7-8 边际分析、弹性分析与经济问题的最优化
边际分析法
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边际分析法公式
• 在经济学上，边际是指每单位投入所引起的产出的变化。边际分析方
法在管理经济学中有较多的应用。它主要分析企业在一定产量水平时 ，每增加一个单位的产品对总利润产生的影响。可以用以下的公式来 说明。
• 公式：边际值=△f(x)/△X
其中，X代表投入，f(x)代表产出，表现为X的函数；△表示变量。 假设基数X处在变化中，那么，每增加一个单位的投入，这个单位所引 起的产出的增量是变化的。
这个效用称为“边 际效用”。
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边际分析法的起源
3、奥地利学派概述
奥地利学派的代表人物有门格尔、维塞尔、庞巴维克，他 们都是奥地利人。
弗里德里 希.维塞尔， 门格尔的 门徒
门格尔 （创始
人）
欧根.庞巴维 克，维塞尔的 同学和好友。
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边际分析法的起源
4、奥地利学派的方法论
论战
19世纪80年代，在德 国和奥地利经济学界， 发生了关于经济学研 究方法的激烈论 战 ．论战的主要角 色是奥地利学派的创 始人门格尔和新历史 学派的领袖施穆勒， 论战的主要内容是在 经济学研究中，究竟 应该采用抽象演绎法 还是历史归纳法。
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案例三
• 国庆长假高速路免费政策导致拥堵严重的现象：国庆期间七座以下小
车免费通行高速路的政策，结果国庆第一天高速路上出现严重的交通 拥堵现象。运用边际分析法分析如下： 局限条件变化 —— 高速路收费变化为不收费； 引起的结果 —— 人们对高速路的需求量增大，高速路发生拥堵。
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称为f(x)在[x0,x0+∆x]上的平均变化率，它表示在[x0,x0+∆x]内f(x)的平均 变化速度，而f’(x0)称为f(x)在点x0处的变化率，也称为f(x)在点x0处的边 际函数值，它表示f(x)在点x0处的变化速度，即当x的改变量 ∆ x 趋于0时 ，y的相应改变量 ∆ y 与的比值的变化，当x在某一给定值附近有微小变 化时y的瞬时变化，边际的含义就是因变量关于自变量的变化率，或者 说是自变量变化一个单位时因变量的改变量.若设某经济指标y与影响指 标值的因素x之间成立函数关系式y=f(x),则称导数f’(x)为f(x)的边际函数 。
边际分析与弹性分析
解 R(Q) 600Q 1 Q2(Q 0), R(150) 78750 2
R(Q) P(Q) 600 1 Q, R(150) 525 2
R(Q) (600Q 1 Q2 ) 600 Q, R(150) 600 150 450 2
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例 3 生产某种产品Q个单位时成本函数为C 200 0.05Q2， 求生产60个单位与生产80个单位该产品时的总成本、 平均成本及边际成本．
解 由C 200 0.05Q2，有C 200 0.05Q, C 0.1Q Q
当Q 60时，总成本为C(60) 380， 平均成本为C(60) 6.33， 边际成本为C(60) 0.1 60 6.
此时，边际收益的经济含义是：
当销售量为150吨时，再销售一吨（即Q 1）所增加的
收入为450元，低于平均收益525元．
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四、利润
总利润是指总收益减去总成本． 设总利润为L，则 L L(Q) R(Q) C(Q)， L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为： L(Q) 0，即R(Q) C(Q)
例 1 函数 y x2 , y 2 x 在点 x 10处的边际函数值，
y(10) 20 它表示当 x 10时， x改变一个单位，
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二、成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额． 它由固定成本与可变成本组成．
平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下， 产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数．
微积分在经济中的应用
微积分在经济中的应用微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化率和函数的积分。
在经济领域中，微积分也有着广泛的应用。
本文将介绍微积分在经济中的应用。
一、边际分析和最优化边际分析是微积分在经济中的一个重要应用。
它研究的是在一定范围内的最优解。
通过计算边际成本和边际收益，可以找到最优的生产量或价格，从而获得最大利润。
例如，对于一个厂商来说，如果其生产成本为每单位100元，销售价格为每单位150元，那么如果生产100单位的产品，总利润为5000元。
