第七节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍
微积分— 边际分析与弹性分析
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
二、函数变化率——边际
边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数
分析 在点xx0处 当x1时 有 y dyf (x0)xf (x0)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
弹性的意义
E Ex
f
(x0)
表示在点
xx0
处
当 x 产生 1%的改变时 fx0)%
在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近
R(100) 1002 6100 10600
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
(3) 利润函数
总利润等于总收益与总成本之差，一般用L(q)表示.
L(q) R(q) C(q)
例4.已知某产品的成本函数为C(q) 2q2 4q 21，该产品的 单位价格为13，求该产品的总利润函数.
ff(x((0xx)00)f)
x0xx00 f(fx((0xx)00))
《微积分》(第三版) 教学课件
首页 上一页 下一页 结束
x x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
边际分析与弹性分析
解 R(Q) 600Q 1 Q2(Q 0), R(150) 78750 2
R(Q) P(Q) 600 1 Q, R(150) 525 2
R(Q) (600Q 1 Q2 ) 600 Q, R(150) 600 150 450 2
第8页/共59页
例 3 生产某种产品Q个单位时成本函数为C 200 0.05Q2， 求生产60个单位与生产80个单位该产品时的总成本、 平均成本及边际成本．
解 由C 200 0.05Q2，有C 200 0.05Q, C 0.1Q Q
当Q 60时，总成本为C(60) 380， 平均成本为C(60) 6.33， 边际成本为C(60) 0.1 60 6.
此时，边际收益的经济含义是：
当销售量为150吨时，再销售一吨（即Q 1）所增加的
收入为450元，低于平均收益525元．
第18页/共59页
四、利润
总利润是指总收益减去总成本． 设总利润为L，则 L L(Q) R(Q) C(Q)， L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为： L(Q) 0，即R(Q) C(Q)
例 1 函数 y x2 , y 2 x 在点 x 10处的边际函数值，
y(10) 20 它表示当 x 10时， x改变一个单位，
第3页/共59页
二、成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额． 它由固定成本与可变成本组成．
平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下， 产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数．
弹性理论在经济分析中的应用
弹性理论在经济分析中的应用弹性理论是经济学中一个重要的分析工具，它可以帮助我们了解经济变量之间的相互关系，以及它们对经济政策变化的反应。
在经济分析中，弹性理论的应用范围非常广泛，包括需求弹性、供给弹性、交叉弹性、国际贸易弹性等。
本文将介绍弹性理论在经济分析中的应用，并分析其在宏观经济政策制定和微观企业决策中的重要性。
一、需求弹性需求弹性是指价格或收入变化时，消费者对某种商品或服务的需求量变化程度。
需求弹性在经济分析中非常重要，因为它可以帮助我们预测价格变化对销售量的影响，从而制定更有效的营销策略。
例如，如果一种商品的需求富有弹性，那么降低价格可能会增加销售量，从而提高企业的利润。
相反，如果一种商品的需求缺乏弹性，那么提高价格可能会增加企业的利润。
在宏观经济政策制定中，需求弹性也具有重要的应用。
例如，政府可以通过调整税收和补贴政策来影响消费者对商品和服务的购买量。
如果一种商品的需求富有弹性，那么降低税收或增加补贴可能会增加该商品的销售量，从而刺激经济增长。
相反，如果一种商品的需求缺乏弹性，那么提高税收或减少补贴可能会减少该商品的销售量，从而抑制经济增长。
二、供给弹性供给弹性是指生产者对某种商品或服务供给量的变化程度。
供给弹性的大小可以反映生产者的灵活性和决策效率。
在宏观经济政策制定中，供给弹性可以帮助我们了解生产者的反应能力，从而制定更有效的产业政策。
例如，如果一种产业的生产供给具有很高的弹性，那么政府可以通过降低税收或增加补贴来鼓励更多的生产，从而提高该产业的就业水平和经济增长率。
三、交叉弹性交叉弹性是指两个经济变量之间的相互影响程度。
在宏观经济分析中，交叉弹性可以帮助我们了解经济变量之间的相互作用关系，从而制定更有效的经济政策。
例如，通货膨胀和失业率之间的交叉弹性可以告诉我们，政府可以通过货币政策和财政政策之间的协调来控制通货膨胀和失业率之间的平衡。
如果通货膨胀和失业率之间的交叉弹性较高，那么政府需要更加谨慎地制定货币政策和财政政策，以避免失业率进一步上升或通货膨胀加剧。
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
边际分析法在经济中的应用
边际分析法在经济中的应用边际分析法是一种定量分析方法,在西方经济学中,边际分析是建立微观经济学的重要工具。
可以说,边际方法把数学方法引进了经济学的研究中,使经济研究得以定量化。
标签：经济函数边际边际分析法导数在社会科学中，数学的首要应用领域无疑是经济学。
