微积分— 边际分析与弹性分析
高等数学在经济学中的边际、弹性分析及应用
⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。
本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。
【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。
在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。
⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。
它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。
⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。
（1）边际成本。
在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。
（2）边际收益。
是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。
（3）边际利润。
对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。
（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。
微积分在经济学中的应用
微积分在经济学中的应用微积分是数学中的重要分支，也是应用最广泛的数学工具之一。
它的特点是能够对连续变化的量进行研究，因此在经济学中的应用非常广泛。
本文将从宏观经济学和微观经济学两个层面，探讨微积分在经济学中的重要性和应用。
一、宏观经济学中的微积分应用宏观经济学是对整个经济系统进行研究的学科，它关注的是经济的总体运行规律和宏观经济变量之间的关系。
微积分在宏观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 经济增长模型经济增长是宏观经济学中的核心问题之一。
微积分可以帮助我们建立经济增长模型，探讨经济增长率和各种因素之间的关系。
例如，通过对经济生产函数进行微积分运算，可以得到边际产出、边际投入和边际技术效率等重要经济指标，进而研究经济增长的规律和影响因素。
2. 国民收入计算国民收入是衡量一个国家经济发展水平的重要指标。
微积分在国民收入计算中发挥了重要作用。
它可以帮助我们对经济数据进行求和、积分等运算，从而准确计算出国民收入和国内生产总值等宏观经济指标。
3. 经济周期分析经济周期是宏观经济波动的一种表现形式，对其进行研究有助于把握经济的发展趋势和规律。
微积分可以帮助我们对经济数据进行趋势分析、峰值检测等，从而辅助预测经济周期的起伏和变化。
二、微观经济学中的微积分应用微观经济学是研究个体经济单位之间的行为和相互关系的学科，微积分在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析边际分析是微观经济学的基础理论之一，而微积分是边际分析的重要工具。
通过微积分的求导和积分运算，我们可以准确计算出边际成本、边际效用和边际收益等经济指标，从而帮助决策者做出最优决策。
2. 弹性分析弹性是衡量市场供求关系敏感度的指标，对于分析市场需求和供给的变化尤为重要。
微积分可以帮助我们计算和分析价格弹性、收入弹性和交叉弹性等，从而更好地理解市场的运行机制和市场参与者的行为。
3. 市场均衡分析市场均衡是微观经济学中的重要概念，用于描述市场上供给和需求的平衡状态。
微积分在经济学中的若干应用
微积分在经济学中的若干应用[摘要]：微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似与极限求精确的基本思想是学习高等数学的基础.随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者科学决策的制定提供依据。
对企业的经营和决策者来说，在经济分析中应用微积分定量的方法进行精确、严谨的决策，可以为决策者和经营者提供严谨的分析方法和新思路，积分模型在经济应用中有较大的发展空间，尤其是当前计算机应用的不断推广。
通过建立数学微积分模型，是实现高效决策和科学决策的重要路径，也是企业提升自身竞争力的必由之路。
[abstract:The calculus is one of the achievements of the greatest mankind’s intelligence, part’s begging to look like to beg the basic thought of precision with extreme limit is the foundation that studies Gao Deng’s mathem atics.Continuously develop and make use of a mathematics knowledge solution economic problem to seem to be more and more important along with the market economy, the usage calculus can carry on quantity to turn analysis to the actual problem in the economic activities, the establishment thus making policy for the business enterprise executive science provides basis.To the management and decision maker of business enterprise, the method of applied calculus fixed amount carries on precision, careful decision in the economic analysis, can be decision maker and executive to provide careful of analyze method and new way of thinking, the integral calculus model has bigger development space