边际函数&弹性函数
边际函数在经济管理中的应用
利润, 最大利Biblioteka 为L( 50) = 30 50 - 0. 3 502 = 750( 元)
解 法 2 因为边际费用 f ( x ) = 0. 6x - 9, 边际收益为
R ( x ) = 21, 所以边际利润为 L ( x ) = R ( x ) - f ( x ) = 3-
0. 6x 令 L ( x ) = 0 得 x = 50, 又 L ( x ) = 0. 6 < 0, 故
w as cr ying as if his hear t w ould br eak, said, w hen I spo ke
to him, that he was ver y hungr y, because he had no foo d fo r tw o days. 主句是 T he bo y said , 短短的主 干上挂 着五个分句, 它们分 别由 w ho、as if、w hen、that、because 引导。主句如同钩子 一样, 钩住各 分句。当这 个句 子翻译 成汉语时, 就变成一个个短语组成的句子: 那个男孩 哭得似 乎心都碎 了, 当 我问他时, 他说 已有两天没 吃东西了, 实在 是饿极了。
b
f ( x ) dx
a
例4
已知某产品的边际收益为 R ( x ) = 10-
1 2
x,
边
际成本是为 C ( x ) = 8- 2x , 固定成 本为 C0 = 5, 求 当 x = 4 时的毛利和纯利 。
解 因总收益 R(4) =
4
R ( x ) dx =
0
4
( 10-
0
1 2
x)dx
= ( 10x -
x ( t) = 100+ 12t( 单位 / 小时) 求由 t = 2 到 t = 4 这两小
边际函数考研真题
边际函数考研真题边际函数是微积分中的重要概念，常常出现在考研数学真题中。
本文将通过解析一道边际函数的考研真题来深入探讨该概念，并帮助读者更好地理解和应用边际函数。
题目如下：设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，f(a) = f(b) = 0，且存在 c ∈ (a, b)，使得f'(c) ≠ 0。
定义边际函数 g(x) = f(x) / x，x ∈ (a, b)。
若 x ∈ (a, b) 是 g(x) 的极小值点，那么必有（）。
题目分析：首先，我们需要理解边际函数的定义。
根据给定条件，边际函数g(x) 定义为 f(x) 除以 x，其中 x ∈ (a, b)。
根据题目给出的条件，我们需要推导出边际函数 g(x) 在极小值点上的性质。
解题思路：根据题目所给条件，我们可以使用费马引理来求解，费马引理是极值问题中非常有用的定理。
首先，假设 x0 是 g(x) 的极小值点，则必有g'(x0) = 0。
我们需要推导出 g'(x0) = 0 的条件，即 f'(x0) - f(x0)/x0 = 0。
解题步骤：Step 1: 求解 f'(x)由题意可知 f(x) 在 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。
根据 Cauchy 中值定理，存在 c ∈ (a, b)，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0。
所以，我们可以得到 f'(x) = 0。
Step 2: 求解 f(x0)根据题目条件 g(x0) = 0，我们可以得到 f(x0) / x0 = 0。
由于x0 ≠ 0，所以得到 f(x0) = 0。
Step 3: 推导 g'(x0) = 0将 f'(x) - f(x)/x = 0 代入边际函数的定义，可以得到 f'(x) - f(x)/x = 0。
边际函数
利润是厂商出售产品得到的总收入（即总收益）和生产这些产品的总成本之间的差额。
设R 表示总收益，总收益等于出售产品的数量x 和产品价格p 的乘积，故()R x px =是产品数量x 的函数，设C 表示总成本，则 ()C C x = 也是产品数量x 的函数。
因此，利润()()()P x R x C x =- (11..1)也是产品数量x 的函数。
在实际经济生活中。
利润是影响企业家行为的非常重要的因素，厂商决策的原则之一被假定是获取尽可能多的利润，也就是说，厂商的目的之一是最大化利润。
经济学家根据各种可选择的机会对厂商利润的作用来预测厂商的行为，他们首先研究各种机会对利润的作用，然后预测长撒好难过将选择可产生最大利润的那种可选择方案，以利润最大化假定为基础的理论，所得出的大量预测与观察到的现实基本上是一致的。
本课题将探讨微观经济学中的利润最大化基本法则的数学原理。
首先我们先引入边际收益和边际利润的概念。
收益函数()R x 的导数称为边际收益函数，它表示收益函数的变化率。
问题11.1 假设某种音响系统的单价 p (单位：元)与它的需求量x 之间的关系为0.24000p x =-+ ()020000x ≤≤（1） 求收益函数R 和边际收益函数R '；（2） 求()2000R '，并对结果加以解释。
利润函数()P x 的变化率（即导数）称为边际利润函数，它表示已经卖出x 个产品，再卖出第1x +个产品的实际利润（或亏损）的近似值。
问题11.2 在问题11.1的假设下，再设该种音响系统的成本函数为 ()10002000000C x x =+（1） 求利润函数P 和边际利润函数 P '；（2） 求()2000P '并对结果加以解释下面介绍微观经济学中利润最大化的两个基本法则：（1） 法则1. 利润最大化的第一个条件是产出量x 的边际收益等于其边际成本，即dR dC dx dx=； （2） 法则 2. 利润最大化的第二个条件是边际成本曲线穿过边际效益曲线。