一个国家的繁荣富强是依靠高科技和经济管理的水平，而现代的科技和现代的经济管理，它的基础是数学。
数学是经济领域中的极其有用的重要工具。
研究经济数学不仅有利于改进经济工作和提高管理水平，而且有利于经济学与数学的共同发展。
经济学是成本与收益的比较。
经济学研究经济规律也就是研究经济变量相互之间的关系。
经济变量是可以取不同数值的量，如通货膨胀率、失业率、产量、收益等等。
经济变量分为自变量与因变量。
例如，如果研究投入的生产要素和产量之间的关系，可以把生产要素作为自变量，把产量作为因变量。
自变量(生产要素)变动量与因变量(产量)变动量之间的关系反映了生产中的某些规律。
边际分析法就是运用导数和微分方法研究经济运行中微增量的变化，用以分析各经济变量之间的相互关系及变化过程的一种方法。
一、经济函数1.需求函数和供给函数大家可以想像到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少;价格便宜，买的人就多。
我们先不考虑其他因素，可以将它简化为一种函数关系，这样，需求量就是价格的函数。
供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少。
我们也可以把它简化为一种函数关系。
需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数。
我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，而供给量应随着价格的增加而增加。
2.成本函数和收益函数成本函数是成本与产量之间关系的总称。
是指在某些固定要素价格下,生产给定产出水平的最小成本。
它决定于生产者的生产函数及生产者在投入物上支付的价格。
成本函数主要区分为短期成本函数和长期成本函数。
收益是生产者(厂商)出卖其产品而得到的收入。
经济学的数学运用
经济学的数学运用经济学是一门研究资源配置、生产、消费和分配等经济活动的科学。
它利用数学方法来分析经济现象和解决经济问题，以便更加准确地预测和决策。
下面将介绍经济学中常用的数学工具和它们的应用。
1. 边际分析边际分析是经济学中常用的数学方法之一。
它通过计算单位增量带来的收益或成本变化，来评估决策的效果。
边际分析可用于最优决策问题，即在资源有限的情况下，通过比较边际效益与边际成本，找到最合理的方案。
2. 需求与供给的弹性需求与供给的弹性是衡量市场对价格变动的敏感程度的指标。
它通过计算数量对价格变动的相对变化比率，来衡量市场的灵活性。
数学上，需求的弹性定义为需求量变动的百分比除以价格变动的百分比。
供给的弹性定义为供给量变动的百分比除以价格变动的百分比。
3. 利润最大化和成本最小化利润最大化和成本最小化是企业在市场经济中的基本目标。
数学方法可用于确定生产和销售规模，以达到最大利润或最小成本。
利润最大化可通过边际分析和最优化技术实现，成本最小化可以通过微积分和线性规划等数学方法解决。
4. 消费者福利和生产者剩余消费者福利和生产者剩余是经济学中衡量经济效益的指标。
消费者福利是消费者愿意为产品而支付的金额与实际支付金额之间的差额。
生产者剩余是生产者实际获得的收益与期望收益之间的差额。
这些指标通过积分和微积分等数学方法来计算和评估。
5. 等价交换和边际效用理论等价交换是市场经济中的基本原则之一，即在没有外部干预情况下，市场参与者通过自愿的交易达成互利的结果。
边际效用理论是经济学中用来解释消费者选择的理论，它认为消费者通过比较边际效用来做出决策。
这些理论都使用了数学方法来分析和解释经济行为。
6. 经济增长和财务规划经济增长和财务规划是宏观经济学中的重要议题。
经济增长通过计算国内生产总值（GDP）的增长率来衡量。
财务规划通过数学方法分析企业的财务状况，预测未来的盈利能力和现金流量。
综上所述，经济学的数学运用是理解和解决经济问题的重要工具。
浅谈边际分析与弹性分析在经济数学中的运用
２００９
０９ 中 · 国 电 子 商 务
１５
三 、 我 国 金 融 诚 信 体 系 的 构 建 分 析 为 了 维 护 我 国 经 济 体 系 的 有 效 运 转 ， 促 进 经 济 金 融 的 健 康 发 展 和 社 会 稳 定 ， 重 塑 诚 信 环 境 、 完 善 金 融 诚 信 体 系 已 成 为 当 务 之 急 。 （一 ）以 “三 位 一 体 ”信 用 制 度 建 设 为 突 破 口 ， 构 建 社 会 化 信 用 服 务 网 络 体 系 立 金 融 诚 信 企 业 制 度 。金 融 诚 信 企 业 是 指 经 资 信 评 １． 建 估 机 构 采 用 先 进 的 信 用 评 级 技 术 、 按 照 严 格 的 评 审 程 序 评 估 ， 符 合 一 定 信 贷 信 用 标 准 的 企 业 。资 信 评 估 机 构 应 对 借 款 人 偿 还 银 行 贷 款 的 历 史 记 录 和 影 响 借 款 人 未 来 偿 付 能 力 的 各 种 因 素 进 行 全 面 考 察 ， 对 企 业 进 行 金 融 诚 信 资 格 认 定 。 立 社 会 化 综 合 性 的 个 人 信 用 制 度 。个 人 信 用 是 整 个 ２． 建 社 会 信 用 的 基 础 ， 个 人 信 用 体 系 是 社 会 信 用 体 系 的 核 心 。建 立 个 人 信 用 制 度 不 仅 是 市 场 经 济 发 展 的 需 要 ， 更 是 人 们 思 想 观 念 与 社 会 发 展 与 时 俱 进 的 需 要 。 ３． 建 立 严 格 的 金 融 机 构 信 用 管 理 制 度 。各 商 业 银 行 要 建 立 健 全 内 控 机 制 和 信 用 管 理 制 度 ， 充 分 掌 握 企 业 信 用
第七节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍
第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍一、 函数变化率——边际函数1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y∆∆2．()x f 在0x点的变化率()00lim x f x y x '=∆∆=→∆3. ()x f '——边际函数4()()0111000x f dx x f dy y dx xx dx x x x x x '='=≈∆=====∆=注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。
例 1 函数2x y =求在100=x 处的边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。
注：①()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本③经济学家的解释：当产量达到0Q时，生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。
二、 成本1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。
2．①总成本()()Q C C Q C C 21+==②平均成本()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+===③边际成本()Q C C '=' ④边际成本()()10C dt t C Q C Q +'=⎰3．几个关系例 1 设某商品的成本函数为()41002Q Q C C +==求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。
②当Q 为多少时，平均成本最小？三、 收益1．总收益：生产出售一定数量的产品所得到的全部收入。
2．①需求函数()QPP=②总收益()QRR=③平均收益()QRR=④边际收益()QRR'='3．几个关系需求函数①()==QRR()QPQ⋅②()QRR=()QP=③()QRR'='()()QPQPQ+'=④()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510QP -=求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍一、 函数变化率——边际函数1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y∆∆2．()x f 在0x点的变化率()00lim x f x y x '=∆∆=→∆3. ()x f '——边际函数4()()0111000x f dx x f dy y dx xx dx x x x x x '='=≈∆=====∆=注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。
例 1 函数2x y =求在100=x 处的边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。
注：①()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本③经济学家的解释：当产量达到0Q时，生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。
二、 成本1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。
2．①总成本()()Q C C Q C C 21+==②平均成本()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+===③边际成本()Q C C '=' ④边际成本()()10C dt t C Q C Q +'=⎰3．几个关系例 1 设某商品的成本函数为()41002Q Q C C +==求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。
②当Q 为多少时，平均成本最小？三、 收益1．总收益：生产出售一定数量的产品所得到的全部收入。
2．①需求函数()QPP=②总收益()QRR=③平均收益()QRR=④边际收益()QRR'='3．几个关系需求函数①()==QRR()QPQ⋅②()QRR=()QP=③()QRR'='()()QPQPQ+'=④()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510QP -=求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。
问题：如何理解()230-='R ？ 最大值()12525=R()8.12129=R ()12030=R()3028.11300R R x x '=-≈-=∆=∆=4．最大利润原则设总利润为L ，则()()()Q C Q R Q L L -== ① 最大利润的必要条件： =边际成本 ②最大利润的充分条件： ()()Q C Q R ''<''边际收益的变化率<边际成本的变化率例2 设某产品的需求函数为 510QP -=，成本函数为Q C 250+=求产量为多少时，总利润最大？并验证是否符合最大利润原则。