in the economic application, particularly is the current calculator applies of continuously expand.Passing to build up mathematics calculus model is efficiently a realization the important path of decision and science decision, is also the business enterprise promotes an oneself competition ability of necessarily from of road[关键词]：微积分边际分析弹性函数[Keyword]:The calculus limit analyzes flexible function1微积分的基本思想微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。
经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
浅析微积分在经济学中的应用
浅析微积分在经济学中的应用黄尹艺（四川大学锦城学院，会计2班，130410236）［摘 要］经济学中的很多经济现象、经济理论都能够用数学知识去解释。
本文本着“数学为体，经济为用”的原则，对于微积分在经济学领域中的连续复利、边际分析、弹性分析、最优化问题作一些初步分析。
［关键词］ 微积分；导数；极限；边际分析；弹性分析随着数学理论的不断完善和经济的飞速发展，数学与经济学的联系越来越紧密。
数学是经济学理论研究的理想工具，借助数学模型研究经济学，具有清晰、深入、严密三大优势。
微积分学作为数学的一个基础分支学科，在经济学中有着极为广泛的应用。
经济量化分析已成为经济学研究的主要手段。
现主要从微积分与经济的相关联系出发，简要讨论微积分在经济学中的应用及其存在的经济学意义。
一、 微积分的基本思想微积分学是数学的一个基础分支学科，源于代数和几何。
内容主要包括函数、极限、导数、微分学、积分学及其应用。
微积分有两个基本想法：其一是微分学，包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数,速度,加速度和曲线的斜率等均可在一个通用的符号化基础上进行讨论；其二是积分学，包括积分的运算，为计算被一个函数图像所包的面积提供一套通用的方法，引入诸如体积的相关概念。
微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中。
二、 微分在经济学中的应用在经济学领域中，微积分被运用十分基础和广泛，是学好经济学、剖析现实经济现象的基本工具。
1、 极限在经济学中的应用极限概念是微积分中最基本的概念，在极限的概念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展，很多经济学的知识也得到有效的解决。
比如利用极限解决连续复利问题。
例 设银行存款现值P 和将来值B ，年利率为r ，则t 年后的本利和即将来值为t r)(1B +=若一年分n 次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为 n nr P B )1(+= 而t 年后的本利和即将来值为 tn nrp B )1(+= 当∞→n 时，则t 年后的本利和即将来值为 t tn n pe nr p B =+=∞→)1(lim 从而现值p 和将来值B 之间的关系为t pe =B或者 t Be p -=现值P 为1，利息r 为100%，1t =，则得 e B =例子中的极限应用体现了在经济学中当一个数值含有极限的意义即趋向无穷大或0时，利用微积分中的极限的思想去解题可以步骤简化，思路清晰的解决很多经济学的这些问题。
浅谈边际分析与弹性分析在经济数学中的运用
２００９
０９ 中 · 国 电 子 商 务
１５
三 、 我 国 金 融 诚 信 体 系 的 构 建 分 析 为 了 维 护 我 国 经 济 体 系 的 有 效 运 转 ， 促 进 经 济 金 融 的 健 康 发 展 和 社 会 稳 定 ， 重 塑 诚 信 环 境 、 完 善 金 融 诚 信 体 系 已 成 为 当 务 之 急 。 （一 ）以 “三 位 一 体 ”信 用 制 度 建 设 为 突 破 口 ， 构 建 社 会 化 信 用 服 务 网 络 体 系 立 金 融 诚 信 企 业 制 度 。金 融 诚 信 企 业 是 指 经 资 信 评 １． 建 估 机 构 采 用 先 进 的 信 用 评 级 技 术 、 按 照 严 格 的 评 审 程 序 评 估 ， 符 合 一 定 信 贷 信 用 标 准 的 企 业 。资 信 评 估 机 构 应 对 借 款 人 偿 还 银 行 贷 款 的 历 史 记 录 和 影 响 借 款 人 未 来 偿 付 能 力 的 各 种 因 素 进 行 全 面 考 察 ， 对 企 业 进 行 金 融 诚 信 资 格 认 定 。 立 社 会 化 综 合 性 的 个 人 信 用 制 度 。个 人 信 用 是 整 个 ２． 建 社 会 信 用 的 基 础 ， 个 人 信 用 体 系 是 社 会 信 用 体 系 的 核 心 。建 立 个 人 信 用 制 度 不 仅 是 市 场 经 济 发 展 的 需 要 ， 更 是 人 们 思 想 观 念 与 社 会 发 展 与 时 俱 进 的 需 要 。 ３． 建 立 严 格 的 金 融 机 构 信 用 管 理 制 度 。各 商 业 银 行 要 建 立 健 全 内 控 机 制 和 信 用 管 理 制 度 ， 充 分 掌 握 企 业 信 用
微积分在经济中的应用分析(最新整理)
一、经济分析中常用的函数【2（一）需求函数和供给函数】1.需求函数。
需求函数是描述商品的需求量与影响因素，其影响因素很多，例如收入、价格、消费者的喜好等。
我们这里先不考虑其他因素，假设商品的需求量只受市场价格的影响，记Q=Q（p）（Q表示某种商品的需求量，P表示此种商品的价格）一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数．例如，某鸡蛋的价格从10元/千克降到8元/千克时，相应的需求量就从1500千克增到2000千克，显然需求是和价格相关的一个变量。
一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数（如图一）。
右下方倾斜的具有负斜率的曲线；曲线表明了需求量与价格之间呈反方向变动的关系。