边际函数考研真题及答案
边际函数考研真题及答案边际函数考研真题及答案在经济学中，边际函数是一个重要的概念。
它描述了某一变量随着另一变量的微小变动而引起的变化。
在考研经济学中，边际函数也是一个常见的考点。
下面我们将通过一些真题来探讨边际函数的应用和解答方法。
题目一：某企业的生产函数为Q=8K^0.5L^0.5，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。
求边际产量函数。
解答一：边际产量函数描述的是单位资本或单位劳动投入增加时，产量的变化情况。
根据生产函数，我们可以求得边际产量函数的表达式。
首先，对生产函数分别对K和L求一阶偏导数，得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 4K^-0.5L^0.5∂Q/∂L = 4K^0.5L^-0.5这就是边际产量函数的一般形式。
在具体计算时，可以将K和L的数值代入，得到具体的边际产量。
题目二：某企业的生产函数为Q=10K^0.3L^0.7，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。
求当资本投入为1时，边际产量函数的数值。
解答二：根据题目给出的生产函数，我们可以得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 3K^-0.7L^0.7∂Q/∂L = 7K^0.3L^-0.3要求当资本投入为1时，边际产量函数的数值，即∂Q/∂K的数值。
将K=1代入边际产量函数的一般表达式，得到：∂Q/∂K = 3(1)^-0.7L^0.7 = 3L^0.7所以，当资本投入为1时，边际产量函数的数值为3L^0.7。
通过这个例子，我们可以看到边际产量函数的数值与劳动投入L有关。
当L增加时，边际产量也会增加，但增加的速度会逐渐减缓。
题目三：某企业的生产函数为Q=20K^0.5L^0.5，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。
已知资本投入为10，劳动投入为16，求边际产量函数的数值。
解答三：根据题目给出的生产函数，我们可以得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 10K^-0.5L^0.5∂Q/∂L = 10K^0.5L^-0.5要求边际产量函数的数值，即∂Q/∂K和∂Q/∂L的数值。
《微积分上》的经济数学汇总
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数. 平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x==+≤≤==+<≤ 例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
边际函数
品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为Q = 1100 – 10P(P为
价格)，产销平衡，试求：
(1)产量为100吨时的边际利润；
(2)产量为多少吨时利润最大？
解
由于
P
110
Q 10
,
故总收入为
Q2 R PQ 110 Q
10
C 2000 50Q L R C 60Q Q2 2000
f1 (x) f1x f 2 (x) f2x
f1(x) f2 (x)
弹性运算
n
推论
设
fi
(x)
在
x
处的弹性为
n
fi x
(i
1,2,
n
,
n)
，则
y
i 1
fi
(x)
在 x 处的弹性为 yx fi (x) fix
fi (x)
i 1
i 1
(2) 设 f1(x) 与 f2 (x) 于 x 处 的 弹 性 为 f1x 与 f2x ， 则
yx
x f (x)
f (x)
函数弹性
函数在点 x 的弹性 yx 反映了 f (x) 对 x 的变化反映的强烈
程度或灵敏度．
yx 的表达式可改写为
yx
dy dx
y x
边际函数 平均函数
故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比．
在经济学的常用到需求弹性．“需求”是指在一定价格条件下，
y
f
(x) 在 (x0, x0
x) 内的平均变化率为 y ， x
如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利
边际与弹性
解
dP Q ( P ) 2 P , 当P 4时 的 边 际 需 求 为 dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
设在点 x x0 处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量 y 的准确值为 y x 1 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用 知道， y 的近似值为
x x0
y x 1 dy f ( x )x
x x0
x x0 x 1
f ( x 0 )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
3 弹性的四则运算
f1 ( x) E f 2 ( x) Ef1 ( x) Ef 2 ( x) (3) Ex Ex Ex
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
边际函数 y f ( x )的 几 何 意 义 为 所 示 曲 上 线各 点 的 切 线 斜 率 ，
