线性代数向量空间自测题(附答案)
空间向量及其线性运算练习题及答案
【巩固练习】 一、选择题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）①||⋅=a a a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a④22=a b b aA ．4B ．3C ．2D ．12.①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.（2015秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF 与AB 、CD 的关系是（ ）A ．1122EF AB CD =+ B ．1122EF AB CD =-+ C ．1122EF AB CD =- D ．1122EF AB CD =--4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=5.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若1BE AA xAB yAD =++，则（ ）A ．12x =-，12y = B ．12x =，12y =- C ．12x =-，12y =- D ．12x =，12y =6．（2015 四川校级模拟） 已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)+0,|AB |sin B ||sin AB ACOP OA AC Cλλ=+∈+∞（），则点P 的轨迹一定通过ΔABC 的（ ）A. 外心B.内心C. 重心D.垂心7．已知空间向量A ，B ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）．A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 二、填空题8.如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____________。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。
答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。
答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。
答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
第六章线性空间自测练习及答案
第六章 线性空间—自测答案一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。
2.两个线性子空间的并仍是子空间。
3.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。
4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。
5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。
6.同构映射的逆映射仍是同构映射。
7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。
8.同构的线性空间有相同的维数。
9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。
10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。
答案：错：2.5.8 对：1.3.4.6.7.9.10 二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。
解：(1)0f =0110n a a a -∴++=……+ 0121n a a a a -∴=----……设11a k =，22a k =，…，11n n ak --=，故0121n a k k k -=----……，21121121()n n n f t k k k k t k t k t ---∴=---+++ 21121(1)(1)(1)n n t k t k tk --=-+-++-因此，W 中任一多项式可写成211,1,,1n t t t ---- 的线性组合，易知211,1,,1n t t t---- 线性无关，故为W 的一组基，且W 的维数为n -1. 2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。
解：取22P ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则有 12341112212221311011,,,)(,,,)12133033A A A A E E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（ 设213110111213333A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即为1234,,,A A A A 在11122122,,,E E E E 下的坐标矩阵，对其作初等行变换得矩阵1011011-1000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1234dim (,,,)2L A A A A rankB ∴==，12,A A 为一组基。
线性代数作业及参考答案
第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。
（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。
（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。
（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。
(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。
α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。
如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。
4 D.327。
设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。
α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。
线性空间测试题及答案
线性空间测试题及答案一、选择题1. 线性空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 所有选项都正确2. 以下哪个不是线性空间的定义条件？A. 向量加法的封闭性B. 标量乘法的封闭性C. 存在零向量D. 向量加法的逆元存在二、填空题1. 线性空间中的向量加法满足_________，即对于任意向量u, v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得u + w = v。
2. 线性空间中的标量乘法满足_________，即对于任意向量v ∈ V和标量a, b，有(a + b)v = av + bv。
三、简答题1. 请简述线性空间的定义。
2. 线性空间中的向量加法和标量乘法需要满足哪些条件？四、计算题1. 给定线性空间V中的向量u = (1, 2)和v = (3, 4)，计算u + v。
2. 若标量a = 2，计算2u。
五、证明题1. 证明线性空间中的向量加法满足结合律。
2. 证明线性空间中的标量乘法满足分配律。
答案：一、选择题1. 答案：D2. 答案：D二、填空题1. 答案：逆元存在2. 答案：分配律三、简答题1. 答案：线性空间是一个集合V，配合两个二元运算：向量加法和标量乘法，满足以下条件：向量加法的封闭性、结合律、存在零向量、向量加法的逆元存在，以及标量乘法的封闭性、分配律、结合律。
