随时间变化。
q dq ④交变电流：i lim t 0 t dt
（电偶极子
）
例题3:求O点处的磁感应强度 解：o处的磁场可看作两 I 段通电直导线与1/4通电 圆弧产生的磁场之和
R
O
B1 0 1 0 I B2 4 2 R （方向：垂直导线所在平面向外）
B3 4 π R （方向：垂直导线所在平面向外）
0 I
B
0 I
8R
0 I
4π R
（方向：垂直平面向外）
0
2
(cos 2 cos 1 )nI
讨论:
B
0
2
(cos 2 cos 1 )nI
无限长载流螺线管
B 0nI , (l R, 则1 ，2 0)
半无限长载流螺线管
1 B 0 nI , 2 ( 1
2
， 2 0)
几种典型的电流磁场大小 长直截流导线外的磁场
②穿过磁场中垂直于 B 的单位面积上的磁感应线 数，与 B 的大小相等。
③磁场线都是闭合曲线或两头伸向无限远；闭合 的磁感应线与载流回路互相套连，形成右螺旋的 关系。
I
I
. . . . . . .
× × × × × × ×
I S S N I
N
2.磁通量 ①定义：通过给定曲面的磁场线数称为穿过该曲 面的磁通量。 ②表达式：
7 2
dB
二、磁感应强度的叠加原理
0 I dl r B dB 3 4π r
毕奥—萨伐尔定律和磁场叠加原理是恒定 电流磁场的基本规律
例题1: 载流直导线的磁场
I 2
l
o
1
I
a
解：在载流导线上取一电流元Idl产生的磁场 0 Idl 0 Idl I 2 dB sin sin 2 2 2 4 r 4 (a l )
0 I
例题5: 载流螺线管中的磁场
n.
R L
..
I
...
解：载流螺线管上取一小 段线圈，产生的磁场为 2 0 R I dB ndl 3 2 (R2 l 2 ) 2
B dB
L
0
2
R2 I (R l )
2 3 2 2
0
ndl , (l R cot )
F （q>0） B V
与电学类似，通过运动电 荷在磁场中所受的作用力来定 量描述磁场 在磁场中某点Ｐ处，放入一速度 运动 的正电荷 ，其受磁场力 , 即洛仑兹力 （１）大小与 和 有关，且
（２） 在某一特定方向（或反平行）时， 电荷不受力（此方向为磁场方向）
（３）当 与上述磁场方向垂直时，受力最大
d m B dS BdS cos m B dS
s
或： m B dS BdS cos s s
③单位: 1Wb 1T m2
例题: 如图载流长直导线的电流为I，求通过 矩形面积的磁通量。 解：载流长直导线产生的磁场 B I
例题4: 求O点处的磁感应强度 解：B1 0
I R
I/4
O
3I/4
两圆弧导线电流与电阻成反比
3 I 1 04 （垂直平面向外） B2 4 2R 1 0 I 3 4 （垂直平面向里） B3 4 2R
4 π R （垂直平面向外） 0 I B （垂直平面向外） 4π R
B4
例题. 一直径为1mm的银导线在1小时15分钟内 通过了 2.61104 c 的电荷，已知每1m3的银含有 5.8×1028个自由电子。求：1、导线上的电流 强度；2、导线中电子的漂移速度。 26100 解：I Q 5.8 A