注：一般步骤（1） 总利润最大问题①列出利润函数()()()Q C Q R Q L -=②求出()0='Q L 的点0Q③验证0Q 为极大值点求出()Q L ''，()00<''Q L（2） 验证是否符合最大利润原则问题 ①求出()()Q R Q R ''',，()()Q C Q C ''',②验证()()00Q C Q R '=' ③验证()()00Q C Q R ''<''例3 设某工厂生产某种产品，固定成本20，000元，每生产一台产品，成本增加1000元，已知R 总收益是年产量Q 的函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-==400000,804000214002Q Q Q Q Q R R 求每年生产多少产品时，总利润最大？此时，总利润是多少？四、 函数的相对变化率——函数的弹性1．（两点间的弹性）()x f 在()x x x ∆+00,两点间的相对平均变化率()00,//00x x y y x x x ∆∆=∆+η2．（0x 点的弹性）()x f 在0x 点的相对变化率()()000000//lim0x f x x f x x y y x x x '=∆∆=→∆=η记作：(),,00x f Ex EEx Ey x x =即()()0000x f x x f Ex Eyx x '==注：弹性应该是正值，故要由()x f 的增减性决定弹性中的+、-号。
① ()x f()()0000x f x x f ExEyx x '==②()x f()()0000x f x x f ExEyx x '-==3. 弹性函数()()x f x x f ExEy '=弹性Ex Ey反映随x 的变化，()x f 变化幅度的大小，即()x f 对x 变化反映的强烈程度或灵敏度。
4．经济解释： ①()()0111000x f dxx f dyydx x x dx x x x x x '='=≈∆=====∆=自变量在点0x 增加一个单位时，函数改变了()0x f '个单位。
②()()%000%10x f x x f y y x x '≈∆=∆自变量在点0x 增加1%时，函数相对0y 改变了()()%000x f x x f '例1 求x y 23+=在3=x 处的弹性。
例 2 求xey 3100=的弹性函数ExEy及 2=x ExEy例 3 求为常数）a x y a(=的弹性函数。
五、 需求函数与供给函数 1．需求函数（1）需求：指在一定价格条件下，消费者愿意购买并有支付能力购买的商品量。
设P ——商品价格，Q ——需求量 （2）需求函数： ()P f Q = （3）常用一些简单函数拟合需求函数（减函数），建立经验曲线： 线性函数0,>-=b a aPb Q反比函数,0≠>=P k Pk Q 幂函数,0,≠>=P k a Pk Q a指数函数 0,>=-b a aeQ bP（4）边际需求：()P f Q '=' 例 若已知需求函数为4122PQ -=，求边际函数2．供给函数（1）供给：指在一定价格条件下，生产者愿意出售并有可供出售的商品量。
设P ——商品价格，Q ——供给量 （2）供给函数： ()P Q ϕ=（3）常用一些简单函数拟合供给函数，建立经验曲线：3．均衡价格均衡价格：是市场上需求量与供给量相等时的价格。
此时的需求量与供给量为，称为均衡商品量注：市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动六、需求弹性与供给弹性（需求与供给对价格的弹性）定义 6 某商品需求函数()PfQ=在0PP=处可导。
则①该商品在()PPP∆+,两点间的需求弹性记作()00,//0P P Q Q P P P ∆∆-=∆+η②该商品在0P P =点的需求弹性记作 ()()()0000000//limP f P P f P P Q Q P P P P '-=∆∆==→∆=ηη注：弹性应该是正值，故要由()P f 的增减性决定弹性中的+、-号。
而需求函数()P f 为减函数，故取-号例1 已知某商品需求函数为PQ 1200=，求①从30=P 到50,32,25,20=P 各点间的需求弹性。
②30=P 时的需求弹性。
③解释其经济意义例2 已知某商品需求函数为PeQ 5-=，求①需求弹性函数。
②6,5,3===P P P 时的需求弹性。
2．定义7 某商品供给函数()P Q ϕ=在0P P =处可导。
则①该商品在()P P P ∆+00,两点间的供给弹性记作()00,//0P P Q Q P P P ∆∆=∆+ε②该商品在0P P =点的供给弹性记作()()()0000000//limP P P P P Q Q P P P P ϕϕεε'=∆∆==→∆=注：弹性应该是正值，故要由()P ϕ的增减性决定弹性中的+、-号。
而供给函数()P ϕ为增函数，故取+号七、 用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化 总收益=价格*销售量()P f P Q P R ⋅=⋅=()Q R R '='()()P f P f P +'=()()()()()η-=⋅'+=1]1[P f P f PP f P f①1<η 需求变动幅度<价格变动幅度②1>η 需求变动幅度>价格变动幅度③1=η 需求变动幅度=价格变动幅度（此时，0='R ，总收益取得最大值）1>即总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化。
例3 设某商品需求函数为()212P P f Q -==，①求需求弹性函数②求6=P 时的需求弹性。
③在6=P 时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化白分之几？④P 为何值时，总收益最大？最大的总收益是多少？注：由于总收益函数的增减性是不确定的，故总收益的弹性公式中+，-号是不确定的①由需求弹性η的值与1比较，只能得到总收益函数的大概情况，即只能知道是否总收益最大，或此时总收益是增加还是减少。
21 ②要想得到总收益具体变化的值，必须求总收益的弹性。
现由第①步的增减性，确定出总收益公式的+、-号，再计算 ()()P R PP R EP ER⋅'±=作业：课堂练习3——7： 1，2 习题3——7： 4, 7, 10, 13, 15。