次数资料分析卡方检验
χ2(卡方)检验是用于质量性状资料(即次数资料)的一种统计假设
供卡方检验的专门分析工具；只有一个卡方检验的粘 贴函数CHITEST
例：用纯种白猪与纯种黑猪杂交，F2代260头猪中白猪181头，黑猪79头， 试检验F2代是否符合孟德尔分离定律？
1. 计算理论值
根据3:1的理论比例计算理论次数：
白色理论次数：
黑色理论次数：
260×3/4＝195
260×1/4＝65
观察次数：181
观察次数：79
181
78.5
194.5
65
2. 数据输入
图1 卡方检验数据输入格式
3. 操作步骤
图2 CHITEST函 数对话框
4. 结果分析 概率值为0.0531，即P＞0.05，差异不显著，说明F2代猪的毛 色性状符合孟德尔分离定律
实验四 χ2检验
χ2（卡方）检验是用于质量性状资料（即次数资料）的一种统 计假设检验方法 ■ 适合性检验 用来检验某性状的观察次数与理论比例是否相符的一种χ2 检验方法 ■ 独立性检验 用来分析两类试验因子之间是相互独立还是相互影响的一 种χ2检验方法
一、实验目的
1. 掌握利用Excel电子表格进行2适合性检验、独立性检验的 数据输入格式 2. 掌握利用Excel电子表格进行2适合性检验、独立性检验的 基本操作方法
19.2.119.2卡方检验
配合度检验的虚无假设为实际次数与理论次数之间无差异，备择假
设为实际次数与理论次数之间差异显著。H0：fo=fe或者fo-fe=0；
H1：fo≠fe或者fo-fe≠0。
配合度检验
卡方检验的计算公式在一般情况下为：
次数较小（小于5）时的修正公式为：
21
fe
6
6
6
6
6
2
自由度df=5-1=4，对于α=0.05的显著性水平，查卡方分布表得临
界值χ2=9.488，因为21>9.488，所以在0.05的显著性水平下拒绝虚
无假设，接受备择假设，即儿童对不同种类玩具的喜欢程度是不一
样的。
配合度检验
如果搜集到的计数资料用百分数表示，也可以用配合度检验方法。二
上存在差异。
独立性检验
对于四格表的独立性检验，相当于独立样本比率差异的显著性检验。当每个
单元格的期望次数大于等于5时，也可以使用下面的简便公式计算χ2值：
四格表内的数据如下表形式进行组织：
变量A
变量B
分类1
分类2
分类1
A
B
A+B
分类2
C
D
C+D
A+C
B+D
N=A+B+C+D
卡方检验的事后检验
正如在方差分析中，研究者们提出使用Tukey HSD 等事后检验
下表所示：
玩具种类
实际次数（fo）
理论次数(fe)
1
6
6
2
15
6
两组计数资料的卡方检验要求
两组计数资料的卡方检验1. 引言卡方检验是一种常用的统计方法，用于比较两组计数资料之间是否存在显著差异。
在许多领域中，我们经常需要对不同群体或样本进行比较，以了解它们之间的差异。
卡方检验可以帮助我们确定这些差异是否是由于偶然因素导致的，还是真实存在的。
2. 卡方检验原理卡方检验基于观察频数与期望频数之间的差异来判断两组计数资料之间的显著性差异。
观察频数是指实际观察到的数据，在统计学中通常用O表示；期望频数则是指根据某种假设或模型所预期得到的数据，在统计学中通常用E表示。
卡方值（χ²）可以通过下面公式计算得到：χ² = Σ((O - E)² / E)其中Σ表示对所有数据进行求和。
卡方值越大，说明观察频数与期望频数之间的差异越大，即两组计数资料之间的差异越显著。
3. 卡方检验步骤进行卡方检验的一般步骤如下： - 建立假设：首先需要明确研究问题，并建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是指两组计数资料之间没有显著差异，备择假设则是指两组计数资料之间存在显著差异。
- 计算期望频数：根据某种假设或模型，计算出期望频数。
常见的方法包括独立性假设、均匀性假设等。
- 计算卡方值：根据观察频数和期望频数，使用卡方公式计算出卡方值。
- 确定临界值：根据显著性水平和自由度，查找卡方分布表中的临界值。
一般来说，显著性水平为0.05或0.01比较常见。
- 比较卡方值与临界值：将计算得到的卡方值与临界值进行比较。
如果卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为两组计数资料之间存在显著差异；如果卡方值小于等于临界值，则接受原假设，认为差异不显著。