但如果每单位生产成本下降到80元，销售价格不变，那么生产150单位的产品可以获得最大利润7500元。
因此，厂商应该选择生产150单位的产品。
二、弹性分析弹性分析是微积分在经济中的另一个重要应用。
它研究的是函数对于自变量的敏感程度。
在经济学中，弹性分析可以帮助我们理解价格的变动对于需求和供给的影响。
例如，需求弹性和供给弹性可以帮助我们理解市场均衡价格的变动。
如果需求缺乏弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度小于价格上升的幅度，从而厂商的利润会增加。
因此，厂商可能会选择提高价格。
相反，如果需求富有弹性，那么价格的上升可能会导致销售量的下降幅度大于价格上升的幅度，从而厂商的利润会减少。
因此，厂商可能会选择降低价格。
三、微分方程微分方程是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述变量之间的依赖关系。
在经济领域中，微分方程可以用来描述市场均衡价格的变动。
例如，在供求定理中，我们可以建立一个微分方程来描述价格和销售量之间的关系。
如果供给函数为s(p)，需求函数为d(p)，那么我们可以建立如下微分方程：dp/dt = s(p) - d(p)其中，t表示时间，p表示价格。
该方程表示的是在时间内价格的变动量等于供给量与需求量之差。
通过求解这个微分方程，我们可以预测市场均衡价格的变动。
总之，微积分在经济中有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解经济现象和解决实际问题。
边际分析在经济管理中的最优化决策应用
边际分析在经济管理中的最优化决策应用作者：贾续毅熊靖刘培森来源：《商场现代化》2017年第24期摘要：数学中导数在经济管理中的应用日益广泛，经济管理中对成本、利润、收益、产量、消费、投资等方面的分析都有边际概念。
边际分析主要从经济变量的变化率方面出发，经数值计算做出市场经济、企业单位中有关运营、销售等项目的最优化决策。
关键词：边际分析；导数；定积分；最优化；成本；经济管理经济学中的边际概念，一般是指各个经济变量的变化率，也就是把相关经济函数的导函数称为边际。
边际分析法就是利用导数研究经济学各变量边际变化情况的方法。
一、边际分析方法的引出在企业生产、营销等过程中，产品成本、产品收益、产品利润都是生产产量x的函数，分别记为C（x），R（x）和L（x）。
假定产品都能售出，则显然有：L（x）=R（x）-C （x）。
把成本函数C（x）的关于x的导函数叫做边际成本函数，记作MC（x）；收益函数关于产量x的函数称为边际收益，记为MR（x）；利润函数关于产量x的函数称为边际利润，记为ML（x）。
经济学中对边际成本MC（x）的解释为：当企业产品产量为x时，企业此时多生产一件产品时所需要付出的成本。
同样，边际收益函数MR（x）可理解为当企业产品产量为x时，此时再多生产一件产品所增收的收益，边际利润函数ML（x）理解为当企业的某产品产量为x 时，此时再多生产一件产品所额外增收的利润。
二、边际分析方法的现实化如果考虑总成本函数中的自变量x的取值情况，则x在实际市场经济活动中的取值为是自然数。
比如电脑、汽车、灯泡、手机的产量都是以一个为最小单位的。
所以在市场经济分析中，产品产量x是一个离散的量。
但通常情况下，x无论取为连续的变量还是离散的变量，两种情况下相差并不大。
故而在市场经济分析中可以认为x是连续变化的，上述数学函数概念便可相应地在市场分析中使用。
一个企业的根本目标是获得最大利润。
因此，分析企业的商品成本、销售量、收入和利润之间的关系并依此模拟出一个最优化的策略，在现代的商业形势之下显得尤为重要。
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
浅谈边际分析与弹性分析在经济数学中的运用
２００９
０９ 中 · 国 电 子 商 务
１５
三 、 我 国 金 融 诚 信 体 系 的 构 建 分 析 为 了 维 护 我 国 经 济 体 系 的 有 效 运 转 ， 促 进 经 济 金 融 的 健 康 发 展 和 社 会 稳 定 ， 重 塑 诚 信 环 境 、 完 善 金 融 诚 信 体 系 已 成 为 当 务 之 急 。 （一 ）以 “三 位 一 体 ”信 用 制 度 建 设 为 突 破 口 ， 构 建 社 会 化 信 用 服 务 网 络 体 系 立 金 融 诚 信 企 业 制 度 。金 融 诚 信 企 业 是 指 经 资 信 评 １． 建 估 机 构 采 用 先 进 的 信 用 评 级 技 术 、 按 照 严 格 的 评 审 程 序 评 估 ， 符 合 一 定 信 贷 信 用 标 准 的 企 业 。资 信 评 估 机 构 应 对 借 款 人 偿 还 银 行 贷 款 的 历 史 记 录 和 影 响 借 款 人 未 来 偿 付 能 力 的 各 种 因 素 进 行 全 面 考 察 ， 对 企 业 进 行 金 融 诚 信 资 格 认 定 。 立 社 会 化 综 合 性 的 个 人 信 用 制 度 。个 人 信 用 是 整 个 ２． 建 社 会 信 用 的 基 础 ， 个 人 信 用 体 系 是 社 会 信 用 体 系 的 核 心 。建 立 个 人 信 用 制 度 不 仅 是 市 场 经 济 发 展 的 需 要 ， 更 是 人 们 思 想 观 念 与 社 会 发 展 与 时 俱 进 的 需 要 。 ３． 建 立 严 格 的 金 融 机 构 信 用 管 理 制 度 。各 商 业 银 行 要 建 立 健 全 内 控 机 制 和 信 用 管 理 制 度 ， 充 分 掌 握 企 业 信 用