当价格下降时，需求量上升；当价格上升时，需求量下降。
2.供给函数。
一种商品的市场供给量与商品的价格存在一一对应的关系，记S=S（p），例如，当鸡蛋收购价为4.5元/千克时，某收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每4.6元/千克时，收购量为5400kg。
一般来说，供给函数为价格的单调增加函数。
（如图二）供给函数特征：横轴S 为供给量，纵轴P 为自变量价格；供给曲线是从左下方向右上方倾斜的具有正斜率的曲线。
当价格上升时，供给增加；当价格下降时，供给减少。
（二）、市场均衡在市场中，当一种商品满足Q=S 即需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，当Q=S 时的价格称为均衡价格，当市场价格高于均衡价格时，供给量就会增加而需求量就会减少，这是出现“供过于求”的现象；当市场价格低于均衡价格时，需求量就会增加而供给量减少，这是出现“供不应求”的现象。
（三）、价格函数、收入函数、利润函数1.价格函数。
一般来说，价格是销售量的函数。
在我们的生活中是随处可见的，就像我们去买东西，买的越多 就可以把价格讲得越低。
例如，平和一家茶叶批发公司，批发50千克茶叶给零售商，批发价是50元每千克，若每次多批发20千克茶叶，那么相应的批发价格就可以降低4元，很明显价格和销售量是相关的一个变量。
高等数学II(微积分龚德恩范培华)导数在经济学中的简单应用
如函数 f ( x)在点 x0可微，则
y dy |xx0 f ( x0 )x
假如 x 1, 则 y f ( x0 )
这说明当 x在 x0点改变“一个单位”时，y相应的近似改变 f ( x0 )个单位。 边际函数值描述了 f (x)在点 x0处的变化速度.
一般来说，销售 Q单位产品的总收益为销售量 Q与价格 P之
积，即
R(Q) QP QP(Q),
式中，P P(Q)是需求函数 Q Q(P)的反函数，也称需求函
数，于是有，R(Q) [QP(Q)] P(Q) QP(Q).
1/24/2020
7
例3 设某产品的需求函数为 P 10 Q , 5
际分析与弹性二分、析弹问题性.
1/24/2020
2
一、边际分析
设 y f ( x)是一个经济函数,其导数 f ( x)称为 f ( x)的
边际函数。f ( x0 )称为 f ( x)在点 x0的边际函数值。
对于经济函数 f ( x)，设经济变量 x 在点 x0有一个改变 量 x，则经济变量 y 在 y0 f ( x0 ) 处有相应的改变量
8
(3) 边际利润.
设产品的总利润函数 L(Q), Q为产量，称它的导数L(Q)为边 际利润，L(Q0 )称为当产量为Q0时的边际利润。 经济意义：当产量达到Q0时,如果增减1个单位产品,则利润
将相应增减L(Q0 )个单位。
一般来说，总利润函数可以看成总收益函数与总成本函数之
差，即
L(Q) R(Q) C(Q).
例4 求函数 y 3e2x在 x 1处的弹性。
解
Ex
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二、函数变化率——边际
边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数
分析 在点xx0处 当x1时 有 y dyf (x0)xf (x0)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
弹性的意义
E Ex
f
(x0)
表示在点
xx0
处
当 x 产生 1%的改变时 fx0)%
在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近
R(100) 1002 6100 10600
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(3) 利润函数
总利润等于总收益与总成本之差，一般用L(q)表示.
L(q) R(q) C(q)
例4.已知某产品的成本函数为C(q) 2q2 4q 21，该产品的 单位价格为13，求该产品的总利润函数.
ff(x((0xx)00)f)
x0xx00 f(fx((0xx)00))
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x x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
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最大利润原则 设R(Q)为收益函数 C (Q)为成本函数 则 得取最大利润的必要条件为 边际收益等于边际成本 即
R(Q)C (Q) 取得最大利润的充分条件为 边际收益的变化率小于边
际成本的变化率 即R(Q)C (Q) 提示
设总利润为L 则 LL(Q)R(Q)C(Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)R(Q)C (Q)
(2) 收益函数
总收益函数是指生产者出售商品所得到的全部收入, 一般用R表示. 设销售量为q, 商品价格为p，则
R pq.
例3. 某商品的市场需求规律为q p 6，求销售100个商品 时的总收入.
解 总收益函数为： R(q) pq (q 6)q q2 6q
销售100个商品时的总收益为：
际成本的变化率 即R(Q)C (Q) 提示
设总利润为L 则 LL(Q)R(Q)C(Q) L(Q)R(Q)C (Q) L(Q)R(Q)C (Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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定义45(函数的弹性)
设函数yf(x)在点x0处可导 函数的相对改变量与自变量
的相对改变量之比y/ y0 x/ x0
称为函数 f(x)从 xx0 到 xx0x 两点
间的平均相对变化率(弧弹性)
若极限
lim
x0
y x
/ /
y0 x0
存在，则称该极限为f
(x)在点x
x0处的
似” 二字
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x x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
（2）求生产50个产品时的平均成本和边际成本， 并解释后者的经济意义.