4. 实例分析为了更好地理解卡方检验的应用，我们以一个实际问题为例进行分析。
假设有一家餐厅想评估其服务质量是否与顾客的满意度相关。
餐厅收集了两个计数资料：服务质量得分（优、良、差）和顾客的满意度（满意、一般、不满意）。
现在我们想知道这两组资料之间是否存在显著差异。
第六章次数资料的检验
甲地优等组理论次数： T11=90×20/135=13.3 乙地优等组理论次数： T21=45×20/135=6.7， 或T21=20-13.3=6.7 其余各个理论次数的计算类似。 3.计算计算χ2值
(10−13.3 2 (10−10)2 ) χ = + +⋯ ⋯ 13.3 10 (20−26.7)2 (10−6.6)2 + + 26.7 6.6 =7.58 2
4、计算
(| 2 χC =Σ
A−T| − .5 2 (|1 1− 9 | − .5 2 (| 7 −6 | − .5 2 0 ) 8 15 0 ) 9 5 0 ) = + =37 9 .3 T 15 9 6 5
可以列表计算：
性 状
实际观察次数 理论次数（T） A-T （A） 181 79 260 195 65 260 -14 +14 0
适合性检验
判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分 配理论或学说的假设检验称为适合性检验。
在适合性检验中， 无效假设为H0：实际观察的属性类别分配符合已知属性类别 分配的理论或学说； 备择假设为HA：实际观察的属性类别分配不符合已知属性类 别 分配的理论或学说。 在无效假设成立的条件下，按已知属性类别分配的理论或学 说计算各属性类别的理论次数。
设样本中各种属性的实际次数为A，其相对应的理论次数为T， 则：
( A − T )2 χ2 = ∑ → df > 1 T
而当自由度df=1时，要用连续型矫正公式：
χ c2 = ∑
( A − T − 0.5) 2 T → df = 1
自由度在适合性检验和独立性检验中的确定不一样，下述。 自由度在适合性检验和独立性检验中的确定不一样，下述。
卡方检验的原理和内容公式原理
卡方检验是一种统计检验方法，其原理是比较理论频数和实际频数的吻合度或拟合优度。
基本思想是通过统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度，来判断理论值是否符合。
卡方检验的应用范围包括检验某个连续变量或离散变量是否与某种理论分布接近，即分布拟合检验；以及检验类别变量之间是否存在相关性，即列联分析。
卡方检验的基本公式是卡方值，它是由实际频数和理论频数之间的差的平方与理论频数的比值计算得出的。
卡方值的计算公式如下：
卡方值=∑(实际频数-理论频数)^2 / 理论频数
其中，∑表示求和，实际频数和理论频数分别表示观测频数和期望频数。
如果卡方值越大，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越大；如果卡方值越小，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越小，越趋于符合。
需要注意的是，卡方检验的前提假设是样本数据服从卡方分布，且样本量足够大。
同时，卡方检验对于样本量较小的数据可能不太稳定，此时可以考虑使用其他统计方法如Fisher's exact test等。
数据分析知识：数据分析中的卡方检验流程
数据分析知识：数据分析中的卡方检验流程卡方检验是统计学中一种常用的假设检验方法，它适用于分析两个变量之间的关系以及检验两个分布之间的差异。
本文将详细介绍卡方检验的流程以及应用场景。
一、卡方检验的基本概念卡方检验是基于卡方分布的检验方法，首先需要了解卡方分布。
卡方分布是统计学中常用的概率分布，是由自由度为n的n个独立标准正态分布随机变量平方和所组成的随机变量的分布。
卡方检验是通过计算观察值与期望值之间的差异来检验数据之间是否存在相关性或差异。
这里的观察值指的是实际观测到的数据，期望值则是通过假设检验得到的预测值。
当观察值与期望值之间的差异越大，就说明两个变量之间的相关性或差异越显著。
卡方检验分为拟合优度检验和独立性检验两种类型。
拟合优度检验用于检验样本分布是否符合某个已知的理论分布，而独立性检验则用于检验两个变量之间是否存在关联。
二、卡方检验的流程卡方检验的流程通常分为以下五个步骤：1.建立假设在进行卡方检验之前，需要明确所要检验的假设。