第四讲 边际分析与需求弹性
一、函数变化率 边际函数 二、函数的相对变化率 弹性的定义、 弹性的定义、弹性的计算公式 需求弹性
一 几个常见经济函数 1 成本函数
C (q ) = c0 + c1 (q )
其中 c0 称为固定成本，c1 (q) 为可变成本， q 为产量. 2 平均成本函数
'
生产第201件产品的利润大约为1000元 生产第201件产品的利润大约为1000元 201件产品的利润大约为1000 (2) L ′(100)=0 生产第101件产品的利润大约为0 生产第101件产品的利润大约为0元 101件产品的利润大约为 (3) L ′(1000)= - 30000 生产第1001件产品大约亏损30000元 生产第1001件产品大约亏损30000元 1001件产品大约亏损30000
'
3 即 f (101 − f (100) = 101 −1003 ≈ f ' (100 ) = 30000 )
边际函数: f ′(x) 称为 f(x) 的边际函数
一
边际成本 (1) 定义: 定义:
C (q + 1) − C (q) ≈ C′(q)
成本函数C= 的导数C 成本函数 =C(q)的导数 ′=C ′(q) 的导数 称为边际成本 生产第q+1件产品的成本大约为 C ′(q) 件产品的成本大约为 生产第
lim ∆y y ∆y x x ' lim ∆ x = ∆x→ 0 ∆ x × y = y × y x
∆y y
∆x x
的比的极限
∆x→ 0
Ey x ' = y × 称为y=f(x)在x处的弹性 记为 Ex y 需求弹性 需求函数 Q= Q(P) , 在P 处的需求弹性为 EQ P ' = Q (P) × EP Q(P)
边际分析与弹性分析
Ey Ex
或
x x0
E f ( x0 ) Ex
即
Ey Ex
x x0
y y0 y y0 lim lim x 0 x x x 0 x x0 0
x0 . f ( x 0 ) f ( x0 )
定义 一般的，若函数y f ( x )在区间内(a , b )可导， Ey y / y y x x 且f ( x ) 0，则称 lim lim y Ex x 0 x / x x 0 x y y 为函数y f ( x )在区间(a , b )内的点弹性函数，简称 弹性函数.
一般情况下，总利润函L(Q )等于总收益函数 数 R(Q )与总成本函数 (Q )之差．即 C
L(Q ) R(Q ) C (Q ),则 边 际 利 润 为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与 边 际 成 本 决 定 入 , C ( Q ) R(Q ) C (Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
这表明 f (x) 在点 x x0 处，当 x 产生一个单位的 改变时， y 近似改变 f ( x0 ) 个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去 “近似” 二字．
定义
设函数 y f (x) 在 x 处可导，则称导数 f (x )
例3
Q ，其 P 为 设某产品的需求函数为 P 20 5
价格，Q 为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率． 2
解
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ห้องสมุดไป่ตู้
与经济问题最优化
1
第八节 边际分析、弹性分析与经济 问题的最优化
一、边际分析 二、弹性分析 三、经济问题的最优化
第七章
2
一、边际分析
回忆一元函数: y=f(x) 在 x=x0处的边际为 f ( x 0 ) 边际的经济意义:当 x x 0时, x 改变一个单位, y 改变
f y ( x0 , y0 ) 表示在(x0, y0)处，当x=x0保持不变, y每改变一
个单位，函数z=f(x,y)改变 f y ( x0 , y0 ) 个单位
4
例1 设Cobb-Douglas生产函数为 P(K, L) = 20K0.3L0.7。 其中P表示产量、 K表示资本、 L表示劳动。求 P’K(1,1) 及 P’L(1,1) ，并解释其含义。 解： P’K =6K-0.7L0.7 ， P’K(1, 1)= 6(1)-0.7(1)0.7 = 6 含义: P’K= 6 表示当劳动保持1个单位不变， 且当资本为1个单位时，每增加一单位的资本，产 量约增加6单位。称为资本的边际生产量。 P ,L=14K0.3L-0.3 ， P’L(1, 1)=14(1)0.3(1)-0.3 = 14 含义: P’L = 14 表示当资本保持1个单位不变， 且当劳动为一个单位时，每增加一单位的劳动，产 量约增加14单位。称为劳动的边际生产量。
的价格.需求量 Q
Q p
1 1
Q 2 对价格p1,p2的偏导数为边际需求函数：
2
表示乙商品的价格 p
保持不变的情况下，
1
甲商品的价格
p
1
变化时，甲商品需求量Q
的变化率，
称其为甲商品关于自身价格 p 1 的边际需求；
7
Q p
1 2
表示甲商品的价格 p
1
保持不变的情况下，
1
乙商品的价格 p 2 变化时，甲商品需求量Q
'x (20 ,50 ) 來逼近Q 用Q 是恰当的。 ( 21 , 50 ) Q ( 20 , 50 )