Ef1 ( x) Ef 2 ( x) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ex (1) Ex f1 ( x) f 2 ( x) (2) E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ef1 ( x) Ef 2 ( x) Ex Ex
边际函数考研真题及答案
边际函数考研真题及答案边际函数是微积分中的一个重要概念，广泛应用于经济学、物理学等各个领域。
在考研数学中，边际函数也是一个考察的重点内容。
本文将结合考研真题，对边际函数的相关问题进行探讨，并提供详细的解答策略。
一、边际及边际函数的概念边际是指一定范围内变量变化的极小量。
在微积分中，我们可以通过导数的概念来理解边际。
对于一个函数f(x)，其边际函数f'(x)表示函数f(x)关于自变量x的变化率。
在经济学中，边际分析是指考察某一决策或行为对最终结果产生的影响。
边际函数的应用可以帮助我们理解各个决策点的效果，并做出合理的选择。
二、考研真题解析为了更好地理解和应用边际函数的概念，我们将结合考研数学真题进行解析。
【例题】（2020年考研数学一真题）设函数f(x)满足f'(x)>0，且当x<0时，f''(x)>0；当x>0时，f''(x) <0。
则函数y=f(x)的下列说法正确的是：A. 函数y=f(x)是减函数；B. 函数y=f(x)在x = 0处取得极小值；C. 函数y=f(x)在x = 0处取得最大值；D. 函数y=f(x)在x = 0处取得极大值；解析：根据题目给出的条件，我们可以知道函数f(x)在x<0时是递增的，即f'(x)>0，而在x>0时是递减的，即f'(x)<0。
因此，可以推断函数在x = 0的局部极小值点。
所以，选项B“函数y=f(x)在x = 0处取得极小值”是正确的。
由此可见，边际函数的理解和应用在解题过程中起到了关键的作用。
三、边际函数的应用1. 边际成本与边际收益在经济学中，边际成本和边际收益是常用的概念。
边际成本指的是生产单位产品时增加的总成本与增加的产量之间的比值，而边际收益是指增加一单位产品时带来的收益。
我们可以通过计算边际成本和边际收益的关系来判断是否继续生产或投资。
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例6 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
C( x) 9000 40x 0.001x2
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出 其最小平均成本和相应的边际成本.
17
解 平均成本函数是 0.001x
解
(1)
由 (x)
x
f ( x) f (x)
x aebx
abebx
bx
故 (1) b
η (1)的经济意义是: 函数ƒ(x)在 x = 1处,
当b > 0时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少)b%;
当b < 0时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加)–b% .
2660
298
课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等
常用经济函数进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态
及商品的价格变动等. 16
二.函数最值在经济中的应用
在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结 为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值 在经济上的应用.
f ( x0 )
f ( x0 )
( lim 0) x 0
当x 0 (即x很小)时, 有
f ( x0
x) x
f ( x0 )
f ( x0 )
3
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无 意义). 故有 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )
L( x) xx0 R( x0 ) C( x0 ) 0
L( x) xx0 R( x0 ) C( x0 ) 0
可见, 当产量水平 x = x0 使得边际收益等于边际成本 时, 可获得最大利润.
22
例8 某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7– 0.2x (万元/吨), 且 x 为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为
f ( x0 ) f ( x0 )
(2)( x0 ) 的经济意义是：在x0 处, 当 x 发生1％的改变, 则ƒ(x)就会产生( x0 )%的改变.
当( x0 ) 0( 0)时，x 与y 的变化方向相同(相反) . (3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.
(4)弹性函数为边际函数除以平均函数, 即
(2) 由 ( x) x f ( x) k 故 (1) k
f (x)
11
例4 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的关系为
Q(
p)
a(
1
)
p 3
2
(a是常数),
求：(1)需求弹性函数(通常记作
p );
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.