一般情况下，研究人员提出两个假设：原假设和备择假设。
原假设通常是指不存在差异或关联，备择假设则是指存在差异或关联。
例如，在研究男女生育率是否存在差异时，原假设可以设为男女生育率相同，备择假设可以设为男女生育率存在差异。
2.计算卡方值计算卡方值是卡方检验的核心内容。
卡方值通常通过以下公式计算：其中，O为观察值，E为期望值，n为数据总量，k为自由度。
自由度的计算公式为（r-1）*（c-1），其中r表示行数，c表示列数，代表每个分类变量在计算期望值时可以独立取值的数量。
具体而言，在研究男女生育率是否存在差异的例子中，可以将数据按照男女分类，列出如下的交叉表：假设男性生育率的期望比例为50%，女性生育率的期望比例也为50%，那么期望频数可以通过以下公式计算：期望频数=总频数*期望比例男性生育率的期望频数为1000 * 0.5 = 500，女性生育率的期望频数也为500。
次数资料分析---卡方检验
第七章 次数资料分析---χ2检验第一节 χ2检验的原理与方法1.χ2分布χ2分布是从正态分布派生出来的一种分布。
⏹[定义]设X 1，X 2，X 3，…，X n 相互独立同分布，且X i ～N(0,1),则随机变量χ2= x i 2n i=1的分布称为具有n 个自由度的χ2分布。
记作： χ2 = x i 2n i=1 ～χ2（n ） 即：n 个标准正态分布的随机变量的平方和，服从自由度为n 的χ2分布。
⏹[推论]若随机变量X 1，X 2，X 3，…，X n 相互独立,且X i ～N(μ, σ2)，则χ2= (x i −μ)2σ2n i=1～χ2(n)⏹[自由度]在计算χ2的过程中，如果有一个统计量代替了其中的一个参数，则其自由度为(n-1);如果有两个统计量代替了其中的两个参数，则其自由度为(n-2)。
χ2= ～χ2(n-1)22212)1()(σσS n x x ni i -=-∑=2.χ2分布的性质⏹χ2分布的“可加性”—在进行χ2统计分析时，可将相邻的数据合并在一起统计⏹χ2分布为非对称的连续性分布，分布区间为[0,+∞]⏹χ2分布曲线因自由度不同而异不同自由度的概率分布密度曲线 2χ 3.χ2检验的基本原理与方法χ2检验是与计数数据相关联的，因而用于计数资料或间断性数据的检验。
⏹[基本原理] 用于实际观测值（O ）与理论推算值（E ）之间的偏离程度来计算χ2值的大小，根据χ2的概率来检验观测值与理论值的差异程度和符合程度的大小。
⏹[检验方法]按照假设检验的一般步骤，对计数资料进行右尾检验。
如果有k 组资料，则检验统计量的值按下式计算：χ2=(A i −T i )2T iki=1【k:类别;A i :实际观测值；T i :理论推算值】⏹[连续性矫正] 当自由度df ≧2时，一般不作连续性矫正。
但在自由度df =1时，需进行连续性矫正，统计量计算公式：x c2= (∣A i −T i ∣−0.5)2T iki=1第二节 适合性检验1.适合性检验的定义所谓适合性检验，就是检验某一试验结果类别频数的划分是否符合某一理论比例。
卡方检验详述
卡方检验什么是卡方检验卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。
它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。
其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
它在分类资料统计推断中的应用，包括：两个率或两个构成比比较的卡方检验；多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。
卡方检验的基本原理卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验方法，它的无效假设H0是：观察频数与期望频数没有差别。
该检验的基本思想是：首先假设H0成立，基于此前提计算出χ2值，它表示观察值与理论值之间的偏离程度。
根据χ2分布及自由度可以确定在H0假设成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。
如果P值很小，说明观察值与理论值偏离程度太大，应当拒绝无效假设，表示比较资料之间有显著差异；否则就不能拒绝无效假设，尚不能认为样本所代表的实际情况和理论假设有差别。