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2. 边际需求 设两种相关商品甲和乙的需求函数为：
Q ,p f p ,p 1f 1p 1 2 Q 2 2 1 2
其中 Q 1 , Q
2
p1, p 为甲，乙商品需求量，
1
2
分别表示甲和乙
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3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释
假设有两种商品 A 与 B。p1 与 p2 分别表示商品 A 与 B 每单位的价格。函数 Q1（p1, p2） 表示商品 A 的需求函数，函数 Q2（p1, p2）表示商品 B 的需 求函数。则函数恒有下列关系：
Q 1 p 1
0 ,
Q 2 p 2
5
例2 已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工y人， 2 3 2 日产量由二元函数 Q ( x , y ) 1000 x 300 y x y x y 决定。已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工50人， 若增加熟练工1人，问产量增加多少？
Q (20,50) 解： 根据题意，必须求得 x
的变化率，
称其为甲商品关于相关价格 p 2 的边际需求；
Q 2 p1
Q p
2 2
Q 的边际解释可与 p
1 1
Q p
1 2
的边际解释类似.
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3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释
两种商品之间的关系:
两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型。 替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另 一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪 肉和鸡蛋等。 互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的 需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、 CD机和光盘等。
一、边际分析
回忆一元函数: y=f(x) 在 x=x0处的边际为 f ( x 0 )
1. 定义： 二元函数 z f (x, y) 的偏导数f x ( x0 , y0 )和 f y ( x0 , y0 )
分别称为 f ( x , y ) 在点(x0,y0)关于 x 和 y 的边际。 d f (x ,y x ,y ) 边际的经济意义： fx( 0) x x 0 0 0 d x f x ( x0 , y0 )表示在(x0, y0)处，当y=y0保持不变，x每改变一 个单位，函数z=f(x,y)改变 f x ( x0 , y0 ) 个单位
0 ,
即： 商品 A 的价格 p1 上升，则商品 A 的需求量会下降。
商品 B的价格 p2 上升，则商品 B的需求量会下降。
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两商品在价格 (p1, p2) 处为替代型
Q 1 1 2 p 2
( p , p ) 0 ,
Q 2 1 2 p 1
( p , p ) 0
表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量增加； 当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量增加。即一种商 品需求的减少导致另一种商品需求的增加。 两商品在价格 (p1, p2) 处为互补型
Q 1 1 2 p 2
( p , p ) 0 ,
Q 2 1 2 p 1
( p , p ) 0
表示当商品 B 的价格上升时，商品 A 的需求量减少； 当 A 的价格上升时，商品 B 的需求量减少。即一种商 品需求的减少导致另一种商品需求的减少。
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例3 两种商品 A 与 B，当其价格分别为 x 与 y 时 的需求函数为 f(x, y) = 300 - 6x2 + 10y2 (A的需求函数) g(x, y) = 600 + 6x - 2y2 (B的需求函数) 试问这两种商品为替代型还是互补型？
2 Q ' 1000 2 xy 3 x 因为, x
2 Q ' ( 20 , 50 ) 1000 2 ( 20 )( 50 ) 3 ( 20 ) 1800 x
所以, 日产大约会增加1800单位。
实际上，日产量增加的真实值为 Q ( 21 , 50 ) Q ( 20 , 50 ) 1809
f(x 0) 个单位 .
边际的实质: 反映了一种经济变量随另一种经济变 量变化的快慢程度. 现实生活中，经常需要考虑一种经济变量随多个经 济变量变化的情况。例如, 某种品牌的电视机的销售 情况，除了受本品牌电视机的价格影响外 , 还受其他 品牌同类型电视机的价格的影响。边际的概念也可推 广到多元函数的情形。 3