__
解：（1）平均成本函数为C
C(q)
0.001q2
0.3q
40
1000
,
q
q
边际成本函数为C(q) 0.003q2 0.6q 40；
__
（2）当q=50时， C(50) 47.5，C(50) 17.5.
两种商品涨价的幅度大不相同 商品A涨了10% 而商品B 涨了01% 哪种商品涨价后销售量会有较大波动? 这种波动由什么
因素决定?
1元
绝对改变量
1% 0.1%
相对改变量
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定义 (绝对改变量与相对改变量)
变量 t从初值t0 变到终值 t1 ，则称
这说明 当x产生一个单位的改变时 y近似改变f (x0)个单位 在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似” 二字
边际的意义
当x在点x0处改变一个单位时，函数f (x)改变f (x0 )个单位.
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边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数
相对变化率(点弹性).
记为
Ey Ex xx0
或E Ex
f
(x0)
即即即
EEyEyy EExExxx
lilmliimmyy/y/y/y0y00lilmliimmyyyx0xx00f xxx0xx00 xxx000xx/xx//0xx00 xxx000xxxyy0y00
ff
((xxx))
f
(x)
例7 求函数y32x在x3处的弹性
解 Ey y x 2 x 2x Ex y 32x 32x
Ey Ex
|x3
23 3 23
2 3
例例89. 求函数 y100e3x 的弹性函数EEyx 及EEyx |x2
解
Ey Ex
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例1 （1）设某电子产品的月销售量是价格的线性函数．当 价格为580元时，每月售出800件；当价格为680元时，每月 售出600件. 试求需求函数 ； （2）该电子产品供应商每月向商场供给量也是价格的线性 函数．当价格为580元时，每月提供800件；当价格为680元 时，每月多提供200件，试求供给函数.
x 20% y 44%
x
y
此时，
y x
/ /
y x
44% 20%
2.2
这表示在(10 12)内 从x10开始 x改变1%时 y平均改变22% 我们称它为从x10到x12 函数yx2的平均相对变化率
(弧弹性)
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表示价格改变一个单位，需求量改变Q( p)个单位.
（2）边际供给 Q( p)
表示价格改变一个单位，供给量改变Q( p)个单位.
（3）边际成本 C(q)
表示生产第(q +1)个产品的成本.
（4）边际收益 R(q)
表示销售第(q +1)个产品的收入.
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总成本 总成本是生产一定数量的产品所需的费用总额
总成本C(Q)由固定成本C0和可变成本C1(Q)两部分组成： C(Q) C0 C1(Q).
平均成本 平均成本是生产一定量产品 平均每单位产品的成本
生产 Q 个单位产品时的平均成本为： C C(Q) Q
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解： (1)设需求量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q a bp.
800 a 580b 600 a 680b 解得 a 1960,b 2. 故需求函数为 Q 1960 2 p. (2)设供给量为 Q，价格为 p，由题意可设：Q c dp.
800 c 580d 1000 c 680d 解得 c 360,d 2. 故需求函数为 Q 360 2 p.
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例2 设某商品的需求函数为QbaP(a、b0) 供给函数为 QcPd(c、d0) 求均衡价格P0
解 令baP0cP0d
得
P0
bd ac
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2. 成本函数、收益函数、利润函数 (1) 成本函数
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(2) 供给函数
含义：生产商向市场提供的商品的数量. 供给量也主要受到商品价格的影响，亦可视为价格 的函数.记为Q Q( p). 通常降低商品的价格会使供给量增加，提高价格会 使供给量减少．因此供给函数是单调递增函数.
(3) 均衡价格 市场上需求量与供给量相等时的价格 此时的需求量与供给量称为均衡商品量 一般来说 市场上的商品价格 是围绕均衡价格摆动的
Δt = t1- t0为变量 t 在 t0处的绝对改变量；
t t0
称为t在t0处的相对改变量.
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引例 已知yx2 则当x由10改变到12时 y由100改变到144 此时自变量与因变量的绝对改变量分别为:
x2 y44 相对改变量分别为:
L(Q)取得最大值的充分条件为 L(Q)0 即R(Q)C (Q)
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三、函数的相对变化率——弹性
问题思考 商品A的单位价格为10元 涨价1元 商品B的单位价格为1000元 也涨价1元 两种商品价格的绝对改变量都是1元 但各与原价相比