卡方值的计算与意义χ2值表示观察值与理论值之问的偏离程度。
计算这种偏离程度的基本思路如下。
(1)设A代表某个类别的观察频数，E代表基于H0计算出的期望频数，A与E之差称为残差。
(2)显然，残差可以表示某一个类别观察值和理论值的偏离程度，但如果将残差简单相加以表示各类别观察频数与期望频数的差别，则有一定的不足之处。
因为残差有正有负，相加后会彼此抵消，总和仍然为0，为此可以将残差平方后求和。
(3)另一方面，残差大小是一个相对的概念，相对于期望频数为10时，期望频数为20的残差非常大，但相对于期望频数为1 000时20的残差就很小了。
考虑到这一点，人们又将残差平方除以期望频数再求和，以估计观察频数与期望频数的差别。
进行上述操作之后，就得到了常用的χ2统计量，由于它最初是由英国统计学家Karl Pearson在1900年首次提出的，因此也称之为Pearson χ2，其计算公式为：其中，Ai为i水平的观察频数，Ei为i水平的期望频数，n为总频数，pi为i水平的期望频率。
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第五章次数资料分析——2χ检验本章将分别介绍对次数资料、等级资料进行统计分析的方法。
第节χ2统计量与χ2分布第一节一、χ2统计量的意义为了便于理解现结合实例说明(为了便于理解，现结合一实例说明χ2读作卡方) 统计量的意义。
根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。
统计某羊场一年所产的876只羔羊中有公羔只母羔只按11只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。
按1:1性别例计算公母均应为只的性别比例计算，公、母羔均应为438只。
以A表示实际观察次数，T 表示理论次数，可将上述情况列成表5‐1。
表5‐1 羔羊性别实际观察次数与理论次数从表5‐1看到，实际观察次数与理论次数存在一定的差异，这里公、母各相差10只。
这个差异是属于抽样误差(把对该羊场一年所生羔羊羔的性别统计当作是次抽样调查)、还是羔羊性的性别统计当作是一次抽样调查还是羔羊性别比例发生了实质性的变化?要回答这个问题，首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。
为了度量实际观察次数与理论次数偏离的程度，最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。
从表51看出：A1T1=10，A2T2=10，‐‐‐‐由于这两个差数之和为0，显然不能用这两个差数之和来表示实际观察次数与理论次数的偏离程度了免负抵将两个数度。
为了避免正、负抵消，可将两个差数A‐T、11A2‐T2 平方后再相加，即计算∑(A‐T)2，其值越大，实际观察次数与理论次数相差亦越大，反实际观察次数与理论次数相差亦越大之则越小。
但利用∑(A‐T)2表示实际观察次数与理论次数的偏离程度尚有不足。
例如某一组实际观察次数为505、理论次数为500，相差5；而另组实际观；而另一组实际观察次数为26、理论次数为21，相差亦为5。
显然这两组实际观察次数与理论次数的偏离程度是不同的因为前者是相对于理论次数相差是不同的。
因为前者是相对于理论次数5005，后者是相对于理论次数21相差5。
为了弥补这一不足，可先将各差数平方除以相应的理论次数后再相加，并记之为χ2，即当自由度大于1时，(5‐1)式的χ2分布与连续时型随机变量χ2分布相近似，这时，可不作连续这时可不作连续性矫正，但要求各组内的理论次数不小于5。
若某组的理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理论次数大于5 为止。
第二节适合性检验、适合性检验的意义一、适合性检验的意义判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说的假设检验称为适合性检验。
适合性检验在适合性检验中，无效假设为H：实际观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论：实际观察的属性类别或学说；备择假设为HA分配不符合已知属性类别分配的理论或学说。
分配的理论或学说并在无效假设成立的条件下，按已知属性类别分配的理论或学说计算各属性类别的理论次数。