2. 答案：向量加法需要满足封闭性、结合律、存在零向量、逆元存在，而标量乘法需要满足封闭性、分配律、结合律。
四、计算题1. 答案：u + v = (1+3, 2+4) = (4, 6)2. 答案：2u = 2 * (1, 2) = (2, 4)五、证明题1. 证明：设u, v, w ∈ V，则(u + v) + w = u + (v + w)，由向量加法的结合律得证。
2. 证明：设u ∈ V，a, b为标量，则a(bu) = (ab)u，由标量乘法的分配律得证。
线性代数自测习题及答案
自测复习题21填空题 （1） 向量组[][][]1232,2,7,3,1,2,1,5,12a a a T T T ==-=线性 关。
（2） 4维向量组[]11,4,0,2a T =-，[]25,11,3,0a T =-，[]33,2,4,1a T =--，[]42,9,5,0a T =--， []50,3,1,4a T=-的秩是 ，且一个极大无关组为 。
的秩为，则向量组的秩为）已知向量组（321321,3,,4a a a a a a - 。
=⨯m A A n m 则的行向量组线形无关，，且的秩为矩阵）已知（35 ，m n 。
（6）已知秩为3的向量组1234,,,a a a a 可由向量组123,,βββ线性表示，则向量组123,,βββ必线性 。
（7）设20,,k k βT ⎡⎤=⎣⎦能由[]11,1,1a k T =+，[]21,1,1a k T =+，[]31,1,1a k T =+唯一线性表出，则k 满足 。
（8）设A 为4阶方阵，且()2r A =，则*0A x =的基础解系所含解向量的个数为 。
2选择题（1）设向量组()I 123,,a a a ；1234(),,,a a a a II ；1235(),,,a a a a III ；()V I 12345,,,a a a a a +，且()()3r r I =II =，()4,r III =则()r V I =（ ）。
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5（2）设向量β可由向量组12,,....m a a a 线性表示，但不能由向量组121(),,....m a a a -I 线性表示，若向量组121(),,...,m a a a β-II ，则m a （ ）。
（A ）既不能由（I ）线性表示，也不能由（II ）线性表示（B ）不能由（I ）线性表示，但可由（II ）线性表示（C ）可由（I ）线性表示，也可由（II ）线性表示（D ）可由（I ）线性表示，但不可由（II ）线性表示（3）n 维向量组12,,.....(3)s a a a s n ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。
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《第四章 向量空间》 自测题 （75
分钟）
一、选择、填空（20分，每小题4分） 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。
（A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量；
（B ）R n 中，分量是整数的所有向量；
（C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；
（D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。
2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令
414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，
则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。
3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。
4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a a a a W ij 2212
1211，则它的维数为 ，一组基为 。
5．若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，b = 。
二、计算题（60分）
1.（15分）设R 3的两组基为：
T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ， 向量α=（2，3，3）T
（1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。
（2）求α关于这两组基的坐标。
（3）将321,,βββ化为一组标准正交基。
2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，
⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+01113530333045234321
43214321x x x x x x x x x x x x
3．（20分）已知321,,ααα是3维向量空间R 3的一组基，向量组321,,βββ满足
3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+
（1）证明：321,,βββ是一组基。
（2）求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。
（3）求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。
4．（10分）已知A 是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A －E|。
三、证明题（20分）
1. （5分）设0321=++γβαk k k ，且031≠k k 。
证明：),(),(γββαL L =。
2. （5分）设A 为正交矩阵，证明：A *为正交矩阵。
3．（10分）设A 、B 为n 阶正交矩阵，且|A|≠|B|。
证明：A+B 为不可逆矩阵。
参考答案
一、选择、填空
1． A
2． dimW=3，一组基为.,,321βββ
3． dimW=n-2，一组基为T n T T )0,1,0,,0,0(,)0,0,,1,0,0(,)0,0,,0,1,1(221 ==-=-ααα
4． dimW ＝3，一组基为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,1000,0001。
5． a =21，b =2
1
二、计算题
1．(1)基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121
(2) α关于321,,ααα的坐标是（0，1，1）
α关于321,,βββ的坐标是（1，1，2）
（3）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121,626161,313131。
2．解空间的维数是2，一组基为T T )1,0,3
7,92(,)0,1,38,91(21-=-=αα。
3．（1）提示：证明321,,βββ与321,,ααα等价，从而r(321,,βββ)=3，线性无关。
（2）基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001211010。
（3）向量α关于基321,,βββ的坐标为(2，-5，1)。
4． ()
()0)1(121=-⇒--=--=--=-=-=-+-E A E A E A E A A E A E A E A T k T T 。
三、证明题
1. 提示：证明两个向量组等价，即},{},{γββα≅，则生成子空间),(),(γββαL L =。
2. 证明： ()()E AA A A A A A A A A A T T T T ====----11211*)(*。
3．提示：0111=+⇒+-=+=+=+---B A B A B A B A B A E A B A。