解
(1)
Q( p)
而当E d<1时, 需求是缺乏弹性的, 提价可使总收益增加. 因此, 当总收益达到最大时, 需求价格弹性一定为单位弹性.
21
3.最大利润
设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中 x 为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为
L(x) = R(x) – C(x)
假设产量为 x0 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条 件和极值的第二充分条件, L(x0)必定满足:
15
例5 某商品的需求量为2660单位, 需求价格弹性为–1.4.
若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变), 问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为Q, 在价格上涨时的改变量为
ΔQ = Q – 2660
且
p 8%, p
p －1.4
Q
p
p p
Q
1.4 8%
C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家 获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大.
x
x
C ( x) 9000 0.001 x2
C
(
x)
1800 x3
0
令 C ( x) 0 得 x 3000, 且驻点唯一.
故 x 3000是(0, ) 唯一的极小值点.
若x 3000件时,平均成本达到最小，且最小平均成本为.
C (3000) 46(元 / 件)
边际利润函数为 L( x) 5 0.02x
(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的 边际利润分别是 L(200) L(x) x200 1
L(250) 0 L(300) 1
其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元. 当日产量为 250公斤时, 再增加1
公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时, 再增加 1公斤, 则反而亏损1元.
7
结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时 (L( x) 0) ,反而使企业无利可图.
2.弹性
弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变 化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述一 个量对另一个量的相对变化率的一个量.
Q dQ
dQ p
p dQ p Q
dp
Q dp p
p
p p
Q
需求量的相对改变量为
Q Q
p
p p
13
销售量的收益为 R( p) pQ
R ( pQ) d( pQ) Qdp pdQ (1 p )Qdp 由 p 0知, R (1 p )Qp 从而有结论: (1)若 p 1 (称为高弹性)时, 则 ΔR与 Δp 异号. 此时,
1
a(
1
)
p 3
1 ln( )
32
2
由
p
p Q( p) Q( p)
p
a(
1
)
p 3
1
a( 1 )
p 3
ln(
1
)
32 2
0.23 p
2
(2) p p4 0.92, p p4.35 1, p p5 1.15.
注 任何需求函数对价格之弹性 p, 均满足 p 0.
19
例7 已知需求函数为Q = 75－P2 , 问价格 p 为何值时, 总 收益最大? 当总收益达到最大时, 需求价格弹性为多少?
解 总收益函数为 R(P) = P ·Q = 75P － P 3
R(P) 75 3P2 0 得驻点 p = 5 (p = －5舍去), 且 R"(5) 30 0
14
由此对例4而言: 当 p = 4时, p 0.92 1 (低弹性), 此时降价使收益减少; 提价使收益增加;
当 p = 4.35 时, p 1(单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响;
当 p = 5 时, p 1.15 1 (高弹性), 此时降价使收益 增加; 提价使收益减少.
函数为 C( x) 1 x2 60x 2050 4
4
求: (1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;
(3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本
C(75) = 7956.25(元)
C(75)/75 = 106.08 (元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量
18
而边际成本函数为
C( x) 40 0.002x 故 x 3000 时, 相应的边际成本为
C(3000) 46(元 / 件)
显然最小平均成本等于其相应的边际成本.
2.最大收益
在已知商品需求函数的条件下, 若企业的目标是获得最大 收益, 那么, 企业应以总收益函数
R(P) = P ·Q 为目标函数来决策产量水平或产品的价格.
§3.7 导数在经济中的应用
一. 边际分析与弹性分析 二.函数最值在经济中的应用
1
§3.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或 微分)在经济中的一些简单的应用.
一. 边际分析与弹性分析
边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究 经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分 析.
C C(90) C(75) 101.25(元 / 件)
x
90 75
5
(3) 当日产量为75件时的边际成本 Q C ( x) 1 x 60 2
C(75) C( x) x75 97.5(元)
注 当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 L( x)为销售量 为x时的边际利润, 它近似等于销售量为 x 时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润.
例2 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是C( x) 100 2x 0.02x2 和 R( x) 7 x 0.01x2 .
求边际利润函数和当日产量分别是200公斤, 250公斤 和300公斤时的边际利润. 并说明其经济意义.
6
解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) 5x 100 0.01x2
从而 p = 5是总收益函数的极大值点, 极值唯一知, p =5 也是
总收益函数的最大值点, 故当价格为 p = 5时总收益达到最大.
需求价格弹性为