因所计算得的各个属性类别理论次数的总和应等于各个属性类别实际观察次数的总和，即独立的理论次数的个数等于属性类别分适合性检验的自由度等类数减1。
也就是说，适合性检验的自由度等若属性类别分类数为于属性类别分类数减1 。
若属性类别分类数为k ，则适合性检验的自由度为k ‐1 。
然后根据(5‐1)或(5‐4)式计算出χ2或χ2c 。
将所计算得的χ2或χ2c 值与根据自由度k ‐1查χ2值表(附表8)所得的临界2值：2、2比较：χχ0.05χ0.01若χ2(或χ2c)＜χ20.05，P＞0.05，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察的属性类别分配符合知属性类别分配的观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说；001005表若χ20.05≤χ2(或χ2c)＜χ20.01，0.01＜P≤0.05，表明实际观察次数与理论次数差异显著，实际观察的属性类别分配显著不符合已知属性类别分察的属性类别分显著不符合知属性类别分配的理论或学说；若χ2( 或χ2c)≥χ20.01，P≤0.01，表明实际观察次数与理论次数差异极显著，实际观察的属性实际观察的属性类别分配极显著不符合已知属性类别分配的理论或学说。
论或学说二、适合性检验的方法下面结合实例说明适合性检验方法。
下面结合实例说明适合性检验方法【例5.1】在进行山羊群体遗传检测时，观51在进行山羊群体遗传检测时观察了260只白色羊与黑色羊杂交的子二代毛色，只白色羊与黑色羊杂交的子二代毛色其中181只为白色，79只为黑色，问此毛色的比只为白色只为黑色问此毛色的比率是否符合孟德尔遗传分离定律的3∶1比例?检验步骤如下：（一）提出无效假设与备择假设H 0：子二代分离现象符合3∶1的理论比例。
H A ：子二代分离现象不符合3∶1的理论比例。
（）选择计算公式（二）选择计算公式由于本例是涉及到两组毛色（白色与黑色）属性由于本例是涉及到两组毛色（白色与黑色），属性类别分类数k =2，自由度df =k ‐1=2‐1=1，须使用（5—4）式来计算。
2c χ（三）计算理论次数根据理论比率3∶1求理论次数：=260×3/4=195白色理论次数：T1=260×1/4=65黑色理论次数：T2或T=260‐T1=260‐195=6522χ（四）计算c2计算表表5—2 χc值作出统计推断(五)查临界χ2值，作出统计推断=3.84，当自由度df=1 时，查得χ20.05（1）<χ20.05（1），P>0.05，不能否定H0，表计算的χ2c明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为白色羊与黑色羊的比率符合孟德尔遗传分离定律31的理论比例。
∶52【例5.2】在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离现象时，用黑色无角牛和红色有角牛用黑色无角牛和红色有角牛杂交，子二代出现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72头，红色有角牛18头，共360头。
试问这两对性状是否符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？上一张下一张主页退出检验步骤：提效假与备择假（一）提出无效假设与备择假设∶∶∶H 0：实际观察次数之比符合9331的理论比例。
H A ：实际观察次数之比不符合9∶3∶3∶1的理论比例。
（二）选择计算公式由于本例的属性类别分类数k =4：自由度df =k ‐1=4‐1=3>1，故利用（5—1）式计算χ2。
（三）计算理论次数依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：9/16=2025黑色无角牛的理论次数T 1：360×9/16=202.5；3/16=675黑色有角牛的理论次数T 2：360×3/16=67.5；3/16675红色无角牛的理论次数T 3：360×3/16=67.5；红色有角牛的论次数红色有角牛的理论次数T 4：360×1/16=22.5。
或T 4=360‐202.5‐67.5‐67.5=22.5（四）列表计算χ2下一张主页退出上一张表5—3 χ2计算表第三节独立性检验一、独立性检验的意义对次数资料，除进行适合性检验外，有时对次数资料除进行适合性检验外有时需要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。
如研究两类药物对家畜某种疾病治疗效果的好坏，先将病畜分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组用第二种药物治疗，然后统物治疗另组用第二种药物治疗然后统计每种药物的治愈头数和未治愈头数。
这时需要分析药物种类与疗效是否相关，若两者彼此相关，表明疗效因药物不同而异，即两种药物疗效不相同；若两者相互独立，表明两种药物疗效相同。
这种种药物疗效相同这种根据次数资料判断两类假因子彼此相关或相互独立的假设检验就是独立性检验。
独立性检验实际上是基于次数资料对子因子间相关性的研究。
上一张下一张主页退出独立性检验与适合性检验是两种不同的检验方法，除了研究目的不同外，还有以下区别：（一）独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进行归组根据两因子属性类别数的不性类别进行归组。
根据两因子属性类别数的不同而构成、、列联表为行因子2×22×c r×c列联表（r的属性类别数，c 为列因子的属性类别数）。
而适合性检验只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。
别表现型等次数资料归组（二）适合性检验按已知的属性分类理论或学说计算理论次数。
独立性检验在计算理论次数时没有现成的理论或学说可资利用，理论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算立的假设下进行计算。
（三）在适合性检验中确定自由度时，只有个约在适合性检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减1。
而在r×c列联表的独立性检验中，共有rc个理论次数，但受到以下条件的约束：个理论次数但受到以下条件的约束1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该行实际次数的总和。
但由于r个横行实际次数之和的总和应等于rc个实际次数之和，因而独立的行约束条件只有r1个；‐3、类似地，独立的列约束条件有c‐1个。
因而在进行独立性检验时，自由度为rc‐1‐(r‐1)‐(c‐1)=(r‐1)(c‐1)，即等于（横行属性类别数‐1）×（直列属性类别数1）。
‐二、独立性检验的方法（一）（）2×2列联表的独立性检验列联表的一般形式如表—2×2列联表的般形式如表510所示，其自由=( ‐1) r ‐1)=(2‐1) (2‐1)=12度df (c )()()()，在进行χ检验时，需作连续性矫正，应计算值。
2c χ表5—10 2×2列联表的一般形式其中A ij为实际观察次数，T ij为理论次数。
为实际观察次数为理论次数【例5.7】某猪场用80头猪检验某种疫苗是否有预防效果。
结果是注射疫苗的44头中有12 头发病，32头未发病；未注射的36头中有22头发病，14头未发病，问该疫苗是否有预防效果？1、先将资料整理成列联表表5—11 2×2列联表2、提出无效假设与备择假设H0：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相互独立。
H A：发病与否和注射疫苗有关，即二因子彼此相关彼此相关。
3、计算理论次数根据二因子相互独立的假设，由样本数据计算出各个理论次数二因子相互独立就是说算出各个理论次数。
二因子相互独立，就是说注射疫苗与否不影响发病率。
也就是说注射组与未注射组的理论发病率应当相同，均应等于总发病率34/80=0.425=42.5%。
依此计算出各个发率/依算各个理论次数如下：注射组的理论发病数：T11=44×34/80=18.7注射组的理论未发病数：4446/8053，T=44×46/80=25.312=44--18.7=25.3；或T12=44187=253未注射组的理论发病数：T2136×34/8015.3，=3634/80=15.3或T=3418.7=15.3；‐187=15321未注射组的理论未发病数：T22=36×46/80=20.7，46/80=207=36‐15.3=20.7。